高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019選擇性必修一）第21講223兩條直線的位置關(guān)系

2.2.3兩條直線的位置關(guān)系TOC\o"13"\h\u題型1平行垂直關(guān)系的判定 ①當(dāng)所求直線與已知直線Ax＋By＋C＝0平行時(shí)，可設(shè)所求直線為Ax＋By＋λ＝0(λ為參數(shù)，且λ≠C)，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程．◆類型1由斜率求直線方程【例題41】平行于直線y=?12A．2xy3=0 B．2x+y5=0 C．x2y=0 D．x+2y4=0【答案】D【解析】由題意可知，所求直線的斜率k=?12，故所求直線方程為y1=?12(x2)【變式41】1.（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A?3,0，B3,0，C3,3，若直線l：A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3【答案】B【分析】根據(jù)三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)得出重心與外心，求出三角形歐拉線，根據(jù)直線平行得解.【詳解】由△ABC的頂點(diǎn)A?3,0，B3,0△ABC重心為?3+3+33,又三角形為直角三角形，所以外心為斜邊中點(diǎn)?3+32,0+3所以可得△ABC的歐拉線方程y?1x因?yàn)閍x+a2所以a1解得a=?1故選：B【變式41】2.（2023秋·廣東廣州·高二廣州市培正中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)A(1,3),(1)BC邊上的中線所在直線的方程；(2)BC邊上的高所在直線方程；(3)BC邊的垂直平分線的方程.【答案】(1)x(2)4(3)8【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線方程即可；（2）BC邊上的高和BC垂直，利用兩直線垂直的斜率關(guān)系即可；（3）利用垂直平分線經(jīng)過BC的中點(diǎn)，且和BC垂直求解即可.【詳解】（1）B∴BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1所以BC邊上的中線所在直線的方程：x（2）BC的斜率：kBC所以BC邊上的高所在直線方程的斜率：kBC邊上的高所在直線方程：y即：4x（3）由前兩問知：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,12)BC邊的垂直平分線的斜率：k=?4BC邊的垂直平分線的方程:y即：8◆類型2由一般式求直線方程【例題42】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，且平行于直線2xA．2x?3y+4=0 B．2x?3【答案】A【分析】先設(shè)出平行于直線2x?3y【詳解】平行于直線2x?3y又所求直線過點(diǎn)1,2，則2×1?3×2+?=0，解之得則所求直線為2x故選：A【變式42】1.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求經(jīng)過直線l1：3x+2y?1=0和l2：【答案】3【分析】解方程組3x+2y?1=05x+2【詳解】解方程組3x+2y?1=05設(shè)直線l的方程為3x則?3?10+C=0，解得所以直線l的方程為3x【變式42】2.（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)?1,3且平行于直線2xA．2x?3y+11=0 B．3x+2【答案】A【分析】先設(shè)出平行于直線2x?3y【詳解】平行于直線2x?3又所求直線過點(diǎn)?1,3則2×(?1)?3×3+?=0，解之得則所求直線為2故選：A【變式42】3.（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）直線l:x+3y【答案】5π6【解析】由直線方程求出斜率，根據(jù)直線傾斜角與斜率關(guān)系求出傾斜角，由直線平行求出待求直線斜率，點(diǎn)斜式即可求出.【詳解】由l:x+所以k=tan由0≤α<π過2,0點(diǎn)且與直線l平行的直線斜率為?3所以y=?即x+故答案為：5π6題型5由垂直關(guān)系求直線方程【方法總結(jié)】當(dāng)所求直線與已知直線Ax＋By＋C＝0垂直時(shí)，可設(shè)所求直線為Bx－Ay＋λ＝0(λ為參數(shù))，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程．◆類型1由斜率求直線方程【例題51】已知直線l在y軸上的截距為1，且垂直于直線y＝eq\f(1,2)x，則l的方程是________．【答案】y＝－2x＋1【解析】所求直線的斜率k＝－2，故所求直線方程為y＝－2x＋1.【變式51】1.（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測）已知A1,1【答案】2【分析】先求出直線AB的斜率與AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程求解即可.【詳解】因?yàn)锳1,1,B所以AB的垂直平分線的斜率為?2，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為3,2，故線段AB的垂直平分線的方程為：y?2=?2(x?3)故答案為：2x【變式51】2.（2022秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知△ABC的頂點(diǎn)A(5，1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x?y?5=0，(1)求直線AC的方程；(2)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo).【答案】(1)2(2)(4,3).