2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)練習(xí)題四（含解析）

2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)練習(xí)題（四）

一、單項選擇題：

1.若復(fù)數(shù)z滿意z2=5+12i，則2=（）

A.3+2,或—3—B.3—2,或—3+27C.1+2,或l—2iD.±13

【答案】A

【解析】設(shè)曾=口比（a,6GR）,

由/=5+12/,得a-6?+2a加=5+12/,

a~~b~=5[tz=3fa=—3

，解得<c或c.

Ilab=12\b=2b\=-2

z=3+2/或z=-3-21.

故選：A.

2.一次數(shù)學(xué)考試后，甲說：我是第一名，乙說：我是第一名，丙說：乙是第一名。丁說：我不是第

一名，若這四人中只有一個人說的是真話且獲得第一名的只有一人，則第一名的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】C

【解析】假設(shè)甲說的是真話，則第一名是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只

有一個人說的是真話，故甲說的不是真話，第一名不是甲；

假設(shè)乙說的是真話，則第一名是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說的

是真話，故乙說謊，第一名也不是乙；

假設(shè)丙說的是真話，則第一名是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個人說

的是真話，故丙在說謊，第一名也不是乙；

假設(shè)丁說的是真話，則第一名不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不

是第一名，同時乙也說謊，說明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假

設(shè)成立，第一名是丙。本題選C。

3.已知(三+-)"的綻開式的各項系數(shù)和為243,則綻開式中丫的系數(shù)為

X

A.5B.40C.20D.10

【答案】B

【解析】由題意，二項式(必+2)”的綻開式中各項的系數(shù)和為243,

X

令％=則3〃=243，解得〃=5,

所以二項式(1+2)5的綻開式為=C；(X3)5-r(-)r=2'C"15-4r,

XX

令廠=2,則產(chǎn)—4"2=40/，即/的系數(shù)為40,故選B.

22

4.已知橢圓土+匕=1的左右焦點分別為《，工，點P在橢圓上，且|「6|=3,則的面

42一一

積為()

A.1B.V2C.叵D.y/3

22

【答案】B

22

【解析】圓土+上=1的左右焦點分別為乙居，點P在橢圓上，且1。41=3

42

所以歸耳|+|尸閭=2a=4

貝葉明=4-3=1

ffiJc2=a2-Z?2=A/2

所以閨閶=2c=2后

因為|尸耳『=|片入「+歸閶2

所以鳥是以|尸片|為斜邊的直角三角形

則S*&=；x］P8|x由用=；xlx20=&

故選:B

5.已知向量可=(sin。,—2),〃=(l,cos。),且〃_LZ?，則sin26+cos?8的值為()

1

A.1B.2C.-D.3

2

【答案】A

【解析】由題意可得a-b=sin0-2cos0=0^即tan0—2.

2sin8cos8+cos?02tan0+1

sin26+cos?0-

cos2^+sin201+tan20

故選：A.

6.定義在R上的奇函數(shù)/(%)滿意尸(1—x)=f(1+x),且當(dāng)工￡［。,1］時，/(X)=4X2-2X,則

當(dāng)％w［—2,2］時，方程2/(%)=1的解的個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【解析】依據(jù)題意，/5)為奇函數(shù)，則〃%)的圖象關(guān)于原點對稱，又由尸(1-%)=f(1+x)，則

/(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，因為當(dāng)x￡［0,1］時，/(%)=4x2-2x,故可畫函數(shù)在%G［-2,2］的

圖象如下,

所求方程2/(x)=1在xe[-2,2]的解的個數(shù)，

等價于函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=1的交點個數(shù)，

由圖可知函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y在xe[—2,2]上有2個交點，

故方程2/(x)=1在xe[-2,2]上有2個解，

故選：A

7.已知/(%)的定義域為(0,+°),7。)為“》)的導(dǎo)函數(shù),且滿意/(X)<—獷⑴，則不等式

/(%+1)>(%-1)/(尤2—1)的解集是()

A.(0,1)B.(2,^o)C.(1,2)D.。,收)

【答案】B

【解析】構(gòu)造函數(shù)y=^(x)

則y'=/(x)+V'(x)<。

所以y=4■(力在(0,y)上單調(diào)遞減

又因為/(x+l)>(x—l)/(d—1)

所以(x+l)/(尤+1)>(尤2_1)/(尤2_1)

所以X+1VX2—1

解得x>2或1<一1(舍)

所以不等式/(x+l)>(x—1)/(/—1)的解集是(2,”)

故選B.

