2025年粵教新版高一數學上冊月考試卷含答案

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年粵教新版高一數學上冊月考試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、【題文】已知函數則函數的圖象是（）

2、已知等比數列中，則()A.6B.﹣6C.±6D.183、經過坐標原點，且與圓（x﹣3）2+（y+1）2=2相切于第四象限的直線方程是（）A.x﹣y=0B.x+y=0C.x﹣7y=0D.x+7y=04、連續(xù)擲兩次骰子得到點數分別為記則（O為坐標原點）的概率為()A.B.C.D.5、一個四棱錐的側棱長都相等，底面是正方形，且其正視圖為如圖所示的等腰三角形，則該四棱錐的體積是(

)

A.433

B.23

C.43

D.83

6、在鈻?ABC

中，內角ABC

所對的邊分別是abc.

已知8b=5cC=2B

則cosC=(

)

A.725

B.鈭?725

C.隆脌725

D.2425

評卷人得分二、填空題(共8題，共16分)7、設x1，x2是方程x2+3x-6=0的兩個根，則=____．8、一個正方體紙盒展開后如圖所示；在原正方體紙盒中有如下結論：

①BM∥ED；

②CN與BE是異面直線；

③CN與BM所成的角為60°；

④DM⊥BN．

其中正確命題的序號是____．

9、已知則cos（3π+α）=____10、在ABC中，若則=____11、【題文】已知在定義域上是減函數，且則的取值范圍是____12、【題文】給出下列四個命題：

1函數與函數的定義域相同；

2命題“”的否定是“”；

3函數y=x3與y=3x的值域相同；

4函數是奇函數。

其中正確命題的序號是___________(把你認為正確的序號都填上)13、已知集合A={a，b，c，d}，集合B={b，c，d，e}，則A∩B=______．14、已知sin(婁脕+婁脨6)=13

則cos(2婁脕鈭?2婁脨3)

的值是______．評卷人得分三、作圖題(共7題，共14分)15、如圖A、B兩個村子在河CD的同側，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設管道費用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設管道的費用最省，并求出其費用．16、作出下列函數圖象：y=17、作出函數y=的圖象．18、以下是一個用基本算法語句編寫的程序；根據程序畫出其相應的程序框圖．

19、某潛艇為躲避反潛飛機的偵查，緊急下潛50m后，又以15km/h的速度，沿北偏東45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏東60°前行8min，最后擺脫了反潛飛機的偵查．試畫出潛艇整個過程的位移示意圖．20、繪制以下算法對應的程序框圖：

第一步；輸入變量x；

第二步，根據函數f（x）=

對變量y賦值；使y=f（x）；

第三步，輸出變量y的值．21、已知簡單組合體如圖；試畫出它的三視圖（尺寸不做嚴格要求）

評卷人得分四、解答題(共4題，共8分)22、已知函數點A、B分別是函數圖像上的最高點和最低點．（1）求點A、B的坐標以及·的值；（2）設點A、B分別在角的終邊上，求tan（）的值．23、若求值:(1)(2)24、（Ⅰ）函數f（x）滿足對任意的實數x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且f（4）=2，求f（）的值；（Ⅱ）已知函數f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（x）在[﹣1，1]上遞增，求不等式f（x+）+f（x﹣1）＜0

的解集．25、若△ABC的三個內角A，B，C滿足cos2A-cos2B=2sin2C；試判斷△ABC的形狀．

（提示：如果需要，也可以直接利用19題閱讀材料及結論）評卷人得分五、證明題(共2題，共20分)26、如圖；已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求證：

（1）AD=AE

（2）PC?CE=PA?BE．27、初中我們學過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據如圖，設計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．評卷人得分六、綜合題(共4題，共20分)28、如圖1；△ABC與△EFA為等腰直角三角形，AC與AE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠AEF=90°，固定△ABC，將△EFA繞點A順時針旋轉，當AF邊與AB邊重合時，旋轉中止．不考慮旋轉開始和結束時重合的情況，設AE；AF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點，如圖2．

（1）問：在圖2中，始終與△AGC相似的三角形有____及____；

（2）設CG=x；BH=y，GH=z，求：

①y關于x的函數關系式；

②z關于x的函數關系式；（只要求根據第（1）問的結論說明理由）

（3）直接寫出：當x為何值時，AG=AH．29、二次函數的圖象的頂點坐標是，它與x軸的一個交點B的坐標是（-2，0），另一個交點的是C，它與y軸相交于D，O為坐標原點．試問：y軸上是否存在點P，使得△POB∽△DOC？若存在，試求出過P、B兩點的直線的解析式；若不存在，說明理由．30、先閱讀下面的材料再完成下列各題

