中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點練習(xí)考向36 最值問題（隱形圓問題）（含答案詳解）

試卷第=page44頁，共=sectionpages66頁考向36：最值問題（隱形圓問題）【考點梳理】模型一：定點定長作圓模型探究：如圖，在平面內(nèi)，點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則動點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓．【推廣】在折疊或旋轉(zhuǎn)問題中，有時會利用“定點定長作圓”模型確定動點的運動軌跡．模型二：定弦定角作圓模型探究：若已知定弦AB，定角∠C，要確定頂點C的運動軌跡，需分三種情況：（1）如圖①，在⊙O中，當(dāng)∠C＜90°時，點C的軌跡為優(yōu)弧ACB；（2）如圖②，在⊙O中，當(dāng)∠C＝90°時，點C的軌跡為半圓；（3）如圖③，在⊙O中，當(dāng)∠C＞90°時，點C的運動軌跡為劣弧AB.圖①圖②圖③常見張角計算(關(guān)鍵定圓心)：模型三：四點共圓（1）如圖①、②，共斜邊的兩個直角三角形，同側(cè)或異側(cè)，都有A、B、C、D四點共圓2）如圖③若∠A+∠C=180°，則A、B、C、D四點共圓.如圖④固定線段AB同側(cè)若∠P=∠C，則A、B、C、P四點共圓.圖③圖④【題型探究】題型一：隱形圓1．如圖，正方形的邊長為4，點E是正方形內(nèi)的動點，點P是邊上的動點，且．連結(jié)，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．如圖，四邊形中，，，，，點是四邊形內(nèi)的一個動點，滿足，則面積的最小值為______．3．如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，，M為線段的中點，連接，當(dāng)取最大值時，點M的坐標(biāo)為__________________．【必刷好題】一、單選題4．如圖，四邊形為矩形，，．點P是線段上一動點，點M為線段上一點．，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．如圖，的半徑是，P是上一動點，A是內(nèi)部一點，且，則下列說法正確的是（

）①PA的最小值為；②PA的最大值為；③當(dāng)時，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面積最大為．A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④6．如圖，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．連接BD，CE，將△繞點A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)最大時，△ACE的面積為（

）．A．6 B． C．9 D．7．正方形ABCD中，AB=4，點E、F分別是CD、BC邊上的動點，且始終滿足DE=CF，DF、AE相交于點G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，連接BH．則BH的最小值為（

）A． B． C． D．8．如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個動點，滿足，則線段CP長的最小值為（

）A． B．2 C． D．二、填空題9．如圖，在矩形中，，，點、分別是邊、上的動點，且，點是的中點，、，則四邊形面積的最小值為______．10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點，且CD＝3，E是BC邊上一點，將△DCE沿DE折疊，使點C落在點F處，連接BF，則BF的最小值為_______．11．如圖，長方形ABCD中，，BC=2，點E是DC邊上的動點，現(xiàn)將△BEC沿直線BE折疊，使點C落在點F處，則點D到點F的最短距離為________．12．如圖，已知，外心為，，，分別以，為腰向形外作等腰直角三角形與，連接，交于點，則的最小值是______．13．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為_____．14．如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接等邊三角形，BC＝12，點D為上一動點，BE⊥OD于E，當(dāng)點D由點B沿運動到點C時，線段AE的最大值是____．15．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB＝2，點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是_________．三、解答題16．如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于半徑長為2的⊙O，點P在圓弧AB上以2倍速度從B向A運動，點Q在圓弧BC上以1倍速度從C向B運動，當(dāng)點P，O，Q三點處于同一條直線時，停止運動．(1)求點Q的運動總長度；(2)若M為弦PB的中點，求運動過程中CM的最大值．