2024年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：一次函數(shù)中的45°角問題（解析版）

rim

百自例題精講

【例1].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(12,0),點(diǎn)2(0,4),點(diǎn)P是直線y=-x-

1上一點(diǎn)，且NABP=45°,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,-6)

將線段AB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4,-8),

由于旋轉(zhuǎn)可知，AABC為等腰直角三角形，令線段AC和線段交于點(diǎn)M,則M為線

段AC的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)/的坐標(biāo)為(4,-4),又B為(0,4),設(shè)直線2尸為〉=入+6,將點(diǎn)2和點(diǎn)M

代入可得14k+b=Y,

Ib=4

解得左=-2,6=4,可得直線2尸為y=-2x+4,由于點(diǎn)尸為直線BP和直線y=-尤-1

的交點(diǎn)，

則由（k2x+4解得（x=5,所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（5,-6）,

ly=-x-lly=-6

故答案為（5,-6）.

A變式訓(xùn)練

【變17].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與無軸、y軸分別交于

點(diǎn)A、2將直線A3繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)45°,交無軸于點(diǎn)C,則直線BC的函數(shù)表達(dá)式為

y=3x+4.

解：二?一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,

?,?令x=0,得y=4,令y=0,則x=2,

/.A(2,0),B(0,4),

：.OA=2,03=4,

過A作交BC于R過尸作/ELLx軸于￡,

VZABC=45°,

:?△AB尸是等腰直角三角形，

：.AB=AF,

VZOAB+ZABO=ZOAB+ZEAF=90°,

ZABO=ZEAF,

在△ABO和△於E中

,ZABO=ZEAF

<ZAOB=ZAEF,

AB=AF

...△ABO也△項(xiàng)E(A4S),

：.AE=OB=4,EF=OA=2,

：.F(-2,-2),

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+4,

把F的坐標(biāo)代入得，-2=-2左+4,

解得k=3,

直線2c的函數(shù)表達(dá)式為：y=3x+4,

【變1-2].如圖，已知點(diǎn)A：（2,-5）在直線/i：y=2x+b_b,/1和/2：>=丘-1的圖象

交于點(diǎn)5,且點(diǎn)5的橫坐標(biāo)為8,將直線/1繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°與直線/2,相交于點(diǎn)

Q,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（[，--）.

22

解：過。作。E_LA。交AB于過。作/G〃y軸，過A作于凡過萬作EG

LFG于G,

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=2x+/?中，得-5=2X2+。，

解得：b=-9,

?,?直線h的解析式為y=2x-9,

將％=8代入y=2x-9中，

解得：y=7,

???點(diǎn)3的坐標(biāo)為（8,7）,

將點(diǎn)5的坐標(biāo)代入-1中，得

7=81，

解得:k=l,

???直線/2的解析式為y=I-1,

VZG=ZF=ZEQA=90°,

/.ZEQG+ZAQF=90°,ZQAF+ZAQF=9Q°,

：.ZEQG^ZQAF,

VZEQA^9Q°,NQAE=45°,

.?.△AQE是等腰直角三角形，

：.EQ=QA,

在△EGQ和AQ朋中，

2G=NF

<ZEQG=ZQAF,

EQ=QA

A/\EGQ^/\QFA(A4S),

：.EG=QF,QG=AF,

設(shè)。(a,a-1),

VA(2,-5),

.'.AF—2-a,FQ—a+4,GE—a+4,QG—2-a,

.?.點(diǎn)E坐標(biāo)(2a+4,1),

把E(2a+4,1)代入y=2x-9中，

得4a+8-9=l,解得:a——,

2

.?.點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(/,--1).

故答案為：(2，~—).

22

【例2].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x+4的圖象分別與尤軸，y軸相交于A,

B兩點(diǎn).將直線AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，與y軸交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,

-6).

解：一次函數(shù)y=2x+4的圖象分別與無軸，y軸相交于A,8兩點(diǎn).

AA(-2,0),B(0,4),

：.OA=2,02=4,

作DB1AB交直線AC于D,過點(diǎn)D作DE±y軸與E,

VZBAZ)=45°,

ABAD是等腰直角三角形，

：.AB=DB,

'：ZOAB+ZABO=ZABO+ZDBE=90°,

：.ZOAB=ZDBE,

在△AB。和△8DE中

，Z0AB=ZDBE

-ZA0B=ZBED,

AB=DB

:.△ABO"ABDE(A4S),

：.BE=OA=2,DE=BO=4,

：.D(-4,6),

設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為：y=fcv+4,

把4。的坐標(biāo)代入得］2k+b=0,

l-4k+b=6

解得，k=-3,

lb=-6

直線AC的函數(shù)表達(dá)式為：y=-3x-6,

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-6).

