2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算教學(xué)用書教案新人教A版選修2-1

PAGE3.1空間向量及其運(yùn)算3.3.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．理解空間向量的概念．(難點(diǎn))2．駕馭空間向量的線性運(yùn)算．(重點(diǎn))3．駕馭共線向量定理、共面對(duì)量定理及推論的應(yīng)用．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過空間向量有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．2．借助向量的線性運(yùn)算、共線向量及共面對(duì)量的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．1．空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長(zhǎng)度或模：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up7(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up7(→))|．2．幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量隨意00單位向量隨意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up7(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up7(→))相等向量相同相等a＝b3．向量的加法、減法空間向量的運(yùn)算加法eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝a－b加法運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝b＋a(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思索1：(1)空間中，a，b，c為不共面對(duì)量，則a＋b＋c的幾何意義是什么？(2)平面對(duì)量的加減運(yùn)算和空間向量的加減運(yùn)算有什么聯(lián)系？[提示](1)以a，b，c為相鄰棱的平行六面體的體對(duì)角線．(2)隨意兩個(gè)向量都可平移到同一平面，故空間向量的加減運(yùn)算與平面對(duì)量的加減運(yùn)算類似．4．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)定義：實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍舊是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)λ>0時(shí)，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與向量a方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0；λa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|λ|倍．(2)運(yùn)算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a．5．共線向量和共面對(duì)量(1)共線向量①定義：表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．②共線向量定理：對(duì)于空間隨意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a＝λb．③點(diǎn)P在直線AB上的充要條件：存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))．(2)共面對(duì)量①定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面對(duì)量．②共面對(duì)量定理：若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb．③空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y),使eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或?qū)臻g隨意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))．思索2：(1)空間中隨意兩個(gè)向量肯定是共面對(duì)量嗎？(2)若空間隨意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，滿意eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))，則點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C是否共面？[提示](1)空間中隨意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一個(gè)平面的兩個(gè)向量，因此肯定是共面對(duì)量．(2)由eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))得eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))即eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，因此點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C共面．1．如圖所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1全部的棱中，可作為直線A1B1A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)D[共四條：AB，A1B1，CD，C1D1．]2．已知空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(CB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，則eq\o(CD,\s\up7(→))＝()A．a(chǎn)＋b－c B．－a－b＋cC．－a＋b＋c D．－a＋b－cC[eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝－a＋b＋c．]3．在三棱錐A-BCD中，若△BCD是正三角形，E為其中心，則eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))化簡(jiǎn)的結(jié)果為________．0[延長(zhǎng)DE交邊BC于點(diǎn)F，則有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，故eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝0．]4．在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))的化簡(jiǎn)結(jié)果為________．eq\o(EF,\s\up7(→))[eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(EF,\s\up7(→))．]空間向量的有關(guān)概念【例1】(1)給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(A1C1,\s\up7(→))；④若空間向量m，n，p滿意m＝n，n＝p，則m＝p．其中正確命題的序號(hào)是________．(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，頂點(diǎn)連接的向量中，與向量eq\o(AA′,\s\up7(→))相等的向量有________；與向量eq\o(A′B′,\s\up7(→))相反的向量有________．(要求寫出全部適合條件的向量)(1)②③④(2)eq\o(BB′,\s\up7(→))，eq\o(CC′,\s\up7(→))，eq\o(DD′,\s\up7(→))eq\o(B′A′,\s\up7(→))，eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(C′D′,\s\up7(→))[(1)對(duì)于①，向量a與b的方向不肯定相同或相反，故①錯(cuò)；對(duì)于②，依據(jù)相反向量的定義知|a|＝|b|，故②正確；對(duì)于③，依據(jù)相等向量的定義知，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(A1C1,\s\up7(→))，故③正確；對(duì)于④，依據(jù)相等向量的定義知正確．](2)依據(jù)相等向量的定義知，與向量eq\o(AA′,\s\up7(→))相等的向量有eq\o(BB′,\s\up7(→))，eq\o(CC′,\s\up7(→))，eq\o(DD′,\s\up7(→))．與向量eq\o(A′B′,\s\up7(→))相反的向量有eq\o(B′A′,\s\up7(→))，eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(C′D′,\s\up7(→))．]解答空間向量有關(guān)概念問題的關(guān)鍵點(diǎn)及留意點(diǎn)1關(guān)鍵點(diǎn)：緊緊抓住向量的兩個(gè)要素，即大小和方向.2留意點(diǎn)：留意一些特別向量的特性.①零向量不是沒有方向，而是它的方向是隨意的，且與任何向量都共線，這一點(diǎn)說明白共線向量不具備傳遞性.②單位向量方向雖然不肯定相同，但它們的長(zhǎng)度都是1.③兩個(gè)向量模相等，不肯定是相等向量；反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同.若兩個(gè)向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄?eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖所示，以長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1(1)試寫出與eq\o(AB,\s\up7(→))相等的全部向量；(2)試寫出eq\o(AA1,\s\up7(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up7(→))的模．