中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯點(diǎn)練習(xí)04三角形（解析版）

易錯點(diǎn)04三角形易錯題01三角形的有關(guān)概念易錯題02與三角形有關(guān)的角易錯題03全等三角形易錯題04等腰三角形易錯題05角平分線與線段垂直平分線易錯題06勾股定理易錯題07解直角三角形易錯題08相似三角形三角形的有關(guān)概念三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)．三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．1．（2022?十堰）如圖，工人砌墻時，先在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使砌的磚在一條直線上．這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．垂線段最短 D．三角形兩邊之和大于第三邊【分析】根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線判斷即可．【解答】解：這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是兩點(diǎn)確定一條直線，故選：B．2．（2022?河北）平面內(nèi)，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（）A．1 B．2 C．7 D．8【分析】利用凸五邊形的特征，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求得d的取值范圍，利用此范圍即可得出結(jié)論．【解答】解：∵平面內(nèi)，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形，∴1+d+1+1＞5且1+5+1+1＞d，∴d的取值范圍為：2＜d＜8，∴則d可能是7．故選：C．3．（2022?玉林）請你量一量如圖△ABC中BC邊上的高的長度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，用刻度尺測量AD即可．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，用刻度尺測量AD的長度，更接近2cm，故選：D．二．填空題（共2小題）4．（2022秋?安順期末）已知n為整數(shù)，若一個三角形的三邊長分別是4n+31，n﹣13，6n，則所有滿足條件的n值的和為48．【分析】分兩種情況討論：①若n﹣13＜6n≤4n+31，②若n﹣13＜4n+31≤6n，分別依據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：①若n﹣13＜6n≤4n+31，則，解得，即＜n≤，∴正整數(shù)n有1個：15；②若n﹣13＜4n+31≤6n，則，解得，即≤n＜18，∴正整數(shù)n有2個：16和17；綜上所述，滿足條件的n的值有3個，它們的和＝15+16+17＝48；故答案為：48．5．（2022?蘇州模擬）已知：如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點(diǎn)，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為1cm2．【分析】易得△ABD，△ACD為△ABC面積的一半，同理可得△BEC的面積等于△ABC面積的一半，那么陰影部分的面積等于△BEC的面積的一半．【解答】解：∵D為BC中點(diǎn)，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），∵F為EC中點(diǎn)，∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．故答案為1．02與三角形有關(guān)的角1.三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．2.三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．3.三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個相等，因此共有三對．4.三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．1．（2022秋?濱城區(qū)校級期末）△ABC中，給出下列條件：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝2∠B＝3∠C，④點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，且CD＝AB．其中能判定△ABC是直角三角形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出最大的內(nèi)角，即可判斷①②③，然后根據(jù)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，且CD＝AB．求出∠A+∠B＝90°，即可判斷④，進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝180°×＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠A+∠A＝180°，∴∠A＝（）°，所以△ABC不是直角三角形；④∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，且CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠DCA，∠B＝∠DCB，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴2∠A+2∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，綜上所述：能判斷△ABC是直角三角形的有3個．故選：C．2．（2022秋?青島期末）如圖，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．60° D．80°【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等以及三角形外角和定理即可解答．【解答】解：反向延長DE交BC于M，如圖：∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝80°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．故選：B．3．（2022秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分線，BD和CD是△ABC兩個外角的平分線，D、C、H三點(diǎn)在一條直線上，下列結(jié)論中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正確的是（）A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【分析】①根據(jù)BH、BD是∠ABC與∠CBE的平分線，可得∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，再由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，可得①正確；②根據(jù)BD和CD是△ABC兩個外角的平分線，可得，可得②正確；③根據(jù)∠A＝∠ABC，可得∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，可得∠BCD＝∠ABC，可得③正確；④根據(jù)，可得④正確；⑤根據(jù)∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，可得，再由∠A＝∠ABC，可得，可得⑤正確，即可求解．【解答】解：①∵BH、BD是∠ABC與∠CBE的平分線，∴∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，∵∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CBH+∠CBD＝90°，即∠DBH＝90°，∴DB⊥BH，故①正確；②∵BD和CD是△ABC兩個外角的平分線，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣＝＝＝＝，故②正確；③∵∠A＝∠ABC，∴∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，∵CD是∠BCF的平分線，∴，∴DH∥AB，故③正確；④∵，∴，故④正確；⑤∵∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，∴，∵∠A＝∠ABC，∴，∵，∴∠CBD＝∠D，故⑤正確．