故答案為：(0,-6).

【變2-1].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-2的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)4、

2,直線BC與x軸正半軸交于點(diǎn)C,若/A8C=45°,則直線BC的函數(shù)表達(dá)式是()

解：?..一次函數(shù)y=2x-2的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)A、B,

...令x=0,得y=-2,令y=0,則無=1,

AA(1,0),B(0,-2),

：.OA=1,OB=2,

如圖，過A作A旦LAB交2C于R過尸作尸軸于E,

AABF是等腰直角三角形,

：.AB=AF,

VZOAB+ZABO=ZOAB+ZEAF=90°,

ZABO=ZEAF,

:.AABO也AFAE(AAS),

：.AE=0B=2fEF=OA=lf

：.F(3,-1),

設(shè)直線5C的函數(shù)表達(dá)式為：y=fcc+。，

(3k+b=_l

lb=-2

..<o,

b=-2

直線2c的函數(shù)表達(dá)式為：y=』x-2,

,3

故選：B.

【變2-2].如圖，一次函數(shù)y=2x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)M(l,3),且與x軸，y軸分別交于A,

B兩點(diǎn).

(1)填空：b=1；

(2)將該直線繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45°至直線/,過點(diǎn)8作8CLA8交直線/于點(diǎn)C,求

點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線/的函數(shù)表達(dá)式.

解：(1)?.?一次函數(shù)y=2x+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)M(1,3),

；.3=2+。，

解得b=l,

故答案為1;

(2)：一次函數(shù)y=2x+l的圖象與x軸，y軸分別交于A,8兩點(diǎn).

AA(-A,0),B(0,1),

2

：.OA=^,02=1,

2

作軸于D,

VZBAC=45°,BC±AB,

：.ZACB=45°,

：.AB=BC,

VZABO+ZBAO^90°=NABO+/CBD,

：.ZBAO=ZCBD,

在△AOB和△2￡>C中，

，ZBA0=ZCBD

-ZA0B=ZDBC=90°,

AB=BC

AAAOB^ABDC(AAS),

：.BD=OA=^,CD=OB=1,

2

：.OD=OB-BD=L,

2

:.c(i,A)

2

設(shè)直線l的解析式為y=mx+n,

-^m+n=01

m3

把A(-1,o),C(1,A)代入得，,解得，

2211

me萬嗔

1.如圖,直線y=—x+1與坐標(biāo)軸交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，若/ABO+NACO=45

3

.,.當(dāng)x=0時，y=l；當(dāng)y=0時，x=-3

.?.點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)8(-3,0)

如圖：取點(diǎn)。(-1,0),

?.?點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)。(-1,0),點(diǎn)2(-3,0)

：.OA=OD=1,08=3,BD=2

：.ZADO=ZDAO=45°,AB=^Q^2OB2=\/l0

ZABO+ZBAD^45°

又,:ZABO+ZACO=45°

：./AC0=ABAD,且NAB0=ZABO

：.4ABDsMBA

?ABBDpnVlO2

BCABa+3V10

：.a=2

.?.點(diǎn)C坐標(biāo)為(2,0)

若點(diǎn)C在原點(diǎn)左邊，記為點(diǎn)Ci,

VZABO+ZACO=45°,ZABO+ZACiO=45°

：.ZACO=ZACiOS.ZAOC=ZAOB=90°,AO=AO

：.AACO^AACiO(A4S)

OC=OCi=2

...點(diǎn)Ci(-2,0)

故答案為：(2,0),(-2,0)

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m(機(jī)W0)分別交x軸，y軸于A,8兩

點(diǎn)，已知點(diǎn)C(2,0).設(shè)點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連接出，PC,若NCB4=45°,則加

的值是12

解：作OD=OC=2,連接CD則NPOC=45°,如圖，

由y=-x+m可得A(m,0),B(0,m).

：?OA=OB,

：.ZOBA=ZOAB=45°.

當(dāng)初VO時，ZAPC>ZOBA=45°,

所以，此時NCB4>45°,故不合題意.