8.在正方體43。-4月。1。中，點￡是棱用G的中點，點b是線段C2上的一個動點.有以下

三個命題：

①異面直線AG與Bp所成的角是定值;

②三棱錐B-\EF的體積是定值;

③直線A,F與平面BiCDi所成的角是定值.

其中真命題的個數(shù)是(

【答案】B

【解析】以A點為坐標(biāo)原點，AB,AD,A4所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方

體棱長為1，可得B(1,O,O),C(1,1,O),D(O,1,0),A(0,0,1),(1,0,1),Ct(1,1,1),Dt(0,1,1),

設(shè)F(t,1,1-t),(OWtWl),

可得A。=(1，1，D，BF=(t~L,1,-t),可得AC；班尸=0,故異面直線AG與四P所的角是定值，

故①正確；

三棱錐3-4環(huán)的底面ABE面積為定值，且CQaBA，點尸是線段CR上的一個動點，可得F

點究竟面ABE的距離為定值，故三棱錐5-4ER的體積是定值，故②正確；

可得4?=(t,1,-t),4。=(0,1,0),可得平面acq的一個法向量為〃=a,

1,1),可得cos(A￡力不為定值，故③錯誤；

故選B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。

9.下列對各事務(wù)發(fā)生的概率推斷正確的是()

A.某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概

14

率都是-，那么該生在上學(xué)路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為一

327

111

B.三人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出的概率分別為一，一，一，假設(shè)他們破譯密碼是彼

534

2

此獨立的，則此密碼被破譯的概率為不

C.甲袋中有8個白球，4個紅球，乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中各任取一個球，則取到

同色球的概率為工

2

D.設(shè)兩個獨立事務(wù)力和6都不發(fā)生的概率為工，力發(fā)生6不發(fā)生的概率與6發(fā)生/不發(fā)生的概率相

9

同，則事務(wù)力發(fā)生的概率是(2

【答案】AC

【解析】對于A,該生在第3個路口首次遇到紅燈的狀況為前2個路口不是紅燈,第3個路口是紅燈,

所以概率為11—W，故A正確；

(3J327

對于B,用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼，則P(A)=g,P(B)=1,P(C)=g,“三

423223

個人都不能破譯出密碼”發(fā)生的概率為一x—x—=—,所以此密碼被破譯的概率為1—-=—，故B

534555

不正確；

Q2

對于C,設(shè)“從甲袋中取到白球”為事務(wù)A,則P(A)=—=一,設(shè)“從乙袋中取到白球”為事務(wù)B,則

123

P(B)=9=1，故取到同色球的概率為2x工+!x工=!，故C正確；

12232322

對于D,易得P(A-豆)=P(BA),即P(A)?尸(豆)=P(5)P(A),

即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],AP(A)=P(5),又P(A8)=5

-12

P(A)=P(B)=3,；?尸(A)=§,故D錯誤

故選：AC

10.已知曲線C:x4+y4=2,則曲線C()

A.關(guān)于X軸對稱B.關(guān)于y軸對稱

c.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于直線y=x軸對稱

【答案】ABCD

44

【解析】。：/+;/=2,則(_x『+y4=2；/+(_丁)4=2；(-x)+(-y)=2

故曲線關(guān)于了軸對稱；關(guān)于》軸對稱；關(guān)于原點對稱;

取曲線C：x4+y4=2任一點（九,y）關(guān)于直線丁=X軸對稱點為（y㈤

y4+x4-2成立.

故選：ABCD

11.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,其前〃項和為S“，前〃項積為7；,并且滿意條件卬〉1,

。6a7>1，組二<0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.0<^<1B.a6as>1

C.S”的最大值為S7D.7；的最大值為"

【答案】AD

【解析】①/>L%>1,與題設(shè)結(jié)二!<0沖突.

%-1

②3〉1,%<1,符合題意.

③％<1,%<1，與題設(shè)<0沖突.

%一]

④4<1，%>1，與題設(shè)4〉1沖突.

得4〉1,叫<1,0<4<1,則北的最大值為”.

：.B,C,錯誤.

故選：AD.

12.在Rt△/回中，勿是斜邊46上的高，如圖，則下列等式成立的是（）

c

--2.

