2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)評價四十七古典概型及應(yīng)用含解析北師大版必修1

PAGE8-課時素養(yǎng)評價四十七古典概型及應(yīng)用(15分鐘30分)1.從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個數(shù)為a,從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個數(shù)為b,則b>a的概率是 ()A.45 B.35 C.25【解析】選D.設(shè)所取的數(shù)中b>a為事務(wù)A,假如把選出的數(shù)a,b寫成數(shù)對(a,b)的形式,則試驗的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},共15個,事務(wù)A包含的樣本點有(1,2),(1,3),(2,3),共3個,因此所求的概率P(A)=315=12.從含有3件正品和1件次品的4件產(chǎn)品中不放回地任取2件,則取出的2件中恰有1件是次品的概率是.

【解析】設(shè)3件正品為A,B,C,1件次品為D,從中不放回地任取2件,試驗的樣本空間Ω={AB,AC,AD,BC,BD,CD},共6個.其中恰有1件是次品的樣本點有:AD,BD,CD,共3個,故P=36=1答案:13.在國慶閱兵中,某兵種A,B,C三個方陣按肯定次序通過主席臺,若先后次序是隨機(jī)排定的,則B先于A,C通過的概率為.

【解析】用(A,B,C)表示A,B,C通過主席臺的次序,則全部可能的次序有(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A),共6種,其中B先于A,C通過的有(B,C,A)和(B,A,C),共2種,故所求概率P=26=1答案:14.從1,2,3,4,5中隨意取出兩個不同的數(shù),則其和為5的概率是.

【解析】總的樣本點有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10種,兩數(shù)之和等于5有兩種狀況(1,4)和(2,3),所以P=210答案:0.25.某種飲料每箱裝6聽,假如其中有2聽不合格,質(zhì)檢人員依次不放回地從某箱中隨機(jī)抽出2聽,求檢測出不合格產(chǎn)品的概率.【解析】只要檢測的2聽中有1聽不合格,就表示查出了不合格產(chǎn)品.分為兩種狀況:1聽不合格和2聽都不合格.設(shè)合格飲料為1,2,3,4,不合格飲料為5,6,則6聽中選2聽的樣本點有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15種.有1聽不合格的有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8種;有2聽不合格的有(5,6),共1種,所以檢測出不合格產(chǎn)品的概率為8+115=3(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.2024年春節(jié)期間突如其來的新型冠狀病毒肺炎暴發(fā),一方有難八方支援,全國各地的白衣天使走上戰(zhàn)場的第一線,某醫(yī)院抽調(diào)甲乙丙三名醫(yī)生,抽調(diào)A,B,C三名護(hù)士支援武漢第一醫(yī)院與其次醫(yī)院,參與武漢疫情阻擊戰(zhàn).其中選一名護(hù)士與一名醫(yī)生去第一醫(yī)院,其他都在其次醫(yī)院工作,則醫(yī)生甲和護(hù)士A被選為第一醫(yī)院工作的概率為 ()A.112 B.16 C.15【解析】選D.依據(jù)題意,選一名醫(yī)生與一名護(hù)士去第一醫(yī)院,有9種狀況:甲A,甲B,甲C,乙A,乙B,乙C,丙A,丙B,丙C,而醫(yī)生甲和護(hù)士A被選為第一醫(yī)院工作有1種狀況,所以概率為:P=192.有五根細(xì)木棒,長度分別為1,3,5,7,9(cm),從中任取三根,能搭成三角形的概率是 ()A.320 B.25 C.15【解析】選D.設(shè)取出的三根木棒能搭成三角形為事務(wù)A,試驗的樣本空間Ω={(1、3、5),(1、3、7),(1、3、9),(1、5、7),(1、5、9),(1、7、9),(3、5、7),(3、5、9),(3、7、9),(5、7、9)},樣本空間的總數(shù)為10,由于三角形兩邊之和大于第三邊,構(gòu)成三角形的樣本點只有(3、5、7),(3、7、9),(5、7、9)三種狀況,故所求概率為P(A)=3103.從甲、乙、丙、丁、戊五個人中選取三人參與演講競賽,則甲、乙都當(dāng)選的概率為 ()A.25 B.210 C.310【解析】選C.從五個人中選取三人,則試驗的樣本空間Ω={(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊)},而甲、乙都當(dāng)選的結(jié)果有3種,故所求的概率為3104.同時拋擲三枚勻稱的硬幣,出現(xiàn)一枚正面,二枚反面的概率等于 ()A.14 B.13 C.38【解析】選C.試驗的樣本空間Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,反,正),(反,正,反),(反,反,反)},共8個,出現(xiàn)一枚正面,二枚反面的樣本點有3個,故概率為P=38二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.下列關(guān)于各事務(wù)發(fā)生的概率推斷正確的是 ()A.從甲、乙、丙三人中任選兩人擔(dān)當(dāng)課代表,甲被選中的概率為2B.四條線段的長度分別是1,3,5,7,從這四條線段中任取三條,則所取出的三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率是1C.一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋找食物,假定螞蟻在每個岔路口都會隨機(jī)地選擇一條路徑,則它能獲得食物的概率為1D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一個元素,則該元素是集合A∩B中的元素的概率為3【解析】選ABC.對于A,從甲、乙、丙三人中任選兩人有(甲,乙)、(甲,丙)、(乙,丙),共3種狀況,其中,甲被選中的狀況有2種,故甲被選中的概率為P=23,故A正確對于B,從四條長度各異的線段中任取一條,每條被取出的可能性均相等,所以該試驗屬于古典概型.又全部樣本點包括(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)四種狀況,而能構(gòu)成三角形的樣本點只有(3,5,7)一種狀況,所以所取出的三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率是P=14,故B正確對于C,該樹枝的樹梢有6處,有2處能找到食物,所以獲得食物的概率為26=13,故C對于D,因為A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是37,故D錯誤6.以下對各事務(wù)發(fā)生的概率推斷正確的是 ()A.甲、乙兩人玩剪刀、石頭、布的嬉戲,則玩一局甲不輸?shù)母怕适?B.每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和,例如8=3+5,在不超過14的素數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù),其和等于14的概率為1C.將一個質(zhì)地勻稱的正方體骰子(每個面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,6)先后拋擲2次,視察向上的點數(shù),則點數(shù)之和是6的概率是5D.從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件,則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是1【解析】選BCD.對于A,畫樹狀圖:從樹狀圖可以看出,全部可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種,這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等,P(甲獲勝)=13,P(乙獲勝)=13,故玩一局甲不輸?shù)母怕适?3,故對于B,不超過14的素數(shù)有2,3,5,7,11,13共6個,從這6個素數(shù)中任取2個,有2與3,2與5,2與7,2與11,2與13,3與5,3與7,3與11,3與13,5與7,5與11,5與13,7與11,7與13,11與13共15種結(jié)果,其中和等于14的只有一組3與11,所以在不超過14的素數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù),其和等于14的概率為115,故B正確對于C,樣本點總共有6×6=36種狀況,其中點數(shù)之和是6的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5種狀況,則所求概率是536,故C正確對于D,記三件正品為A1,A2,A3,一件次品為B,任取兩件產(chǎn)品的全部可能為A1A2,A1A3,A1B,A2A3,A2B,A3B,共6種,其中兩件都是正品的有A1A2,A1A3,A2A3,共3種,則所求概率為P=36三、填空題(每小題5分,共10分)7.從三男三女共6名學(xué)生中任選2名(每名同學(xué)被選中的概率均相等),則2名都是女同學(xué)的概率等于.

