2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題：面積定值問題

專題04面積定值問題

一、知識(shí)導(dǎo)航

二、典例精析

如圖，拋物線y=-d+2x+3與無軸交于A、B兩點(diǎn)、(點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,拋物

線在線段2C上方部分取一點(diǎn)P,連接尸8、PC,若△P2C面積為3,求點(diǎn)P坐標(biāo).

思路1：鉛垂法列方程解.

根據(jù)8、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線BC解析式：y=-x+3,

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為^m,—m2+2〃z+3),

過點(diǎn)P作PQy_x軸交于點(diǎn)。，

則點(diǎn)Q坐標(biāo)為(m,-m+3),

PQ=加？+2m+3)—(一〃？+3)|=|—m2+3m|,

2

SPBC=—x3x|—m+3詞=3,

分類討論去絕對(duì)值解方程即可得相的值.

思路2:構(gòu)造等積變形

同底等高三角形面積相等.

取8C作水平寬可知水平寬為3,根據(jù)△PBC面積為3,

可知鉛垂高為2,

在y軸上取點(diǎn)Q使得C0=2,過點(diǎn)Q作BC的平行線,

交點(diǎn)即為滿足條件的尸點(diǎn).

當(dāng)點(diǎn)。坐標(biāo)為(0,5)時(shí)，解析式為：y=-x+5,

耳關(guān)五方:—x~+2x+3=—x+5,解即可.

當(dāng)點(diǎn)。坐標(biāo)為(0,1)時(shí)，解析式為：y=-x+\,

聯(lián)立方程：-x2+2x+3=-x+],解之即可.

在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=尤+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3,拋物線y-ax2+bx+c(。＜0)經(jīng)過

點(diǎn)A、B.

(1)求a、6滿足的關(guān)系式及c的值.

(2)如圖，當(dāng)。=-1時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使的面積為1?若存在，請(qǐng)求出符合條件的所

有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】

(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,2),

代入解析式可得：c=2,4a-2b+2=0

(2)考慮A、B水平距離為2,△B43的面積為1,故對(duì)應(yīng)的鉛垂高為1.

當(dāng)〃二-1時(shí)，可得Z?=-l,拋物線解析式為y=-x2_%+2.

取點(diǎn)。(0,3)作A5的平行線，其解析式為：y=x+3,

聯(lián)立方程-X2-%+2=X+3,解得X=1,故點(diǎn)《坐標(biāo)為(-1,2)

取點(diǎn)。(0,1)作A3的平行線，其解析式為：y=x+l,

聯(lián)立方程-12-%+2=%+1,解得X]=—1+,%2=—1—.

三、中考真題演練

1.(2023?浙江湖州?中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=Y-4x+c的圖象與y軸的

交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5),圖象的頂點(diǎn)為矩形ABCD的頂點(diǎn)。與原點(diǎn)。重合，頂點(diǎn)A,C分別在x軸，y軸上,

(2)如圖2,將矩形ABC。沿?zé)o軸正方向平移f個(gè)單位(0</<3)得到對(duì)應(yīng)的矩形AB'C'D.已知邊C'。'，A!B'

分別與函數(shù)y=--4x+c的圖象交于點(diǎn)P,Q,連接尸2,過點(diǎn)尸作PGLAF于點(diǎn)G.

①當(dāng)r=2時(shí)，求QG的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)。不重合時(shí)，是否存在這樣的f,使得△2質(zhì)的面積為1?若存在，求出此時(shí)f的值；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）把（0,5）代入拋物線的解析式即可求出C,把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①先判斷當(dāng),=2時(shí)，〃，A的坐標(biāo)分別是（2,0）,（3,0）,再求出x=3,x=2時(shí)點(diǎn)。的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P

的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求解；

②先求出。G=2,易得P,。的坐標(biāo)分別是。，產(chǎn)-47+5）,。+1,r-2/+2）,然后分點(diǎn)G在點(diǎn)。的上方與點(diǎn)

G在點(diǎn)。的下方兩種情況，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可.

【詳解】（1）二?二次函數(shù)y=f-4x+c的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,5）,

??c=5,

??y—x~~4x+5=（x—2）+1,

頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2,1）.