???NCB4=NA5O=45°,

AZBFA+ZOPC=ABAP+ABPA=135°,即N0PC=N5AP,

JAPCDsAAPB,

.PDCD町萬m+2_加

ABPBV2mAm

解得m=12.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線A8的解析式為y=-1x+B.點(diǎn)C是49上一點(diǎn)且OC

=1,點(diǎn)。在線段3。上，分別連接BC,A。交于點(diǎn)E,若48即=45°,則。Z）的長是

9

5-

在X軸負(fù)半軸截取OF=—,

4

過點(diǎn)/作FZ/LAF交AD的延長線于點(diǎn)H,過點(diǎn)〃作HPLx軸于點(diǎn)P,

4

...將△BOC逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，再將點(diǎn)2平移到與點(diǎn)A重合時，此時的/弦。和NCB。

重合，

：.ZFAO=ZCBO,

'：FH±AF,

：.ZAFO+ZHFP^9Q°,

而NA產(chǎn)O+N出0=90°,

:.NFAO=/HFP=NCBO,

J.BC//FH,

:.NFHA=NBED=45°,

...△AFH為等腰直角三角形，

：.AF=FH,

而/AOF=NFPH,ZFPH=ZAFO,

：./1AOF^/\FPH(A4S),

：.PF=AO=3,PH=OF=±,

4

故OP=FP-。/=3-3=a,

44

故點(diǎn)”(9,-—),

44

設(shè)直線AH的表達(dá)式為y=kx+b,

r39f,_5

則W1k+bu,解得.k-萬，

b=3b=3

故直線AH的表達(dá)式為y=-^x+3,

令y=0,則y=-2x+3=0,

解得：x=9,

5

故點(diǎn)D(—,0),

5

故OD=2,

5

故答案為9.

5

方法二：過點(diǎn)A作無軸的平行線MN,交過點(diǎn)E與y軸的平行線于點(diǎn)交過點(diǎn)尸與y

由點(diǎn)2、C的坐標(biāo)得，直線2C的表達(dá)式為y=-1x+1,

同理可證：△EMAg/xANF(AAS),

則-1=—//1+2,NF=AM=m,

44

則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-工S-2,3-m）,

4

將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入直線BC的表達(dá)式并解得m=21,

17

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（處，旦），

1717

由點(diǎn)A、E的坐標(biāo)得，直線AE的表達(dá)式為尸->3,

令>=--x+3=0,解得尤=且，

35

故0D=宜,

5

故答案為9.

5

4.如圖，直線y=4x+4交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)8,直線BC：y-x+4交尤軸于點(diǎn)C,

點(diǎn)尸為線段上一點(diǎn)，ZPAB=45°,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

解：由題可得A(-1,0),B(0,4),C(4,0),

設(shè)P(m,4-m),

過點(diǎn)尸做

：.AB=yfnfAC=5,

△ABC的面積=/x5X4=/X5義(4-m)+-^xV17XP￡>,

**,ra=~V17m,

VZB4B=45°,

???4尸=備/^,小

m)2=(4-m)2+(m+1)2,

???t，n“一17

8

?"(芋f);

5.如圖，正比例函數(shù)y=Ax經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)A在第二象限，過點(diǎn)A作AC_Ly軸于點(diǎn)C,AC=

2,且△AOC的面積為5.

(1)求正比例函數(shù)的解析式；

(2)若直線y=ax上有一點(diǎn)8滿足NAOB=45°,MOB=AB,求。的值.

?.?△AOC的面積為5,

/.SMOC——AC,OC—5，

2

又；AC=2,

：.0C=5.

：.A(-2,5),

將點(diǎn)4(-2,5)代入y=Ax,解得仁-微,

...正比例函數(shù)的解析式為y=-8無；

(2)①當(dāng)點(diǎn)8在第二象限時，如圖,

VZA05=45°,且05—

：.AAOB是等腰直角三角形.

AZABO=90°,

AZABF+ZEBO=90°,

如圖，過5作BE，無軸于E,交CA延長線于點(diǎn)尸.

VZFEO=ZEOC=ZACO=90°,

???四邊形。石。是矩形，NCFB=90°,

：.ZABF+ZFAB=90°,

:?NEB0=NFAB,

：./\EBO^/\FAB(AAS).

：.BE=AF,EO=FB,

又OC=FE=FB+BE=5,

AC=CF-AF=2f

：?E0+BE=5,EO-BE=2,

解得：EO=1，BE=3.

22

將5（-工，旦）代入y=ox,解得〃=一旦.

227

②當(dāng)點(diǎn)8在第一象限時，031=05,過點(diǎn)。作03」05,則NAO5i=45°,如圖所示,

過點(diǎn)31作SG，九軸于點(diǎn)G,則NBiGO=N3EO=90°

XVZBiOB=90°,

：.ZBiOG+ZBOE=90°,

'：ZB0E+Z0BE=9Q°,

：.ZOBE=ZBiOG,

:.AOBE咨LBiOG(AAS),

：.OE=BiG=—,BE=OG=—,

22

：.Bi(鼻，工)，

22

將81(―,—)代入y=aix,解得m=工.