綜上所述，正確的有①②③④⑤．故選：D．4．（2022秋?泰興市期末）已知，如圖，△ABC中，∠ABC＝48°，∠ACB＝84°，點(diǎn)D、E分別在BA、BC延長線上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，連接AP，則∠PAC的度數(shù)為（）A．45° B．48° C．60° D．66°【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證得PF＝PH，PF＝PG，進(jìn)而得出PH＝PG，從而判定PA平分∠CAD，再利用外角的性質(zhì)求出∠CAD即可．【解答】解：作PF⊥BE于點(diǎn)F，PH⊥BD于點(diǎn)H，PG⊥AC于點(diǎn)G，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴PF＝PH，PF＝PG，∴PH＝PG，∵PH⊥BD，PG⊥AC，∴AP平分∠CAD，∵∠ABC＝48°，∠ACB＝84°，∴∠CAD＝∠ABC+∠ACB＝48°+84°＝132°，∴∠PAC＝∠CAD＝66°．故選：D．5．（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠P＝（）A．20° B．30° C．35° D．40°【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可求出∠A的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，故選：B．二．填空題（共1小題）6．（2021?河北）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應(yīng)減少（填“增加”或“減少”）10度．【分析】延長EF，交CD于點(diǎn)G，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求∠ACB，根據(jù)對頂角相等可得∠DCE，再由三角形內(nèi)角和定理的推論得到∠DGF的度數(shù)；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性質(zhì)可得∠D的度數(shù)，從而得出結(jié)論．【解答】解：延長EF，交CD于點(diǎn)G，如圖：∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠ECD＝∠ACB＝70°．∵∠DGF＝∠DCE+∠E，∴∠DGF＝70°+30°＝100°．∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，∴∠D＝10°．而圖中∠D＝20°，∴∠D應(yīng)減少10°．故答案為：減少，10．03全等三角形1.全等三角形的判定:（1）判定定理1：SSS--三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（4）判定定理4：AAS--兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（5）判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．2.全等三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：全等三角形的對應(yīng)邊相等性質(zhì)2：全等三角形的對應(yīng)角相等說明：①全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等②全等三角形的周長相等，面積相等③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等1．（2022?云南）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點(diǎn)，D、E、F與O點(diǎn)都不重合，連接ED、EF．若添加下列條件中的某一個，就能使△DOE≌△FOE．你認(rèn)為要添加的那個條件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根據(jù)AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．【解答】解：∵OB平分∠AOC，∴∠DOE＝∠FOE，又OE＝OE，若∠ODE＝∠OFE，則根據(jù)AAS可得△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)D符合題意，而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)A不符合題意，增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)B不符合題意，增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)C不符合題意，故選：D．2．（2022?成都）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)A，E，B，D在同一直線上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一個條件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，則可根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，∵AC＝DF，∴當(dāng)添加∠C＝∠F時，可根據(jù)“ASA”判定△ABC≌△DEF；當(dāng)添加∠ABC＝∠DEF時，可根據(jù)“AAS”判定△ABC≌△DEF；當(dāng)添加AB＝DE時，即AE＝BD，可根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△DEF．故選：B．3．（2022?湘西州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18【分析】通過證明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四邊形ACGH的周長即為AB+AC+GH，進(jìn)而可確定當(dāng)MH⊥AB時，四邊形ACGH的周長有最小值，通過證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長，進(jìn)而可求解．【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴當(dāng)GH最小時，即MH⊥AB時四邊形ACGH的周長有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝8，∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8＝22，故選：B．4．（2022?揚(yáng)州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△ABC，提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】解：A．利用三角形三邊對應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；B．利用三角形兩邊、且夾角對應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；C．AB，AC，∠B，無法確定三角形的形狀，故此選項(xiàng)符合題意；D．根據(jù)∠A，∠B，BC，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．5．（2022?淮安）已知：如圖，點(diǎn)A、D、C、F在一條直線上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求證：∠B＝∠E．【分析】利用全等三角形的判定和性質(zhì)定理解答即可．【解答】證明：∵AD＝CF，∴AD+CD＝CF+CD，∴AC＝DF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B＝∠E．6．（2022?資陽）如圖，在△ABC中（AB＜BC），過點(diǎn)C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，連接DE、DB．