【分析】（1）方法一：由題意求出kBH=12，則kAC=?2，再利用點(diǎn)斜率可求出直線AC的方程；方法二：由題意設(shè)直線AC的方程為2x（2）聯(lián)立直線AC與直線CM的方程可求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo).【詳解】（1）方法一：由AC邊上的高BH所在直線方程為x?2y?5=0所以kAC又A(5，1)，所以AC邊所在直線方程為y?1=?2(x方法二：由AC邊上的高BH所在直線方程為x?2故可設(shè)直線AC的一般式方程為：2x把A(5，1)的坐標(biāo)代入上述方程，得：c所以AC邊所在直線方程為:2x（2）聯(lián)立直線AC與直線CM的方程得，2x+所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,3).◆類型2由一般式求直線方程【例題52】（2023春·廣西南寧·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）直線l過點(diǎn)?1,2且與直線2x?3yA．2x?3yC．3x+2y【答案】C【分析】求出直線l的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可寫出直線l的方程，化為一般式可得出答案.【詳解】直線2x?3y+4=0的斜率為23因此，直線l的方程為y?2=?32故選：C.【變式52】1.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，且與直線2xA．x?2y+3=0 B．x+2y?3=0【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出所求的直線方程，利用待定系數(shù)法求解作答.【詳解】設(shè)與直線2x+y?10=0垂直的直線方程為x?2所以所求的直線方程為x?2故選：A【變式52】2.（2022春·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？计谥校┣蠼?jīng)過直線l1:3x（1）與直線2x（2）與直線2x【答案】（1）2x+3y【解析】（1）先求出M，再設(shè)所求的直線為2x+3y+c（2）設(shè)所求的直線為3x?2y+b【詳解】（1）由題意知：聯(lián)立方程組3x+4y因?yàn)樗笾本€與直線2x故設(shè)所求直線的方程為2x代入(?1,2)，解得c=?4，即所求直線方程為（2）設(shè)與2x+3因?yàn)檫^點(diǎn)(?1,2)，代入得b=7故所求直線方程為3【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求法，注意根據(jù)平行或垂直關(guān)系合理假設(shè)直線方程，本題屬于容易題.【變式52】3.（2021春·北京·高二統(tǒng)考期末）(1)直線l1:2x+m+1y+4=0與直線l2:mx+3y?2=0平行,求實(shí)數(shù)m的值；（2）求過直線【答案】（1）m=2或m=?3；（2）【分析】（1）利用兩條直線平行的條件列方程，由此求得m的值；（2）先求得兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求得所求直線方程.【詳解】（1）由于兩條直線平行，故2×3?mm+1=0，解得（2）由3x+4y?2=02x+故所求與之垂直的直線斜率為?2，由點(diǎn)斜式得y?2=?2x+2故要求的直線方程為2x題型6過交點(diǎn)的直線系方程【方法總結(jié)】過兩直線交點(diǎn)的直線系方程過直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,交點(diǎn)的直線方程為A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2=0）=0（λ為參數(shù)，不包含l2）【例題6】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）過兩直線l1:xA．3x19y=0 B．19x3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【分析】設(shè)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為x?3y+4+【詳解】設(shè)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為x?3代入原點(diǎn)坐標(biāo)，得4+5λ=0，解得故所求直線方程為x?3y+4?故選：D.【變式61】1.（2022秋·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線l1的方程為2x+2y?5=0，若直線l2在(1)求直線l1和l(2)已知直線l3經(jīng)過l1與l2的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積為25【答案】(1)（1,3(2)x+y?【分析】（1）由l1⊥l2，可得直線l2（2）由題意知l3的斜率k存在，設(shè)l【詳解】（1）（1）因?yàn)閘1⊥l2，又直線所以直線l2的斜率k2=1由y所以直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2）由題意知l3的斜率k存在，設(shè)令x=0得y=32?因?yàn)橹本€l3與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交，所以32?由S=12?即l3:x【變式61】2.（2023·全國·高三對口高考）已知△ABC中，B1,2，BC邊上的高線AD方程為x?2y+1=0，角A平分線方程為y【答案】AC：y=?x?1，【分析】由AD的斜率求出BC的斜率，利用點(diǎn)斜式求出BC的方程，依題意AC與AB關(guān)于x軸對稱，設(shè)A(a,0)，又點(diǎn)A在直線AD上，代入求出a，即可求出直線AB【詳解】因?yàn)锽C邊上的高線AD所在直線的方程為x?2則kAD=12，∴k即2x∵∠BAC的平分線所在直線方程為y=0，則AC與AB關(guān)于x軸對稱，∴設(shè)又點(diǎn)A在直線AD上，∴a?0+1=0，∴a點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2)．∴直線AB方程為：y=x+1又AC與AB關(guān)于x軸對稱，所以直線AC的方程為y=?所以直線AC的方程為：y=?x?1，直線BC