223

綜上，a的值為-旦或工.

73

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C為坐標(biāo)軸上的三個點(diǎn)，且0A=0B=0C=6,過

點(diǎn)A的直線AD交直線BC于點(diǎn)。，交y軸于點(diǎn)E,△A2D的面積為18.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo).

(2)求直線的表達(dá)式及點(diǎn)E的坐標(biāo).

(3)過點(diǎn)C作CFLAD,交直線AB于點(diǎn)F,求點(diǎn)F的坐標(biāo).

解：(1)由題可得，B(6,0),C(0,6),

設(shè)8。為丫=履+6(左￥0),則

(O=6k+b,解得(k=-l.

I6=bIb=6

：.BC的解析式為y=-x+6,

'：OA=OB=6f

：.AB=12,

???△ABO的面積為18,

X12Xyz)=18,

解得yz)=3,

當(dāng)y=3時，3=-x+6,

解得x=3,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,3).

(2)由題可得，A(-6,0),

設(shè)直線AZ)的表達(dá)式為y=znx+九(加W0),則

,1

(O=-6mF,解得m=y,

13=3mtn"二2

直線AD的表達(dá)式為y=^x+2,

令尤=2,則y=2,

.,.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,2).

(3)'：CF±AD,COLAB,

：.ZFCO+ZAFC^9Q°,ZEAO+ZAFC^90°,

：.ZFCO=/EAO,

在△AOE'和△CO尸中，

，ZEA0=ZFC0

-AO=CO,

ZA0E=ZC0F

...△AOE絲△CQF(ASA),

：.FO=EO=2,

：.F(2,0).

7.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-±x+3分別交尤、y軸于點(diǎn)

4,6)；

(2)點(diǎn)C是直線A8外一點(diǎn)，滿足/BAC=45°,求出直線AC的解析式；

(3)如圖3,點(diǎn)。是線段。3上一點(diǎn)，將△A。。沿直線AD翻折，點(diǎn)。落在線段A8上

的點(diǎn)E處，點(diǎn)M在射線。E上，在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)N,使以M、A、N、B為

頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：(1)如圖1,直線y=-2■無+3,當(dāng)x=0時，y=3；當(dāng)y=0時，由-3x+3=0,得x

44

=4,

：.A(0,3),B(4,0)；

CA^AB,且點(diǎn)C不同于點(diǎn)8,

/.點(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn)，即點(diǎn)C與點(diǎn)8關(guān)于點(diǎn)A對稱，

...點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-4,

當(dāng)尤=-4時，y--—X(-4)+3=6,

4

：.C(-4,6),

故答案為：(-4,6).

(2)如圖2,射線AC在直線A8的上方，射線AC'在直線AB的下方，ZBAC=ZBAC'

=45°；

作線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)G,交AC'于點(diǎn)H,交于點(diǎn)。，連接BG、BH,

則Q(2,3)；

2

作GPLy軸于點(diǎn)尸，G尸，x軸于點(diǎn)R則AG=BG,AH=BH,

???3G=AG,BH=AH,

：.ZGBA=ZBAC=45°,ZHBA=ZBACr=45°,

AZBGA=ZGAH=ZAHB=90°,

J四邊形AHBG是正方形；

VZAGB+ZA(?B=180°,

AZGBF+ZOAG=180°,

9：ZGAP+ZOAG=180°,

:?/GBF=/GAP,

9：ZGFB=ZGPA=90°,

:?叢GBF絲叢GAP(A4S),

：.BF=AP,GF=GP,

ZFOP=ZOPG=NG/0=90°,

J四邊形。尸GP是正方形，

：?OF=OP,

?/03=4,04=3,

A4-BF=3+AP,

9

..4-AP=3+APf

解得AP=A,

2

(9P=OF=3+A=Z,

22

:點(diǎn)，與點(diǎn)G關(guān)于點(diǎn)。(2,旦)對稱,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

Z一工f,.1

則qk+b-萬，解得k節(jié),

b=3b=3

設(shè)直線AC'的解析式為y=mx+n,

T」，

則，酒l萬,解得卜=-7,

n=3】片3

；?y=-7x+3,

綜上所述，直線AC的解析式為y=-x+3或y=-7x+3.