（1）求證：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面積．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等證明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，設(shè)BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合題意的x的值為2，則BC＝5，再根據(jù)勾股定理求出DE的長，即可求出△BCD的面積．【解答】（1）證明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，設(shè)BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合題意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，∴S△BCD＝BC?DE＝×5×4＝10，∴△BCD的面積為10．7．（2022?牡丹江）如圖，△ABC和△DEF，點(diǎn)E，F(xiàn)在直線BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如圖①，易證：BC+BE＝BF．請解答下列問題：（1）如圖②，如圖③，請猜想BC，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出猜想結(jié)論；（2）請選擇（1）中任意一種結(jié)論進(jìn)行證明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝12，則BC＝8，BF＝14或18．【分析】（1）根據(jù)圖形分別得出答案；（2）利用AAS證明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根據(jù)圖形可得結(jié)論；（3）首先利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出BH和AH的長，從而得出BC，再對點(diǎn)E的位置進(jìn)行分類即可．【解答】解：（1）圖②：BC+BE＝BF，圖③：BE﹣BC＝BF；（2）圖②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BC+CE，∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；圖③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BF+EF，∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；（3）當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，如圖，作AH⊥BC于H，∵∠B＝∠F＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，∴AH＝3，∵S△ABC＝12，∴＝12，∴BC＝8，∵CE＝2，∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；同理，當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時，如圖②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，故答案為：8，14或18．04等腰三角形1.等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．2.等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】3.等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．4.等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．1．（2022?淄博）某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，道路AB∥CD，道路AB與AE的夾角∠BAE＝50°．城市規(guī)劃部門想新修一條道路CE，要求CF＝EF，則∠E的度數(shù)為（）A．23° B．25° C．27° D．30°【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠C＝∠E，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算∠E的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故選：B．2．（2022?鞍山）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延長BC到點(diǎn)D，使CD＝AC，連接AD，則∠D的度數(shù)為（）A．39° B．40° C．49° D．51°【分析】利用等邊對等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性質(zhì)求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故選：A．3．（2021?遼寧）如圖，在△ABC中，AB＝BC，由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線BD與AC交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF，若BE＝AC＝2，則△CEF的周長為（）A．+1 B．+3 C．+1 D．4【分析】由題意得BE是∠ABC的平分線，再由等腰三角形的性質(zhì)得BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，由勾股定理得BC＝，然后由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得EF＝BC＝BF＝CF，求解即可．【解答】解：由圖中的尺規(guī)作圖得：BE是∠ABC的平分線，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，∴∠BEC＝90°，∴BC＝＝＝，∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴EF＝BC＝BF＝CF，∴△CEF的周長＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，故選：C．4．（2022?鄂州）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，若BD＝CE＝2，則△ABP的周長為．【分析】根據(jù)SAS證△ABD≌△BCE，得出∠APB＝120°，在CB上取一點(diǎn)F使CF＝CE＝2，則BF＝BC﹣CF＝4，證△APB∽△BFE，根據(jù)比例關(guān)系設(shè)BP＝x，則AP＝2x，作BH⊥AD延長線于H，利用勾股定理列方程求解即可得出BP和AP的長．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一點(diǎn)F使CF＝CE＝2，則BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，設(shè)BP＝x，則AP＝2x，作BH⊥AD延長線于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周長為AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案為：．5．（2022?蘇州）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為6．【分析】由等腰△ABC是“倍長三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的長為6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此時不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍長三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，則△ABC三邊分別是6，6，3，符合題意，∴腰AB的長為6；若BC＝3＝2AB，則AB＝1.5，△ABC三邊分別是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此時不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；綜上所述，腰AB的長是6，故答案為：6．