2024-2025學年浙江省麗水市高二上冊10月聯(lián)考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年浙江省麗水市高二上學期10月聯(lián)考數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線過點，，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知直線：和直線：，則“”是“∥”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，，則在方向上的投影向量的模長為（

）A． B． C． D．4．圓：與圓：的公切線有且僅有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條5．如圖，在正四棱錐中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．7．已知球與正方體的各個切，平面截球所得的截面的面積為，則正方體棱長為（

）A． B． C．1 D．28．關于橢圓有如下結論：“過橢圓上一點作該橢圓的切線，切線方程為.”設橢圓：的左焦點為F，右頂點為A，過F且垂直于x軸的直線與C的一個交點為M，過M作橢圓的切線，若切線與直線的傾斜角互補，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知空間中三點，則正確的有（

）A．與是共線向量 B．點關于軸的對稱點的坐標是C．與夾角的余弦值是 D．與同向的單位向量是10．已知線段是圓的一條動弦，為弦的中點，，直線與直線相交于點，下列說法正確的是（

）A．弦的中點軌跡是圓B．直線分別過定點和C．直線的交點在定圓上D．線段的最小值為11．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，過橢圓C上一點P和原點O作直線l交圓O：于M，N兩點，下列結論正確的是（

）A．實數(shù)a越小，橢圓C越圓B．若，且，則C．當時，過的直線交C于A，B兩點（點A在x軸的上方）且，則的斜率D．若，則三、填空題（本大題共3小題）12．如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點，則直線與的位置關系是（填“平行”，“異面”，“相交”）．13．橢圓的左、右焦點分別為，點P在橢圓上，如果的中點在y軸上，那么是的倍14．已知圓，過圓外點向圓引兩條切線，且切點分別為A，B兩點，則最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知焦點在軸上的橢圓過點，離心率為，(1)求橢圓的方程；(2)斜率為的直線與曲線相交于點D，E，弦長，求直線的方程．16．已知圓過點三個點．(1)求圓的標準方程；(2)已知，直線與圓相交于A，B兩點，求的最小值．17．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點．(1)證明：；(2)若四棱錐的體積為1，求平面與平面夾角的余弦值．18．已知曲線是平面內到和的距離之和為4的點的軌跡.(1)求曲線的方程；(2)過點作斜率不為0的直線交曲線于A，B兩點，交直線于點，過點作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點，直線交軸于點，求線段中點的坐標.19．如圖，在四棱柱中，側棱底面，，，，，，(1)求證：平面(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的值(3)現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式．（直接寫出答案，不必說明理由）.

