2024年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷（解析版）

2024年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有

一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】

1.（4分）下列根式中，?的同類二次根式是（）

A.V6B.V30C.412D.^/18

【分析】將各式化為最簡二次根式后判斷被開方數(shù)是否相同即可.

【解答】解：遍與遙不是同類二次根式，則A不符合題意；

倔與我不是同類二次根式，則8不符合題意；

校工=2時，它與%不是同類二次根式，則C符合題意；

近§=3加，它與遂不是同類二次根式，則。不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查同類二次根式，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

2.（4分）已知a>6,下列不等式成立的是（）

A.-a>-bB.2-a<2-bC.2a<2bD.a-b<0

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項判斷即可.

【解答】解：已知a>b,

兩邊同乘-1得--b,則A不符合題意；

兩邊同乘-1,再同時加2得2-a<2-"則8符合題意；

兩邊同乘2得2a>26,則C不符合題意；

兩邊同時減b得a-6>0,則。不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查不等式的性質(zhì)，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握.

3.（4分）如果左<0,b<0,那么一次函數(shù)>=依+6的圖象不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系進行判斷即可.

【解答】解：當(dāng)一次函數(shù)％<0,b<0,經(jīng)過第二三四象限，不經(jīng)過第一象限，

故選：A.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

4.（4分）已知一組數(shù)據(jù)°,2,4,1,6的中位數(shù)是4,那么a可以是（）

A.0B.2C.3D.5

【分析】當(dāng)總數(shù)個數(shù)是奇數(shù)的話，按從小到大的順序，取中間的那個數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù).

而一組數(shù)a,2,4,1,6的中位數(shù)是4,所以前3個數(shù)是1,2,4,那么剩下的兩個就是

a,6,這樣就知道a與4的大小關(guān)系.

【解答】解：根據(jù)題意，得

a,2,4,1,6的中位數(shù)是4,所以前3個數(shù)是1,2,4,那么剩下的兩個就是a,6,

所以a可以是大于或大于4的任意一個數(shù).

故選：D.

【點評】本題考查了中位數(shù)的意義.如果總數(shù)個數(shù)是奇數(shù)的話，按從小到大的順序，取中

間的那個數(shù)；如果總數(shù)個數(shù)是偶數(shù)個的話，按從小到大的順序，取中間那兩個數(shù)的平均

數(shù).

5.（4分）下列命題中，真命題的是（）

A.四條邊相等的四邊形是正方形

B.四個內(nèi)角相等的四邊形是正方形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是正方形

D.對角線互相垂直的矩形是正方形

【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可.

【解答】解：A、四條邊相等的四邊形是菱形，不一定是正方形，故本選項命題錯誤，不

符合題意；

8、四個內(nèi)角相等的四邊形是矩形，不一定是正方形，故本選項命題錯誤，不符合題意；

C、對角線互相垂直的平行四邊形是是菱形，不一定是正方形，故本選項命題錯誤，不符

合題意；

。、對角線互相垂直的矩形是正方形，命題正確，符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查的是命題的真假判斷,正確的命題叫真命題,錯誤的命題叫做假命題.判

斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

6.（4分）如圖，在△ABC中，AB^AC,120°,將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，點

4、B分別落在點D、E處，如果點A、。、E在同一直線上，那么下列結(jié)論錯誤的是（)

A.ZAZ）C=60°B.ZACZ）=60°C.ZBCD=ZECDD./BAD=/BCE

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABCgZXOEC,則CD=CA,ZBAC=ZEDC=nO°,得

出NADC=60°,進而得出△AOC是等邊三角形，即可判斷選項A,B,。結(jié)論正確.

【解答】解：：將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，點A、B分別落在點。、E處,

/.△ABC^ADEC,

：.CD=CA,ZBAC=ZEDC=12Q°,得

：.ZADC=60°,故A正確；

J.AADC是等邊三角形，

：.ZACD=6Q°,故8正確，

：.ZDAC=60°,ZBAE=60°,

VZBCE=ZAC￡>=60°,

；./BAD=/BCE,故。正確；

:NECD=NBCA,2C不一定平分NAC￡）,

/BCD不一定等于/ECZ）,

故選：C.

