2024-2025學(xué)年天津市西青區(qū)高三上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年天津市西青區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一?選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂到答題卡上，1.已知集合，，則（

）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.【詳解】因?yàn)榧?，，所以，故選：A.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】分別判斷充分性和必要性是否成立即可.【詳解】若，如，則，故充分性不成立；若，則，則，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.三個(gè)數(shù)，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，即得解.【詳解】由題得，，.所以.故選：A本題主要考查指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4.已知某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列函數(shù)中符合此圖象的為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】利用排除法，根據(jù)選項(xiàng)代特值檢驗(yàn)即可.【詳解】設(shè)題設(shè)函數(shù)為，由選項(xiàng)可知：ABCD中的函數(shù)定義域均為R，對(duì)于選項(xiàng)D：若，但此時(shí)，矛盾，故可排除D；對(duì)于選項(xiàng)C：若，但此時(shí)，矛盾，故可排除C；對(duì)于選項(xiàng)B：若，但此時(shí)，矛盾，故可排除B.故選：A.5.隨著居民家庭收入的不斷提高，人們對(duì)居住條件的改善的需求也在逐漸升溫．某城市統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月的房屋交易量，如下表所示：時(shí)間12345交易量（萬(wàn)套）0.81.01.21.5若與滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，變量與正相關(guān)B.經(jīng)驗(yàn)回歸方程中C.可以預(yù)測(cè)時(shí)房屋交易量約為（萬(wàn)套）D.時(shí)，殘差為【正確答案】D【分析】首先求出、，根據(jù)回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)求出參數(shù)，從而得到回歸方程，再一一判斷即可.【詳解】對(duì)于B，依題意，，所以，解得，所以，故B正確；對(duì)于A，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程，，所以變量與正相關(guān)，故A正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以可以預(yù)測(cè)時(shí)房屋交易量約為（萬(wàn)套），故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，殘差，故D錯(cuò)誤.故選：D6.在正方體中，三棱錐的表面積為，則正方體外接球的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)三棱錐的表面積進(jìn)一步求出正方體的棱長(zhǎng)，最后求出正方體的外接球的半徑，進(jìn)一步求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，由于三棱錐的表面積為，所以所以所以正方體的外接球的半徑為，所以正方體的外接球的體積為故選：．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.7.將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.在上單調(diào)遞增C.在上的最小值為 D.直線是圖象的一條對(duì)稱軸【正確答案】D【分析】由平移變換內(nèi)容得可判斷A；求出的增區(qū)間可判斷B；依據(jù)的范圍即可求出的值域即可判斷C；根據(jù)對(duì)稱軸方程求解的對(duì)稱軸方程即可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由題意，可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，令，，所以在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，故，在上的最小值?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，化簡(jiǎn)可得，取，可得，所以是圖象的一條對(duì)稱軸，故D正確.故選：D.8.已知雙曲線：，圓與圓的公共弦所在的直線是的一條漸近線，則的離心率為（）A. B.2 C. D.【正確答案】C【分析】?jī)蓤A的方程相減可得雙曲線的一條漸近線方程，據(jù)此可求雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)?，，所以兩圓方程相減可得，由題意知的一條漸近線為，即，雙曲線的離心率．故選：C．9.已知函數(shù)（，且），，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.． C. D.【正確答案】D【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得到，從而得到，根據(jù)函數(shù)極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)得到方程，求出答案.【詳解】，，，函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，故，解得.故選：D二?填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請(qǐng)將正確的答案填寫到答題卡上.試題中包含2個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)空的得3分，全部答對(duì)的得5分.10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)________．【正確答案】##【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出答案.【詳解】.故11.的展開式中常數(shù)項(xiàng)是______．（用數(shù)字作答）【正確答案】【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出指定項(xiàng)即可.【詳解】由的展開式的通項(xiàng)得：，令，得，故．故答案為.12.袋子中有6個(gè)大小相同的小球，其中4個(gè)紅球，2個(gè)白球.每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回，則兩次都摸到紅球的概率為__________；在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率為__________.【正確答案】①.##②.##【分析】利用古典概型和條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】?jī)纱味济郊t球的概率為，第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率，可通過(guò)縮小樣本空間得出.故；13.