（2）①在無軸上，8的坐標(biāo)為（1,5）,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,0）.

當(dāng)t=2時(shí)，Dfi,A的坐標(biāo)分別是（2,0）,（3,0）.

當(dāng)x=3時(shí)，y=（3-2『+1=2,即點(diǎn)。的縱坐標(biāo)是2,

當(dāng)x=2時(shí)，y={2-2）2+1=1,即點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)是1.

?；PGVAB',

點(diǎn)G的縱坐標(biāo)是1,

/.QG=2-1=1.

②存在.理由如下：

?.?△尸3的面積為1,PG=1,

：.QG=2.

根據(jù)題意，得P,Q的坐標(biāo)分別是產(chǎn)-布+5）,僅+1,產(chǎn)-2r+2）.

如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)。的上方時(shí)，QG=」-4「+5-（產(chǎn)-2f+2）=3-2r=2,

=2,一3=2,

此時(shí)/=］（在0<r<3的范圍內(nèi)）.

?一1十5

??,二1或二".

22

2.（2023?四川甘孜?中考真題）已知拋物線y=Y+6x+c與無軸相交于A（-l,0）,B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)

C（0,-3）.

（2）尸為第一象限拋物線上一點(diǎn)，,P3C的面積與，ABC的面積相等，求直線A尸的解析式;

【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解;

（2）5*"=53°得到釬〃5。，即可求解;

1-/?+c=0,

【詳解】（1）由題意，得

c=-3.

b=-2,

c=-3.

（2）由（1）得拋物線的解析式為產(chǎn)元2-2彳-3.

令y=0,貝曦2-2為一3=0,得X]=T，尤2=3.

???8點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0).

S&PBC=^AABC，

：.AP//BC.

：3(3,0),C(0,-3),

直線3c的解析式為y=x-3.

?；AP//BC,

，可設(shè)直線AP的解析式為y=x+m.

A(T,0)在直線AP上，

??0=-1+171.

m=l.

???直線"的解析式為y=x+L

3.（2023.內(nèi)蒙古呼和浩特.中考真題）探究函數(shù)＞=-2國(guó)?+4國(guó)的圖象和性質(zhì)，探究過程如下:

(1)自變量X的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，X與，的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下

_5_3j_25_

XL-2-1012L

~2~2~2222

_52222_5

yL0m020L

~22222~2

其中，機(jī)=.根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，通過描點(diǎn)畫出了函數(shù)圖象的一部分,

請(qǐng)畫出該函數(shù)圖象的另一部分.觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；

⑵點(diǎn)P是函數(shù)y=-2時(shí)+叫圖象上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)4(2,0),點(diǎn)8(—2,0),當(dāng)k—=3時(shí),請(qǐng)直接寫出所有

滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

【分析】(1)把尤=-1代入解析式，求出機(jī)的值即可，描點(diǎn)，連線畫出函數(shù)圖形，根據(jù)圖形寫出一條性質(zhì)即

可；

(2)利用義印=(><4'|調(diào)=3,進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)x=-l時(shí)，y=-2x|_『+4|-l|=-2+4=2,

m=2,

根據(jù)題干中的表格數(shù)據(jù)，描點(diǎn)，連線，得到函數(shù)圖象，如下：

故答案為：4.

⑵解：：點(diǎn)A（2,0）,點(diǎn)3（-2,0）,

.?.AB=4,

?'-5AFAB=1X4X|）;F|=3，

%=±T，

當(dāng)》=|時(shí)：-2|X|2+4|X|=|,

初汨3113

解得：x,=--,x2=--,x3=-,x4=~,

.??汜！或小遙

當(dāng)蘇時(shí)：_2國(guó)2+4國(guó)=一?

解得：2=+1,x2=一^^一1，

綜上：小與，-口或可±;《或d弓》

4.（2023?遼寧盤錦?中考真題）如圖，拋物線>=加+灰+3與x軸交于點(diǎn)A（-l,0）,8（3,0）,與，軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式.