6．（2022?溫州）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：∠EBD＝∠EDB．（2）當(dāng)AB＝AC時，請判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）利用平行線的性質(zhì)可得∠ADE＝∠AED，則AD＝AE，從而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代換即可．【解答】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．7．（2021?紹興）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，BD＝BC＝CE，連結(jié)CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度數(shù)；（2）寫出∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，根據(jù)三角形的內(nèi)角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等邊三角形，得到∠EBC＝60°，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根據(jù)△BDC的內(nèi)角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵CE＝BC，∴△BCE是等邊三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；（2）∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系：∠BEC+∠BDC＝110°，理由：設(shè)∠BEC＝α，∠BDC＝β，在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，∵CE＝BC，∴∠CBE＝∠BEC＝α，∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，∴β＝70°﹣∠ABE，∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，∴∠BEC+∠BDC＝110°．8．（2022秋?德州期末）在邊長為9的等邊三角形ABC中，點(diǎn)Q是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是AB上一動點(diǎn)，以每秒1個單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）如圖1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如圖2，若點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q以每秒2個單位的速度從點(diǎn)B經(jīng)點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)t為何值時，△APQ為等邊三角形？【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，從而得出△BPQ是等邊三角形，列方程求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)Q所在的位置不同，分類討論△APQ是否為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到等量關(guān)系，列方程求解即可．【解答】解：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等邊三角形，∴BP＝BQ，由題意可知：AP＝t，則BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴當(dāng)t的值為3時，PQ∥AC；（2）如圖2，①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上時，此時△APQ不可能為等邊三角形；②當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時，若△APQ為等邊三角形，則AP＝AQ，由題意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴當(dāng)t＝6時，△APQ為等邊三角形．05角平分線與線段垂直平分線1.角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角2.線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等．1．（2021?青海）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（）A．8 B．7.5 C．15 D．無法確定【分析】過D點(diǎn)作DE⊥BC于E，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DA＝3，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．【解答】解：過D點(diǎn)作DE⊥BC于E，如圖，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝3，∴△BCD的面積＝×5×3＝7.5．故選：B．2．（2022秋?新華區(qū)校級期末）如圖，AI、BI、CI分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周長為18，ID＝4，則△ABC的面積為（）A．18 B．30 C．36 D．72【分析】過I點(diǎn)作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得到IE＝IF＝ID＝4，然后根據(jù)三角形面積公式得到S△ABC＝S△ABI+S△IBC+S△IAC＝2（AB+BC+AC）．【解答】解：過I點(diǎn)作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，如圖，∵AI，BI，CI分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∴IE＝IF＝ID＝4，∴S△ABC＝S△ABI+S△IBC+S△IAC＝×AB×4+×BC×4+×AC×4＝2（AB+BC+AC）＝2×18＝36．故選：C．3．（2022秋?扶溝縣校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，BC＝3，連接AC，AC⊥CD，垂足為C，并且∠ACB＝∠D，點(diǎn)E是AD邊上一動點(diǎn)，則CE的最小值是（）A．1.5 B．3 C．3.5 D．4【分析】由三角形的內(nèi)角和定理和角的和差求出∠BAC＝∠DAC，角平分線的性質(zhì)定理得BC＝CH，垂線段定義證明CH最短，求出CE長的最小值為3．【解答】解：過點(diǎn)C作CH⊥AD交AD于點(diǎn)H，如圖所示：∵AC⊥DC，∴∠ACD＝90°，又∵∠D+∠ACD+∠CAD＝180°，∠ACB+∠B+∠BAC＝180°，∠ACB＝∠D，∠ACD＝∠B＝90°，∴∠BAC＝∠DAC，∴AC是∠BAD的角平分線，又∵BC⊥BA，CH⊥AD，∴BC＝CH，又∵BC＝3，∴CH＝3，又∴點(diǎn)C是直線AD外一點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)E在AD上運(yùn)動時，點(diǎn)E運(yùn)動到與點(diǎn)H重合時CE最短，其長度為CH長等于3，即CE長的最小值為3．故選：B．4．（2022秋?東昌府區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，過C點(diǎn)作CG⊥AB于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)E，過D點(diǎn)作DF⊥AB于點(diǎn)F．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①∠CED＝∠CDE；②S△AEC：S△AEG＝AC：AG；③∠ADF＝2∠FDB；④CE＝DF．