2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第三章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ函數(shù)與方程理

2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)（理）考點(diǎn)：函數(shù)與方程1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連綿不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)210概念方法微思索函數(shù)f(x)的圖象連綿不斷，是否可得到函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)？提示不能．1．（2024?天津）已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【解析】若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則有四個(gè)根，即與有四個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與圖象如下：兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，與軸交于兩點(diǎn)，圖象如圖所示，兩圖象有4個(gè)交點(diǎn)，符合題意，當(dāng)時(shí)，與軸交于兩點(diǎn)，在，內(nèi)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以若有四個(gè)交點(diǎn)，只需與在，還有兩個(gè)交點(diǎn)，即可，即在，還有兩個(gè)根，即在，還有兩個(gè)根，函數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），所以，且，所以，綜上所述，的取值范圍為，，．故選．2．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）函數(shù)在，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】函數(shù)在，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程在區(qū)間，的根個(gè)數(shù)，即在區(qū)間，的根個(gè)數(shù)，即或在區(qū)間，的根個(gè)數(shù)，解得或或．所以函數(shù)在，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)．故選．3．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則A． B． C． D．1【答案】C【解析】因?yàn)?，所以函?shù)有唯一零點(diǎn)等價(jià)于方程有唯一解，等價(jià)于函數(shù)的圖象與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，沖突；②當(dāng)時(shí)，由于在上遞增、在上遞減，且在上遞增、在上遞減，所以函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)為，的圖象的最高點(diǎn)為，由于，此時(shí)函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，沖突；③當(dāng)時(shí)，由于在上遞增、在上遞減，且在上遞減、在上遞增，所以函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)為，的圖象的最低點(diǎn)為，由題可知點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)滿意條件，即，即，符合條件；綜上所述，，方法二：，令，則為偶函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，若有唯一零點(diǎn)，則依據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，，所以．故選．4．（2024?上海）設(shè)，若存在定義域?yàn)榈暮瘮?shù)同時(shí)滿意下列兩個(gè)條件：（1）對隨意的，的值為或；（2）關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是__________．【答案】，，，【解析】依據(jù)條件（1）可得或（1），又因?yàn)殛P(guān)于的方程無實(shí)數(shù)解，所以或1，故，，，，故答案為：，，，．5．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）函數(shù)在，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________．【答案】3【解析】，，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，，或，或，故零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，故答案為：3．6．（2024?浙江）我國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一．凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為，，，則，當(dāng)時(shí)，__________，__________．【答案】8；11【解析】，當(dāng)時(shí)，化為：，解得，．故答案為：8；11．7．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)，若（3），則__________．【答案】【解析】函數(shù)，若（3），可得：，可得．故答案為：．8．（2024?上海）設(shè)，函數(shù)，，若函數(shù)與的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】函數(shù)與的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，即方程有兩不同根，也就是有兩不同根，，在上有兩不同根．，或，．又，且，，僅有兩解時(shí)，應(yīng)有，則．的取值范圍是．故答案為：．9．（2024?江蘇）設(shè)是定義在上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間，上，，其中集合，，則方程的解的個(gè)數(shù)是__________．【答案】8【解析】在區(qū)間，上，，第一段函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為有理數(shù)，又是定義在上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間，上，，此時(shí)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；同理：區(qū)間，上，的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間，上，的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間，上，的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間，上，的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間，上，的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間，上，的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間，上，的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；在區(qū)間，上，的圖象與無交點(diǎn)；故的圖象與有8個(gè)交點(diǎn)，且除了，其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無理數(shù)；即方程的解的個(gè)數(shù)是8，故答案為：8．10．（2024?上海）若關(guān)于、的方程組無解，則實(shí)數(shù)__________．【答案】6【解析】若關(guān)于、的方程組無解，說明兩直線與無交點(diǎn)．則，解得：．故答案為：6．11．（2024?上海）設(shè)、，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則（1）的取值范圍為__________．【答案】【解析】函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上兩個(gè)不相等的實(shí)根，，如圖畫出數(shù)對所表示的區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)（1）的最小值為過點(diǎn)時(shí)，的最大值為過點(diǎn)時(shí)（1）的取值范圍為故答案為：．1．（2024?馬鞍山三模）已知，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B． C．， D．，【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，則，令得：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且（1），，當(dāng)時(shí)，，則，明顯，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，故函數(shù)的大致圖象如圖所示，令，則關(guān)于的方程化為關(guān)于的方程，△，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)為，，由韋達(dá)定理得：，，不妨設(shè)，，關(guān)于的方程恰好有5個(gè)不相等的實(shí)根，由函數(shù)的圖象可知：且，設(shè)，則，解得．故選．2．（2024?龍鳳區(qū)校級(jí)模擬）若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不相等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】方程恰有4個(gè)不相等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為恰有4個(gè)不相等實(shí)根，令，可得．由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，可得在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．作出的圖象如圖，由圖可知，要使恰有4個(gè)不相等實(shí)根，則，，且關(guān)于的方程在，上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即在，上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，解得．故選．3．（2024?香坊區(qū)校級(jí)一模）已知為定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)，時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】，可得周期，又是奇函數(shù)，可得，，可得函數(shù)關(guān)于對稱，當(dāng)，時(shí)，，作出的圖象如與之間的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，圖象的交點(diǎn)有4個(gè)．