在中，已知，為線段的中點(diǎn)，若，則______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，由向量的線性運(yùn)算公式可得，由平面向量基本定理可得、的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，在中，已知，則，由于為線段的中點(diǎn)，則，又，、不共線，故，，所以．故．14.已知實(shí)數(shù)，，，則的最小值是______．【正確答案】【分析】先利用基本不等式求得的最小值，進(jìn)而求得的最小值，即可得到答案.【詳解】由題意，設(shè)，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為，所以的最小值是.故答案為.本題主要考查了利用基本不等式求最值問題，其中解答中先利用基本不等式求得的最小值是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.15.已知函數(shù)，，，其中表示a，b中最大的數(shù)．若，則________；若對(duì)恒成立，則t的取值范圍是________．【正確答案】①.②..【分析】由函數(shù)的定義，求，由時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得已知條件等價(jià)于在上恒成立，化簡(jiǎn)可求的范圍．詳解】由已知，若，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閷?duì)恒成立；所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，若，則當(dāng)時(shí)，，矛盾，當(dāng)時(shí)，可得恒成立，所以，所以t的取值范圍是為，故，.三?解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由余弦定理計(jì)算可得；（2）利用余弦定理計(jì)算可得；（3）首先求出，從而由二倍角公式求出、，最后由兩角和的正弦公式計(jì)算可得.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，又，，由余弦定理，即，解得或（舍去），所?【小問2詳解】由余弦定理.【小問3詳解】由（2）可得，所以，，又，所以.17.如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，點(diǎn)是棱上靠近端的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是棱上一點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）.【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究線面關(guān)系即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算即可；（3）利用空間向量計(jì)算面面夾角即可.【小問1詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，則.又，可得，因平面，所以平面.【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)A到平面的距離.易知，則點(diǎn)A到平面的距離為.【小問3詳解】易知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則.設(shè)平面與平面的夾角為，則故平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)不在軸上，線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn)，若為等邊三角形，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）根據(jù)已知條件得出關(guān)于，再由以及可得出、的值，由此可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的斜率為，設(shè)點(diǎn)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得線段的中垂線方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由為等邊三角形可得出，可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：（1）由題意可知離心率，即可得，且，又，解得，，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】解：如下圖所示：由題意可知A?2,0，結(jié)合圖形可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，因?yàn)辄c(diǎn)不在軸上，則，直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立可得，顯然是方程的一個(gè)根，由韋達(dá)定理可得，則，所以，即，可得的中點(diǎn)為，所以直線的垂直平分線方程為，令，解得，即，若為等邊三角形，則，即，整理得，解得或（舍），所以，，所以，直線的方程為或.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（2）小問的關(guān)鍵在于設(shè)出直線的方程求出后，進(jìn)一步求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，結(jié)合得出關(guān)于的方程求解.19.已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若數(shù)列滿足：，證明.【正確答案】（1），；（2）；（3）證明見解析．【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得公比，即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差和首項(xiàng)后，即可得解；（2）利用裂項(xiàng)相消法即可得解；（3）真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：設(shè)，則，利用此性質(zhì)將放大為即可證明．【小問1詳解】解：設(shè)公差為d，公比為q，∵，，∴，解得或，∵，∴，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∵，，∴，，解得，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；小問2詳解】解：，.【小問3詳解】證明：，設(shè)，，則，∴，∴，∴．20.設(shè)函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)（i）當(dāng)時(shí)，取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；（ii）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明.【正確答案】（1）（2）（i）單調(diào)增區(qū)間，，單調(diào)減區(qū)間為（ii）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）（i），時(shí)，取得極值，所以，求出，進(jìn)而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii），存在兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程，在上有兩個(gè)不等實(shí)根，所以，而等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)即可得證.【小問1詳解】，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；【小問2詳解】（i），，∵時(shí)，取得極值，∴，解得，∴，令，