17．如圖，⊙O的直徑AB為2，C為⊙O上的一個定點，∠ABC＝30°，動點P從A出發(fā)，沿半圓弧向B點運動（點P與點C在直徑AB的異側(cè)），當(dāng)P點到達(dá)B點時運動停止，在運動過程中，過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于點D，連接AD，則線段AD的最大值為__________________．18．【問題背景】如圖1，P是等邊△ABC內(nèi)一點，∠APB＝150°，則PA2+PB2＝PC2．小剛為了證明這個結(jié)論，將△PAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，請幫助小剛完成輔助線的作圖；【遷移應(yīng)用】如圖2，D是等邊△ABC外一點，E為CD上一點，AD∥BE，∠BEC＝120°，求證：△DBE是等邊三角形；【拓展創(chuàng)新】如圖3，EF＝6，點C為EF的中點，邊長為3的等邊△ABC繞著點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，直線AE、BF交于點P，M為PG的中點，EF⊥FG于F，F(xiàn)G＝4，請直接寫出MC的最小值．19．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動點，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時，∠AED最大．20．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖①，點A和點B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，點P和點Q均在射線AM上，若∠APB＝45°，則點P與⊙O的位置關(guān)系是；若∠AQB＜45°，則點Q與⊙O的位置關(guān)系是．問題解決：如圖②、圖③所示，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，點P是BC邊上任意一點．（2）當(dāng)∠APD＝45°時，求BP的長度．（3）是否存在點P，使得∠APD最大？若存在，請說明理由，并求出BP的長度；若不存在，也請說明理由．21．如圖，在等邊中，點在邊上，點為延長線上一點，連接，過點作交延長線于點．（1）如圖1，若，，，求的長；（2）如圖2，若，點在的垂直平分線上，點在邊上，連接交于點，且，求證：；（3）如圖3，若，，，點、、分別是三邊上的動點，當(dāng)周長取得最小值時，取線段的中點，點為平面內(nèi)一點，且，連接、，請直接寫出的最大值．參考答案：1．A【分析】先證明，即可得點E在以為直徑的半圓上移動，設(shè)的中點為O，作正方形關(guān)于直線對稱的正方形，則點D的對應(yīng)點是F，連接交于P，交半圓O于E，根據(jù)對稱性有：，則有：，則線段的長即為的長度最小值，問題隨之得解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴點E在以為直徑的半圓上移動，如圖，設(shè)的中點為O，作正方形關(guān)于直線對稱的正方形，則點D的對應(yīng)點是F，連接交于P，交半圓O于E，根據(jù)對稱性有：，則有：，則線段的長即為的長度最小值，E∵，，∴，，∴，∴，故的長度最小值為，故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線，得出點E的運動路線是解題的關(guān)鍵．2．【分析】取的中點，連接，過點作交的延長線于點，過點作于，交于，則，通過計算得出當(dāng)三點共線時，有最小值，求出最小值即可．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，過點作交的延長線于點，過點作于，交于，則，，，，，，，，，，，四邊形為等腰梯形，，，，，，點在以點為圓心，2為半徑的圓上，，，，，，，，，，，，當(dāng)三點共線時，有最小值，面積的最小值為．【點睛】本題考查了解直角三角形、隱圓、直角三角形的性質(zhì)等知識點，點位置的確定是解題關(guān)鍵．3．【分析】根據(jù)題意可知：點C在半徑為的⊙B上．在x軸上取OD=OA=6，連接CD，易證明OM是△ACD的中位線，即得出OM=CD，即當(dāng)OM最大時，CD最大，由D，B，C三點共線時，即當(dāng)C在DB的延長線上時，OM最大，根據(jù)勾股定理求出BD的長，從而可求出CD的長，最后即可求出OM的最大值．【詳解】解：如圖，∵點C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，，∴C在⊙B上，且半徑為，在x軸上取OD=OA=6，連接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM=CD，∴即當(dāng)OM最大時，CD最大，而D，B，C三點共線時，即當(dāng)C在DB的延長線上時，OM最大，∵OB=OD=6，∠BOD=90°，∴BD=，∴CD=，且C(2,8),∴OM=CD，即OM的最大值為，∵M是AC的中點，則M（4,4），故答案為：（4,4）．【點睛】本題考查坐標(biāo)和圖形，三角形的中位線定理，勾股定理等知識．