⑶如圖2,點(diǎn)E是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接AE交V軸于點(diǎn)。，AE的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)P,點(diǎn)P在線段CO

上，且CF=OD,連接E4,FE,BE,BP,SAAFE=SAABE,求，R4B面積.

【詳解】（1）解:.拋物線>=加+次+3與無軸交于點(diǎn)A（-l,0）,3（3,0）,

jtz—Z?+3=0

'\9a+3b+3=0J

a=-1

解得:

b=2

二拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3；

(3)解：設(shè)點(diǎn)P。%-4+2機(jī)+3),直線AP的解析式為>=區(qū)+"

A(-1,O),

-k+b=O

km+b=-m2+2m+3

k=-(m-3)

解得：,

b=—(m-3)

直線AP的解析式為y=-(m-3)x-(m-3),

當(dāng)x=0時(shí)，y=-(m-3)=3-m,

/.(0,3-m),

/.OD=3—m9

CF=OD=3—mJ

在拋物線y=-九2+2尤+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3,

/.C(0,3),

OC=3,

:.DF=OC-OD-CF=3-(3-m)-(3-m)=2m-3,

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為?，—(m―3?—(m—3),

A(-1,O),5(3,0),

.\AB=4,

‘△AFE='△ABE，

:XDF\xA-xE)=-AByE,

—x(2m-3)x(?+l)=—x4x^-(m-3)?-(m-3)],

解得：m=1,

.二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為3口

。1―1,77

-''sPAB^~ABxyp^~x4x~=~-

5.（2023?湖南?中考真題）如圖，二次函數(shù)y=d+6x+c的圖象與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與V軸交于C點(diǎn),

其中3（1,0）,C（0,3）.

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使得&PAC=SAABC?若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理

由；

【詳解】（1）解：將點(diǎn)3（1,0）,C（0,3）代入y=d+6x+c,得

fl+Z?+c=0

[c=3

仿二-4

解得：。

[c=3

???拋物線解析式為y=f-?+3；

22

（2）vy=x-4x+3=（X-2）-1,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）,

當(dāng)y=0時(shí)，x2-4x+3=o

解得：%=1,%=3

A（3,0）,則。4=3

VC（0,3）,則OC=3

AOC是等腰直角三角形，

??V—V

?°APAC一°AAfiC

/.P到AC的距離等于B到AC的距離,

???4(3,0),C(0,3),設(shè)直線AC的解析式為>=履+3

3左+3=0

解得：k=-l

直線AC的解析式為y=-尤+3,

如圖所示，過點(diǎn)8作AC的平行線，交拋物線于點(diǎn)尸,

設(shè)3尸的解析式為y=r+d,將點(diǎn)3(1,0)代入得,

-l+d=0

解得：<7=1

直線3尸的解析式為y=-x+l,

[y=-x+\

[y=爐-4x+3

?/PA=J(3-2,+F=?PB={(2-1)2+F=也A8=3-1=2

P^+PB1=AB1

AB尸是等腰直角三角形，且/4P3=90。，

如圖所示，延長(zhǎng)PA至。，使得=過點(diǎn)。作AC的平行線OE,交x軸于點(diǎn)E,則/M=R4,則符

合題意的點(diǎn)尸在直線DE上，

?；△AP8是等腰直角三角形，DE//AC,ACLPD

：.Z.DAE=NBAP=45°PD±DE

，VADE是等腰直角三角形，

AE=CAD=6AP=2

/.E（5,0）

設(shè)直線DE的解析式為y=-x+e

，—5+e=0

解得：e=5

直線DE的解析式為7=-尤+5

3-717f3+V17

----------X=----------

綜上所述，p（2T）或尸心,尸

6.（2023.黑龍江齊齊哈爾.中考真題）綜合與探究

如圖，拋物線y=-V+bx+c上的點(diǎn)A,C坐標(biāo)分別為（0,2）,（4,0）,拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)3,點(diǎn)、M

（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式;

（2）點(diǎn)P是拋物線位于第一象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP,CP,當(dāng)S&ACMSAACM時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸且OM=2可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(0,-2),利用待定系數(shù)法可得拋物線