【解析】用A,B,C表示三名男同學(xué),用a,b,c表示三名女同學(xué),則從6名同學(xué)中選出2人的樣本空間Ω={AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc},其中事務(wù)“2名都是女同學(xué)”包含樣本點的個數(shù)為3,故所求的概率為315=1答案:18.袋中共有6個除了顏色外完全相同的球,其中有1個紅球,2個白球和3個黑球.從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率為.

【解析】設(shè)袋中紅球用a表示,2個白球分別用b1,b2表示,3個黑球分別用c1,c2,c3表示,則試驗的樣本空間Ω={(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)},則樣本點的總數(shù)為15個.兩球顏色為一白一黑的樣本點有(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),共6個,所以其概率為615=2答案:2四、解答題(每小題10分,共20分)9.一個口袋內(nèi)裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球,從中摸出2個球.求:(1)樣本空間的樣本點的總數(shù)n;(2)事務(wù)“摸出2個黑球”包含的樣本點的個數(shù);(3)摸出2個黑球的概率.【解析】由于4個球的大小相等,摸出每個球的可能性是相等的,所以是古典概型.(1)將黑球編號為黑1,黑2,黑3,從裝有4個球的口袋內(nèi)摸出2個球,樣本空間Ω={(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑1,白),(黑2,黑3),(黑2,白),(黑3,白)},其中共有6個樣本點.(2)事務(wù)“摸出2個黑球”={(黑1,黑2),(黑2,黑3),(黑1,黑3)},共3個樣本點.(3)樣本點總數(shù)n=6,事務(wù)“摸出兩個黑球”包含的樣本點個數(shù)m=3,故P=36=12,即摸出2個黑球的概率為10.某學(xué)校有初級老師21人,中級老師14人,高級老師7人,現(xiàn)采納分層隨機(jī)抽樣的方法從這些老師中抽取6人對績效工資狀況進(jìn)行調(diào)查.(1)求應(yīng)從初級老師、中級老師、高級老師中分別抽取的人數(shù);(2)若從分層隨機(jī)抽樣抽取的6名老師中隨機(jī)抽取2名老師做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析,求抽取的2名老師均為初級老師的概率.【解析】(1)由分層隨機(jī)抽樣學(xué)問得應(yīng)從初級老師、中級老師、高級老師中抽取的人數(shù)分別為3,2,1.(2)在分層隨機(jī)抽樣抽取的6名老師中,3名初級老師分別記為A1,A2,A3,2名中級老師分別記為A4,A5,高級老師記為A6,則從中抽取2名老師的樣本空間為Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6)},即樣本點的總數(shù)為15.抽取的2名老師均為初級老師(記為事務(wù)B)的樣本點為(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)共3個,所以P(B)=315=11.(2024·全國卷Ⅲ)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列,則兩位女同學(xué)相鄰的概率是 ()A.16 B.14 C.13【解析】選D.兩位男同學(xué)編號a,b,兩位女同學(xué)編號為1,2,若a在第一位有ab12,ab21,a1b2,a12b,a2b1,a21b共6種排法,同理b在第一位時也有6種排法,兩種狀況女同學(xué)相鄰有8種排法;若1在第一位有1ab2,1a2b,1ba2,1b2a,12ab,12ba共6種排法,同理2在第一位也有6種排法,兩種狀況女同學(xué)相鄰有4種排法,故所求的概率為1224=12.袋子中放有大小和形態(tài)相同的小球若干個,其中標(biāo)號為0的小球1個,標(biāo)號為1的小球1個,標(biāo)號為2的小球n個.已知從袋子中隨機(jī)抽取1個小球,取到標(biāo)號是2的小球的概率是12