A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，可證明∠CED＝∠CDE；根據(jù)角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)E作EH⊥AC于H，可計(jì)算出，，并證明S△AEC：S△AEG＝AC：AG；根據(jù)題目給定的條件，無法證明∠ADF＝2∠FDB；根據(jù)結(jié)論①，角平分線的性質(zhì)可證CE＝DF，由此即可求解．【解答】解：結(jié)論①，∵∠ACB＝90°，CG⊥AB，AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAG，∠CAD+∠CDA＝∠DAG+∠AEG＝90°，∴∠AEG＝∠CDA，∵∠AEG＝∠CED，∴∠CED＝∠CDE，故結(jié)論①正確；結(jié)論②，如圖所示，過點(diǎn)E作EH⊥AC于H，∵AD平方∠BAC，CG⊥AB，∴EG＝EH，∴，，∴，故結(jié)論②正確；結(jié)論③，∵∠ACB＝90°，DF⊥AB，AD平方∠BAC，∴∠DCA＝∠DFA＝90°，∠CAD＝∠DAF，DC＝DF，∴△ACD≌△AFD（AAS），∴∠CDA＝∠FDA，∵CG⊥AB，DF⊥AB，∴CG∥DF，∴∠FDB＝∠GCD，且由結(jié)論①正確得，∠CED＝∠CDE＝∠ADF，在△CDE中，∠ECD+2∠EDC＝180°，即∠FDB+2∠ADF＝180°，∴∠FDB＝180°﹣2∠ADF，∴條件不足，無法證明∠ADF＝2∠FDB，故結(jié)論③錯誤；結(jié)論④，由結(jié)論①正確得，∠CED＝∠CDE＝∠ADF，即CE＝CD，由角平分線的性質(zhì)，∠BCA＝∠DFB＝90°，可證CD＝DF，∴CE＝DF，故結(jié)論④正確．綜上所述，正確的有①②④．故選：D．5．（2022秋?拱墅區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＞∠B，CD是斜邊上的高線，CE是△ABC的角平分線，F(xiàn)G是邊AB的垂直平分線，F(xiàn)G分別交BC邊，AB邊于點(diǎn)F，點(diǎn)G．若∠DCE＝∠B，則為（）A． B． C． D．2【分析】連接AF，如圖，先證明∠ACD＝∠DCE＝∠B，再利用CE是△ABC的角平分線得到2∠B＝45°，接著根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到FA＝FB，則∠CFA＝2∠B＝45°，于是可判斷△CAF為等腰直角三角形，所以AF＝CF＝BF．【解答】解：連接AF，如圖，∵∠ACB＝90°，CD是斜邊上的高線，∴∠CAB+∠B＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵∠DCE＝∠B，∴∠ACD＝∠DCE＝∠B，∵CE是△ABC的角平分線，∴∠ACE＝45°，即2∠B＝45°，∵FG是邊AB的垂直平分線，∴FA＝FB，∴∠FAB＝∠B，∴∠CFA＝∠FAB+∠B＝2∠B＝45°，∴△CAF為等腰直角三角形，∴AF＝CF，∴BF＝CF，即＝．故選：C．6．（2022秋?福州月考）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝55°，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB'關(guān)于直線AD對稱，點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B'，則∠CAB'的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】求出∠C，∠AB′D，利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵∠B＝55°，∠ABC＝90°，∴∠C＝90°﹣55°＝35°，∵AD⊥BC，△ADB與△ADB'關(guān)于直線AD對稱，∴∠AB′D＝∠B＝55°，∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′，∴∠CAB′＝55°﹣35°＝20°，故選：B．7．（2021秋?東平縣期末）如圖，AB＝AC，點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E恰好落在CD上，∠BAC＝124°，AF為△ACE中CE邊上的中線，則∠ADB的度數(shù)為（）A．24° B．28° C．30° D．38°【分析】證明AC＝AE，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明∠AFD＝90°，求出∠DAF，即可解決問題．【解答】解：如圖，∵△AED與△ABD關(guān)于AD對稱，∴AB＝AE，∠ADB＝∠ADE，∠BAD＝∠DAE，∵AC＝AB，∴AC＝AE，∵AF是△ACE的中線，∴∠CAF＝∠EAF，AF⊥CE，∴∠DAF＝∠BAC＝62°，∵∠AFD＝90°，∴∠ADF＝90°﹣62°＝28°，∴∠ADB＝∠ADF＝28°，故選：B．8．（2022春?高州市期中）如圖，從△ABC內(nèi)一點(diǎn)O出發(fā)，把△ABC剪成三個三角形（如圖1），邊AB，BC，AC放在同一直線上，點(diǎn)O都落在直線MN上（如圖2），直線MN∥AC，則點(diǎn)O是△ABC的（）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn) C．三條中線的交點(diǎn) D．三邊中垂線的交點(diǎn)【分析】利用平行線間的距離處處相等，可知點(diǎn)O到BC、AC、AB的距離相等，然后可作出判斷．【解答】解：如圖1，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F．∵M(jìn)N∥AB，∴OD＝OE＝OF（夾在平行線間的距離處處相等）．如圖2：過點(diǎn)O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'．由題意可知：OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'，∴OD'＝OE'＝OF'，∴圖2中的點(diǎn)O是三角形三個內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，故選：A．06勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么變式：1）a2=c2-b22）b2=c2-a2適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形1．（2022秋?豐城市校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC＝3，BC＝4，則CD的長為（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5【分析】由勾股定理得AB＝5，再由三角形面積公式得S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，∴CD＝＝＝2.4，故選：A．2．（2022秋?天山區(qū)校級期末）如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC，若△ABC的周長為30，OM＝4．則△ABC的面積為（）A．30 B．15 C．60 D．120【分析】過點(diǎn)O，作OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE＝OF＝OM＝4，然后根據(jù)S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC求值即可．【解答】解：過點(diǎn)O，作OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F，∵AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，OM⊥AC，OM＝4，∴OE＝OM＝4，OE＝OF，∴OE＝OF＝OM＝4，∵△ABC的周長為30，∴AB+AC+BC＝30，∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝OE?AB+OM?AC+OF?BC＝×4AB+×4AC+×4BC＝2AB+2AC+2BC＝2（AB+AC+BC）＝2×30＝60．故選：C．3．（2022秋?長安區(qū)校級期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離BC為0.7m，梯子頂端到地面的距離AC為2.4m．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離為1.5m，則小巷的寬為（）A．2m B．