2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（安徽專用）解答題壓軸題 幾何綜合（一）

專題08解答題壓軸題（幾何綜合（一））

通用的解題思路:

1、解決矩形翻折問題:

（1）利用折疊和矩形性質(zhì)找出對應(yīng)線段關(guān)系;

（2）在折疊后形成的直角三角形中利用勾股定理構(gòu)造方程求解。

2、十字架模型:

垂直一定相等相等不一定垂直

AD

HE

GG

BFCBFCBC

工■蛇］EF=GH^-EF1GH

3、動態(tài)問題中的線段長度最值

通常利用三點(diǎn)共線解決，關(guān)鍵在于找到與這條線段兩個端點(diǎn)之間恒為定長的點(diǎn)。

4、奔馳模型：

解題方法是旋轉(zhuǎn)一邊利用等邊三角形構(gòu)造“手拉手”模型證全等，結(jié)合勾股定理的逆定理得到結(jié)論。

5、線段長度、比值及最值問題：

（1）特殊圖形、全等、相似、勾股定理；

（2）圓中垂徑定理。

1.（2023?安徽?中考真題）在Rt△力BC中，M是斜邊48的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)至位置，點(diǎn)。在

直線48外，連接

ccc

圖3

⑴如圖1,求乙4DB的大小;

(2)已知點(diǎn)。和邊4C上的點(diǎn)E滿足ME1AD,DE||AB.

(i)如圖2,連接CD,求證：BD=CD；

(ii)如圖3,連接BE,若4C=8,BC=6,求tanN力BE的值.

【答案】=90°

⑵(i)見解析；(h)

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出M4=MD=MB,根據(jù)等邊對接等角得出NMAD=Z.MDA,^MBD=

乙MDB,在AaBD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即得出NM4D+NMZM+NMBO+4MDB=180。，進(jìn)而即可

求解；

(2)(i)延長交于點(diǎn)F,證明四邊形AEDM是菱形，進(jìn)而根據(jù)平行線分線段成比例得出，AF=

4B,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出。是M的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可

得證；

(ii)如圖所示，過點(diǎn)E作EH14B于點(diǎn)由△力得出EH=3,4H=4,BH=AB-AH=

10-4=6,進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解.

【詳解】(1)解：：==

：./-MAD=4MDA,4MBD=Z.MDB,

在AaBD中，Z.MAD+AMDA+Z.MBD+AMDB=180°

：.^ADB=AADM+乙BDM=—=90°

2

(2)證明：(i)證法一：

如圖,延長B。、AC,交于點(diǎn)尸,則4BCF=90。,

F

AMB

*：MELAD,^ADB=90°

：.EM||BD.

又〈DE||AB,

???四邊形BDEM是平行四邊形.

：.DE=BM.

,?，M是ZB的中點(diǎn)，，

：.AM=BM.

：.DE=AM.

???四邊形4MDE是平行四邊形.

〈ME140,

???團(tuán)4M0E是菱形.

：.AE=AM.

9：EM||BD,

.AE_AM

''AF~AB'

：.AB=AF.

,：Z.ADB=90°,即

：.BD=DF,即點(diǎn)。是RtABC尸斜邊的中點(diǎn).

：.BD=CD.

證法二：

9：Z-ACB=/.ADB=90°,M是斜邊的中點(diǎn)，

???點(diǎn)A、aD、5在以M為圓心，ZB為直徑的OM上.

9：ME1AD,

?,?ME垂直平分yW.

：.EA=ED.

：.^LEAD=/LEDA,

*：DE||AB,

：.A.BAD=Z.EDA.

：.ZEAD=ZBAD.

：.BD=CD.

證法三：

〈ME140,Z.ADB=90°

：.EM||BD.

又?：DE||AB,

???四邊形BOEM是平行四邊形.

：.DE=BM.

?二M是48的中點(diǎn)，，

：.AM=BM.

：.DE=AM.

???四邊形/MOE是平行四邊形.

\9MELAD,

：,團(tuán)/MOE是菱形.

：.￡.EAD=/-MAD.

*：Z.ACB=AADB=90°,M是斜邊的中點(diǎn)，

???點(diǎn)A、aD、3在以M為圓心，48為直徑的OM上.

：.BD=CD.