我們知道，若二次函數y=ax2+bx+c對任意的實數x都有y≥0，則必有a＞0，△=b2-4ac≤0；例如y=x2+2x+1=（x+1）2≥0，則△=b2-4ac=0，y=x2+2x+2=（x+1）2+1＞0，則△=b2-4ac＜0．

（1）求證：（a12+a22++an2）?（b12+b22++bn2）≥（a1?b1+a2?b2++an?bn）2

（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值；

（3）若2x2+y2+z2=2；求x+y+z的最大值；

（4）指出（2）中x2+y2+z2取最小值時，x，y，z的值（直接寫出答案）．31、如圖，拋物線y=x2-2x-3與坐標軸交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三點，D為頂點．

（1）D點坐標為（____，____）．

（2）BC=____，BD=____，CD=____；并判斷△BCD的形狀．

（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請寫出符合條件的所有點P的坐標，并對其中一種情形說明理由；若不存在，請說明理由．參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、B【分析】【解析】

試題分析：表示開口向下，對稱軸與軸的交點因此選

考點：函數的圖象.【解析】【答案】B.2、C【分析】【解答】因為，在等比數列中，如果，那么，所以，選C。

【分析】簡單題，在等比數列中，如果，那么，3、B【分析】【解答】解：依題意；設所求直線方程為y=kx，即kx﹣y=0；

圓心到直線的距離為d=解得k=﹣1或k=（舍去）；

∴所求直線方程是x+y=0．

故選：B．

【分析】設所求直線方程為y=kx，即kx﹣y=0，利用圓心到直線的距離等于半徑，結合切點在第四象限，即可得出結論．4、B【分析】【分析】若則所以即連續(xù)擲兩次骰子所得基本事件共有36個，其中滿足的基本事件有共15個，所以所求事件的概率為即故選B.5、A【分析】解：由題意該四棱錐是底面邊長為2

高為3

的正四棱錐；

即四棱錐S鈭?ABCD

中；底面ABCD

是邊長為2

的正方形；

SO隆脥

平面ABCDO

是正方形ABCD

的中心，且SO=3

隆脿

該四棱錐的體積：

V=13隆脕S脮媒路陸脨脦ABCD隆脕SO=13隆脕22隆脕3=433

．

故選：A

．

由題意該四棱錐是底面邊長為2

高為3

的正四棱錐；由此能求出該四棱錐的體積．

本題考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．【解析】A

6、A【分析】解：因為在鈻?ABC

中，內角ABC

所對的邊分別是abc.

已知8b=5cC=2B

所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB

所以cosB=45B

為三角形內角，所以B隆脢(0,婁脨4).C<婁脨2

．

所以sinB=1鈭?cos2B=35

．

所以sinC=sin2B=2隆脕45隆脕35=2425

cosC=1鈭?sin2C=725

．

故選：A

．

直接利用正弦定理以及二倍角公式；求出sinBcosB

然后利用平方關系式求出cosC

的值即可．

本題考查正弦定理的應用，三角函數中的恒等變換應用，考查計算能力，注意角的范圍的估計．【解析】A

二、填空題(共8題，共16分)7、略

【分析】

∵x1，x2是方程x2+3x-6=0的兩個根，∴x1+x2=-3，x1x2=-6．

∴==（x1+x2）=-3×[（-3）2-3×（-6）]=-81．

故答案為-81．

【解析】【答案】利用一元二次方程的根與系數的關系和立方和公式即可得出．

8、略

【分析】

把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體如圖所示；則。

①∵ED⊥AN；AN∥BM，∴BM⊥ED，故①不正確；

②∵四邊形CNEB是平行四邊形；∴CN∥BE，故②不正確；

③根據△BME為正三角形；CN∥BE，可知CN與BM所成的角為60°，故③正確；

④根據DM⊥CN；可知DM⊥BN．故④正確。

故正確的結論為③④．

故答案為：③④

【解析】【答案】先把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體；再根據所給結論進行逐一判定即可．

9、略

【分析】

∵

∴cosα=

cos（3π+α）=cos（π+α）=-cosα=-

故答案為：-．

【解析】【答案】先根據誘導公式求出cosα的值；再對cos（3π+α）根據誘導公式進行化簡，然后將cosα的值代入即可得到答案．

10、略

【分析】【解析】試題分析：根據題意，由于那么可知角故答案為考點：余弦定理【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

試題分析：由題意知解不等式組得的取值范圍是

考點：利用函數的單調性求參數的范圍?！窘馕觥俊敬鸢浮?2、略

【分析】【解析】

1y=ax的定義域為y=logaax=x的定義域為

2命題的否定正確是“”

3y=x3的值域是y=3x的值域是

4

故是奇函數。

故只有14正確【解析】【答案】

1413、略

【分析】解：集合A={a，b；c，d}；

集合B={b；c，d，e}；

所以A∩B={b；c，d}．

故答案為：{b；c，d}．

根據交集的定義寫出A∩B即可．

本題考查了交集的定義與應用問題，是基礎題目．【解析】{b，c，d}14、略

【分析】解：sin(婁脕+婁脨6)=cos(婁脨3鈭?婁脕)=13

隆脿cos(2a鈭?2婁脨3)

=cos(2婁脨3鈭?2婁脕)

=cos[2(婁脨3鈭?婁脕)]

=2cos2(婁脨3鈭?婁脕)鈭?1

=2隆脕19鈭?1

=鈭?79

故答案為：鈭?79

．

首先，化簡已知sin(婁脕+婁脨6)=cos(婁脨3鈭?婁脕)=13

然后，借助于二倍角的余弦公式求解．

本題重點考查了誘導公式、二倍角公式等知識，屬于中檔題．【解析】鈭?79

三、作圖題(共7題，共14分)15、略

【分析】【分析】作點A關于河CD的對稱點A′，當水廠位置O在線段AA′上時，鋪設管道的費用最?。窘馕觥俊窘獯稹拷猓鹤鼽cA關于河CD的對稱點A′；連接A′B，交CD與點O，則點O即為水廠位置，此時鋪設的管道長度為OA+OB．

∵點A與點A′關于CD對稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

過點A′作A′E⊥BE于E；則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：鋪設管道的最省費用為10000元．16、【解答】冪函數y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定義域是[0；+∞），圖象在第一象限，過原點且單調遞增，如圖所示；

【分析】【分析】根據冪函數的圖象與性質，分別畫出題目中的函數圖象即可．17、【解答】圖象如圖所示。

【分析】【分析】描點畫圖即可18、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】根據題目中的程序語言，得出該程序是順序結構，利用構成程序框的圖形符號及其作用，即可畫出流程圖．19、解：由題意作示意圖如下；

【分析】【分析】由題意作示意圖。20、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】該函數是分段函數，當x取不同范圍內的值時，函數解析式不同，因此當給出一個自變量x的值時，必須先判斷x的范圍，然后確定利用哪一段的解析式求函數值，因為函數解析式分了三段，所以判斷框需要兩個，即進行兩次判斷，于是，即可畫出相應的程序框圖．21、

解：幾何體的三視圖為：

【分析】【分析】利用三視圖的作法，畫出三視圖即可．四、解答題(共4題，共8分)22、略

【分析】試題分析：（1）根據的取值范圍得到的取值范圍，然后根據角的取值范圍可以得到在該范圍上的圖像，結合三角函數的圖像性質判斷出最高點最低點，從而可以得到A,B的坐標，進而求得向量的數量積；（2）首先根據任意角的三角函數的定義可以求得與由倍角公式可以得到再利用兩角差的正切公式求的值.（1）∵∴1分∴．2分當即時，取得最大值2；當即時，取得最小值-1．因此，點A、B的坐標分別是．4分∴．5分（2）∵點分別在角的終邊上，∴7分∴8分∴．10分考點：1、三角函數的最值；2、任意角的三角函數；3、兩角差與倍角的正切公式.【解析】【答案】（1）（2）23、略

【分析】

由得2分（1）原式=7分(2)原式=12分【解析】略【解析】【答案】24、解：（Ⅰ）f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2∴2f（2）=2?f（2）=1又∵f（2）=f（）=f（{#mathml#}2

{#/mathml#}）+f（{#mathml#}2

{#/mathml#}）═∴2f（{#mathml#}2

{#/mathml#}）=1?f（{#mathml#}2

{#/mathml#}）={#mathml#}12

{#/mathml#}（Ⅱ）由f（x）是[﹣1，1]上的奇函數得f（x+{#mathml#}12

{#/mathml#}）＜f（1﹣x）又f（x）在[﹣1，1]上遞增{#mathml#}{?1≤x+12≤1?1≤1?x≤1x+12<1?x

{#/mathml#}解得∴不等式解集為[0，）【分析】【分析】解：（Ⅰ）直接利用賦值法求得（Ⅱ）由f（x）是[﹣1，1]上的奇函數得f（x+）＜f（1﹣x），又f（x）在[﹣1，1]上遞增25、略

【分析】

利用二倍角公式以及正弦定理；勾股定理；即可判斷三角形的形狀．

本小題主要考查二倍角公式、三角函數的恒等變換，勾股定理等基礎知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬于基礎題．【解析】解：由二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin2C可化為1-2sin2A-1+2sin2B=2sin2C；（2分）

即sin2A+sin2C=sin2B．（3分）

設△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b；c；

由正弦定理可得a2+c2=b2．（5分）

根據勾股定理的逆定理知△ABC為直角三角形．（6分）五、證明題(共2題，共20分)26、略

【分析】【分析】（1）連AC；BC；OC，如圖，根據切線的性質得到OC⊥PD，而AD⊥PC，則OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，則∠DAC=∠CAO，根據三角形相似的判定易證得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到結論；

（2）根據三角形相似的判定易證Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到結論．【解析】【解答】證明：（1）連AC、BC，OC，如圖，

∵PC是⊙O的切線；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB為⊙O的直徑；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC?CE=PA?BE．27、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉化為三角形函數，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．六、綜合題(共4題，共20分)28、略

【分析】【分析】（1）△HGA；△HAB，求出∠H=∠GAC，∠AGC=∠AGC，即可推出△AGC∽△HGA；根據∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H推出△AGC∽△HAB即可；

（2）①根據∵△AGC∽△HAB，得出=，求出y=；②在Rt△BAC中，由勾股定理求出BC=9；代入GH=BH-（BC-GC）求出即可；

（3）由△HGA∽△HAB得出HB=AB=9，由△HGA∽△GCA得出AC=CG=9，推出BG=HC，即可得出答案．【解析】【解答】解：（1）△HGA；△HAB；

理由是：∵△ABC與△EFA為等腰直角三角形；AC與AE重合，AB=EF，∠BAC=∠AEF=90°；

∴∠B=∠ACB=∠GAF=45°；

∴∠ACB=∠H+∠HAC=45°；∠GAC+∠HAC=∠GAF=45°；

∴∠H=∠GAC；

∵∠AGC=∠AGC；

∴△AGC∽△HGA；

∵∠B=∠ACG=45°；∠GAC=∠H；

∴△AGC∽△HAB；

（2）①如圖2；∵△AGC∽△HAB；

∴=；

∴=；

∴y=；

②在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AC=AB=9，由勾股定理得：BC=9；

∴GH=BH-（BC-GC）=y-（9-x）；

∴z=+x-9；

（3）∵∠GAH=45°是等腰三角形的頂角；

如圖；∵由△HGA∽△HAB知：HB=AB=9；

由△HGA∽△GCA可知：AC=CG=9；

∴BG=HC；

∴CG=x=9；

即當x=9時；AG=AH．

故答案為：△HGA，△HAB．29、略

【分析】【分析】先根據條件利用待定系數法求出拋物線的解析式，然后根據解析式求出點D，點C的坐標，最后根據相似三角形的性質求出點P的坐標，根據P、B兩點的坐標利用待定系數法就可以求出直線PB的解析式．【解析】【解答】解：∵二次函數的圖象的頂點坐標是；它與x軸的一個交點B的坐標是（-2，0）；

∴設拋物線的解析式為：將點B（-2；0）代入得；

；解得

a=-1

∴拋物線的解析式為：y=-x2+x+6．

當x=0時；y=6

∴D（0；6）；

∴OD=6

y=0時，x1=-2，x2=3

C（3；0）；

∴OC=3；

∵B（-2；0）；

∴OB=2．

∵△POB∽△DOC；

∴；

∴

∴PO=4

∴P（0；4）或P（0，-4）；

設直線PB的解析式為：y=kx+b；

∴或；解得：

或

求得直線PB的解析式為：y=2x+4或y=-2x-4．

30、略

【分析】【分析】（1）首先構造二次函數：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2=（a12+a22++an2）x2+2（a1b1+a2b2++anbn）x+（b12+b22++bn2），由（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2≥0，即可得f（x）≥0，可得△=4（a1b1+a2b2++anbn）2-4（a12+a22++an2）（b12+b22++bn2）≤0，整理即可證得：（a12+a22++an2）?（b12+b22++bn2）≥（a1?b1+a2?b2++an?bn）2；

（2）利用（1）可得：（1+4+9）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2；又由x+2y+3z=6，整理求解即可求得答案；

（3）利用（1）可得：（2x2+y2+z2）（+1+1）≥（x+y+z）2，又由2x2+y2+z2=2；整理求解即可求得答案；

（4）因為當且僅當==時等號成立，即可得當且僅當x==時，x2+y2+z2取最小值，又由x+2y+3z=6，即可求得答案．【解析】【解答】解：（1）構造二次函數：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2=（a12+a22++an2）x2+2（a1b1+a2b2++anbn）x+（b12+b22++bn2）≥0；

∴△=