即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)．故選．4．（2024?唐山二模）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，故在，上單調(diào)遞增．，，，在，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令得，即，此時(shí)原函數(shù)的零點(diǎn)即為：，的零點(diǎn)．令得．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增．因?yàn)椋?），（3），（6），故在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，共有3個(gè)零點(diǎn)．故選．5．（2024?湖北模擬）已知函數(shù)，，則函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)A．4038 B．4039 C．4040 D．4041【答案】B【解析】令得，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且是上的奇函數(shù)且，，，，如圖所示在同一坐標(biāo)系下作出與的圖象可知：與的圖象在，上有2024個(gè)交點(diǎn)，在，上有2024個(gè)交點(diǎn)函數(shù)有4039個(gè)交點(diǎn)；故選．6．（2024?九龍坡區(qū)模擬）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解，，，且，則的取值范圍是A． B．， C． D．，【答案】D【解析】作函數(shù)函數(shù)，的圖象如下，由圖可知，，，，則，其在上是減函數(shù)，令，函數(shù)和函數(shù)在，是減函數(shù)，在，上是減函數(shù)，由單調(diào)性可得：（1），即．故選．7．（2024?杜集區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)對隨意的，都有，函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】由題意，，可知關(guān)于對稱，那么函數(shù)是奇函數(shù)，即圖象過，且，可得即，可得周期，作出，的圖象，可得函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8．故選．8．（2024?武侯區(qū)校級(jí)模擬）定義在上的函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)？（其中表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由題意，函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求的根的個(gè)數(shù)，依據(jù)和的圖象，求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，則有，，，，一共有3個(gè)零點(diǎn)．故選．9．（2024?杜集區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，則常數(shù)A． B．1 C． D．【答案】B【解析】由題意，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，即函數(shù)與，只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，那么函數(shù)的最大值的坐標(biāo)為，所以，所以．故選．10．（2024?西安三模）定義域和值域均為，（常數(shù)的函數(shù)和的圖象如圖所示，方程解得個(gè)數(shù)不行能的是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】方程對應(yīng)的有一個(gè)解，從圖中可知，，可能有1，2，3個(gè)解；從而可知方程解得個(gè)數(shù)不行能為4個(gè)；故選．11．（2024?武侯區(qū)校級(jí)模擬）定義在區(qū)間，的函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)？（其中表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】令，則，，，則原問題轉(zhuǎn)化為求的根的個(gè)數(shù)，依據(jù)和的圖象，求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，則有，，，，即當(dāng)，則；，則和；，，亦有兩解，一共有5個(gè)零點(diǎn)．故選．12．（2024?東湖區(qū)校級(jí)模擬）若函數(shù)在其定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，由有兩個(gè)根，而（1），所以不是方程的根，即直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，，因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．．作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖可知，的取值范圍是，．故選．13．（2024?青羊區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【解析】只有一個(gè)整數(shù)解，即只有一個(gè)整數(shù)解，令，則的圖象在直線的上方只有一個(gè)整數(shù)解．作出的圖象，由圖象可知的取值范圍為（3）（2）即，故選．14．（2024?梅河口市校級(jí)模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，與函數(shù)恒有一個(gè)交點(diǎn)，的最大值的端點(diǎn)坐標(biāo)為．函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即函數(shù)與且有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值為3，即坐標(biāo)為，若，即直線與拋物線相切，則只有一個(gè)解，即△，，可得，若，要使函數(shù)與且有一個(gè)交點(diǎn)，則，，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選．15．（2024?運(yùn)城模擬）定義在上的函數(shù)滿意，且，若函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，所以是周期為的周期函數(shù)，作出函數(shù)的圖象如圖所示，直線經(jīng)過點(diǎn)，，由圖知，當(dāng)直線夾在直線與直線之間時(shí)，與函數(shù)的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，易知，，，則；實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選．16．（2024?道里區(qū)校級(jí)四模）定義：表示的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)．若，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，由冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，不只有兩個(gè)整數(shù)解，當(dāng)時(shí)，，若，即，解得，整數(shù)解不是兩個(gè)，當(dāng)時(shí)，（3），（3），（3）（3），所以3是一個(gè)整數(shù)解，若另一個(gè)整數(shù)解為2時(shí)，，解得，若另一個(gè)整數(shù)解為4時(shí)，無解，綜上所述的取值范圍為，故選．17．（2024?天心區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，所以，即，解得．又當(dāng)時(shí)，．所以（1）當(dāng)時(shí)，有1個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)有1個(gè)實(shí)數(shù)根，不滿意題意；（2）當(dāng)時(shí)，有2個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)有1個(gè)實(shí)數(shù)根，滿意題意；（3）當(dāng)時(shí)，無實(shí)數(shù)根，此時(shí)最多有2個(gè)實(shí)數(shù)根，不滿意題意．綜上，，故選．18．（2024?桃城區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B． C．，， D．，【答案】D【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以是的一個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，由題知應(yīng)有兩個(gè)不為零的不同零點(diǎn)，即有兩個(gè)不為零的不同實(shí)根，即與的圖象有兩個(gè)不為零的不同交點(diǎn)，又，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，令，，則，所以時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的大致圖象是數(shù)形結(jié)合，知當(dāng)或，時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．故選．19．（2024?讓胡路區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)，若方程恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】畫出函數(shù)的圖象如圖中實(shí)線部分所示，方程恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，而是斜率為，過定點(diǎn)的直線，當(dāng)直線與相切時(shí)，即圖中，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，則切線的方程為，又點(diǎn)在切線上，代入可解得，直線的斜率為，當(dāng)直線過原點(diǎn)，即圖中，計(jì)算可知直線的斜率為，所以當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)．故選．20．（2024?河南模擬）已知函數(shù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【解析】令B，則，①當(dāng)時(shí)，，即，即，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解，即方程有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，，，；，，且，所以，當(dāng)時(shí)，而，于是方程無解．②當(dāng)時(shí)，，由（1）知，即，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，，所以無