A.AC=ACAB

.2

c.AB=ACCD

【答案】ABD

【解析】由AC.A3=kqIcosA=\AD\\AB\,由射影定理可得ACAC-AB,

即選項A正確，

由3480=1叫用cos3=|砌即，由射影定理可得BCBA-BC,

即選項B正確，

由47.0>=,。1。485（乃—NACD）<0,又>0,即選項C錯誤，

由圖可知RtAACD三RtAABC,所以|AC|忸。|=||CE>|,

.2（AC-AB\X（BA-BC\

由選項A,B可得CD--------M-------即選項D正確，

AB

故選ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)集合U={(x,y)|y=x+l},A=|(x,y)|口卜5

【答案】｛（2,3））

【解析】A={(x,y)|y=x+l,x#2},

集合A表示直線丁=》+1上除去（2,3）的全部點組成的集合，

.C

故答案為：｛（2,3））

14.已知函數(shù)/（x）=log2（3x2—m+4）在區(qū)間為?1,+8）上的增函數(shù)，則實數(shù)〃z的取值范圍是

【答案】（fo,6]

【解析】函數(shù)/（無）=log2（312x+4）在區(qū)間xe[l,+co）上的增函數(shù)

則一（1且3-m+4>0解得m<6

6

故答案為（-8,6]

15.如圖，在三棱錐S—ABC中，若底面A3C是正三角形，側(cè)棱長SA=SB=SC=G，M、N

分別為棱SC、3C的中點，并且則異面直線MN與AC所成角為；三棱錐

S-A3C的外接球的體積為.

■小生.兀9兀

【答案】--

22

【解析】由三棱錐S—ABC中，若底面A5C是正三角形，側(cè)棱長&1=53=5。=6知，三棱錐

S-A3C是正三棱錐，則點S在底面A3C中的投影為底面的中心。，E為AC中點如圖,

因此SO±AC,AC±82soeBE=O,所以AC，平面SBE,SSu平面SBE,

.?.SBLAC,又"、N分別為棱SC、3C的中點，

TT

則MNSB,因此肱異面直線肱V與AC所成角為一；

2

AM±2W,MN±AC,AM\AC=A,

.,.MN,平面5AC,又MNSB,則S3J_平面5AC,又三棱錐S-ABC是正三棱錐,

因此三棱錐S-A3C可以看成正方體的一部分且S,A,B,C為正方體的四個頂點，故球的直徑為

,,??,->式9兀

故答案為：—；--

22

16.函數(shù)/(x)滿意下列性質(zhì):

(1)定義域為R,值域為［1,+8).

(2)圖象關(guān)于x=2對稱.

/(x)-/(x2)八

(3)對隨意再，x2e(-co,0),且石彳/，都有---―--J<0.

請寫出函數(shù)/Xx)的一個解析式(只要寫出一個即可).

【答案】/(x)=J-4x+5

【解析】由二次函數(shù)的對稱性、值域及單調(diào)性可得解析式/(x)=(x-2)2+l,

此時/■(》)對稱軸為x=2,開口向上，滿意(2),

因為對隨意％,x,e(fo,0),且西力馬，都有一-一■--------<0,

玉一龍2

等價于/(x)在(-a),0)上單調(diào)減，

/(X)=(X-2)2+1,滿意(3),

又/(x)=(x—2)2+121,滿意(1),故答案為〃尤)=%2—4X+5.

四、解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本小題滿分10分)已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S),，數(shù)列他“｝是等比數(shù)列，滿意％=3,

4=1,/?2+52=10,a5—2b2=a3.

(1)求數(shù)列｛4｝和抄“｝的通項公式；

3.九為奇數(shù)(1

(2)令%=S”，設(shè)數(shù)列｛g｝的前幾項和為7；,求耳.

為偶數(shù)

2n24-1

【答案】(1)an=2n+l,b=2'T；(2)+(").

2n+l3

【解析】

(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,數(shù)列｛勿｝的公比為4,

q+6+d=10,d=2,

由/?2+S2=10,%-2人2=。3，得＜解得＜

3+4d—2g=3+2d,9=2,

「.Q〃=3+2（〃—1）=2幾+1,b鹿=.