答案1．【正確答案】B【詳解】直線的斜率為，對應傾斜角為.故選：B2．【正確答案】B【詳解】當時，，解得或，當時，兩直線分別為，符合題意，當時，兩直線分別為符合題意，所以“”是“∥”的充分不必要條件故選：B3．【正確答案】D【詳解】在方向上的投影向量的模長為.故選：D4．【正確答案】B【詳解】解：圓，則圓心，半徑，圓，則圓心，半徑，得兩圓的圓心距為：，則，得兩圓相交，得兩圓的公切線有且僅有2條．故選：B5．【正確答案】B【詳解】連接交于，連接，由四棱錐是正四棱錐，則平面，且.以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由，不妨設，則，在中，，則，則，，則，由異面直線與所成角為銳角，所求余弦值為.故選：B.6．【正確答案】B【詳解】當直線斜率不存在時，由對稱性可知，此時直線被橢圓所截得的線段AB的中點在軸上，而已知是線段AB的中點，不在軸上，不滿足題意.故直線斜率存在，可設斜率為，則直線的方程為，即，代入橢圓的方程化簡得，所以，解得，故直線方程為，即.故選：B.7．【正確答案】D【詳解】解法1：設正方體棱長為，則球的半徑為，∵平面截此球所得的截面的面積為，∴截面圓的半徑為，由題意，球心與的距離為，設到平面的距離為，是邊長為的等邊三角形，，由得，可得，，由平面，所以球心到平面的距離為，∴，∴，即正方體棱長為；解法2：設正方體棱長為，內切球與正方體各面的切點，恰好為等邊三角形各邊的中點，截面圓為等邊三角形的內切圓，又因為平面截此球所得的截面的面積為，所以截面圓的半徑為，，所以，整理得，故截面圓的半徑，解得，即正方體棱長為．故選：D．8．【正確答案】C【分析】由題意可得相應點的坐標，結合題意可得切線與直線的斜率，列式求解即可.【詳解】由題意可知：，令代入橢圓方程可得，不妨設，則切線，即，可知直線的斜率，切線的斜率，由題意可知：，即.故選C.【關鍵點撥】由根據題意可得切線，即可得切線斜率.9．【正確答案】BCD【詳解】.A選項，由于，所以與是不是共線向量，A選項錯誤.B選項，關于軸的對稱點的坐標是，即縱坐標不變，橫坐標和豎坐標相反，所以B選項正確.C選項，與夾角的余弦值是,C選項正確.D選項，與同向的單位向量是,D選項正確.故選：BCD10．【正確答案】ACD【詳解】A選項，圓的圓心為，半徑為，由于且為弦的中點，所以，所以，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以A選項正確.B選項，直線即，由解得，所以直線過定點.直線即，由解得，所以直線過定點，所以B選項錯誤.C選項，由于，所以，所以在以為直徑的圓上，線段的中點為，，所以在圓上，整理得，所以C選項正確.D選項，由上述分析可知，在圓上，在圓上，兩個圓的圓心分別為、，圓心距為，兩圓外離，所以的最小值為，所以D選項正確.故選：ACD11．【正確答案】BD【詳解】A選項，因為，所以，此時，故橢圓的離心率為，越大，越大，橢圓C越扁，A錯誤；B選項：因為，則，又因為，則，故，又因為，解得，，故，B正確；C選項：當時，橢圓C：且F1?1,0，當過的直線斜率為0時，此時A在軸上，不符合要求，舍去，設過的直線的方程為，因為點A在軸的上方，且，所以直線的斜率大于0，聯(lián)立得，，設Ax1,y1則，，所以，解得，負值舍去，所以直線的方程的斜率為，C錯誤；D選項：設Px0,y0則，同理可得，由，得，故，則，又因為，，故，D正確；故選：BD.12．【正確答案】異面【詳解】假設直線共面，平面，由，則平面，同理，平面，故共面，這與是三棱錐矛盾，故假設錯誤，故直線異面.故異面.13．【正確答案】5【詳解】由題得，由題得軸，當時，，所以,所以,所以是的5倍.故514．【正確答案】【詳解】圓的圓心為，半徑為，根據切線長的知識可知，所以，當且僅當時等號成立.所以最小值為.故

15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，解得，，橢圓方程為.（2）設直線：，，聯(lián)立并整理得，，，，解得，符合，直線方程為，即．16．【正確答案】(1)(2)4【詳解】（1）設圓的方程為，代入各點得：，所求圓的一般方程為：標準方程為.（2）把代入直線方程得：，即，令，可得，所以直線過定點．又，所以定點在圓內，當時，AB最小，此時，，則.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為平面，且平面，所以，又，即，以分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，由為的中點，得，，所以，所以，所以（2）由四棱錐的體積為，梯形的面積為，所以所以，可得，所以，，，，設平面的法向量為，所以設平面的一個法向量為，所以，平面與平面夾角的余弦值為．18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由橢圓定義可知軌跡為橢圓，設曲線的方程，則，，，，，曲線的方程；（2）方法一：直線的斜率存在且不為0，設直線方程為，聯(lián)立，整理得3+4k2，設Ax1,y1直線交直線于，則，所以直線的方程為，，令，解得，則，所以直線的方程為，，令，解得，則，，所以線段中點的坐標為1,0.方法二：直線的斜率存在且不為0，設直線方程為，聯(lián)立，整理得，，設Ax1,y1直線交直線于，則，所以直線的方程為，，令，解得，則，同理可得，，所以線段中點的坐標為1,0.19．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)3種，．【詳解】（1）取的中點，連接，因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，且，所以，所以，所以，又因為，所以．因為側棱底面，平面，所以，因為，平面，所以平面．（2）以為坐標原點，、、的方向為軸的正方向建立空間直角坐標