(3)存在，如圖3,平行四邊形AM3N以A5為對角線,

延長EO交y軸于點(diǎn)H,設(shè)?！?gt;=〃，

由折疊得，ZAED=ZAOD=90°,ED=OD,

:?ED=r,ED上AB；

?.?45=432+42=5,AE=AO=3,

：.BE=5-3=2,

S^AOB=—X3X4=6,且S^AOD+S^ABD=S^AOB,

2

.-.Ax3r+Ax5r=6,

22

解得r=l,

2

:.ED=OD=&,

2

：.D(S,0)；

2

VZDOR=ZDEB=90°,NODR=NEDB,

工AODR咨/\EDB（ASA）,

:?R0=BE=2,

：.R（0,-2）,

設(shè)直線DE的解析式為y=px-2,

則當(dāng)-2=0,解得〃=邑，

23

?..y一---4尤-2°；

3

?.?點(diǎn)N在x軸上，且AM〃2N,

〃龍軸，

.?.點(diǎn)M與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相等，都等于3,

當(dāng)y=3時，由&尤-2=3,得

34

：.M（43）,

4

4

：.ON=4-瑟■=』，

44

：.N,0）；

4

如圖4,平行四邊形A2NM以AB為一邊，則AM〃x軸，且AM=BN=至.

4

：ON=4+E=生，

44

:.N（這，0）,

4

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（工，0）或（國L,0）.

8.直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(9,4),軸于點(diǎn)8,AC垂直y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)。為

x軸上的一個動點(diǎn)，若CD=2后

(1)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)翻折四邊形AC03,使點(diǎn)C與點(diǎn)。重合，直接寫出折痕所在直線的解析式；

(3)在線段上找點(diǎn)E使/。CE=45°.

①直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②點(diǎn)M在線段AC上，點(diǎn)N在線段CE上，直接寫出當(dāng)△￡/何是等腰三角形且△CMN

是直角三角形時點(diǎn)M的坐標(biāo).

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9,4）,ACLy軸于點(diǎn)C,

0C=4,

?點(diǎn)。為x軸上的一個動點(diǎn)，CD=2近,

由勾股定理得：?！?也口2_"2=）（2^）2-4?=2,

：.D（2,0）或（-2,0）；

（2）分兩種情況：

①當(dāng)。（2,0）時，如圖2,連接即，

設(shè)ED=x,

由翻折得CD-LEF,CE=ED=x,

OE=4-x,

Rt/XOED中，由勾股定理得：/=2?+(4-x)2

解得：尸”，

2

AOE=4-$=鼻，

22

?；ZOCD+ZCEF=ZOCD+/COO=90°,

：.ZCEF=ZCDO,

■：ZECF=ZCOD=90°,

：./\FCE^/\COD,

5_

?FCCE0nFC

COOD42

；."=5,

：.F(5,4),

設(shè)直線EE的解析式為：y=kx+b,

(1

‘5k+b=4k方

則，3，解得?Q，

?2|b至

，直線EE的解析式為：y=/xV；

②當(dāng)D(-2,0)時，如圖3,連接ED,

y

11

同理得：E(0,3),

2

,:△DOCsXEOF,

.OD0E=2

"oc'OFT

：.OF=2OE=3,

：.F(3,0),

同理得EF：y=--x+—,

22

綜上，折痕所在直線的解析式是尸會片或尸-方嗚；

(3)①當(dāng)。(2,0)時，如圖4,過E作EBLC。，交CD的延長線于尸，過尸作F”

軸于H,延長AB,交于點(diǎn)G,

V

???△CFE是等腰直角三角形，

：.CF=EF,

,/ZHCF+ZCFH=ZCFH+/EFG=90°,

JZHCF=/EFG,

ZCHF=ZFGE=90°,

:?△CHF"&FGE(AAS),

???CH=FG,

?.*OD//FH,

.0D0Cpn24

FHCHFHCH

?.?-F-H-二1,

CH2

設(shè)FH=a,則CH=FG=2a,

?；GH=OB=9,

即2。+。=9,

.??。=3,

???CF=4§2+/=3后,

：.CE=y/2CF=3y/10,

Rt/VICE中，AE=>/CE2-AC2=V(3V10)2-92=3;

：.BE=4-3=1,

：.E(9,1)；

當(dāng)。(-2,0)時，如圖5,ZDCB>90°,此種情況不存在符合條件的點(diǎn)E,

綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（9,1）；

②力當(dāng)/CA/N=90°，MN=EN時,如圖6,

由①知：AE=3,

'CMN//AE,

設(shè)MN=b,則CM=36,EN=b,

：.CN=410b,

VCE=3VTQ,

解得：6=也二回，

3

.*.CM=3ZJ=10-V10，

：.M(10--710,4)；

z7)當(dāng)NCNM=90°,MN=EN時,如圖7,

V

；/CNM=/CAE=90°,ZMCN=ZACE,

：./\MCN^/\ECA,

.MNAE_°

??1—----J,

CNAC

設(shè)MN=m,則CN=3",EN=n,

CE=3n+n=3VTo，

?K—3行

??n--------9

4

.?.0/=百3〃=學(xué)，

：.M(至，4)；

2

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(10-710-4)或(」①，4).

