2024年中考數(shù)學(xué)提高復(fù)習(xí)講義：解直角三角形

解直角三角形

知識(shí)梳理

1.解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素

求出所有未知元素的過程叫作解直角三角形.

2.解直角三角形的理論依據(jù)

在RtAABC中,.NC=90。,U,NB,NC所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c.

(1)三邊之間的關(guān)系：a?+/=。2(勾股定理)；

(2)銳角之間的關(guān)系：乙4+NB=90°;

(3)邊角之間的關(guān)系：

..a.b,.a.b

smA=-，cosA=-，tanA=-com=

ccb/a

sinB=-,cosB=-,tanB=cotB-

ccab

典型例題

例1

在AABC中,ZB=90°,sinA=￥，則tanC=

解析本題主要考查解直角三角形，進(jìn)行三角函數(shù)計(jì)算.

因?yàn)?B=90°,

所以乙4+NC=90°.

因?yàn)閟inA=i|,

所以cosC=

所以tanC=*

例2

如圖所示,NA,NB,NC所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,0是^ABC的內(nèi)心,(0D1BC,OE，AC,OF，AB,則0

D:OE:OF=.

解析本題考查三角形內(nèi)心和三角函數(shù)計(jì)算.

因?yàn)?。?ABC的內(nèi)心，

所以設(shè)OA=OB=OC=R.

由同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系得

ZB=ZCOE

則有OE=OCxcosZCOE=RcosB

同理得：0D=RcosA,OF=RcosC,則OD:OE:OF=cosA:cosB:cosC.

例3

如圖⑴所示，在△ABC中,NACB=9(F,/B>NA,點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn),DE〃BC交AC于點(diǎn)E,CF〃AB

交DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

⑴求證:DE=EF.

(2)連接CD,過點(diǎn)E作DC的垂線交DC于點(diǎn)H,交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖(2)所示.求證:/B=/A+/

解析(1)因?yàn)镈F〃:BC,DB〃FC,

所以四邊形DBCF為平行四邊形.

又因?yàn)镈為RtAACB的斜邊中點(diǎn),DE〃BC,

所以"=絲=工

尸"人BCAB2,

所以DE=\BC.

例3圖(1)

又DF=BC,

所以DE=9，

所以EF=DE.

⑵因?yàn)镈為AB中點(diǎn)，

所以DC=DB=AD,

所以NB=NDCB.

因?yàn)閆EHC=ZACB=90°,

例3圖(2)

所以NHEC+NACD=90。,ZACD+ZDCB=90°,

所以NHEC=NDCB.

因?yàn)镹HEC為△EGC的外角，

所以NHEC=/ECG+/G.

又AD〃CF,

所以NECG=NA,

所以/HEC=/G+NA,

所以/B=/A+/G.

雙基訓(xùn)練

1.在RSABC中,NC=9（T,NB=50。,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.

A.ZA=40°B.a=csin40°

C.b=acos50°D.b=atan50°

2.已知一建筑物的影長(zhǎng)為30m,太陽光此時(shí)與地面的夾角為37°,則樹高為（）m.

30

A.30sin37°B.30cos37°C.30tan37°D.

tan37°

3.在直角三角形中，除直角邊外還有NA,ZB,a,b,c五個(gè)量,若已知下列的兩個(gè)量，不能解直

角三角形的個(gè)數(shù)有（）.

①NA,a;②NA,/B;③a,b;④a,c.

A.lB.2C.3D.4

4.如圖所示，從熱氣球C處測(cè)得地面A,B兩地的俯角分別為30。，45。，如果此時(shí)熱氣球C處的高

度CD為100m,點(diǎn)A,D,B在同一直線上，則A,B兩地的距離是（）.

A.200mB.200V3mC.220V3mD.100（V3+l）m

第4題圖第5題圖

5.如圖所示在等腰直角三角形ABC中,/C=90°,AC=6,D為AC上一點(diǎn)，若tan/DBA=芻則AD的長(zhǎng)

為（）.

A.V2B.2C.lD.2V2

6.小明想測(cè)量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上，此時(shí)測(cè)得地面上的影子長(zhǎng)

為8m,坡面上影長(zhǎng)為4m.已知斜坡的坡度為30°,同一時(shí)刻,一根長(zhǎng)為1m,垂直于地面放置的旗桿在

地面上的影長(zhǎng)為2m,則樹高度為（）.

A.（6+V3）mB.12mC.（4+2V3）mD.10m

7.等腰三角形ABC中頂角/A=120。,且底邊BC的長(zhǎng)為22遍,,則腰長(zhǎng)AC=.

8.如圖所示，有一段斜坡AB長(zhǎng)為10,且坡比為3：4,則坡高AC=

9.如圖所示，在△ABC中,NB=45。,coszC=|,"=5a廁△4BC的面積用含a的式子表示為

10.某山坡的坡比為1,則坡角a=—.

11.在RtAABC中,.ZC=90°,AB=5,tanB=|狽必ABC的面積為一.

12.如圖所示，將一矩形ABCD沿ED折疊,使點(diǎn)C落在C處，其中AB=4,BC=8,則BE=.

第12題圖第14題圖

_2

13.在4ABC中,若|cos4-yl+(sinB-y)=0,乙4,NB均為銳角，則/C=.

14.如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanA=—

15.如圖所示，在四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)若EF=6,BC=13,CD=5廁tanC=.

第15題圖第16題圖

16.如圖所示在△4BC中,AD為BC邊上的高,E為BC的中點(diǎn),NC=45。,sinfi=1,AD=1,則

tanZ.DAE=

17.已知某一三角形中，兩邊長(zhǎng)分別為2cm和3cm,第三邊上的高為1cm,則此三角形的面積為

18.如圖所示,在\\ogramABCD^,AB:AD=3:2,cosX=—,pl!]AADB=

6

第18題圖

19.如圖所示，已知Z.D=90°,tan^CAD=y,AC=10MB=14,,則BC=_.

