2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：分類討論思想復(fù)習(xí)講義

分類討論思想復(fù)習(xí)講義

解題要點剖析

當(dāng)所研究的對象具有某種不確定性，難以用統(tǒng)一的方法進(jìn)行研究時，需要分不同情況進(jìn)行討論，簡單

地說，分類討論就是“化整為零，逐個擊破”.分類討論問題往往是綜合性比較強(qiáng)的問題，也是創(chuàng)新型問題之

一.我們經(jīng)常會遇到“不知如何下手”或“結(jié)論不完整，有漏解”的情況.本文以近幾年中考壓軸小題為載體，主

要探究以下三種分類討論類型：結(jié)論不確定型、圖形位置不確定型和無圖幾何題.希望大家在賞析中體會分

類討論思想，在實踐中應(yīng)用分類討論的方法思考問題.

考題解析

例1如圖10-1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y=kx(k>0)分別交反比例函數(shù)y=5和y=

孑在第一象限的圖象于點A,B,過點B作BDLx軸，垂足為點D,交y=:的圖象于點C,連接AC.若

AABC是等腰三角形，則k的值是—.

分析因為等腰三角形AABC沒有指明哪條邊是腰，哪條邊是底，所以需要分三種情況討論：AB是

底，BC是底和AC是底.聯(lián)立方程組，求出直線與雙曲線的交點A,B,C的坐標(biāo)根據(jù)兩點間距離公式以

及等腰三角形兩腰相等建立方程，即可求出k的值.

...點B是y=kx和y=:的交點，令kx=，解得久=木,y=3限.

二點B的坐標(biāo)為6,3m.

:點A是y=kx和.y=：的交點，令kx=解得:x=^=,y=Vfc.

點A的坐標(biāo)為電尿).

*.*BD_Lx軸，

???點C的橫坐標(biāo)為治縱坐標(biāo)為尹當(dāng)

???點c的坐標(biāo)為黑，97

若AABC是等腰三角形：

⑴當(dāng)AB=BC時，則J忌—程了+(3&_何2=3瓜—當(dāng)解得：k=學(xué);

⑵當(dāng)AC=BC時廁+律-if=3例-當(dāng)

解得：卜=卓

(3)當(dāng)AB-AC時，由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得：點A的縱坐標(biāo)等于點B和點C依=里片，縱坐

標(biāo)之和的一半，即故k=0,矛盾,舍去.

綜上可得：k=9或k二?

解答薩或等.

小結(jié)本題綜合考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)，求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，等腰三角形的性

質(zhì)以及分類討論思想方法等知識.求解的關(guān)鍵是先聯(lián)立方程組求出直線與曲線的交點坐標(biāo)，然后把等腰三角

形分三種情況討論，最后建立關(guān)于k的方程并求出k的值.

例2（紹興）如圖10-2所示，乙4OB=45。,點M,N在邊OA上,OM=x,ON=x+4,點P

是邊OB上的點，若使點P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點P恰好有三個，則x的取值范圍

是___-

圖10-2

分析假如點M,N位置確定，尋找使點P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點P的方

法是“兩圓一線”、“兩圓”指的是分別以點M、N為圓心，以MN的長為半徑畫圓，與射線OB有幾個不同

的交點就意味著有幾個符合條件的點P；“一線”指的是線段MN的垂直平分線與射線OB的交點就是所求

的點P因為要求符合條件的點P只有三個，故只需保證“兩圓”與射線OB的交點只有2個；又因為MN是

射線OA上的運(yùn)動的定長線段，故可以考慮讓點M從點O出發(fā)，慢慢地向前移動，觀察并思考“兩圓”與射

線OB的交點個數(shù).

分三種情況討論：

①如圖10-3所示，當(dāng)M與。重合時，以M為圓心，以4為半徑的。M與射線OB交于點P1；；以N

為圓心，以4為半徑的。N與射線OB交于點：P2;；線段MN的中垂線交射線OB于點.P3,故當(dāng)x=0時,

點P恰好有三個.

A

A

②如圖10-4所示，以N為圓心，以4為半徑畫圓,當(dāng)ON與射線OB相切時，切點為Pi；以M為

圓心，以4為半徑的。M與射線OB交于P2;；線段MN的中垂線與射線OB交于P3.故此時點P恰好有三

個.

?/ZAOB=45°,

...△NOPi是等腰直角三角形.NPi=OP[=4.

ON=4V2,x=ON-MN=4V2-4.

③如圖10-5所示，以M為圓心，以4為半徑畫。M；以N為圓心，以4為半徑畫。N.設(shè)。Mi恰好

經(jīng)過點O,OMz恰好與射線OB相切.