2

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4)、B(6,0)為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，點(diǎn)C為線段AB

的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作。無軸，垂足為。，點(diǎn)E為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接CE交x軸于

點(diǎn)、F,5.CF^FE.

(1)直接寫出E點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)8作8G〃CE,交y軸于點(diǎn)G,交直線CD于點(diǎn)H,求四邊形ECBG的面積；

(3)直線。上是否存在點(diǎn)。使得/48。=45°,若存在，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不

存在，請說明理由.

解：(1)；C￡)_Lx軸，

：.ZCDF^9Q°=NEOF,

又,：NCFD=/EFO,CF=EF,

：.△CDF沿/\EOF(AAS),

：.CD=OE,

又(0,4),B(6,0),

?Q=4,02=6,

.?點(diǎn)C為42的中點(diǎn)，CD〃y軸，

\CD=^OA=2,

2

\OE=2,

\E(0,-2)；

(2)設(shè)直線CE的解析式為y=fcv+b,

；C為AB的中點(diǎn)，A(0,4),B(6,0),

\C(3,2),

.[3k+b=2,

'lb=-2'

k

解得44

b=-2

直線CE的解析式為y=-ix-2,

,:BG〃CE,

設(shè)直線BG的解析式為y=^x+m,

3

/.Ax6+m=0,

3

??in-8,

???G點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-8),

：.AG=12,

:?S四邊形=-S/\ACE

JXAGXOB^XAEXOO

=yX12X6-yx6X3

=27.

(3)直線CD上存在點(diǎn)。使得/ABQ=45°,分兩種情況:

如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在x軸的上方時，442。=45°,

過點(diǎn)A作交2。于點(diǎn)過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)X,

則AABM為等腰直角三角形，

：.AM=AB,

:ZHAM+ZOAB=ZOAB+ZABO=90°,

NHAM=ZABO,

VZAHM=ZAOB=90°,

A(A4S),

：.MH=AO=4,AH=BO=6,

O/f=AH+OA=6+4=10,

：.M(4,10),

,:B(0,6),

直線BM的解析式為y=-5x+30,

VC(3,2),C￡)〃y軸，

；.C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,

-5X3+30=15,

：.Q(3,15).

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在x軸下方時，ZABQ=45

過點(diǎn)A作ANLAB,交BQ于點(diǎn)、N,過點(diǎn)N作NGLy軸于點(diǎn)G,

同理可得△ANG名△540,

.,.NG=A0=4,AG=OB=6,

：.N（-4,-2）,

直線BN的解析式為-2，

55

：.Q（3,-且）.

5

綜上所述，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（3,15）或（3,-旦）.

5

10.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,6）,以A為頂點(diǎn)的N8AC的兩邊始終與X

軸交于8、C兩點(diǎn)（8在C左面），且NBAC=45°.

（1）如圖1,連接。A,當(dāng)AB=AC時，試說明：04=08.

（2）過點(diǎn)A作無軸，垂足為Z）,當(dāng)。C=2時，將/BAC沿AC所在直線翻折，翻

折后邊A8交y軸于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

AZABC=ZACB=67.5°.

過點(diǎn)A作AE±OB于E,如圖1,

VA(-6,6),

AAEO是等腰直角三角形,

乙402=45°,

.,.ZBAO=67.5°=ZABC,

J.OA^OB.

(2)設(shè)OM=x,

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)。右側(cè)時，如圖2,連接CM,過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E,

由/B4M=NZME=90°,

可知：ZBAD=ZMAE；

.?.在△BAO和△MAE中，

，ZBDA=ZAEM

<AD=AE,

ZBAD=ZMAE

...△BAD絲△MAE.

:.BD=EM=6-x.

又：AC=AC,ZBAC=ZMAC,

：.ABAC^AA/AC.

：.BC=CM=8-x.

在Rt^COM中，由勾股定理得：

OC2+OM2^CM2,BP42+X2=(8-尤)2,

解得：x=3,

點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3).