確定OM為最大值時點C的位置是解題關(guān)鍵，也是難點．4．D【分析】證明，得出點M在O點為圓心，以AO為半徑的圓上，從而計算出答案．【詳解】設(shè)AD的中點為O，以O(shè)點為圓心，AO為半徑畫圓∵四邊形為矩形∴∵∴∴∴點M在O點為圓心，以AO為半徑的圓上連接OB交圓O與點N∵點B為圓O外一點∴當(dāng)直線BM過圓心O時，BM最短∵，∴∴∵故選：D．【點睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識．5．C【分析】分析知當(dāng)A在線段PO上時，PA取最小值，A在PO延長線上時，PA取最大值，可以判斷①②是否正確；當(dāng)∠OAP=90°時，根據(jù)勾股定理求出AP的長度，可以判斷③是否正確；作出A點的軌跡圓，知當(dāng)OA⊥PO時，三角形PAO面積取最大值，通過計算判斷④是否正確即可．【詳解】解：由題意知，當(dāng)A在線段PO上時，PA取最小值，A在PO延長線上時，PA取最大值，∴PA的最小值為，PA的最大值為，故①②正確；當(dāng)∠OAP=90°時，根據(jù)勾股定理得：AP=，即AP=OA，三角形PAO為等腰直角三角形，故③正確；作出A點軌跡圓如下：知當(dāng)OA⊥PO時，三角形PAO面積取最大值，最大值為：，故④錯誤，綜上所述，正確的序號為：①②③，故選：C．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)、勾股定理、線段最值等知識點，借助圓的性質(zhì)判斷出線段的最值是解決本題的關(guān)鍵．6．A【分析】先分析出D的軌跡為以A為圓心AD的長為半徑的圓，當(dāng)BD與該圓相切時，∠DBA最大，過C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函數(shù)計算出BD、CF的長，代入面積公式求解即可．【詳解】解：由題意知，D點軌跡為以A為圓心AD的長為半徑的圓，當(dāng)BD與D點的軌跡圓相切時，∠DBA取最大值，此時∠BDA=90°，如圖所示，過C作CF⊥AE于F，∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：，即，解得：CF=，∴此時三角形ACE的面積==6，故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識點．此題綜合性較強，解題關(guān)鍵是利用D的軌跡圓確定出∠DBA取最大值時的位置．7．C【分析】首先證明，從而，再根據(jù)，可求，可知點H的運動軌跡為以點M為圓心，MH為半徑的圓，從而可求BH最小值．【詳解】解：如圖，取AD中點O，連接OG，以AO為斜邊作等腰直角三角形AOM，則，在和中，，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，是直角三角形，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴點H的運動軌跡為以點M為圓心，MH為半徑的圓，如圖，連接BM，交圓M于，過點M作于點P，∵，，∴，∴為等腰直角三角形，∵，∴AP=MP==1，∴BP=4-1=3，在中，，∴．∴BH的最小值為．故選：C．【點睛】本題考查了最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確構(gòu)造輔助線，利用三角形相似以及點和圓的知識解決．8．D【分析】結(jié)合題意推導(dǎo)得，取AB的中點O，以點O為圓心，為直徑作圓，連接OP；根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得；根據(jù)圓的對稱性，得點P在以AB為直徑的上，根據(jù)兩點之間直線段最短的性質(zhì)，得當(dāng)點O、點P、點C三點共線時，PC最小；根據(jù)勾股定理的性質(zhì)計算得，通過線段和差計算即可得到答案．【詳解】，，，，，取AB的中點O，以點O為圓心，為直徑作圓，連接OP，點P在以AB為直徑的上，連接OC交于點P，當(dāng)點O、點P、點C三點共線時，PC最小在中，，，，，最小值為故選：D．【點睛】本題考查了兩點之間直線段最短、圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的對稱性、兩點之間直線段最短、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解．9．38【分析】首先連接AC，過B作BH⊥AC于H，當(dāng)G在BH上時，三角形ACG面積取最小值，此時四邊形AGCD面積取最小值，再連接BG，知BG=2，得到G點軌跡圓，該軌跡與BH交點即為所求最小值時的G點，利用面積法求出BH、GH的長，代入三角形面積公式求解即可．【詳解】解：連接，過作于，當(dāng)G在BH上時，△ACG面積取最小值，此時四邊形AGCD面積取最小值，四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+三角形ACD面積，即四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+24．