[解](1)與向量eq\o(AB,\s\up7(→))相等的向量有eq\o(A1B1,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))，，eq\o(D1C1,\s\up7(→))，共3個(gè)；(2)向量eq\o(AA1,\s\up7(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up7(→))，eq\o(B1B,\s\up7(→))，eq\o(C1C,\s\up7(→))，eq\o(D1D,\s\up7(→))，共4個(gè)；(3)|eq\o(AC1,\s\up7(→))|2＝22＋22＋12＝9，所以|eq\o(AC1,\s\up7(→))|＝3．空間向量的線性運(yùn)算【例2】(1)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量eq\o(AC1,\s\up7(→))的有()①(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))；②(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))；③(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))；④(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：①eq\o(AP,\s\up7(→))；②eq\o(A1N,\s\up7(→))；③eq\o(MP,\s\up7(→))＋eq\o(NC1,\s\up7(→))．思路探究：(1)依據(jù)向量的三角形法則和平行四邊形法則求解．(2)依據(jù)數(shù)乘向量及三角形法則，平行四邊形法則求解．(1)D[對(duì)于①，(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))，對(duì)于②，(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AD1,\s\up7(→))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))，對(duì)于③，(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))，對(duì)于④，(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))．](2)解：①∵點(diǎn)P是C1D1的中點(diǎn)，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1P,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b，②∵點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c，③∵點(diǎn)M是AA1的中點(diǎn)，∴eq\o(MP,\s\up7(→))＋eq\o(NC1,\s\up7(→))＝eq\o(MA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1P,\s\up7(→))＋eq\o(NC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋c＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c＋a＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c．1．空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，敏捷運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必留意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采納空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果．2．利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合詳細(xì)圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量．(2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過程中要有目標(biāo)意識(shí)，奇妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．已知ABCD為正方形，P是ABCD所在平面外的一點(diǎn)，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中點(diǎn)O，Q是CD的中點(diǎn)，求下列各式中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋xeq\o(PC,\s\up7(→))＋yeq\o(PA,\s\up7(→))；(2)eq\o(PA,\s\up7(→))＝xeq\o(PO,\s\up7(→))＋yeq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→))．[解](1)如圖所示，eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(OP,\s\up7(→))，由向量加法的平行四邊形法則可得eq\o(PO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PC,\s\up7(→))＋eq\o(PA,\s\up7(→)))，∴eq\o(OP,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up7(→))，∴eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up7(→))，∴x＝－eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)．(2)∵eq\o(PA,\s\up7(→))＝eq\o(PD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝eq\o(PD,\s\up7(→))＋2eq\o(QO,\s\up7(→))＝eq\o(PD,\s\up7(→))＋2(eq\o(PO,\s\up7(→))－eq\o(PQ,\s\up7(→)))＝eq\o(PD,\s\up7(→))＋2eq\o(PO,\s\up7(→))－2eq\o(PQ,\s\up7(→))，∴x＝2，y＝－2．共線問題【例3】(1)設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up7(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up7(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，實(shí)數(shù)k＝________．(2)如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為A1C上一點(diǎn)，且A1O＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))，BD與AC交于點(diǎn)M．求證：C1，O，M三點(diǎn)共線．思路探究：(1)依據(jù)向量共線的充要條件求解．(2)用向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))分別表示eq\o(MO,\s\up7(→))和eq\o(MC1,\s\up7(→))．(1)1[eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2．設(shè)eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，則7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝7,λk＝k＋6))，解得k＝1．](2)解：設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，則eq\o(MO,\s\up7(→))＝eq\o(MC,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,6)b＋eq\f(1,3)c，eq\o(MC1,\s\up7(→))＝eq\o(MC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))，＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，∴eq\o(MC1,\s\up7(→))＝3eq\o(MO,\s\up7(→))，又直線MC1與直線MO有公共點(diǎn)M，∴C1，O，M三點(diǎn)共線．1．推斷向量共線的策略(1)熟記共線向量的充要條件：①若a∥b，b≠0，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使a＝λb；②若存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，b≠0，則a∥b．(2)推斷向量共線的關(guān)鍵：找到實(shí)數(shù)λ．2．證明空間三點(diǎn)共線的三種思路對(duì)于空間三點(diǎn)P，A，B可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線．(1)存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))成立．(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))(t∈R)．(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．(1)已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7a－2b，則肯定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，DA[因?yàn)閑q\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝3eq\o(AB,\s\up7(→))．又直線AB，AD有公共點(diǎn)A，故A，B，D三點(diǎn)共線．](2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up7(→))＝2eq\o(ED1,\s\up7(→))，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up7(→))．