7

的解析式為y=-Y+5x+2；

(2)過點(diǎn)尸作依軸于點(diǎn)R交線段AC于點(diǎn)E,用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y=-1x+2,

設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為P(0<P<4),則尸[p,-p2+：p+2),+,故尸E=-p2+4p(0<p<4),先

求得S~CM=8,從而得至l]S&Ac=；PE-OC=-2p2+8p=8,解出p的值，從而得出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

【詳解】(1)解：：點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸且31=2,

將4(0,2),C(4,0)代入了一+匕尤+,,得

c=2

1-16+48+。=0

解得，2

c=2

7

???拋物線的解析式為y=-x2+jx+2

(2)解：過點(diǎn)尸作尸軸于點(diǎn)尸，交線段AC于點(diǎn)E,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m(k^Q),

將4(0,2),44,0)代入尸4+利,得

m=2k=--

妹+八。,解得2,

m=2

直線AC的解析式為y=-；x+2

設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為。(。<。<4)

則P(P，—p2+g夕+2),￡1[〃,一；〃+2),

PE=-p2+(p+2-1-；〃+2)=-p2+4p{0<p<4)

2

??,SAACM=8,SAPAC=|PE-OC=-2p+8^=8,解得網(wǎng)=0=2,

P（2,5）

7.（2023?四川瀘州?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知拋物線y=ax?+2x+c與坐標(biāo)軸分別

相交于點(diǎn)A,B,C（0,6）三點(diǎn)，其對(duì)稱軸為x=2.

⑴求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)尸是該拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線■分別與V軸，直線BC交于點(diǎn)。，E.

①當(dāng)CD=CE時(shí)，求8的長(zhǎng)；

②若.CW,_CDE,△口/的面積分別為S-邑，邑，且滿足豆+$3=252,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴y=-g/+2x+6

⑵①8-2虎；②尸（4,6）

91

【分析】（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸為尤=2,可得一或=2,求得°=心，再將C（0,6）代入拋物線，根據(jù)待定系

數(shù)法求得。，即可解答；

（2）①求出點(diǎn)3,點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得到直線3C的解析式為y=-x+6,設(shè)8=。，則￡>（0,6-。），求得

AD的解析式，列方程求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，最后根據(jù)CD=CE列方程，即可求出的長(zhǎng)；

②過召/分別作的垂線段，交A3于點(diǎn)G,H,過點(diǎn)。作EG的垂線段，交EG于點(diǎn)/,根據(jù)工+$3=252,

可得AD+￡F=2DE,即竺=工，證明，設(shè)尸"，-《后+2力+6］，得到直線AF的解析式，

AF3<2）

求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入y=-x+6解方程，即可解答.

【詳解】（1）解：根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為x=2,

得*2,

解得a=-g,

將C（0,6）代入拋物線可得6=C,

1,

拋物線的解析式為了=-//+2》+6；

|,

（2）解：當(dāng)>=。時(shí)，得0=-+2尤+6,

解得玉=6,%=-2,

??.A（-2,0）,8（6,0）,

設(shè)CB的解析式為y=h+b,將C（o,6）,8（6,0）代入y=區(qū)+b,

,f6=

得jo=6Zb+Z/

解得［:=］，

.?.。3的解析式為〉=一天+6,

TSCD=a,則。（0,6-a）,

設(shè)AZ）的解析式為y=+將。（0,6—a）,A（—2,0）代入y=G+4,

得[[o6=-_a2勺=+b,6/

k6—a

解得小虧，

b[=6-a

.:鉆的解析式為〉=等》+6-。,

y=—x+6

聯(lián)立方程6-au，

y=----x+o-a

I2

2a

x=------

8-〃

解得

48—8。

y=---------

S-a

根據(jù)ACE,得[分-6

解得4=8-2應(yīng)，出=8+2血，

經(jīng)檢驗(yàn)，?[=8—2>/2,%=8+2>/^是方程的解，

點(diǎn)F是該拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

.：￡>在y軸正半軸，

:.a<6f

.,.41—8-21\/2

即C￡>的長(zhǎng)為8-2夜;

②解：如圖，過E『分別作的