2.5m C．2.6m D．2.7m【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理計(jì)算出AB的長，再在Rt△A′BD中由勾股定理計(jì)算出BD長，然后可得CD的長．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（m），∴A′B＝AB＝2.5米，在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD＝＝＝2（m），∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），即小巷的寬為2.7米，故選：D．4．（2022秋?平頂山期末）如圖，Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1．以BC＝1，OB為直角邊，構(gòu)造Rt△OBC；再以CD＝1，OC為直角邊，構(gòu)造Rt△OCD；…，按照這個規(guī)律，在Rt△OHI中，點(diǎn)H到OI的距離是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理得OB＝＝＝，OC＝＝＝，OD＝，按照這個規(guī)律，根據(jù)勾股定理得OI＝＝2，作HM⊥OI于點(diǎn)M，根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．【解答】解：在Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1，根據(jù)勾股定理得OB＝＝＝，在Rt△OBC，根據(jù)勾股定理得OC＝＝＝，在Rt△OCD，根據(jù)勾股定理得OD＝，按照這個規(guī)律，在Rt△OHI中，根據(jù)勾股定理得OI＝＝2，如圖，作HM⊥OI于點(diǎn)M，∴OI?HM＝OH?HI，∴×2×HM＝××1，∴HM＝，∴點(diǎn)H到OI的距離是．故選：B．5．（2022秋?輝縣市校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三邊為邊向外做正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，連結(jié)EC，CG，作CP⊥CG交HI于點(diǎn)P，記正方形ACDE和正方形AHIB的面積分別為S1，S2，若S1＝4，S2＝7，則S△ACP：S△BCP等于（）A．2： B．4：3 C．： D．7：4【分析】過點(diǎn)P作PM⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)M，作PN⊥CA，交CA的延長線于點(diǎn)N．根據(jù)CP平分∠ACB，即可得出PM＝PN．再根據(jù)正方形ACDE和正方形BCFG的面積之比為4：3，即可得到AC：BC＝2：，進(jìn)而利用三角形面積公式得到S△ACP：S△BCP的值．【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)P作PM⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)M，作PN⊥CA，交CA的延長線于點(diǎn)N，由題可得，∠BCG＝45°，CP⊥CG，∴∠BCP＝45°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACP＝45°，即CP平分∠ACB，又∵PM⊥BC，PN⊥AC，∴PM＝PN，∵正方形ACDE和正方形AHIB的面積分別為S1，S2，且S1＝4，S2＝7，∴正方形BCFG的面積＝7﹣4＝3，∴正方形ACDE和正方形BCFG的面積之比為4：3，∴AC：BC＝2：，∴＝＝＝，即S△ACP：S△BCP等于2：．故選：A．6．（2022秋?寧德期末）意大利著名畫家達(dá)?芬奇用下圖所示的方法證明了勾股定理．若設(shè)左圖中空白部分的面積為S1，右圖中空白部分的面積為S2，則下列表示S1，S2的等式成立的是（）A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+ab C．S2＝c2 D．S2＝c2+ab【分析】根據(jù)直角三角形以及正方形的面積公式計(jì)算即可解決問題．【解答】解：觀察圖象可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，故選：B．7．（2022春?舒城縣校級月考）如圖，小明有一個圓柱形飲水杯．底面半徑是6cm，高是16cm，上底面貼著杯壁有一個小圓孔，則一條長24cm的直吸管露在杯外部分a的長度（杯壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是（）A．8≤a≤10 B．4≤a≤8 C．4≤a≤2 D．4≤a≤10【分析】先畫出圖形，即△ABC，∠ABC＝90°，則AB＝2×6＝12cm，BC＝16cm，根據(jù)勾股定理求得AC＝20cm，當(dāng)直吸管按AC位置放置時，露在杯外部分a最短，當(dāng)直吸管按BC位置放置時，露在杯外部分a最長，于是有16≤24﹣a≤20，解不等式求出不等式的解集即可．【解答】解：如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝16cm，∵圓柱形飲水杯的底面半徑是6cm，∴AB＝2×6＝12（cm），∴AC＝＝＝20（cm），∵16≤24﹣a≤20，∴4≤a≤8，∴直吸管露在杯外部分a的長度范圍是4≤a≤8，故選：B．8．（2022秋?蕭縣期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2＝21．大正方形的面積為13．則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積＝大正方形的面積減去4個直角三角形的面積，利用已知（a+b）2＝21，大正方形的面積為13，可以得出4個直角三角形的面積，進(jìn)而求出答案．【解答】解：如圖所示：∵（a+b）2＝21，∴a2+2ab+b2＝21，∵大正方形的面積為13，∴a2+b2＝13，∴2ab＝21﹣13＝8，∴小正方形的面積為13﹣8＝5．故選：C．07解直角三角形銳角三角函數(shù)特殊角的三角函數(shù)值1．（2022秋?沈丘縣期末）如圖是簡化后的冬奧會跳臺滑雪的雪道示意圖，AB段為助滑道，BC段為著陸坡，著陸坡的坡角為α，A點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差為120米，A點(diǎn)與C點(diǎn)的高度差為h米，則著陸坡BC的長度為（）A．（h﹣120）sinα米 B．（120﹣h）cosα米 C．米 D．米【分析】過點(diǎn)A作AG⊥CD，交DC的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BE⊥CG，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AG，垂足為F，可得四邊形BFGE矩形，從而得FG＝BE，然后在Rt△BEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過點(diǎn)A作AG⊥CD，交DC的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BE⊥CG，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AG，垂足為F，則四邊形BFGE矩形，∴FG＝BE，∵AG＝120米，AF＝h米，∴FG＝BE＝（h﹣120）米，在Rt△BEC中，BC＝＝米，故選：D．2．（2022秋?海淀區(qū)校級期末）已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1+，AC＝2，則∠C＝（）A．45° B．75° C．90° D．105°【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB，先在Rt△ACD中求出∠ACD、CD、AD，再求出BD，最后在Rt△BCD中，利用等腰三角形的性質(zhì)得結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．在Rt△ACD中，∵∠A＝60°，∴∠ACD＝30°．∵sinA＝，cosA＝，∴CD＝sin60°×2＝，AD＝cos60°×2＝1．∴BD＝AB﹣AD＝1+﹣1＝．在Rt△BCD中，∵CD＝BD，∴∠BCD＝45°．∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝75°．故選：B．3．（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若，，則BD的長為（）A． B． C．