連接BG，由G是EF中點，EF=4知，BG=2，故G在以為圓心，為半徑的圓弧上，圓弧交于，此時四邊形AGCD面積取最小值，如圖所示，由勾股定理得：AC=10，∵AC·BH=AB·BC，∴BH=4.8，∴，即四邊形面積的最小值=．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理及矩形中的與動點相關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊的直線等于斜邊的一半確定出點的運動軌跡．10．##【分析】先由折疊判斷出F的運動軌跡是為以D為圓心，CD的長度為半徑的圓，當(dāng)B、D、F共線且F在B、D之間時BF最小，根據(jù)勾股定理及圓的性質(zhì)求出此時BD、BF的長度即可．【詳解】解：由折疊知，F(xiàn)點的運動軌跡為：以D為圓心，CD的長度為半徑的圓，如圖所示，可知，當(dāng)點B、D、F共線，且F在B、D之間時，BF取最小值，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，∴BF=BD－DF=，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形的知識，該題涉及的最值問題屬于中考?？碱}型，根據(jù)折疊確定出F點運動軌跡是解題關(guān)鍵．11．2【分析】由題意易得點F的運動軌跡是以點B為圓心，BC長為半徑的圓弧，連接BD，然后根據(jù)隱圓問題可進行求解．【詳解】解：由題意得：點F的運動軌跡是以點B為圓心，BC長為半徑的圓弧，連接BD，交圓弧于點H，如圖所示：∴當(dāng)點F與點H重合時，點D到點F的距離為最短，∵四邊形ABCD是矩形，，BC=2，∴，∴，∴，即點D到點F的最短距離為2；故答案為2．【點睛】本題主要考查隱圓問題，矩形與折疊，勾股定理，解題的關(guān)鍵是分析得出點F的運動軌跡．12．【分析】由與是等腰直角三角形，得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得在以為直徑的圓上，由的外心為，，得到，如圖，當(dāng)時，的值最小，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：與是等腰直角三角形，，，在與中，，≌，，，，在以為直徑的圓上，的外心為，，，如圖，當(dāng)時，的值最小，，，，，．則的最小值是，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．5【分析】因為DG＝EF＝2，所以G在以D為圓心，2為半徑圓上運動，取DI＝1，可證△GDI∽△CDG，從而得出GI＝CG，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出BI是其最小值【詳解】解：如圖，在Rt△DEF中，G是EF的中點，∴DG＝，∴點G在以D為圓心，2為半徑的圓上運動，在CD上截取DI＝1，連接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴當(dāng)B、G、I共線時，BG+CG最?。紹I，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．14．##【分析】連接，取中點，連接，求得，點在以為圓心，以為半徑的圓上，求得當(dāng)共線且點在的延長線上時，最大，求解即可．【詳解】解：連接，取中點，連接，如下圖：∵，為中點∴∴點在以為圓心，以為半徑的圓上∴當(dāng)共線且點在的延長線上時，最大延長交于點，如上圖：∵△ABC為⊙O的內(nèi)接等邊三角形∴垂直平分，∴∴，∴，∴∴的最大值為故答案為：【點睛】此題考查了圓與內(nèi)接正三角形的性質(zhì)，涉及了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形外心的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，利用性質(zhì)確定出點的運動軌跡．15．【分析】連接OA、OB，如圖1，由OA=OB=AB=2可判斷△OAB為等邊三角形，則∠AOB=60°，根據(jù)圓周角定理得∠APB=∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因為AB=2，則要使△ABC的最大面積，點C到AB的距離要最大；由∠ACB=60°，可根據(jù)圓周角定理判斷點C在⊙D上，且∠ADB=120°，如圖2，于是當(dāng)點C優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，從而得到△ABC的最大面積．【詳解】解：連接OA、OB，如圖1，∵OA=OB=2，AB=2，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴∠APB=∠AOB=30°，∵AC⊥AP，∴∠C=60°，∵AB=2，要使△ABC的最大面積，則點C到AB的距離最大，作△ABC的外接圓D，∵∠ACB=60°，點C在⊙D上，∴∠ADB=120°，如圖2，當(dāng)點C優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，且面積為AB2=，∴△ABC的最大面積為．故答案為：．【點睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和等邊三角形的判斷與性質(zhì)；記住等邊三角形的面積公式．