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)。左側(cè)時，如圖3,連接CM,過點(diǎn)A作A尸，y軸于點(diǎn)R

同理，△2A￡>0

：.BD=FM=6+x.

同理，

△8AC四△MAC,

：.BC=CM=^+x.

在RtZXCOM中，由勾股定理得：

OC2+OM2=CM2,即82+X2=(4+X)2,

解得：x=6,

點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-6).

綜上，M的坐標(biāo)為(0,3)或(0,-6).

T

11.模型建立：如圖1,等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,CB=CA,直線即經(jīng)過

點(diǎn)C,過A作A￡）_L￡D于。，過2作于E.易證：ABEC^ACDA

圖1圖2

模型應(yīng)用：如圖2,已知直線/I：y=_|x+4與y軸交于4點(diǎn)，將直線人繞著A點(diǎn)順時針

旋轉(zhuǎn)45°至b.

（1）在直線h上求點(diǎn)C,使AABC為直角三角形；

（2）求/2的函數(shù)解析式；

（3）在直線人、/2分別存在點(diǎn)P、Q,使得點(diǎn)A、。、P、。四點(diǎn)組成的四邊形是平行四

邊形？請直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

(1)解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)8,交/2于點(diǎn)C,過C作C￡＞，x軸于。，如圖2①,

VZBAC=45O,

，ZXABC為等腰RtA,

「△CBZ注△BAO,

：.BD=AO,CD=OB,

,直線/i：y=—x+4,

3

；.A(0,4),B(-3,0),

①當(dāng)/ABC=90°時，

■:ACDB%ABAO,

：.BD=AO=4.CD=OB=3,

，O￡)=4+3=7,

C(-7,3)；

②當(dāng)/ACB=90°時，如圖2②，

同理：ACDB咨AAEC,

：.AE=CD,BD=CE,

：.AE^OA-BD=OB+BD,BP4-BD^3+BD,

2

：.OD^CD=3.5

：.C(-3.5,3.5),

綜上，在直線/2點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-7,3)或(-3.5,3.5)時，△ABC為直角三角形;

(2)設(shè)/2的解析式為(AW0),

VA(0,4),C(-7,3)；

b=4

-7k+b=3

k4,

b=4

，/2的解析式：y=—.r+4；

7

(3)如圖2,①當(dāng)AO為邊時,

VA(0,4),

J04=4,設(shè)。1的橫坐標(biāo)為羽

則Q\(%,—x+4),P(x,—x+4),

73

???四邊形AOPQ是平行四邊形，

：.PQ\=0A=4,

gpAx+4-(—x+4)=4,或邑％+4-(―x+4)=4,

7337

S修翳或嬖舞

②當(dāng)A。為對角線時，03與。2重合.

綜上，存在符合條件的平行四邊形，且。點(diǎn)的坐標(biāo)為(-甦，毀)或(垂，［絲).

25252525

12.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知點(diǎn)M(-2,-2),過點(diǎn)M作直線48,交x軸負(fù)半軸

于點(diǎn)A，交了軸負(fù)半軸于點(diǎn)B(0,w).

(1)如圖1,當(dāng)加=-6時.

力求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

〃)過點(diǎn)A作丫軸的平行線/，點(diǎn)N是/上一動點(diǎn)，連接BN,MN,若SZJWBN="SAABO,

求滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).

(2)如圖2,將直線AB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°后，交x軸正半軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作

CD1BC,交直線于點(diǎn)。.試問：隨著加值的改變，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是否發(fā)生變化？

若不變，求出點(diǎn)。的橫坐標(biāo)；若變化，請說明理由.