（2）由。i=3,4=2〃+1,得5〃=〃（〃+2）,

2￡_1

〃為奇數(shù)時，?！?不

nn+2

〃為偶數(shù)時，g=2〃T,

:工"=（9+。3+-，+。2片1）+（。2+。4+…+。2”）

11J。-4'）

2"+11-4

,2nJ,-1）

2n+l3

18.（本小題滿分12分）在AABC中，a,b,c分別為角A,5,C所對的邊，且2c-=2acosB，

a=y/l?

（I）若c=g,求AABC的面積;

（ID若AABC為銳角三角形，求耳-c的取值范圍.

【答案】（I）5^=73（II）①后）

【解析】（I）2c—y/3b=2acosB，由正弦定理得,

2sinC-V3sinB=2sinAcosB，

2sin(A+8)-A/SSIILB=2sinAcosB,

2cosAsinB=A/SSIDJ?，

vBe(O,^-),AsinB^O,

cosA=,,.,Aw(0,萬)，A=—.

由余弦定理得：7="+3—2xgxX—b，

2

b2-3b-4=0,(Z?-4)(Z?+l)=0,AZ?=4(負(fù)值舍去),

?e?30比=-bcsinA=-x4xy/3~=y/3.

法二：由余弦定理得，2c—J%=2。?幺士——,

lac

?**b1+C1—a1=y[3bc，

***cosA=,**AG(0,TC\,A=—.

26

由余弦定理得：7=Z?2+3-2XA/3X—Z?,

2

尸―35—4=0，(Z?-4)(/?+l)=0,：.b=4(負(fù)值舍去),

Swc=—bcsinA=—x4xy/3x—=yf3.

JTJT

?:△ABC是銳角三角形，...一＜§＜一,

32

.?，V3^-ce（V7,V21）.

19.（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABC-ABQ中，側(cè)面AAQCL側(cè)面ABBA,AC=AAk&AB,

NAAC=60°，ABlAAi,H為棱CQ的中點,D為BB1的中點.

（1）求證：（D_L平面ABiH；

（2）若AB=正,求三棱柱ABC-ABG的體積.

【答案】（1）見解析；（2）76.

【解析】（1）如圖，連接AG,

因為ACCi為正三角形，H為棱C3的中點,

所以AUCCi,從而AHLAAi,

又平面AACCJ_平面ABBA,平面AACCn平面ABBA=AA1，AH<=平面AACC,

所以AH,平面ABBA,

又AiDu平面ABBA,

所以AH_LAJ).①

設(shè)AB=0a,因為AC=AAi=&AB,

DB.1AH

所以AC=AAi=2a,DBi=a,――=~r==.

用Av2M

因為AB_LAAi,

所以平行四邊形ABB向為矩形,

所以/DBA=NBAA=90°,

所以的。與SAA耳A，

所以/BiAA產(chǎn)/DAB1,

XZDAiBi+ZAAiD=90°，

所以NBiAAi+NAAiD=90°，

故AiDLABi.②

由①②及ABQAH=A,可得AJ)J_平面ABiH.

(2)方法一：如圖，取AC的中點G,連接AG,

因為A&G為正三角形，

所以AG±AiCi,

因為平面AACCJ_平面ABBA,平面AACCC平面ABBA=AAi,ABu平面ABBA,ABJ_AAi,

所以A】B」平面AACC,

又AGu平面AAQC,

所以AB』AG,

又AiCinAiBi=Ait

所以AG，平面AB3,

所以AG為三棱柱ABC-ABC的高，

經(jīng)計算AG=邪,S&BC=gAiBi,AC=gx^2*2=,

所以三棱柱ABC-ABQ的體積V=S44G?AG=四xQ=#.

方法二：如圖，取AAi的中點M,連接QM,

則CiM/ZAH,

所以3M_L平面ABBA.

因為AB=72，

所以AC=AAi=2,CiM=AiCisin60°=2x3=百，

2

所以%A――S.?CiM=-x—x-\/2X2X-^3=——-，

J-332，y3

所以三棱柱ABC-ABG的體積V=3匕AflA=76.

20.（本小題滿分12分）某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，假如年返修率不超過千分書］，則其生產(chǎn)部門當(dāng)

年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司2011-2025年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

年份20112012201320142015202420242024

年生產(chǎn)臺數(shù)（萬臺）2345671011

該產(chǎn)品的年利潤（百萬元）2.12.753.53.2534.966.5

年返修臺數(shù)（臺）2122286580658488

18188

部分計算結(jié)果：元=72玉=6，9=三2%=4，Z（玉一元）2=72,

8z=lXi=li=l

88

Z（%-9）2=18.045,一初x一刃=345

1=11=1

年返修臺數(shù)

注:年返修率=

年生產(chǎn)臺數(shù)

（I）從該公司2011-2025年的相關(guān)數(shù)據(jù)中隨意選取3年的數(shù)據(jù)，以。表示3年中生產(chǎn)部門獲得考

核優(yōu)秀的次數(shù)，求占的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（II）依據(jù)散點圖發(fā)覺2015年數(shù)據(jù)偏差較大，假如去掉該年的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤y

（百萬元）關(guān)于年生產(chǎn)臺數(shù)》（萬臺）的線性回來方程（精確到0.01）.

/___.__

Z（x,—x）（X—y）小丘丁

附：線性回來方程>=菽+。中，b=---------------=--------^―,a=y-b-x-

2

2a-尤）2Jx;-n-x

i=\i=l

【答案】（1）見解析；（2）$=0.48x+L27

【解析】（1）由數(shù)據(jù)可知,2012,2013,2016,2017,2018五個年份考核優(yōu)秀

?.，的全部可能取值為0,1,2,3

3

p(^=o)=^C°C=-15)=旨15

7

'Cl56e56

o8

pg#c2rl圖2%=3）=胃會$

故。的分布列為:

0123

115155

P

56562828

15

則數(shù)學(xué)期望綜Ox—+lx—+2x—+3x—

56562828T

22

(2)解法一：可2=72=>XL=X.=1(%,--x)+8XX=360

鴛t(%--可(％-田=34.5n騫y=XL(xl-x)(yi-y)+8xxxy=226.5

6x8-64x8-329

故去掉2015年的數(shù)據(jù)之后：——-=6,歹=-------=—

777

元)2=￡尤；_7元2=360—62—7x6?=72

戾5加5

29

Z(%_元)(%—7)=Z七%—7百~226.5-6X3-7X6X一=34.5

加5加57

入345人29345

所以人=二。0.48,&一反=-—7x6^1.27

72772

從而回來方程為：y=0.48x+1.27

解法二：因為4=無=6,所以去掉2015年的數(shù)據(jù)后不影響?的值

人345

所以人=己上出0.48

72

而去掉2015年的數(shù)據(jù)之后于=6x8—6=6,歹=4x8-329

77

-29345

a=--^x6?1.27

*772

從而回來方程為：夕=0.48%+1.27

3

21.（本小題滿分12分）已知拋物線C：/=3x的焦點為廣，斜率為二的直線，與。的交點為4B,

2

與x軸的交點為戶.

（1）若|初+|朋=4,求/的方程；

（2）若AP=3P6，求I必.

【答案】（1）12x-8y-7=0;（2）^1.

3

（1）設(shè)直線/方程為：y=-x+m,4（%,弘），B（x,,y2）

35

由拋物線焦半徑公式可知：|AF|+|BF|=%+無2+萬=4+x2=-

-_3

聯(lián)立<'2'+'”得：9x2+（12m-12）^+4m2=0

y2=3x

9i

則A=（12根—12）-144m2>0/.m<-

12m—125.7

/./=-------------=—，解7得3Zn：m=——

928

37

.??直線/的方程為：,=%工—7,即：12x—8y—7=0

28

2

（2）設(shè)尸,0）,則可設(shè)直線/方程為：

2

x=—y+t,--

聯(lián)立3得：y2-2y-3t=Q

y2=3x

則A=4+12/>0?>-1

?-=2,ya-

AP=3PB：-=~3y2...%=T，%=3K%=-3

則|AB|=J1+,-“弘+為）2-4%%=平,,4+12=

22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)/（x）=lnx+0-1,aeR.

X

（1）若關(guān)于元的不等式/（%）＞一％+1對VX￡[l,+8）恒成立，求。的取值范圍.

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=13,在（1）的條件下，試推斷g（x）在區(qū)間Ue?]上是否存在極值.若存在,

X

推斷極值的正負(fù)；若不存在，請說明理由.

【答案】（I）a,y）；（II）當(dāng)。之￡時，g（無）在Ue?l上不存在極值；當(dāng)1＜。＜￡時，g（無）在