3 D．【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出，再由勾股定理求出AB＝5，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，依據(jù)三角函數(shù)值可得，從而得，再由AE+BE＝5得AE＝2，DE＝1，由勾股定理得BD．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，∴，∴，由勾股定理得，，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，如圖，∵，，∴，∴，∴，∴，∵AE+BE＝5，∴，∴AE＝2，∴DE＝1，BE＝3，在Rt△BDE中，．故選：B．4．（2022秋?蒙城縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，延長AB到點(diǎn)D，使BD＝AB，連接CD．若，則的值是（）A． B．1 C． D．【分析】過點(diǎn)B作BE∥AC，交CD于E，就可以得出∠CBE＝90°，就有，得到BC＝3BE；由BE∥AC就可以得出△DBE∽△DAC就可以表示出AC，從而求出結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)B作BE∥AC，交CD于E，如圖所示，∴∠ACB＝∠CBE＝90°，∵，∴Rt△BCE中，，∴BC＝3BE．∵BE∥AC，∴△DBE∽△DAC，∴，∵BD＝AB，∴，∴AC＝2BE，∴，故選：A．二．解答題（共4小題）5．（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識后，嘗試?yán)盟鶎W(xué)知識測量河對岸大樹AB的高度，他在點(diǎn)C處測得大樹頂端A的仰角為45°，再從C點(diǎn)出發(fā)沿斜坡走米到達(dá)斜坡上D點(diǎn)，在點(diǎn)D處測得樹頂端A的仰角為30°，若斜坡CF的坡比為i＝1：3（點(diǎn)E、C、B在同一水平線上）．（1）求王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過程中上升的高度；（2）求大樹AB的高度（結(jié)果保留根號）．【分析】（1）作DG⊥CE于G，解Rt△CDG，即可求出DG；（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，設(shè)AB＝xm米，用含x的代數(shù)式表示出AH、DH，根據(jù)列出方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）過點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G．由題意知i＝1：3，∴CG＝3DG．又，，即DG2+10DG2＝160，∴DG＝4米．答：王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過程中上升的高度為4米．（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，∵DG＝4，CG＝3DG∴CG＝3×4＝12（m）．設(shè)大樹高為xm．∵∠ACB＝45°，∴CB＝AB＝xm，DH＝BG＝BC+CG＝（x+12）m，AH＝AB﹣DG＝（x﹣4）m．又∠ADH＝30°，∴，即，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根且符合題意．答：大樹AB的高度是．6．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）某地一居民的窗戶朝南．窗戶的離地高度為0.8米，此地一年的冬至這一天的正午時刻太陽光與地面的夾角最小為α，夏至這一天的正午時刻太陽光與地面的夾角最大為β．若你是一名設(shè)計(jì)師，請你為教學(xué)樓的窗戶設(shè)計(jì)一個直角形遮陽蓬BCD，要求它既能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)．根據(jù)測量測得∠α＝30°，∠β＝60°，AB＝1.5米．若同時滿足下面兩個條件：（1）當(dāng)太陽光與地面的夾角是α?xí)r，太陽光剛好射入室內(nèi)．（2）當(dāng)太陽光與地面的夾角是β時，太陽光剛好不射入室內(nèi)．請你求出直角形遮陽蓬BCD中CD的長、CD離地面的高度．【分析】在直角三角形△BCD和△ACD，利用相應(yīng)的三角函數(shù)用BC分別表示出CD、AC長，而AC﹣BC＝AB，由此即可求得BC長，進(jìn)而求得CD長．【解答】解：設(shè)BC＝x米，∵∠α＝30°，∠β＝60°，∴∠CDB＝30°，∠CDA＝60°，在Rt△BCD中，tan∠CDB＝＝tan30°＝＝，∴CD＝x，在Rt△ACD中，tan∠CDA＝tan60°＝＝＝，∴CD＝，∴＝x，解得x＝，∴CD＝（米），CD離地面的高度0.8+1.5+＝3.05（米）．答：直角形遮陽蓬BCD中CD的長為米，CD離地面的高度3.05米．7．（2022秋?小店區(qū)校級期末）鋼琴音色優(yōu)美，剛?cè)岵?jì)，在人疲倦時聽一些抒情的曲子能緩解疲勞、在人心情郁悶時聽一些歡快的曲子可以調(diào)節(jié)自己的情緒，陶冶情操，修身養(yǎng)性．圖1標(biāo)識了某品牌三角鋼琴的部分產(chǎn)品數(shù)據(jù)，圖2為該鋼琴正面簡化示意圖，已知鋼琴大蓋板AD閉合時與AB重合，此時大蓋板為打開狀態(tài)，支撐桿BC的長度為76cm，支撐桿與水平方向的夾角∠ABC＝60°，大蓋板AD的長度為148cm，鋼琴的高度為101cm．（參考數(shù)據(jù)：≈1.7，sin31°≈0.5，cos31°≈0.9，tan31°≈0.6）（1）求∠BAC的度數(shù)．（2）求此時大蓋板上點(diǎn)D的高度（即點(diǎn)D到水平面EF的距離）．【分析】（1）如圖2中，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H．求出CH，AH，利用正切函數(shù)的定義求解即可；（2）過點(diǎn)D作DT⊥AB于點(diǎn)T．解直角三角形求出DT，可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖2中，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H．在Rt△BCH中，BC＝76cm，∠CBH＝60°，∴BH＝BC?cos60°＝38cm，CH＝BH＝×38≈64.6（cm），∵AD＝AB＝148cm，∴AH＝AB﹣BH＝148﹣38＝110（cm），∴tan∠BAC＝＝≈0.6，∴∠BAC＝31°；（2）過點(diǎn)D作DT⊥AB于點(diǎn)T．∴DT＝AD?sin31°≈74（cm），∵鋼琴的高度為101cm，∴此時大蓋板上點(diǎn)D的高度175cm．8．（2022秋?渝中區(qū)校級期末）如圖，一艘漁船以每小時30海里的速度自東向西航行，在B處測得補(bǔ)給站C在北偏西30°方向，繼續(xù)航行2小時后到達(dá)A處，測得補(bǔ)給站C在北偏東60°方向．（1）求此時漁船與補(bǔ)給站C的距離；（結(jié)果保留根號）（2）此時漁船發(fā)現(xiàn)在A點(diǎn)北偏西15°方向的D點(diǎn)處有大量魚群，漁船聯(lián)系了補(bǔ)給站，決定調(diào)整方向以原速前往作業(yè)，與此同時補(bǔ)給站C測得點(diǎn)D在北偏西75°方向，并立即派出補(bǔ)給船給漁船補(bǔ)給食物和淡水，若兩船恰好在D處相遇，求補(bǔ)給船的速度．（精確到十分位，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）．