2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5.1函數(shù)的零點與方程的解課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版必修第一冊

PAGE9-函數(shù)的零點與方程的解(15分鐘35分)1.若函數(shù)f(x)的圖象是一條連綿不斷的曲線，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，則y=f(x)有唯一零點需滿意的條件是 ()A.f(3)<0B.函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)C.f(3)>0D.函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)【解析】選D.因為f(1)>0，f(2)<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)上肯定有零點.若要保證只有一個零點，則函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)必需是減函數(shù).2.已知函數(shù)f(x)=mx+1的零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則m的取值范圍是 ()【解析】選B.依據(jù)題意，函數(shù)f(x)=mx+1，當(dāng)m=0時，f(x)=1，沒有零點，當(dāng)m≠0時，f(x)為單調(diào)函數(shù)，若其在區(qū)間(1，2)內(nèi)存在零點，必有f(1)f(2)<0，即(m+1)(2m+1)<0，解可得：-1<m<-QUOTE，即m的取值范圍為QUOTE.3.(2024·杭州高一檢測)函數(shù)y=QUOTElnx+x-2的零點所在的區(qū)間是 ()A.QUOTE B.(1，2)C.(e，3) D.(2，e)【解析】選B.因為函數(shù)的定義域為(0，+∞)，是單調(diào)增函數(shù)，又f(1)=0-1<0，f(2)=QUOTEln2>0，故有f(1)·f(2)<0，所以函數(shù)零點所在區(qū)間是(1，2).【補償訓(xùn)練】方程lnx+x-4=0的實根所在的區(qū)間為 ()A.(1，2) B.(2，3)C.(3，4) D.(4，5)【解析】選B.令f(x)=lnx+x-4，在定義域上連續(xù)且單調(diào)遞增，f(3)=ln3+3-4=ln3-1>0，f(2)=ln2+2-4=ln2-2<0，故f(2)f(3)<0，故實根所在區(qū)間是(2，3).4.已知函數(shù)f(x)=2x+x-8，若f(x0)=0，則 ()A.0<x0<1 B.1<x0<2C.2<x0<3 D.3<x0<4【解析】選C.函數(shù)f(x)=2x+x-8，函數(shù)是增函數(shù)，f(2)=4+2-8=-2<0，f(3)=8+3-8=3>0，f(2)f(3)<0，函數(shù)的零點在區(qū)間(2，3)內(nèi)，若f(x0)=0，則2<x0<3.5.若函數(shù)f(x)=x2-ax+b的兩個零點是2和3，則函數(shù)g(x)=bx2-ax-1的零點是_______.

【解析】因為函數(shù)f(x)=x2-ax+b的兩個零點是2和3，所以QUOTE即QUOTE所以g(x)=6x2-5x-1，所以g(x)的零點為1和-QUOTE.答案：1和-QUOTE6.已知函數(shù)f(x)=QUOTE(1)在如圖所示的坐標系中，作出函數(shù)f(x)的圖象并寫出單調(diào)區(qū)間.(2)若f(a)=2，求實數(shù)a的值.(3)當(dāng)m為何值時，f(x)+m=0有三個不同的零點.【解析】(1)函數(shù)圖象如圖，由圖可知，函數(shù)的減區(qū)間為QUOTE；增區(qū)間為QUOTE，(1，+∞).(2)由f(a)=2，得a2-a=2(a≤1)或log2(a-1)=2(a>1).解得a=-1或a=5.(3)由圖可知要使f(x)+m=0有三個不同的零點，則-QUOTE<-m≤0，解得0≤m<QUOTE.【補償訓(xùn)練】(2024·普寧高一檢測)已知a>0，函數(shù)f(x)=QUOTE，(x∈R).(1)證明：f(x)是奇函數(shù).(2)假如方程f(x)=1只有一個實數(shù)解，求a的值.【解析】(1)由函數(shù)f(x)=QUOTE(x∈R)，可得定義域為R，且f(-x)=-QUOTE=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).(2)方程f(x)=1只有一個實數(shù)解，即為x2-ax+1=0，即Δ=a2-4=0，解得a=2(-2舍去)，所以a的值為2.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1.(2024·十堰高一檢測)若點(log147，log1456)在函數(shù)f(x)=kx+3的圖象上，則f(x)的零點為 ()A.1 B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選D.依據(jù)題意，點(log147，log1456)在函數(shù)f(x)=kx+3的圖象上，則log1456=k×log147+3，解得k=-2，則f(x)=-2x+3，若f(x)=0，則x=QUOTE，即f(x)的零點為QUOTE.2.(2024·煙臺高一檢測)已知f(x)=(x-a)(x-b)-2，并且α，β是函數(shù)f(x)的兩個零點，則實數(shù)a，b，α，β的大小關(guān)系可能是 ()A.a<α<b<β B.a<α<β<bC.α<a<b<β D.α<a<β<b【解析】選C.因為α，β是函數(shù)f(x)的兩個零點，所以f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0，結(jié)合二次函數(shù)的圖象(如圖所示)可知a，b必在α，β之間.3.已知函數(shù)f(x)=QUOTE若函數(shù)y=f(x)+2x+a有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.(1，2] B.[-2，-1)C.[2，4] D.[-4，-2)【解析】選D.因為函數(shù)y=f(x)+2x+a有兩個零點，所以直線y=-2x-a與y=f(x)的圖象有兩個零點，作出y=f(x)的圖象如圖所示：若直線y=-2x-a經(jīng)過點(1，0)，則a=-2，若直線y=-2x-a經(jīng)過點(1，2)，則a=-4.所以當(dāng)直線y=-2x-a與y=f(x)的圖象有2個交點時，-4≤a<-2.4.已知函數(shù)f(x)=QUOTE則函數(shù)y=f(f(x))-1的零點個數(shù)為()A.2 B.3 C.4 【解析】選B.由題意，令f(f(x))-1=0，得f(f(x))=1，令f(x)=t，由f(t)=1，得t=-1或t=QUOTE，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可知，f(x)=-1有1個解，f(x)=QUOTE有2個解，故y=f(f(x))-1的零點個數(shù)為3.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5.若函數(shù)f(x)=x+QUOTE(a∈R)在區(qū)間(1，2)上有零點，則a的值可能是 ()A.-2 B.-1 C.-4 【解析】選AD.f(x)=x+QUOTE(a∈R)的圖象在(1，2)上是連綿不斷的，則QUOTE<0，解得-4<a<-1，所以a的值可能是-2，-3.6.函數(shù)f(x)=|x2-4x|-m恰好有兩個不同零點，則m的值可以是 ()A.m>4 B.4C.0<m<4 D.0【解析】選AD.由f(x)=0可得m=|x2-4x|，作出y=|x2-4x|的函數(shù)圖象如圖所示：因為f(x)恰好有兩個不同的零點，所以直線y=m與y=|x2-4x|的圖象有兩個不同的交點，所以m=0或m>4.【光速解題】選取特別值通過求零點推斷.三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2024·撫州高一檢測)函數(shù)f(x)=(2x-3)·ln(x-2)的零點個數(shù)為_______.