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的想知識解題關(guān)鍵.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位

置上】

7.（4分）計算：6a3+2/=3a.

【分析】根據(jù)整式除法的運算法則計算即可.

【解答】解：6a342/=3°.

故答案為：3a.

【點評】本題考查了整式的除法，熟練掌握整式除法的運算法則是關(guān)鍵.

8.（4分）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解3=（X+E）（x-、質(zhì)）_.

【分析】根據(jù)平方差公式分解因式即可.

【解答】解：<-3=付用吐用

故答案為“小四卜?

【點評】本題考查了實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，掌握/-廿=（a+b）（a-b）是解題的關(guān)鍵.

9.（4分）函數(shù)丫二^^的定義域是無>1.

Vx<

【分析】本題考查了函數(shù)式有意義的x的取值范圍.一般地從兩個角度考慮：分式的分

母不為0;偶次根式被開方數(shù)大于或等于0;當(dāng)一個式子中同時出現(xiàn)這兩點時，應(yīng)該是取

讓兩個條件都滿足的公共部分.

【解答】解：根據(jù)題意得到：%-1>0,

解得尤>1.

故答案為：x>l.

【點評】判斷一個式子是否有意義，應(yīng)考慮分母上若有字母，字母的取值不能使分母為

零，二次根號下字母的取值應(yīng)使被開方數(shù)為非負數(shù).易錯易混點：學(xué)生易對二次根式的

非負性和分母不等于0混淆.

10.（4分）如果關(guān)于尤的方程/-6x+m=0有兩個實數(shù)根，那么m的取值范圍是.

【分析】由方程有兩個實數(shù)根結(jié)合根的判別式，即可得出八=36-4M20,解之即可得出

m的取值范圍.

【解答】解：:?關(guān)于x的方程7-6了+冽=0有兩個實數(shù)根，

/.A=（-6）2-4"7=36-4機20,

解得：mW9.

故答案為：m^9.

【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)△》（）時，方程有兩個實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.

11.（4分）布袋中有大小、質(zhì)地完全相同的5個小球，每個小球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,

4,5,如果從布袋中隨機抽一個小球，那么這個小球上的數(shù)字是合數(shù)的概率是1.

一5一

【分析】直接由概率公式求解即可.

【解答】解：?..布袋中有大小、質(zhì)地完全相同的5個小球，每個小球上分別標(biāo)有數(shù)字1,

2,3,4,5,其中4是合數(shù)，

???從布袋中隨機抽一個小球，這個小球上的數(shù)字是合數(shù)的概率是」,

5

故答案為：1.

5

【點評】本題考查了概率公式以及合數(shù)，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況

數(shù)之比.

12.（4分）若反比例函數(shù)ydzl的圖象在每一個象限中，y隨著x的增大而減小，則根的

取值范圍是力>1.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得m-1>0,再解不等式即可.

【解答】解：??,圖象在每一個象限中y隨著工的增大而減小，

.\m-1>0,

解得：m>l,

故答案為：m>1.

【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握對于反比例函數(shù)鼠#0）,

X

（1）k>0,反比例函數(shù)圖象在一、三象限；（2）k<0,反比例函數(shù)圖象在第二、四象限

內(nèi).

13.（4分）根據(jù)上海市統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，上海市2021年的地區(qū)生產(chǎn)總值約是4.32萬億，2023年

的地區(qū)生產(chǎn)總值約是4.72萬億，設(shè)這兩年上海市地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率都為%,

根據(jù)題意可列方程4.32（1+x）2=4.72.

【分析】根據(jù)上海市2021年的地區(qū)生產(chǎn)總值約是4.32萬億，2023年的地區(qū)生產(chǎn)總值約

是4.72萬億，列方程即可.

【解答】解：根據(jù)題意得，4.32（1+無）2=4.72,

故答案為：4.32（1+x）2=4.72.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)

出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程.

14.（4分）如圖，在平行四邊形A3C。中，E是邊的中點，CE與對角線BO相交于點

F,設(shè)向量AB=a，向量BC=b，那么向量BF=_Zb上a—?（用含a、b的式子表示）

—3D3

【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求解.

【解答】解：：量屈=1向量前=總

...—?—?

BD=BA+BC=_a+b，

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

J.DE//BC,

ADEFSBCF,

?DEDF

"BC"BF，

是邊A。的中點，AD^BC,

???D-E=:--D-F=--1,

BCBF2

:.BF=2LBD,

3

.—?2-*2—2f

ooo

故答案為：

33

【點評】本題考查了平面向量，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確得出

8尸=工8。是解題的關(guān)鍵.

3

15.（4分）近年來越來越多的“社區(qū)食堂”出現(xiàn)在街頭巷尾，它們是城市服務(wù)不斷豐富的縮

影.已知某社區(qū)食堂推出了15元、18元、20元三種價格的套餐，每人限購一份.據(jù)統(tǒng)

計，3月16日該食堂銷售套餐共計160份，其中15元的占總份數(shù)的40%,18元的賣出

40份，其余均為20元，那么食堂這一天賣出一份套餐的平均價格是17.5元.

【分析】分別用單價乘以相應(yīng)的百分比，計算即可得解.

【解答】解：其中18元的占總份數(shù)的40+160=25%,

其中20元的占總份數(shù)的1-40%-25%=60%,

15X40%+18X25%+20X60%=17.5（元），

即食堂這一天賣出一份套餐的平均價格是17.5元.

故答案為：17.5.

【點評】本題考查了百分數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出相應(yīng)的百分比.

16.（4分）如圖，在RtZxABC中，ZC=90°,48的垂直平分線交邊8C于點。，如果8。

=4CD,那么tanB=H.

—5―

【分析】連接AD,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知根據(jù)勾股定理求出AC的值,

即可求解tanB.

設(shè)CO=無，貝!]B￡)=4x,BC=5x,

'：AB的垂直平分線交邊BC于點D,

.,.AD=DB=4x,

-,-AC=7AD2-CD2=V(4x)2-x2=JiEx，

tanB=—=,

BC5

故答案為：運.

5

【點評】本題考查解直角三角形，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.

17.(4分)如圖，已知一張正方形紙片的邊長為6厘米，將這個正方形紙片剪去四個角后

成為一個正八邊形，那么這個正八邊形的邊長是_(6如-6)厘米.

【分析】根據(jù)正方形和正八邊形的性質(zhì)以及勾股定理列方程求解即可》

【解答】解：如圖，設(shè)EF=:v厘米，則AE=AQ=反三=(3-—x)厘米,

22

由勾股定理得，

A^+AEp-^QE2,

即(3-1x)2+(3-Ax)2=x2,

22

解得尤=6&-6,或尤=-6&-6(舍去)，

即正八邊形的邊長為(672-6)厘米，

故答案為：(672-6).

D

N

M

C

【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正方形，正八邊形的性質(zhì)以及勾股定理是正確解

答的關(guān)鍵.

18.(4分)已知矩形ABC。中，AB=5,以AD為半徑的圓A和以CD為半徑的圓C相交

于點。、E,如果點￡到直線BC的距離不超過3,設(shè)的長度為相，則根的取值范圍

是.

-2

【分析】如圖，當(dāng)E在48的左側(cè)時，連接AC,AE,CE,過E作ER_LBC于R,作ES

于S,如圖，當(dāng)E在的右側(cè)時，連接AC,AE,CE,過E作EH_L8c于”，交

AD于。，再分別求解機的值，從而得到答案.

【解答】解：如圖，當(dāng)E在48的左側(cè)時，連接AC,AE,CE,過E作ER_L8C于R,作

ESLAB于S,

:已知矩形ABC。，AB=5,AD=m,

四邊形ERBS為矩形，AD=CB=m,AB=CD=5,

:ES=BR,ER=BS=3,

：.AS=5-3=2,

VA,C為圓心，

：.AC是DE的垂直平分線，

AD=AE=m,CD=CE=5,

,:ER=3,

,'-C7?=V52-32=4,

；?ES=BR=4-m,

在Rt^AES中，《?=（4-機）2+22,

解得：力=S,

2

如圖，當(dāng)E在AB的右側(cè)時，連接AC,AE,CE,過E作EH_LBC于H,交于Q,

:已知矩形ABC。，AB=5,AD=m,

：.AD=CB=m,AB=CD=5,四邊形CDQH為矩形，

；.QH=Cr）=5,

同理可得：

AD=AE=m,CD=CE=5,

■:EH=3,

?**QD=CH=JCE2-EH2=4,

.\AQ=m-4,

：EQ=5+3=8

在RtZ\4EQ中,在=(m-4)2+82,

1，E

.,.m=10,

綜上所述：點E到直線BC的距離不超過3,則SWmWlO；

2

故答案為：

2

【點評】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，兩圓的位置關(guān)系，線段的

垂直平分線的性質(zhì)等，確定臨界點是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

_L=

19.（10分）計算：（正-1）」+（3）

【分析】根據(jù)實數(shù)的運算和指數(shù)幕運算法則計算即可.

【解答】解:原式=1+1-3V3+V3-1

當(dāng)十2a

1-3五

~2~

【點評】本題考查的是實數(shù)的運算和指數(shù)幕，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵.

x+2y=12

（分）解方程組：

20.10J99

xz_4xy+4y-4=0

【分析】先化簡組中的第二個方程，得兩個二元一次方程與組中的第一個方程得新方程

組，求解即可.

【解答】解：，,

x2-4xy+4y'-4=0②

由②，得（x-2y）2=4,

-2y=±2.

當(dāng)x+2y=12,x-2y=2時，

x=7,y=2.5；

當(dāng)x+2y=12,x-2y=-2時，

x=5,y=3.5.

...原方程組的解為1x=7或［'=5.

|y=2.5|y=3.5

【點評】本題考查了二元二次方程組，把組中的二元二次方程化為一元一次方程，掌握

二元一次方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵.

21.（10分）如圖，已知在△ABC中，A2=AC=9,c°sB=返，點G是△ABC的重心，延

3

長AG交邊3c于點。，以G為圓心，G4為半徑的圓分別交邊AB、AC于點￡、F.

（1）求AG的長；

（2）求8E的長.

【分析】（1）由重心的性質(zhì)得到D是BC中點，AG=1AD,由銳角的余弦求出BD=3

3

庭,由勾股定理求出A〃={AB2_BD2=6,得到AG=g><6=4；

（2）連接EG,過G作G//LAE于X,由等腰三角形的性質(zhì)得到由銳角的余

弦求出AH的長，即可得到AE的長，即可得到BE的長.

【解答】解：（1）是AABC的重心，

???。是3。中點，AG=2AD,

3

*：AB=AC,

：.ADLBC,

：8$2=理=近＞,AB=9,

AB3

:.BD=3辰,

22

；?AO=VAB-BD=6，

；.AG=Zx6=4；

3

(2)連接EG,過G作G8_LAE于X,

:GA=GE,

：.AE=2AH,

:NAHG=NADB=90°,NGAH=/BAD,

：.NAGH=/B,

cosZAGH—cosB—^-^-,

_3

?GH=V5

"AG~

：AG=4,

：.GH=ML,

3

AH=22

VAG-GH=4，

；.AE=2AH=li,

3

:.BE=9-

33

【點評】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的重心，關(guān)鍵是由重心的性

質(zhì)得到AG=2AD,由銳角的余弦求出G8的長.

3

22.（10分）寒假期間，小華一家駕車去某地旅游，早上6：00點出發(fā)，以80千米/小時的

速度勻速行駛一段時間后，途經(jīng)一個服務(wù)區(qū)休息了1小時，再次出發(fā)時提高了車速.如

圖，這是她們離目的地的路程y（千米）與所用時間x（小時）的函數(shù)圖象.

根據(jù)圖象提供的信息回答下列問題：

（1）圖中的a=3,b=320；

（2）求提速后y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不用寫出定義域）；

（3）她們能否在中午12：30之前到達目的地？請說明理由.

【分析】（1）根據(jù)圖象求出a的值，根據(jù)“離目的地的路程=家與目的地之間的距離-

行駛的路程”可計算b的數(shù)值；

（2）利用待定系數(shù)法求解即可；

（3）當(dāng)y=0時求出對應(yīng)尤的值，計算出到達目的地的時間，從而作出判斷即可.

【解答】解：（1）“=2+1=3,6=480-80X2=320,

故答案為:3,320.

（2）設(shè)提速后y關(guān)于x的函數(shù)解析式為（鼠6為常數(shù)，且左#0）.

將坐標(biāo)（3,320）和（5,120）代入y=fcc+b,

得［3k+b=320,

%k+b=120'

解得1700,

lb=620

二提速后y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-100.r+620.

（3）能.理由如下:

當(dāng)她們到達目的地時，y=0,

得-100x+620=0,

解得x=6.2,

6.2小時=6時12分，

她們于12：12分到達目的地.

【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是本題的關(guān)鍵.

23.（12分）已知：如圖，在梯形中，AD//BC,AB=CD,BD=BC,NOBC的平分

線交AO延長線于點E,交CD于點F.

(1)求證：四邊形8CED是菱形；

(2)聯(lián)結(jié)AC交于點G,如果AC1.CE,求證：AB2=AG-AC.

【分析】(1)根據(jù)角平分線定義可得即=/。8尸，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

DEF,等量代換可得于是BD=DE,又因為BC〃。區(qū)所以四邊形8CED

是平行四邊形，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；(2)如圖，設(shè)

BD與AC交于點H,根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得NABC=4DC2,根據(jù)BD=BC,可得/

BCD=ZBDC,根據(jù)菱形的性質(zhì)和垂直的定義可得/Z)FG=90°,ZDHG=90°,根據(jù)

四邊形的內(nèi)角和為360°,可得/BDC+/HGF=180°,又因為NBGA+/”GF=180°,

可得/2GA=N2r>C,于是NA3C=/3G4,再根據(jù)NA4C=/G42即可得到△ABCs4

AGB,利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等即可得證.

【解答】證明：(1);臺/平分/0臺0

：.ZDBF=ZCBF,

'：AD//BC,

:.NCBF=NDEF,

：./DBF=ZDEF,

：.BD=DE,

'：BC//DE,

，四邊形BCED是平行四邊形，

?：BD=BC,

???平行四邊形BCED是菱形;

(2)如圖，連接AC,交BD于點H,交BE于點G,

AD

BC

在梯形ABC。中，AD//BC,AB=CD.

：.NABC=NDCB,

■:BD=BC,

：.ZBCD=ZBDC,

：.ZABC=ZBDC,

???四邊形5CED是菱形，

J.BELCD,BD//CE,

：.ZDFG=90°,

9：AC±CE,

：.AC±BD,

：.ZDHG=90°,

?；/BDC+/HGF+/DHG+NDFG=360°,

.'.ZBDC+ZHGF=180°,

：.ZBGA+ZHGF=1SO°,

：.ZBGA=ZBDC,

：.ZABC=ZBGA,

9：ZBAC=ZGAB,

：.AABC^AAGB,

???—AB~—AC,

AGAB

：.AB2=AG'AC.

【點評】本題考查了等腰梯形性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)定理、

相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵.

24.（12分）定義：我們把平面內(nèi)經(jīng)過已知直線外一點并且與這條直線相切的圓叫做這個點

與已知直線的點切圓.如圖1,已知直線/外有一點”，圓。經(jīng)過點H且與直線/相切,

則稱圓。是點》與直線/的點切圓.

閱讀以上材料，解決問題；

已知直線。4外有一點P,PA10A,。4=4,AP=2,圓M是點尸與直線0A的點切圓.

（1）如果圓心M在線段。尸上，那么圓M的半徑長是5土通（直接寫出答案）.

—2—

（2）如圖2,以O(shè)為坐標(biāo)原點、OA為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,點尸在

第一象限，設(shè)圓心M的坐標(biāo)是（x,y）.

①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

②點B是①中所求函數(shù)圖象上的一點，聯(lián)結(jié)BP并延長交此函數(shù)圖象于另一點C.如果

CP-.BP=1：4,求點8的坐標(biāo).

【分析】（1）作MBLx軸于點B,則可證得△OBMS^OAP,從而史坦L,

_OPPA

從而上,從而求得廠；

2V5r

（2）①根據(jù)圓心M到尸的距離等于點P到無軸的距離得出（x-4）2+。-2）2=9，

化簡得出結(jié)果；

②設(shè)點8（如n）,C（a,b）,從而得出w=［（m-4）2+l①，接外，作BZUx軸，作

CE_LB4,交8。于。，可證得從而理即生曳金土」，

CDBDCB5m-an-b5

從而得出。=型工，10-n,代入解析式得出l°-n=L（20-m_）2+i②，由①②

44444

得出加，W,進而得出結(jié)果.

【解答】解：如圖1,

圖1

作MBLc軸于點B,

則MB=MP=r,

:用，x軸，

J.MB//PA,

?OMBM

"OP"PA，

-2V5-r2

???5r-述----，

2_

故答案為：生恒；

2

(2)①由題意得，

圓心M到P的距離等于點P到x軸的距離,

(X-4)2+(y-2)2=y2,

??y=](x-4)2+l;

②如圖2,

設(shè)點5(m,幾),C(〃，b),

?"=!(m-4)2+1/2)，

連接出，作8￡>_Lx軸，作CE_Lfi4,交BD于D,

C.PA//BD,

:.△CEPsMDB,

-CE_PECP_1

"CD"BD"CB"5"

?-?4-----a=---2--~-b-=—1,

m-an-b5

--

?n-20mL_10n

44

10n20m

-=1（-_4）2+1②，

444

由①②得，

iU|=8m?=0

<><，

ri|=5ri2=5

：.B（8,5）或（0,5）.

【點評】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解一元二次

方程等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形.

25.（14分）已知以為直徑的半圓。上有一點C,CDLOA,垂足為點。，點E是半徑

0c上一點（不與點。、C重合），作EFLOC交弧BC于點F,聯(lián)結(jié)。凡

（1）如圖1,當(dāng)小的延長線經(jīng)過點A時，求型的值；

AF

（2）如圖2,作FGLAB,垂足為點G,聯(lián)結(jié)EG.

①試判斷EG與CD的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

【分析】（1）利用垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；

（2）①延長FE交。。于點延長FG交。。于點N,延長CD交于點從連接

MN,OH,ON,OM,利用垂徑定理，三角形的中位線定理得到EG=aMM利用垂徑定

2

理得到CD=DH=LCH,再利用四邊形的內(nèi)角和定理和鄰補角的性質(zhì)得到NAOC=/

2

EFG,再利用相等的圓心角所對的弧相等的性質(zhì)，等弧對等弦的性質(zhì)得到CH=MN,則

結(jié)論可得；

②利用分類討論的方法分三種情況解答：I,當(dāng)EF=EG時，利用全等三角形的判定與

性質(zhì)和勾股定理解答即可；II.當(dāng)尸G=歷時，過點￡作于點"利用直角三

角形的邊角關(guān)系定理和勾股定理解答即可；III.當(dāng)BG=EG時，則EG=4Z,連接FC,

利用矩形的判定與性質(zhì)和勾股定理解答即可.

【解答】解:(1)當(dāng)FE的延長線經(jīng)過點A時，

'JEFLOC,

:.AE=FE=1AF,ZA+ZAOE=90°.

2

'：CD.LOA,

：.ZC+