當(dāng)點M和Mi重合時，即。M恰好經(jīng)過點O時，此時x=4,0Ml與射線OB只有一個交點（點O除

外）,此時（ONi=8,G）Ni.與射線OB無交點，線段.M/1的中垂線與射線OB有一個交點，故符合條件的點

P有兩個；

當(dāng)點M和M2重合時，即。M恰好與射線0B相切，此時%=4五,0電=4也+4,ON2與射線0B

無交點，線段M2N2的中垂線與射線OB有一個交點，故符合條件的點P有兩個；

當(dāng)4<%<4a時，即點M在線段M1M2之間運(yùn)動，OM與射線0B有兩個交點，ON與射線0B無

交點，線段MN的中垂線與射線OB有一個交點，故滿足條件的點P恰好有三個.

綜上所述，若使點P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點P恰好有三個，則x=0或尤=4/-4或4<%<

4V2.

解答?；?企一4或4<x<4V2.

小結(jié)本題以動點問題為載體，綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股

定理、“兩圓一線”找等腰三角形以及分類討論思想等知識.求解的關(guān)鍵是讓點M從點O出發(fā)，觀察。M和

?N與射線0B的交點個數(shù)的變化，在整個運(yùn)動過程中發(fā)現(xiàn)三種滿足題意的情況：點M和點。重合，。N

與射線OB相切，?M與射線OB有兩個交點，ON與射線0B無交點.

例3（麗水）如圖10-6所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中直線y=-x+m分別交x軸,y軸于A,B兩點，已知

點C的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)直線AB經(jīng)過點C時，點O到直線AB的距離是一

⑵設(shè)點P為線段OB的中點，連接PA,PC,若^CPA=NABO,則m的值

分析當(dāng)直線AB經(jīng)過點C時，點A與點C重合，易求m的值，進(jìn)而°C‘

求出點B的坐標(biāo)；最后根據(jù)RtAAOB的等面積法求出點O到直線AB的距離圖10-6

因為本題沒有告訴m的范圍，故需要分m>0和m<0(由題可知m=0不需考慮),

當(dāng)m>0時，易知乙CPA=/ABO=45。,故可以構(gòu)造“一線三等角”模型，在y軸負(fù)半軸上取(0D=0C,易

知△PCDOAAPB,然后借助相似三角形的性質(zhì)即可建立關(guān)于m的方程，最后求出m的值；當(dāng)機(jī)<0時,/

CPA=NABO不可能成立.y\

(1)當(dāng)x=2時,y=2+m=0,即m=2.

所以直線AB的解析式為y=-x+2,故點B的坐標(biāo)為(0,2).\|/

所以O(shè)B=OA=2,AB=2V2.-

設(shè)點O到直線AB的距離為d.

由SOAB=］。小=^AB-d得4=2迎①則d=V2.

(2)由y=-x+m可得A、B的坐標(biāo)分別為(m,0),(0,m).所以O(shè)A=OB,故/OBA=NOAB=45。.圖10-7

當(dāng)m<0時,如圖10-7所示,/APC>/APO>NOBA=45。,這與NCPA=/ABO矛盾,故不合題意.

當(dāng)m>0時，如圖10-8所示，作OD=OC=2,連接CD,故/PDC=45。，

因為/CPA=/ABO=45。，

所以NBPA+/OPC=NBAP+/BPA=135。,即/OPC=/BAP,則APCDs/\APB.

圖10-8

綜上可得:m=12.

解答(1)V2;(2)12.

小結(jié)本題綜合考查了一次函數(shù)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、構(gòu)造“一線三等角”模型、

相似三角形的判定和性質(zhì)、分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想方法等方法.本題的難點在于第(2)問，首先根據(jù)

數(shù)形結(jié)合排除m<0的情況；當(dāng)m>0時，求解的困難點在于如何使用/CPA=/ABO,當(dāng)題目給出相等的角，

需求邊長(線段OB的長，即m的值)時，常常需要借助相似三角形建立方程模型求解，考慮到MPA=

乙4B。=45。,，故可以構(gòu)造“一線三等角”模型找到包含PB的相似三角形.

例4(安徽)在三角形紙片ABC中,NA=90o,NC=3(T,AC=30cm,將該紙片沿過點B的直線折疊，使點A

落在斜邊BC上的一點E處，折痕記為BD(圖10-9),剪去ACDE后得到雙層ABDE(圖10-10),再沿著過

△BDE某頂點的直線將雙層三角形剪開，使得展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形，則所得平行四邊

形的周長為cm.

B

圖10-9圖10-10

分析沿著過ABDE某頂點的直線將雙層三角形剪開，有三種情況：沿著過點D的直線剪，沿著過

點B的直線剪和沿著過點E的直線剪.因為展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形，再根據(jù)折疊的性質(zhì)

可知，展開得到的平行四邊形一定是菱形.沿著過點B的直線將雙層三角形剪開，得到的是一個“箏形”(兩

組鄰邊相等的四邊形)，不是平行四邊形，故不符合題意；沿著過點D的直線DF將雙層三角形剪開，當(dāng)

DF=BF時，可以得到一個平行四邊形；沿著過點E的直線EG將雙層三角形剪開，當(dāng)ED=EG時，可以得

到一個平行四邊形.

ZA=90°,ZC=30°,AC=30,.".AB=10V3,ZABC=60°.

VAADB^AEDB,

???/.ABD=乙EBD=|乙ABC=30°,BE=AB=10V3.

；.DE=10,BD=20.

如圖10-11,平行四邊形的邊是DF,BF.由/E=90o,/EDF=3(F,DE=l(Ui：DF=BF=

故平行四邊形的周長=竽；

如圖10-12,平行四邊形的邊是DE,EG,且DE=EG=10,故平行四邊形的周長=40.

綜上所述：平行四邊形的周長為40或竽.

圖10-12

解答40或竽.

小結(jié)本題綜合考查了折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30。角的直角

三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)以及分類討論思想方法等知識.求解的關(guān)鍵是：得到一個展開

的平行四邊形，本質(zhì)上就是得到一個展開的菱形，根據(jù)菱形的四條邊相等可知，沿著過ABDE某頂點的直

線將雙層三角形剪開，必須得到一個等腰三角形才符合題意.

例5如圖10-13所示，在RtAABC中,/A=9(T,AB=AC,BC=20,DE是AABC的中位線，點M是邊BC

上一點，BM=3,點N是線段MC上的一個動點,連接DN,ME相交于點。.若ZkOMN是直角三角形，則DO

的長是—.

A

圖10-13

分析因為AOMN是直角三角形，但沒有指明哪個角是直角，故需要分類討論，考慮到/OMN不可

能是直角，故需要分NONM=90。和.NM0N=90。.要求線段OD的長，需要借助相似三角形的判定和性質(zhì)來

求，故首先需要構(gòu)造和△。。石相似的三角形.

當(dāng)/ONM=90。時,如圖10-14所示，作EFLBC于點F,易知.DN||EF.

四邊形DEFN是平行四邊形.

ZEFN=90o,.\四邊形DEFN是矩形.

?/DE是AABC的中位線,二DEBC.DE=\BC=10.

；.EF=DN,DE=FN=10.

AB=AC,ZA=90°,

???zB=ZC=45BN=DN=EF=FC==5.

2

BM=3,；.MN=BN-BM=2.

???DOEBSNOM,—/ioOD

25-OD

OD=受（或者利用/ADOE-AFEM）

6

當(dāng)NMON=90。時，如圖10-15作EF1BC于F,易知EM=VEF2+FM2=13.

OD10OD

???DOE?EFM,???—

EF'135

綜上可得：OD=蔣或OD=||

解答蔡或居

小結(jié)本題綜合考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角

三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)以及分類討論思想方法等知識.求解的關(guān)鍵是：考慮到

ADOE是直角三角形，故通過作垂線或識別“8字形”基本圖形可以構(gòu)造和ADOE相似的三角形AEFM或

△NOM,最后借助相似三角形的性質(zhì)建立方程模型即可求解.

例6如圖10-16所示,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形AB-CD的內(nèi)部，點E在邊BC上，滿足

△PBES/\DBC,若AAPD是等腰三角形，則PE的長為.

分析由△PBEs^DBC,可得NPBE=/DBC進(jìn)而可知點P在BD上，然后再根據(jù)AAPD是等腰三角形,

故分DP=DA、AP=DP兩種情況進(jìn)行討論即可得.

四邊形ABCD是矩形,，ZBAD=ZC=90°,CD=AB=6.:BD=V62+82=10.

,.,△PBE^>ADBC,.".ZPBE=ZDBC..\*P^BD±.

①如圖10-16,當(dāng)DP=DA=8時,BP=2.

VAPBE^>ADBC,.".PE:CD=PB:DB=2:10.圖10-16

二PE:6=2:10..\PE=1.2.

②如圖10-17,當(dāng)AP=DP時,易知點P為BD中點

?.,△PBE^ADBC,.*.PE:CD=PB:DB=1:2.

,PE:6=1:2,.\PE=3.

綜上所述.PE的長為1.2或3.

解答1.2或3.