求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．[證明]設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，因?yàn)閑q\o(A1E,\s\up7(→))＝2eq\o(ED1,\s\up7(→))，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up7(→))，所以eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up7(→))，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up7(→))，所以eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c，所以eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(A1F,\s\up7(→))－eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c))．又eq\o(EB,\s\up7(→))＝eq\o(EA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up7(→))，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．向量共面問題[探究問題]1．能說明P，A，B，C四點(diǎn)共面的結(jié)論有哪些？[提示](1)存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))．(2)空間一點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(其中x＋y＋z＝1)．(3)eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))．2．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，試推斷p，m，n[提示]設(shè)p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋cy(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c．因?yàn)閍，b，c不共面，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,－x＋y＝2，,x－y＝1，))而此方程組無(wú)解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面．【例4】如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且BM＝eq\f(1,3)BD，AN＝eq\f(1,3)AE．求證：向量eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))共面．思路探究：可通過證明eq\o(MN,\s\up7(→))＝xeq\o(CD,\s\up7(→))＋yeq\o(DE,\s\up7(→))求證．[證明]因?yàn)镸在BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，所以eq\o(MB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))．同理eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up7(→))．所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up7(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up7(→))))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up7(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up7(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up7(→))．又eq\o(CD,\s\up7(→))與eq\o(DE,\s\up7(→))不共線，依據(jù)向量共面的充要條件可知eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))共面．1．利用四點(diǎn)共面求參數(shù)向量共面的充要條件的實(shí)質(zhì)是共面的四點(diǎn)中所形成的兩個(gè)不共線的向量肯定可以表示其他向量，對(duì)于向量共面的充要條件，不僅會(huì)正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值．2．證明空間向量共面或四點(diǎn)共面的方法(1)向量表示：設(shè)法證明其中一個(gè)向量可以表示成另兩個(gè)向量的線性組合，即若p＝xa＋yb，則向量p，a，b共面．(2)若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對(duì)于空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))，且x＋y＋z＝1成立，則P，A，B，C四點(diǎn)共面．(3)用平面：找尋一個(gè)平面，設(shè)法證明這些向量與該平面平行．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])4．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，平面ABC外的一點(diǎn)M滿意eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up7(→))．(1)推斷eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))三個(gè)向量是否共面；(2)推斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．[解](1)因?yàn)閑q\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up7(→))，所以6eq\o(OM,\s\up7(→))＝3eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))，所以3eq\o(OA,\s\up7(→))－3eq\o(OM,\s\up7(→))＝(2eq\o(OM,\s\up7(→))－2eq\o(OB,\s\up7(→)))＋(eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)))，因此3eq\o(MA,\s\up7(→))＝2eq\o(BM,\s\up7(→))＋eq\o(CM,\s\up7(→))＝－2eq\o(MB,\s\up7(→))－eq\o(MC,\s\up7(→))．故向量eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))共面，三個(gè)向量又有公共點(diǎn)M，故M，A，B，C共面，即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)．1．一些特別向量的特性(1)零向量不是沒有方向，而是它的方向是隨意的．(2)單位向量方向雖然不肯定相同，但它們的長(zhǎng)度都是1．(3)兩個(gè)向量模相等，不肯定是相等向量，反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個(gè)向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚?．四點(diǎn)P，A，B，C共面?對(duì)空間隨意一點(diǎn)O，都有eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))，且x＋y＋z＝1．3．eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))稱為空間平面ABC的向量表達(dá)式．由此可知空間中隨意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定．4．證明(或推斷)三點(diǎn)A，B，C共線時(shí)，只需證明存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(BC,\s\up7(→))(或eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→)))即可，也可用“對(duì)空間隨意一點(diǎn)O，有eq\o(OC,\s\up7(→))＝teq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－t)eq\o(OB,\s\up7(→))”來證明三點(diǎn)A，B，C共線．5．空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，滿意這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)都滿意這個(gè)關(guān)系式．這個(gè)充要條件常用于證明四點(diǎn)共面．1．下列說法正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．兩個(gè)向量相等，若它們的起點(diǎn)相同，則其終點(diǎn)不肯定相同D．若|a|>|b|，|b|>|c|，則a>cB[對(duì)于A，由|a|＝|b|可得a與b的長(zhǎng)度相同，但方向不確定；對(duì)于B，a與b是相反向量，則它們的模相等，故B正確；對(duì)于C，兩向量相等，若它們的起點(diǎn)相同，則它們的終點(diǎn)肯定相同，故C錯(cuò)；對(duì)于D，向量不能比較大小，故D錯(cuò)．]2．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為eq\o(BD1,\s\up7(→))的是()①eq\o(A1D1,\s\up7(→))－eq\o(A1A,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))；②eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))－eq\o(D1C1,\s\up7(→))；③eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(DD1,\s\up7(→)