2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系課時分層作業(yè)含解析北師大版必修4

PAGE1-課時分層作業(yè)(二十二)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．假如α是其次象限的角，下列各式中成立的是()A．tanα＝－eq\f(sinα,cosα) B．cosα＝－eq\r(1－sin2α)C．sinα＝－eq\r(1－cos2α) D．tanα＝eq\f(cosα,sinα)B[由商數(shù)關(guān)系可知A、D均不正確，當(dāng)α為其次象限角時，cosα<0，sinα>0，故B正確．]2．已知eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，則sinθcosθ的值是()A．eq\f(3,4) B．±eq\f(3,10)C．eq\f(3,10) D．－eq\f(3,10)C[由題意得sinθ＋cosθ＝2(sinθ－cosθ)，∴(sinθ＋cosθ)2＝4(sinθ－cosθ)2，解得sinθcosθ＝eq\f(3,10).]3．若sinθ＋sin2θ＝1，則cos2θ＋cos6θ＋cos8θ的值等于()A．0 B．1C．－1 D．eq\f(\r(5)－1,2)B[因為sinθ＋sin2θ＝1，sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝cos2θ，所以原式＝sinθ＋sin3θ＋sin4θ＝sinθ＋sin2θ(sinθ＋sin2θ)＝sinθ＋sin2θ＝1.]4．若△ABC的內(nèi)角A滿意sinAcosA＝eq\f(1,3)，則sinA＋cosA的值為()A．eq\f(\r(15),3) B．－eq\f(\r(15),3)C．eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)A[因為sinAcosA＝eq\f(1,3)＞0，所以A為銳角，所以sinA＋cosA＝eq\r(1＋2sinAcosA)＝eq\r(1＋\f(2,3))＝eq\f(\r(15),3).]5．已知α是第三象限角，化簡eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))－eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))得()A．tanα B．－tanαC．－2tanα D．2tanαC[原式＝eq\r(\f(（1＋sinα）2,（1－sinα）（1＋sinα）))－eq\r(\f(（1－sinα）2,（1＋sinα）（1－sinα）))＝eq\r(\f(（1＋sinα）2,cos2α))－eq\r(\f(（1－sinα）2,cos2α))＝eq\f(1＋sinα,|cosα|)－eq\f(1－sinα,|cosα|).因為α是第三象限角，所以cosα<0，所以原式＝eq\f(1＋sinα,－cosα)－eq\f(1－sinα,－cosα)＝－2tanα.]二、填空題6．已知向量a＝(3，4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，則tanα＝________．eq\f(3,4)[∵a＝(3，4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，∴3cosα－4sinα＝0.∴tanα＝eq\f(3,4).]7．已知tanα，eq\f(1,tanα)是關(guān)于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的兩個實根，且3π<α<eq\f(7,2)π，則cosα＋sinα＝________．－eq\r(2)[∵tanα·eq\f(1,tanα)＝k2－3＝1，∴k＝±2，而3π<α<eq\f(7,2)π，則tanα＋eq\f(1,tanα)＝k＝2，得tanα＝1，則sinα＝cosα＝－eq\f(\r(2),2)，∴cosα＋sinα＝－eq\r(2).]8．已知sinαcosα＝eq\f(1,5)，則sinα－cosα＝________．±eq\f(\r(15),5)[(sinα－cosα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－2sinαcosα＝eq\f(3,5).則sinα－cosα＝±eq\f(\r(15),5).]三、解答題9．已知sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(10),5).求：(1)eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ)的值；(2)tanθ的值．[解](1)因為sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(10),5)，所以1＋2sinθcosθ＝eq\f(2,5)，sinθcosθ＝－eq\f(3,10).所以eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθcosθ)＝eq\f(2\r(10),3).(2)由(1)得eq\f(sin2θ＋cos2θ,sinθcosθ)＝－eq\f(10,3)，所以eq\f(tan2θ＋1,tanθ)＝－eq\f(10,3)，即3tan2θ＋10tanθ＋3＝0，所以tanθ＝－3或tanθ＝－eq\f(1,3).10．若cosα＝－eq\f(3,5)且tanα>0，求eq\f(tanα·cos3α,1－sinα)的值．[解]eq\f(tanα·cos3α,1－sinα)＝eq\f(\f(sinα,cosα)·cos3α,1－sinα)＝eq\f(sinα·cos2α,1－sinα)＝eq\f(sinα（1－sin2α）,1－sinα)＝eq\f(sinα（1－sinα）（1＋sinα）,1－sinα)＝sinα(1＋sinα).∵tanα＝eq\f(sinα,cosα)>0，cosα＝－eq\f(3,5)<0，∴sinα<0.又sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(4,5)，∴原式＝sinα(1＋sinα)＝－eq\f(4,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))＝－eq\f(4,25).1．函數(shù)y＝eq\f(5,4)－sin2x－3cosx的最小值是()A．－eq\f(7,4) B．－2C．eq\f(1,4) D．－eq\f(5,4)A[y＝eq\f(5,4)－(1－cos2x)－3cosx＝cos2x－3cosx＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(3,2)))eq\s\up10(2)－2，當(dāng)cosx＝1時，ymin＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,2)))eq\s\up10(2)－2＝－eq\f(7,4).]2．使eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(cosα－1,sinα)成立的角α的范圍是()A．2kπ－π<α<2kπ(k∈Z)B．2kπ－π≤α≤2kπ(k∈Z)C．2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)D．只能是第三或第四象限角A[∵eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\r(\f(（1－cosα）2,sin2α))＝eq\f(1－cosα,|sinα|)＝eq\f(cosα－1,sinα)，∴sinα<0.∴2kπ－π<α<2kπ(k∈Z).]3．在△ABC中，eq\r(2)sinA＝eq\r(3cosA)，則角A＝________．eq\f(π,3)[由題意知cosA>0，即A為銳角．將eq\r(2)sinA＝eq\r(3cosA)兩邊平方得2sin2A＝3cosA.∴2cos2A＋3cosA－2＝0解得cosA＝eq\f(1,2)或cosA＝－2(舍去)，∴A＝eq\f(π,3).]4．若tanα＝2，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝________．－eq\f(\r(5),5)[∵tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2，∴sinα＝2cosα，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝eq\f(1,5).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，∴cosα＝－eq\f(\r(5),5).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cosα＝－eq\f(\r(5),5).]5．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(1,5).(1)求sinA·cosA的值；(2)推斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；(3)求tanA的值．[解](1)由sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，兩邊平方，得1＋2sinA·cosA＝eq\f(1,25)，所以sinA·cosA＝－eq\f(12,25).(2)由(1)得sinA·cosA＝－eq\f(12,25)＜0.又0<A＜π，所以cosA<0，所以A為鈍角，所以△ABC是鈍角三角形．(3)因為sinA·cosA＝－eq\f(12,25)，所以(sinA－cosA)2＝1－2sinA·cosA＝1＋