16．(1)(2)【分析】（1）如圖，設(shè)結(jié)合題意可得：，結(jié)合正三角形的性質(zhì)求解再利用弧長公式進行計算即可；（2）解：如圖，取的中點N，連接NM，NC，MC，過N作于K，過O作于E，證明M在以N為圓心，半徑為1的圓N上運動，可得當(dāng)C，N，M三點共線時，CM最大，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)結(jié)合題意可得：，為等邊三角形，而三點共線，解得：運動的總長度為：（2）解：如圖，取的中點N，連接NM，NC，MC，過N作于K，過O作于E，為PB的中點，∴M在以N為圓心，半徑為1的圓N上運動，∴當(dāng)C，N，M三點共線時，CM最大，同理可得：則∴的最大值為：【點睛】本題考查的是弧長的計算，弧與圓心角的關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練的構(gòu)造輔助圓，再求解線段的最大值是解本題的關(guān)鍵．17．##【分析】由同弦等角可知點D在以BC為弦的⊙O′（紅弧線）上運動，從而構(gòu)造輔助圓，故當(dāng)A、O′、D共線時，AD的值最大．求出此時AD的值即可解決問題．【詳解】解：∵AB是直徑，∠ABC＝30°，AB＝2，∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠P＝60°，，，∵在Rt△PCD中，∠PCD＝90°，∠P＝60°，∴∠PDC＝30°，∴點D在以BC為弦的⊙O′（紅弧線）上運動，∴當(dāng)A、O′、D共線時，AD的值最大．如圖，連接CO′、BO′，∵∠BO′C＝2∠CDB＝60°，O′C＝O′B，∴△O′BC是等邊三角形，∴,∠CBO′＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO′＝90°，∴，∴,∴線段AD的最大值為．故答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、最值問題等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用輔助圓解決問題，屬于中考?？碱}型．18．（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)△PAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°作圖即可；（2）由∠BEC＝120°得∠BED＝60°，由平行線的性質(zhì)得∠ADE＝∠BED＝60°，由等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，故可知A、D、B、C共圓，由圓內(nèi)接四邊形對角互補得出∠ADB＝120°,故可求出∠BDE＝60°，即可得證；（3）由CA＝CE＝CB＝CF＝3得A、E、B、F共圓C得出∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，進而得出∠APF＝∠ABC＝60°，作△EPF的外接圓Q，則∠EQF＝120°，求出EQ，連接QG取中點N，由三角形中位線得MN，以點N為圓心MN為半徑作N，連接CN，與N交于點，即CM最小為，建立平面直角坐標(biāo)系求出即可．【詳解】（1）如圖1所示，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得；（2）∵∠BEC＝120°，∴∠BED＝60°，∵，∴∠ADE＝∠BED＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴A、D、B、C共圓，如圖2所示：∴∠ADB＝120°，∵∠ADE＝∠BED＝60°，∴∠BDE＝60°，∴△DBE是等邊三角形；（3）如圖3，∵CA＝CE＝CB＝CF＝3，∴A、E、B、F共圓C，∴∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝∠PAB+∠APB，∴∠APF＝∠ABC＝60°，∵∠EPF＝60°，EF＝6，作△EPF的外接圓Q，則∠EQF＝120°，QC⊥EF，∴∠EQC＝60°，∴，連接QG取中點N，則且，以點N為圓心MN為半徑作N，連接CN，與N交于點，即CM最小為，以點F為原點建立平面直角坐標(biāo)系，，，，∴,，∴CM最小為．【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，解三角函數(shù)以及圓的性質(zhì)，根據(jù)題意作出圓是解題的關(guān)鍵．19．（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)題意可得∠B＝∠C＝90°，∠AFB＝∠FEC，即可得出結(jié)論；（2）取AE的中點O，連接OD、OF，根據(jù)∠AFE＝∠ADE＝90°，得出A、D、E、F四點共圓，當(dāng)⊙O與BC相切時，∠AFD的值最大，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中點O，連接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°，∴OA＝OD＝OE＝OF，∴A、D、E、F四點共圓，∴∠AED＝∠AFD，∴當(dāng)⊙O與BC相切時，∠AFD的值最大，∴BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，的值最大．