20.如圖所示,在梯形ABCD中,ADBC,AC1AB,AD=CD,cosB=卷,BC=26,則線段CD的長(zhǎng)為

第20題圖

能力提升

21.如圖所示，已知。O的半徑為5,銳角.△4BC內(nèi)接于。O,BD12C于點(diǎn)D,AB=8,則taWBD

的值等于（）.

A'B

第21題圖

22如圖所示，在等邊三角形ABC中，D,E分別為BC與AC上任意一點(diǎn)，且^ADE=60。,BD

=4,CE=抑△4BC的面積為（）.

48百B.15C.9V3O.12V3

23.在△ABC中,ADJ_BC于D,（CD=逐,AD=々，且乙B=45。,,則ABAC=

24.已知2sin2a—3V3sincr+3=0,則銳角a=_.

25.如圖所示，在等腰4ABC中,AD_LBC于D,且tanzC=|,AB上一點(diǎn)E且滿足AE:BE=3:2,則tan/

ADE=

第26題圖

26.如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，NC=90°,BC=12,,D為AC上任意一點(diǎn)，目AD=4,則

tan乙DBA=

27.如圖所示，在△2BC中,ZC=90。,點(diǎn)D在BC上,BO=6,AD=BC,cos^ADC=|,則DC長(zhǎng)為

第27題圖第28題圖

28.如圖所示，在由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中點(diǎn)A,B,C,D都在這些小正方形頂點(diǎn)上,A

B,CD相交于點(diǎn)P,則tan^APD=.

29.在RtAABC^p,/.ACB=90°,sinB=|,D為BC上一點(diǎn),DE1ZB于點(diǎn)E,CD=DE,AC+CD=9,貝!J.

BE=

30.先化簡(jiǎn)，再求值.

（黑一號(hào)）+懸，其中a=2tm60°—1.

拓展資源

31.如圖所示，矩形ABCD中,AB>AD,AB=a,AN平分1AN于點(diǎn)M,CN14N于點(diǎn)N,

則DM+CN的值為（用含a的代數(shù)式表示X）.

AD4V2A/3

A.aB.—ctC.—CLDN.—ci

522

AB

第31題圖

32.水管的外部需要包扎，包扎時(shí)用帶子纏繞在管道外部.若要使帶子全部包住管道且不重疊（不考慮

管道兩端情況），需計(jì)算帶子的纏繞角度a（a指纏繞中將部分帶子拉成圖中所示的平面ABCD時(shí)的乙4BC

一其中AB為管道側(cè)面母線的一部分）.若帶子寬度為1,水管直徑為2,則a的余弦值為—.

D

第32題圖第33題圖

33.如圖所示在平行四邊形ABCD中,AELBC于點(diǎn)E,AF1CD于點(diǎn)F,若力E=2,4F=3,coszB=

《，則CF=—.

34.星期天，小強(qiáng)去水庫大壩游玩，他站在大壩上的A處看到一棵大樹的影子剛好落在壩底的B處

（點(diǎn)A與大樹及其影子在同一平面內(nèi)）,此時(shí)太陽光與地面成（60。..在A處測(cè)得樹頂D的俯角為15。.如圖

所示，已知AB與地面夾角為60。，AB為8米.請(qǐng)你幫助小強(qiáng)計(jì)算一下這棵大樹的高度.（結(jié)果精確到1

米，參考數(shù)據(jù)：V2x1.4,遍x1.7）

35.身高1.65米的兵兵在建筑物前放風(fēng)箏，風(fēng)箏不小心掛在樹上.如圖所示的平面圖形中，矩形CDE

F表示建筑物，兵兵位于建筑物前點(diǎn)B處，風(fēng)箏掛在建筑物上方的樹枝點(diǎn)G處（點(diǎn)G在FE的延長(zhǎng)線上）.

經(jīng)測(cè)量，兵兵與建筑物的距離.BC=5米，建筑物底部寬FC=7米，風(fēng)箏所在點(diǎn)G與建筑物頂點(diǎn)D及風(fēng)

箏線在手中的點(diǎn)A在同一條直線上，點(diǎn)A距地面的高度AB=1.4米，風(fēng)箏線與水平面夾角為37。.

(1)求風(fēng)箏距地面的高度GF.

⑵在建筑物后面有長(zhǎng)5米的梯子MN,梯腳M在距墻3米處固定擺放，通過計(jì)算說明：若兵兵充分

利用梯子和一根5米長(zhǎng)的竹竿能否觸到掛在樹上的風(fēng)箏？

(參考數(shù)據(jù)：s譏37。?0.60,cos37°?0.80,tan370~0.75)

第35題圖

1-6CCADBA

7.28.69.14a210.45°11.612.4

13.105°14,il5.—16.—

232

17.出史18.60°19.620.13

2

21.D22.C

23.105?；?5°24.60°25.226.127.9

28.229.430.

5+V3

31.因?yàn)锳N平分NDAB,DM_LAN于點(diǎn)M,CN±AN于點(diǎn)N,

所以/ADM=ZMDC=ZNCD=45°,

所以DM+^—=CD.

cos45cos45

因?yàn)锳B=CD=a,

所以DM+CN=acos450=ya,故選C.

32擊

33.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以AB=CD,ZB=ZD.

因?yàn)锳E_LBC,AF_LCD,

所以/AEB=ZAFD=90°.

因?yàn)锳E=2,AF=3,cosNB=

所以sin/B=^=歿

3ABAB

所以4B=3/，

所以CD=3V2.

因?yàn)樵赗tAADF中,tan/D=tanzB=蔡=2M

所以小泰