：.B(0,-6),

設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx-6,

?點(diǎn)M(-2,-2)在直線A2上,

A-2=-2k-6,

k=-2,

：.直線AB的表達(dá)式為y=-2x-6；

日)、如圖1,由i)知，直線A8的表達(dá)式為y=-2x-6,

令y=0,貝!J-2x-6=0,

.,.x=-3,

AA(-3,0),

.,.直線/為尤=-3,

...設(shè)N(-3,t),

：.AN=\t\,

,：A(-3,0),B(0,-6),

0A=3,03=6,

/.SAAOB=—OA*OB=AX3X6=9,

22

…3

?S工MBN=—S/^AB0f

8

?397

??S/\MBN=—S/\AB0=,

88

過點(diǎn)M作M/LLAN于R過點(diǎn)3作ME_LAN于E,

：.MF=1,BE=3,

:&MBN=SABAN-SAAMN=LAN?BE-LAN?FM=L^(BE-MF)=A|f|(3-1)=|/|

2222

27..27

88

：.N(-3,紅)或(-3,-生■)；

88

(2)如圖2,

VZABC=45°,ZBCD=90°,

AZADC=45°=ZABC,

：.CD=CB,

4BDC是等腰直角三角形,

,：M(-2,-2),B(0,m),

...直線AB的表達(dá)式為y=^x+m,

設(shè)點(diǎn)C(a,0),分別過點(diǎn)。，8作y軸的垂線，過點(diǎn)C作x的垂線，交前兩條直線和y

軸于點(diǎn)G,H,L,

則/H=/G=NOC”=NOB//=90°,

四邊形。瓦/C是矩形，

OC=BH,

;NG=/BCD=90°,

ZCDG+ZDCG^NDCG+/BCH=90°,

：.ZCDG=ZBCH,

.,.△DCG^ACB/7(A4S),

：.BH=OC=CG=\a\,CH=DG=\m\,

.*.D(根+〃，a),

.??4=共+2?(加+〃)+m,

2

.*.m+m〃+4m=0,

??"W0,

m+a=~4,

即點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-4,保持不變.

13.在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2r-4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A、B,與直線y=3

交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為直線y=3上點(diǎn)C右側(cè)的一點(diǎn).

(1)如圖1,若△ACO的面積為6,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(工，3)；

2

(2)如圖2,當(dāng)NCAO=45°時，求直線AD的解析式；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)E為直線A。上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m△ACE的面積

為S,求S關(guān)于機(jī)的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量機(jī)的取值范圍.

解：(1)如圖1,對于直線y=-2x-4,當(dāng)y=0時，由-2x-4=0得，x=-2,

AA(-2,0)；

當(dāng)y=3時，由-2x-4=3得，x=-

：.C(-1，3),

2

設(shè)。(r,3),

??,點(diǎn)。在點(diǎn)。右側(cè)，

7

：.CD=r+—,

2

由題意，得」"X3(r+—)=6,

22

解得，r=—,

2

：.D(A,3),

2

故答案為：D(1,3).

2

(2)如圖2,過點(diǎn)。作。G,AC于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作兒軸于點(diǎn)N,交直線y=3于點(diǎn)

M,則/AG￡>=/GM4=90°,

:直線y=3與x軸平行，

AZ￡)MG=180°-NGNA=90°=4GNA,

'：ZGAD=45°,

AZGDA=45°=/GAD

：.DG=GA,

\'ZDGM=90°-ZAGN=ZGAN,

:.△DGMm4GAN(A4S),

/.GM=AN,DM=GN,

設(shè)A7V=f,則N(-2-K0),

:點(diǎn)G在直線y=-2x-4±,

.'.yG=-2(-2-f)-4=23

：.G(-2-r,2f),

'：M(-2-r,3),

：.GM=3-It,

由GM=AN得,3-2t=t,解得t=l,

：.N(-3,0),M(-3,3),

,:DM=GN=2t=2,

：.D(-1,3),

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,

則-2k+b=0,解得(k=3,

l-k+b=3Ib=6

...y=3x+6.

(3)由(1)、(2)得，C(-工，3),D(-1,3),

2

ACD=-1-(-1)=$,

22

過點(diǎn)E作直線y=3的垂線，垂足為點(diǎn)尸，

:點(diǎn)E在直線y=3x+6上，且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為"z,

:.ECm,3m+6),

如圖3,點(diǎn)E在線段A。上，則

此時，EF=3-(3m+6)=-3m-3,

由SMCE—S^ACD-S^ECD得,

S=正-」X$(-3m-3)=電"耳

42242

如圖4,點(diǎn)E在線段的延長線上，則相＞-1,

此時，EF=3m+6-3=3m+3,

由SAACE=SAACD+5kECD得,

S=K+^X$(3根+3)=電計(jì)互

42242

.,.當(dāng)初＞-2時，5=生7"+工；

42

如圖5,點(diǎn)E在線段ZM的延長線上，則加＜-2,

此時，EF—3-(3m+6)=-3m-3,

由SAACE=SAECD-SAACD得,

S=—X-5.(-3m-3)-至=_生根一生

22442

14.(1)基本圖形的認(rèn)識：

如圖1,在四邊形ABCD中，ZB=ZC=90°,點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，AB=EC,BE=

CD,連結(jié)AE、DE,求證：△AED是等腰直角三角形.

(2)基本圖形的構(gòu)造：

如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,0),B(0,3),連結(jié)A8,過點(diǎn)A在第一象限內(nèi)作

AB的垂線，并在垂線截取A