【解析】函數(shù)的定義域為{x|x>2}，令(2x-3)·ln(x-2)=0，因為2x-3>0，可得ln(x-2)=0，解得x=3.所以函數(shù)的零點只有1個.答案：1【誤區(qū)警示】本題簡單出現(xiàn)忽視定義域的錯誤，誤認為零點個數(shù)為2.8.已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，-5是它的一個零點，且在(0，+∞)上是減函數(shù)，則該函數(shù)有_______個零點，這幾個零點的和等于_______.

【解析】因為函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且在(0，+∞)上是減函數(shù)，所以f(0)=0.又因為f(-5)=0，所以f(5)=-f(-5)=0，故該函數(shù)有3個零點，這3個零點之和等于0.答案：30四、解答題(每小題10分，共20分)9.(2024·大慶高一檢測)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)=2x+QUOTE+m.(1)確定實數(shù)m的值并求函數(shù)f(x)在R上的解析式.(2)求滿意方程f(x)=0的x的值.【解析】(1)依據(jù)題意，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則當(dāng)x=0時，f(0)=4+m=0，解得：m=-4.設(shè)x<0，則-x>0，則f(-x)=2-x+QUOTE-4=3·2x+QUOTE-4，又由f(-x)=-f(x)，則f(x)=-3·2x-QUOTE+4(x<0)，故(2)當(dāng)x≥0時，f(x)=2x+QUOTE-4，令f(x)=0，得f(x)=2x+QUOTE-4=0，即(2x)2-4·2x+3=0，解可得2x=1或2x=3，即x1=0，x2=log23；又由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則當(dāng)x<0時，根為x3=-log23；綜合可得，方程f(x)=0的根為x1=0，x2=log23，x3=-log23.10.已知函數(shù)f(x)=QUOTE(c為常數(shù))，若1為函數(shù)f(x)的零點.(1)求c的值.(2)證明函數(shù)f(x)在[0，2]上是單調(diào)增函數(shù).(3)已知函數(shù)g(x)=f(ex)-QUOTE，求函數(shù)g(x)的零點.【解析】(1)因為1為函數(shù)f(x)的零點，所以f(1)=0，即c=1.(2)設(shè)0≤x1<x2≤2，則f(x2)-f(x1)=QUOTE-QUOTE=QUOTE，因為0≤x1<x2≤2，所以x2-x1>0，x2+1>0，x1+1>0，所以f(x2)>f(x1)，即函數(shù)f(x)在[0，2]上是單調(diào)增函數(shù).(3)令g(x)=f(ex)-QUOTE=QUOTE-QUOTE=0，所以ex=2，即x=ln2，所以函數(shù)g(x)的零點是ln2.1.已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，g(x)=[x]為取整函數(shù)，x0是函數(shù)f(x)=lnx+x-4的零點，則g(x0)= ()A.4 B.5 C.2 【解析】選C.函數(shù)f(x)=lnx+x-4在x>0時是連續(xù)的增函數(shù)，因為f(e)=1+e-4<0，f(3)=ln3-1>0，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間為(e，3)，g(x0)=[x0]=2.2.已知函數(shù)f(x)=x2-b