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，四點共圓，根據(jù)題意得出⊙O與BC相切時，∠AFD的值最大是解題的關(guān)鍵．20．（1）點P在⊙O上，點Q在⊙O外；（2）PB=2+或；（3）存在，?1【分析】（1）如圖①中，根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系即可判斷；（2）如圖2中，造等腰直角三角形△AOD，與O為圓心作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°．求出BP′和BP的長即可解決問題；（3）作線段AD的垂直平分線，交AD于E，交BC于F，點O在EF上，以O(shè)A為半徑作⊙O，當(dāng)⊙O與BC相切于點P時，∠APD最大，求出此時BP的值即可；【詳解】解：（1）如圖①中，∵∠APB＝∠AOB＝45°，∴點P在⊙O上，∵∠AQB＜45°，∴點Q在⊙O外．故答案為點P在⊙O上，點Q在⊙O外．（2）如圖2中，如圖構(gòu)造等腰直角三角形△AOD，與O為圓心，OA為半徑作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°．延長DO交BC于H，∵∠DAB＝135°，∠DAO＝45°，∴∠OAB＝∠B＝90°，∴OA∥BC，∴∠DOA＝∠OHB＝90°，∴四邊形ABHO是矩形，∴AB＝OH＝1，OA＝BH，∵AD＝2，∴OA＝OD＝OP＝OP′＝2，在Rt△OPH和Rt△OP′H中，易知HP＝HP′＝，∴BH＝OA＝2，∴BP′＝2?，PB＝2＋．（3）如圖③中，存在．作線段AD的垂直平分線，交AD于E，交BC于F，點O在EF上，以O(shè)A為半徑作⊙O，當(dāng)⊙O與BC相切于點P時，∠APD最大，理由：在BC上任意取一點M，連接MA、MD，MD交⊙O于N，連接AN．∵∠AND＞∠AMD，∠APD＝∠AND，∴∠APD＞∠AND，連接OP，延長DA交CB的延長線于點G．∵AB⊥BC，∠DAB＝135°，∴∠G＝∠EFG＝45°，∴△ABG，△EFG都是等腰直角三角形，∵AB＝BG＝1，∴AG＝，∵AD＝2，OE⊥AD，∴AE＝ED＝，∴EG＝EF＝2，GF＝EG＝4，設(shè)OP＝PF＝r，則OF＝r，OE＝EF?OF＝2?r，在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝OA2，∴，解得r＝4?或4＋（舍棄），∴BP＝GF?GB?PF＝4?1?r＝?1．【點睛】本題考查圓綜合題、圓周角與圓心角的關(guān)系、點與圓的位置關(guān)系、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，利用輔助圓解決問題．21．（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）過點D作DG⊥AB于G，則AF∥DG，得到∠GDB=∠AEB，由，，得到，，則，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，由，可得，，再證明△ADE∽△ACF，得到，則，由此求解即可；（2）過點C作CM⊥AF于M，CN⊥BE于N，過點B作BK⊥AB交AG延長線于K，在EF上取點P使得EP=ED，連接CP，先證明△CME≌△CNE得到CM=CN，從而可證Rt△CMA≌Rt△CNB得到∠CAM=∠CBE=45°，從而推出∠CEB=∠FEC=60°，由∠ABK=90°，∠BAK=45°，得到AB=BK=AC，∠K=∠BAK=45°，∠KBG=30°，則，證明△CPE≌△CDE得到∠CPE=∠CDE，再證明△CPA≌△BGK得到AP=GK，則；（3）先證明當(dāng)△KMN周長最短時，BK⊥CE，即∠BKC=∠BKE=90°，由∠ETI=45°，可知T點在以EI為弦，圓周角∠ETI=45°的圓上運動，又∠BKI=90°，則T在以K為圓心，以KI的長為半徑的圓上運動，，在BK上取一點Q使得，可證△TKQ∽△BKT，得到，則，故要想最大，則的值要最大，即的值要最大，則當(dāng)T、C、Q三點共線時，有最大值，最大值為，由此求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，過點D作DG⊥AB于G，∴∠DGB=∠BAF=∠DGA=90°，∴AF∥DG，∴∠GDB=∠AEB，∵，，∴，，∴，∵△ABC是等邊三角形，∴∠DAG=60°，AC=AB=8，∴∠ADG=30°，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵DE∥CF，∴△ADE∽△ACF，∴，∴，∴，∴；（2）如圖所示，過點C作CM⊥AF于M，CN⊥BE于N，過點B作BK⊥AB交AG延長線于K，在EF上取點P使得EP=ED，連接CP，∴∠CME=∠CNE=90°，∵F在線段EC的垂直平分線上，∴FE=FC，∴∠FEC=∠FCE，∵BE∥CF，∴∠BEC=∠FCE，∴∠CEM=∠CEN，∵CE=CE，∴△CME