【變式61】3.（2023春·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)校考期中）已知直線l經(jīng)過兩條直線l1:x+y?1=0與l2:x?y【答案】x=?2或【分析】利用聯(lián)立兩條直線方程得出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩條直線的夾角公式及直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】由x+y?1=0所以P?2,3設(shè)直線l的斜率為k，則3?k1+所以直線l的方程為y?3=33當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=?2所以直線l的方程為x=?2或x【變式61】4.（2023春·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校┻^點(diǎn)P3,0作一條直線l，它夾在兩條直線l1：2x?y?2=0和l2A．8x+yC．8x+y【答案】B【分析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，不符合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為y=kx?3，進(jìn)而得出交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)【詳解】如果直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：x=3所以直線斜率存在設(shè)為k，則直線l方程為y=聯(lián)立直線l1得：y聯(lián)立直線l2得：，y所以直線l與直線l1，直線l3k又直線l夾在兩條直線l1和l2之間的線段恰被點(diǎn)所以3k解得：k=8所以直線l的方程為：8x故選：B.【變式61】5．（2023春·上海楊浦·高二?？计谥校┰凇鰽BC中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,3，∠C的平分線所在直線的方?為l1：2x?y+1=0(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求邊BC所在直線的一般式方程．【答案】(1)?1,?1(2)7【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為a,由已知點(diǎn)a,b在直線2x又線段AC的中點(diǎn)為a+3點(diǎn)a+32,b+3解得a=?1,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為?1,?1；（2）由已知點(diǎn)A3,3關(guān)于直線2x?y+1=0所以2×m+32?n所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為?1所以直線BC的斜率為235所以直線BC的方程為y+1=7x+1題型7取值范圍問題【例題7】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若直線ax+y?4=0A．a(chǎn)<?1或a>2 B．a(chǎn)>?1 C．a(chǎn)【答案】D【分析】先求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題意列出不等式組，求解即可.【詳解】聯(lián)立ax+y?4=0因?yàn)橹本€ax+y?4=0所以6a+1>0故選：D【變式71】1.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線2x+my【答案】(?∞,?2)∪(?2,+∞)【分析】根據(jù)兩直線相交的條件即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€2x+my+1=0與直線所以m+2≠0，解得m所以m的取值范圍為(?∞,?2)∪(?2,+∞).故答案為：(?∞,?2)∪(?2,+∞)【變式71】2.（2021秋·北京·高二校考期中）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①“m=1”是“直線mx+y②直線ax+2y+6＝0與直線x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0互相平行，則a＝﹣1③經(jīng)過點(diǎn)（1，1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y﹣2＝0④設(shè)直線l的方程為3x?ysinA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行與垂直的判定方法判斷①②，根據(jù)直線的截距式方程可判斷②，根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系可判斷④.【詳解】①：當(dāng)m=1時(shí)，直線x+y=1與直線x?y=1互相垂直；當(dāng)m=0時(shí)，直線y=1②：由直線ax+2y+6=0與直線x解得a=?1或a=2，當(dāng)a=2時(shí)，直線2所以a=?1③：經(jīng)過點(diǎn)(1，1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y?2=0故③錯(cuò)誤；④：當(dāng)直線斜率不存在即傾斜角α為π2時(shí)，直線方程為x=?233，符合題意；當(dāng)斜率存在即sin所以k∈(?∞，?3]∪[3，+∞)，由k故選：B【變式71】3.(多選)（2022·