【分析】（1）根據(jù)題意可得：AB＝60海里，∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ACB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，根據(jù)垂直定義可得∠AEC＝∠AED＝90°，根據(jù)題意可得：∠DAC＝75°，F(xiàn)A∥CG，從而利用平行線的性質(zhì)可得∠ACG＝∠FAC＝60°，進(jìn)而可得∠ACD＝45°，然后再利用直角三角形的兩個銳角互余求出∠EAC＝45°，從而求出∠DAE＝30°，再在Rt△AEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE，CE的長，最后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE，AD的長，從而求出CD的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）由題意得：AB＝30×2＝60（海里），∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBA＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°，在Rt△ACB中，AC＝AB?sinn60°＝60×＝30（海里），∴此時漁船與補(bǔ)給站C的距離為30海里；（2）如圖：過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，∴∠AEC＝∠AED＝90°，由題意得：∠DAC＝15°+60°＝75°，F(xiàn)A∥CG，∴∠ACG＝∠FAC＝60°，∴∠ACD＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴∠EAC＝90°﹣∠ACD＝45°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝30°，在Rt△AEC中，AC＝30海里，∴AE＝AC?sin45°＝30×＝15（海里），CE＝AC?cos45°＝30×＝15（海里），在Rt△ADE中，DE＝AE?tan30°＝15×＝15（海里），∴AD＝2DE＝30（海里），∴DC＝DE+CE＝（15+15）海里，∴＝＝（小時），∴補(bǔ)給船的速度＝＝＝15+15≈41.0（海里/時），∴補(bǔ)給船的速度約為41.0海里/時．08相似三角形1.相似三角形的判定（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形．（2）三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．2.相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．（2）相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方．1．（2022秋?橋西區(qū)校級期末）在如圖所示的小正方形網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，△ABC的位似圖形是（）A．△MQH B．△MRH C．△MQP D．△MRP【分析】根據(jù)位似三角形的定義作出圖形即可得出答案．【解答】解：故選：C．2．（2022秋?叢臺區(qū)校級期末）如圖，F(xiàn)是線段CD上除端點(diǎn)外的一點(diǎn)，將△ADF繞正方形ABCD的頂點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE，連接EF交AB于點(diǎn)H，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠EAF＝120° B．EB：AD＝EH：HF C．AF2＝EH?EF D．【分析】由已知可得△ABE≌△ADF，從而得到∠EAB＝∠DAF，AE＝AF；由∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，可知A不正確；由∠EAF＝90°，AE＝AF，可知△AEF是等腰直角三角形，所以EF＝AE，則D不正確；若AF2＝EH?EF成立，可得EH＝EF，即H是EF的中點(diǎn)，而H不一定是EF的中點(diǎn)，故C不正確；由AB∥CD，由平行線分線段成比例可得EB：BC＝EH：HF，故B正確．【解答】解：∵△ADF繞正方形ABCD的頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE，∴△ABE≌△ADF，∴∠EAB＝∠DAF，∴∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，故A不正確；∵∠EAF＝90°，AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝AE，∴AE：EF＝1：，故D不正確；若AF2＝EH?EF成立，∵AE：EF＝1：，∴EH＝AF，∴EH＝EF，即H是EF的中點(diǎn)，H不一定是EF的中點(diǎn)，故C不正確；∵AB∥CD，∴EB：BC＝EH：HF，∵BC＝AD，∴EB：AD＝EH：HF，故B正確；故選：B．3．（2022秋?成華區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BDEF是平行四邊形，．若△ADE的面積為1，則平行四邊形BDEF的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)先說明△ADE∽△ABC、△CEF∽△CBA，再利用相似三角形的性質(zhì)求出△ADE、△ABC、△CEF的面積，最后利用面積的和差關(guān)系得結(jié)論．【解答】解：∵四邊形BDEF是平行四邊形，∴DE∥BC，EF∥AB．∴△ADE∽△ABC，△CEF∽△CBA．∵，∴＝．∴＝．∴＝（）2＝，＝（）2＝．∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝9，S△CEF＝4．∵S△ADE+S△CEF+S平行四邊形BDEF＝S△ABC，∴S平行四邊形BDEF＝9﹣1﹣4＝4．故選：B．4．（2022秋?南宮市期末）有一塊銳角三角形余料△ABC，邊BC的長為20cm，BC邊上的高為l6cm，現(xiàn)要把它分割成若干個鄰邊長分別為5cm和4cm的小長方形零件，分割方式如圖所示（分割線的耗料不計(jì)），使最底層的小長方形的長為5cm的邊在BC上，則按如圖方式分割成的小長方形零件最多有（）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【分析】設(shè)最上層的小長方形的一邊與AB，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，交EF于點(diǎn)G，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得AG，則GD可求，利用GD的值可以判定最多能分多少層，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得每層的小長方形的數(shù)目，則結(jié)論可得．【解答】解：設(shè)最上層的小長方形的一邊與AB，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，交EF于點(diǎn)G，如圖，則EF＝5cm，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴，∴AG＝4cm．∴GD＝AD﹣AG＝12cm，∵分割成的小長方形鄰邊長分別為5cm和4cm，∴最多能分3層，由題意最上層能分割1個，同理可得下一層能分割2個小長方形，最下面一層可分割3個小長方形，∴分割成的小長方形零件最多有6個，故選：B．5．（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，EM⊥EC交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)N在射線MB上，且∠ANE＝∠DCE．（1）如圖，求證：AE是AM和AN的比例中項(xiàng)；（2）當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上時，聯(lián)結(jié)AC，且AC與NE互相垂直，求MN的長．【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）利用△EDC∽△CAD，得出比例式求得線段DE，AE，利用△AME∽△DEC求得線段AM，利用（1）的結(jié)論求得線段AN，則MN＝AN﹣AM．【解答】（1）證明：∵EM⊥EC，∴∠AEM+∠DEC＝90°．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠DEC+∠ECD＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∵∠ANE＝∠DCE，∴∠ANE＝∠AEM．∵∠A＝∠A，∴△ANE∽△AEM，∴．∴AE2＝AM?AN，∴AE是AM和AN的比例中項(xiàng)；（2）解：如圖，AC＝＝＝5．∵AC與NE互相垂直，∴∠AFE＝90°，∴∠ANE+∠NAF＝90°．∵∠NAF+∠CAD＝90°，∴∠ANE＝∠DAC．∵∠ANE＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，∵∠D＝∠D，∴△EDC∽△CAD，∴，∴，∴DE＝，∴AE＝AD﹣DE＝．∵EM⊥EC，∴∠AEM+∠DEC＝90°．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠MAE＝∠