2020-2021學(xué)年上海市楊浦區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年上海市楊浦區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6小題，共18.0分）1. 下列四組線段中，不能成比例的是

(

)A.a=1，b=，c=，d=B.a=3，b=6，c=4，d=2C.a=4，b=6，c=5，d=10D.a=，b=

，c=2，d=2. 為測(cè)量如圖所示上山坡道的傾斜度，小明測(cè)得圖中所示的數(shù)據(jù)(單位：米)，則該坡道傾斜角α的正切值是(????)A.3B.4C.3D.43. 如圖，已知M，N分別為AB，AC上的兩點(diǎn)，且MN//BC，AN=4CN，若AB=10，則BM的長(zhǎng)為(????)A.1B.2C.3D.44. 如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC的各邊上，且DE//BC，DF//AC，若AE：EC=1：2，BC=12，則DE的長(zhǎng)為(????)A.1B.2C.3D.45. 如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，BA=a，BC=b，那么DA等于A.1B.bC.1D.a6. 已知P是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，連接BP，則下列不能判定△ABP∽△ACB的是(????)A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABCC.ABAP=AC二、填空題（本大題共12小題，共36.0分）7. 相鄰兩邊長(zhǎng)的比值是黃金分割數(shù)的矩形，叫做黃金矩形，從外形看，它最具美感．現(xiàn)在想要制作一張“黃金矩形”的賀年卡，如果較長(zhǎng)的一條邊長(zhǎng)等于20厘米，那么相鄰一條邊的邊長(zhǎng)等于______厘米．8. 如圖，已知在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上，AE=AB，BA=a,BC=b，那么9. 如圖，OP=1，過(guò)P作PP1⊥OP且PP1=1，由勾股定理得OP1=2；再過(guò)P作P1P2⊥OP1且P1P2=110. 若線段AB=10，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC<BC，那么AC=______，BC=______．11. 如圖，AF是△ABC的高，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且DE//BC，DE交AF于點(diǎn)G，若DE=6，BC=10，GF=5，則AG的長(zhǎng)為______．12. 如圖，AB//CD//EF，AC=2，EC=3，BD=3，則BF=______．13. 如圖，AB//CD，GF與AB相交于點(diǎn)H，F(xiàn)E平分∠HFD，若∠EHF=50°，則∠HFE的度數(shù)為______．14. 如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜邊AB上的一點(diǎn)O為圓心所作的半圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)D、E，則CD為______．15. 如圖：在△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC，AD//BC，AD交BE的延長(zhǎng)線于D，EF平分∠AED，若AB=8，AF=3，AE：ED=AF：FD，則CE=______．16. 如圖，∠1=∠2，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：______，使△ABC∽△ADE．17. 如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，若AC=6，BD=8，則OE=______．18. 如圖，⊙P的半徑為5，A、B是圓上任意兩點(diǎn)，且AB=6，以AB為邊作正方形ABCD(點(diǎn)D、P在直線AB兩側(cè)).若AB邊繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周，則對(duì)角線BD邊掃過(guò)的面積為______．三、計(jì)算題（本大題共1小題，共5.0分）19. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，半徑為2的圓與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P(4,2)是⊙O外一點(diǎn)，連接AP，直線PB與⊙O相切于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C．(1)證明PA是⊙O的切線；(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．四、解答題（本大題共6小題，共41.0分）20. 計(jì)算49-32721. 如圖，在正△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且CEBC=(1)△ABE∽△DCE；(2)S△DCE=63c22. 已知AB，通過(guò)作圖，求出AB的中點(diǎn)．23. 小妍想將一根72cm長(zhǎng)的彩帶剪成兩段，分別圍成兩個(gè)正方形，則她要怎么剪才能讓這兩個(gè)正方形的面積和最??？此時(shí)的面積和為多少？24. 如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)．已知ADAB=AEAC(1)求證：DE//BC；(2)求BC的長(zhǎng)．25. 【操作發(fā)現(xiàn)】三角形三個(gè)頂點(diǎn)與重心的連線段，將該三角形面積三等分(1)如圖①：△ABC中，中線AD、BE、CF相交于點(diǎn)G.求證：S【提出問(wèn)題】如圖②，探究在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點(diǎn)，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間的關(guān)系．(2)為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以先從一些簡(jiǎn)單的、特殊的情形入手：如圖③，當(dāng)AP=12AD時(shí)，探求S△PBC與【問(wèn)題解決】(3)推廣，當(dāng)AP=1nAD(n表示正整數(shù))時(shí)，直接寫出S△PBC與S△ABC(4)一般地，當(dāng)AP=mnAD(0≤mn≤1時(shí)，S△PBC與

參考答案及解析1.答案：C解析：若a，b，c，d成比例，即有a：b=c：d.只要代入驗(yàn)證即可．解：A．，則a：b=d：c.故a，b，d，c成比例；B.2：4=3：6，則d：c=a：b.故a，b，d，c成比例；C.四條線段中，任意兩條的比都不相等，因而不成比例；D.，則a：c=b：d.故a，b，d，c成比例．故選C．2.答案：A解析：試題分析：根據(jù)正切的定義，即所對(duì)的直角邊與鄰邊的比值，即可求解．AC=3，BC=4．則tanα=AC故選：A．3.答案：B解析：解：∵AN=4CN，∴AC∵M(jìn)N//BC，∴AB∵AB=10，∴10解得：BM=2，故選：B．求出ACCN本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．4.答案：D解析：解：如圖，∵AE：EC=1：2，∴∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC∴DE即DE∴DE=4．故選：D．先由AE：EC=1：2，可得AE：AC=1：3，再根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可求得DE．本題考查了相似三角形判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例等，是一道基礎(chǔ)型的幾何計(jì)算題．5.答案：D解析：解：∵D是邊BC的中點(diǎn)，∴BD∴DB∵BA∴DA故選D．由D是邊BC的中點(diǎn)與BC=b，即可求得DB的值，又由此題考查了平面向量的知識(shí)．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解此題關(guān)鍵，還要注意向量是有方向的．6.答案：D解析：解：A、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，∴△ABP∽△ACB，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵∠A=∠A，ABAP∴△ABP∽△ACB，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、根據(jù)ABBP=ACBC和∠A=∠A不能判斷故選D．根據(jù)相似三角形的判定定理(①有兩角分別相等的兩三角形相似，②有兩邊的比相等，并且它們的夾角也相等的兩三角形相似)逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．此題考查了相似三角形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是掌握有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似與兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似定理的應(yīng)用．7.答案：(10解析：解：設(shè)所求邊長(zhǎng)為x，由題意，得x20解得x=(105故答案為(105由黃金矩形的定義，可知黃金矩形的寬與長(zhǎng)之比為5-12，設(shè)所求邊長(zhǎng)為本題主要考查了黃金分割點(diǎn)的概念，需要熟記黃金比的值，難度適中．8.答案：2解析：解：∵D是邊BC的中點(diǎn)，∴BD=1∵BC∴BD∵AE=AB，BA=∴BE∴DE故答案為：2a根據(jù)中點(diǎn)定義可得BD=12BC，然后表示出BE本題是對(duì)平面向量的考查，向量問(wèn)題的求解要從向量的方向與模兩個(gè)方面考慮，主要運(yùn)算法則是平行四邊形法則與三角形法則，本題想法把已知與所求向量轉(zhuǎn)化為△BDE中是解題的關(guān)鍵．9.答案：2021解析：解：由勾股定理得：OP1=2，OP依此類推可得OP∴OP故答案為：2021．首先根據(jù)勾股定理求出OP4，再由OP1，OP本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是由已知數(shù)據(jù)找到規(guī)律．10.答案：15-55；解析：解：∵C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC<BC，∴BC=5-12∵AB=10，∴BC=55-5，故答案為：15-55；5根據(jù)點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC<BC，得出BC=5-12AB，此題考查了黃金分割，用到的知識(shí)點(diǎn)是黃金分割點(diǎn)的概念，關(guān)鍵是熟記黃金比的值，列出算式．11.答案：7.5解析：解：∵DE//BC，∴△ADG∽△ABF，△ADE∽△ABC，∴ADAB=∴AG∵DE=6，BC=10，GF=5，∴AG解得：AG=7.5，故答案為：7.5．根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，理解相似三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．12.答案：7.5解析：解：∵AB//CD//EF，∴AC∵AC=2，EC=3，BD=3，∴2∴DF=4.5，∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5，故答案為：7.5．由平行可得到ACEC=BDDF，代入可求得本題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例中的對(duì)應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵，注意線段的對(duì)應(yīng)．13.答案：65°解析：解：∵AB//CD，∠EHF=50°，∴∠HFD=180°-∠EHF=130°，又∵FE平分∠HFD，∴∠HFE=1故答案是：65°．根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠HFD=130°，然后由角平分線定義可求∠HFE的度數(shù)．本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．屬于基礎(chǔ)題．也考查了角平分線定義．14.答案：2.4解析：解：連接OD、OE，設(shè)CD=x，∵半圓分別與AC、BC相切，∴∠CDO=∠CEO=90°，∵∠C=90°，∴四邊形ODCE是矩形，∴OD=CE，OE=CD，又∵OD=OE，∴AD=AC-CD=4-x，OD=x，∵∠ADO=∠C=90°，∠DAO=∠CAB，∴△AOD∽OABC，∴AD∴4-x解得x=2.4，∴CD=2.4故答案為2.4．連接OD、OE，先設(shè)CD=x，再證明四邊形ODCE是矩形，可得出OD=CE，OE=CD，從而得出OD=x，AD=4-x，可證明△AOD∽△ABC，再由比例式得出OD的長(zhǎng)即可．本題考查了切線的性質(zhì)．相似三角形的性質(zhì)與判定，運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形，證明三角形相似解決有關(guān)問(wèn)題．15.答案：7解析：解：如圖，作AH⊥BD于H，F(xiàn)M⊥BD于M，F(xiàn)N⊥EA于N．∵AD//BC，∴∠D=∠DBC，∵∠DBC=∠ABD，∴∠ABD=∠D，∴AD=AB=8，∵AF=3，∴DF=5，∵AE：ED=AF：FD=3：5，可以假設(shè)AE=3m，DE=5m，∵AE：EC=DE：BE，∴EC：BE=AE：DE=3：5，可以假設(shè)EC=3n，BE=5n，∴3m+3n=8，∴m+n=8∴BD=5m+5n=40∵AB=AD，AH⊥BD，∴BH=DH=203，∵FM//AH，∴FM∴FM=FN=5611在Rt△ANF中，AN=A在△EFN和△EFM中，EF=EFFN=FM∴△EFN≌△EFM，∴EN=EM，設(shè)EN=EM=x，∵AE：DE=3：5，∴(76+x)：(x+∴x=10∴AE=AN+EN=7∴EC=AC-AE=8-9故答案為72如圖，作AH⊥BD于H，F(xiàn)M⊥BD于M，F(xiàn)N⊥EA于N.由AE：ED=AF：FD=3：5，可以假設(shè)AE=3m，DE=5m，由AE：EC=DE：BE，推出EC：BE=AE：DE=3：5，可以假設(shè)EC=3n，BE=5n，得3m+3n=8，推出m+n=83，所以BD=5m+5n=403，由FM//AH，得FMAH=DMDH=DFDA=58，求出FM=FN=5611，DM=256，在Rt△ANF中，利用勾股定理求出AN本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．16.答案：∠C=∠E或∠B=∠ADE解析：解：∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE又∵∠C=∠E(或∠B=∠ADE)∴△ABC∽△ADE．故答案為：∠C=∠E或∠B=∠ADE．再添加一組角可以利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)進(jìn)行判定．此題是一道考查相似三角形的判定的開放性的題，答案不唯一．17.答案：12解析：解：∵菱形ABCD中，AC=6，BD=8，∴OA=OC=12AC=3，OB=∴BC=O∵OE⊥BC，∴S∴OE=OB×OC故答案為：125先由菱形的性質(zhì)得OA=OC=12AC=3，OB=12BD=4，本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理以及三角形面積等知識(shí)；熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．18.答案：84π解析：解：連接PD，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD與點(diǎn)E，PE交AB于點(diǎn)F，則BD邊掃過(guò)的面積為以PD為外圓半徑、PB為內(nèi)圓半徑的圓環(huán)面積，如圖所示∵PE⊥CD，AB//CD，∴PF⊥AB．又∵AB為⊙P的弦，∴AF=BF，∴DE=CE=1在Rt△PFB中，易知AF=BF=3，∵PB=5，∴PF=4，∵EF=6，∴PE=10，在Rt△PDE中，PD∴BD邊掃過(guò)的面積為π(PD故答案為：84π．連接PD，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD與點(diǎn)E，PE交AB于點(diǎn)F，則CD邊掃過(guò)的面積為以PD為外圓半徑、PE為內(nèi)圓半徑的圓環(huán)面積，利用垂徑定理即可得出AF=BF，進(jìn)而可得出DE=CE=3，再根據(jù)圓環(huán)的面積公式結(jié)合勾股定理即可得出BD邊掃過(guò)的面積．本題考查了垂徑定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)以及圓環(huán)的面積公式，結(jié)合AB邊的旋轉(zhuǎn)，找出BD邊旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)區(qū)域的形狀是關(guān)鍵．19.答案：(1)證明：∵圓O的半徑為2，P(4,2)，∴AP⊥OA，則AP為圓O的切線；(2)解：連接OP，OB，過(guò)B作BQ⊥OC，∵PA、PB為圓O的切線，∴∠APO=∠BPO，PA=PB=4，∵AP//OC，∴∠APO=∠POC，∴∠BPO=∠POC，∴OC=CP，在Rt△OBC中，設(shè)OC=PC=x，則BC=PB-PC=4-x，OB=2，根據(jù)勾股定理得：OC2=O解得：x=2.5，∴BC=4-x=1.5，∵S△OBC=∴BQ=2×1.5在Rt△OBQ中，根據(jù)勾股定理得：OQ=O則B坐標(biāo)為(1.6,-1.2)．解析：(1)由AO=2，P的縱坐標(biāo)為2，得到AP與x軸平行，即PA與AO垂直，即可得到AP為圓O的切線；(2)連接OP，OB，過(guò)B作BQ垂直于OC，由切線長(zhǎng)定理得到PA=PB=4，PO為角平分線，進(jìn)而得到一對(duì)角相等，根據(jù)AP與OC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，等量代換并利用等角對(duì)等邊得到OC=CP，設(shè)OC=x，BC=BP-PC=4-x，OB=2，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OC與BC的長(zhǎng)，在直角三角形OBC中，利用面積法求出BQ的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出OQ的長(zhǎng)，根據(jù)B在第四象限，即可求出B的坐標(biāo)．此題考查了切線的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積求法，平行線的性質(zhì)，以及切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定是解本題的關(guān)鍵．20.答案：解：49=7-3+=6+2解析：直接利用二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．21.答案：(1)證明：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C，AB=AC．∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AC=2CD．∵=，∴BE=2CE．∴==．∴△ABE∽△DCE．(2)解：∵△ABE∽△DCE，∴S△ABE=()2×S又∵AD=DC且△AED與△EDC具有相同的高和底，∴S△AED=∴S△ABC=S△ABE+S△DCE+解析：試題分析：(1)由題意可以得出∠B=∠C=60°，又==，所以=2，又點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，即：===，所以△ABE∽△DCE；(2)由(1)知△ABE∽△DCE，由相似三角形的性質(zhì)(相似三角形的面積之比等于邊之比的平方)可得S△ABE=()2×S△DCE=4×6=cm2，又AD=DC且△AED與22.答案：解：如圖，點(diǎn)C即為AB的中點(diǎn)．解析：根據(jù)垂徑定理即可畫圖，進(jìn)而求出AB的中點(diǎn)．本題考查了作圖-復(fù)雜作圖、垂徑定理、圓心角、弧弦的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理．23.答案：解：設(shè)兩段彩帶長(zhǎng)分別為xcm和(72-x)cm，設(shè)：兩個(gè)正方形面積和為y，