小結(jié)本題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及分類討論

和數(shù)形結(jié)合思想等方法.求解的關(guān)鍵是先根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等，確定出點P在線段BD上，然后針對

等腰三角形AAPD進(jìn)行分類討論，并結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解.

例7在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點M,N的坐標(biāo)分別為(-1,2),(2,1),若拋物線y=ax2-x+

2(a豐0)與線段MN有兩個不同的交點，則a的取值范圍是().

A.a<-l或］wa<|<a<|

C.a<:或a>'D.a<-1或a>i

分析題目沒有說明a的符號，故需要分。a>0和a<0兩種情況討論：

①當(dāng)a>0時，拋物線的對稱軸為久=；>0.如圖10-18,,當(dāng)拋物線經(jīng)過點N時，即當(dāng)x=2時,4a=L

2a

所以a=(又因為拋物線與線段MN有兩個不同的交點，故拋物線的開口應(yīng)該變小，所以a2

44

又易知直線MN的解析式為y=-|x+*如圖10-19,令ax2-x+2=-|x+|,,所以A>0,解得a<

師以JWa<；,②當(dāng)a<0時.如圖10-20拋物線的對稱軸為久=:<0,與y軸交點為(0,2).

D43za

當(dāng)拋物線經(jīng)過點M時，即當(dāng)x=-l時,a+3=2,所以a=-1.

y

名宗上可知，（Wa<（或（a￡-l,i,故選A.

解答A.

小結(jié)本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)中a,b,c對拋物線的作用，二次函數(shù)與一

元二次方程之間的關(guān)系（用判別式判斷根或交點的情況），以及分類討論、數(shù)形結(jié)合思想等知識.求解的關(guān)鍵

是先對拋物線開口方向進(jìn)行討論，對于每一種情況，借助數(shù)形結(jié)合思想求出拋物線與直線存在交點時的臨

界情況，即求出a的邊界值，最后再根據(jù)拋物線開口大小進(jìn)而確定a的取值范圍.

例8如圖10-21所示在矩開?ABCD中,AB=4,AD=2,點E在CD上,DE=1,點F是邊AB上一動點以

EF為斜邊作RSEFP.若點P在矩形ABCD的邊上，且這樣的直角三角形恰好有兩個，則AF取值范圍

是一

分析因為AEFP是以EF為斜邊的直角三角形，所以可以借助輔助圓的思想來分析問題，即作出以

EF為直徑的。O,觀察。O與矩形ABCD交點的情況，則。O與矩形ABCD的交點就是所求作的點P.

圖10-24

①當(dāng)F與點A重合時，如圖10-22所示，此時點P有兩個，一個與D重合，另一個交點在邊AB上.

②當(dāng)。。與AD相切時，如圖10-23所示，此時EF_LAB.因為.4。=2,DE=1..所以AF=1,則。。與AD

邊的切點為P,交點P只有一個.

③當(dāng)。。與BC相切時，如圖10-24所示，連接OP,此時存在3個交點P,貝11（OPLBC.設(shè)AF=/1|BF=

P1c=4—x,EP1=x—1.

1r—1

??.OPI/EC,OE=OF,?.?OG=：EP]=三.

OF=OP=OG+GP=-+4-x=—.

22

在RtAOGF中,由勾股定理得:（OF2=0G2+GF2,BP

（號）=（U）+仔,解得％=￡.

.?.當(dāng)1<AF<曰時，如圖10-25所示，符合條件的直角三角形恰好有兩個.

④當(dāng)F與B重合時，如圖10-26所示，同①的方法，符合條件的直角三角形恰好有兩個.

綜上所述,AF=0或4或1<4F〈學(xué)

解答AF=0或AF=4或1<4F<?

小結(jié)本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、圓的切線的性質(zhì)、構(gòu)造輔助圓、三角形中位線定理、圓的性

質(zhì)（直徑所對的圓周角是直角）、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想等知識.求解的關(guān)鍵是構(gòu)造以EF為直徑的0O,讓

點F從點A運(yùn)動到點B,觀察動圓O與矩形ABCD的交點情況,畫出相應(yīng)的臨界情況，求出對應(yīng)的邊界

值，最后通過數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論.

模擬訓(xùn)練

1.如圖10-27是一張長方形紙片ABCD,已知.AB=8,4。=7,E為AB上一點，AE=5,現(xiàn)要剪下一張

等腰三角形紙片（（△4EP）,使點P落在長方形ABCD的某一條邊上，則等腰三角形AEP的底邊長是.

）當(dāng)時，函數(shù)y=x2-2x+的最小值為,則的值為（）

2.a<x<a+l