(ii)如圖所示，過點(diǎn)E作E”148于點(diǎn)H,

u

：AC=8fBC=6,

?9?AB=yjAC2+BC2=10,貝(ME=AM==5,

/.EAH=ABAC,Z.ACB=^AHE=90°,

?.△AHE-△力理，

.EH_AH_AE_5

""BC-AC~AB-w'

：.EH=3,AH=4,

：.BH=AB-AH=10-4=6,

.,.,EH31

..tanABDCE=—=-

BH62

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，菱形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與

判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，求正切，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定

是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?安徽?中考真題)已知四邊形A3C。中，BC=CD.連接瓦)，過點(diǎn)C作BD的垂線交48于點(diǎn)

E,連接DE.

圖1圖2

⑴如圖1,若DEIIBC,求證：四邊形BCDE是菱形；

(2)如圖2,連接AC,設(shè)8。，AC相交于點(diǎn)尸，OE垂直平分線段AC.

(i)求NCED的大??；

(ii)AF=AE,求證：BE=CF.

【答案】(1)見解析

(2)(i)MED=60°；(ii)見解析

【分析】(1)先根據(jù)。C=BC,CELBD,得出。。=8。，再根據(jù)“AAS”證明40DE三40BC,得出

DE=BC,得出四邊形2CDE為平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，得出四邊形

BCDE為菱形;

(2)(i)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形三線合一，證明再根據(jù)NBEG+

ZDEO+ZBEO=180°,即可得出ZCED=*=60°；

(苴)連接所，根據(jù)已知條件和等腰三角形的性質(zhì)，算出ZGEF=15。，得出ZOEF=45。，證明OE=

OF,再證明三/COF,即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)證明：?:DC=BC,CELBD,

：.DO=BO,

*：DE||BC,

:.(ODE=/-OBC,(OED=(OCB,

：.AODE=AOBC(AAS),

：.DE=BC,

???四邊形BCDE為平行四邊形，

?；CE上BD,

???四邊形BCDE為菱形.

DC

(2)(i)根據(jù)解析(1)可知，BO=DO,

???CE垂直平分80,

：.BE=DE,

,:B0=D0,

：.NBEO=/DEO,

石垂直平分AC,

:,AE=CE,

:EG上AC,

：./AEG=/DE0,

：.ZAEG=ZDE0=Z.BE0,

ZAEG+ZDEO+ZBEO=180°,

C.Z.CED=—=60°.

3

(ii)連接EF,

C

?：EG_LAC,

C.Z-EGF=90°,

：.Z.EFA=900-NGEF,

9：Z.AEF=180°-Z.BEF

=180°-乙BEC-乙CEF

=180°-乙BEC一(乙CEG-4GEF)

=180°-60°-60°+LGEF

=60°+乙GEF

\-AE=AF,

：.ZAEF=ZAFE,

.*.90°-乙GEF=60°+ZGEF,

???乙GEF=15°,

LOEF=Z.CEG-(GEF=60°-15°=45°,

CE1BD,

???乙EOF=Z.EOB=90°,

：.AOFE=90°-乙OEF=45°,

：.^OEF=(OFE,

：.OE=OF,

???AE=CE,

：.Z.EAC=Z.ECA,

???Z.EAC+Z.ECA=乙CEB=60°,

??.Z.ECA=30°,

???LEBO=90°-LOEB=30°,

C.Z-OCF=乙OBE=30°,

???乙BOE=4COF=90°,

：.ABOEACOF(A4S),

???BE=CF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形

的判定，直角三角形的性質(zhì)，作出輔助線，得出NGEF=15。，得出OE=OF,是解題的關(guān)鍵.

3.(2021?安徽?中考真題)如圖1,在四邊形ABC。中，乙4BC=NBCD,點(diǎn)E在邊BC上，且AE〃CD,

DE"AB,作交線段AE于點(diǎn)E連接BF.

(1)求證：AABF三△EAD；

(2)如圖2,若力B=9,CD=5,4ECF=4AED,求BE的長;

(3)如圖3,若2尸的延長線經(jīng)過AD的中點(diǎn)M,求萼的值.

【答案】(1)見解析；(2)6；(3)1+V2

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)及已知條件易證=乙DCE=LDEC,即可得AB=AE,

DE=DC；再證四邊形AFC。是平行四邊形即可得AF=CO,所以4F=DE,根據(jù)SAS即可證得△48尸三

△EAD；

(2)證明△珈s2\E4B,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；

(3)延長BM、ED交于點(diǎn)、G.易證△力SDCE可得絲=絲=些；設(shè)CE=1,BE=x,DC=DE=

BE^,DCDECE

a,由此可得AB=AE=ax,AF=CD=a；再證明AM4B三△MDG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DG=

AB=ax.證明△FAB“AFEG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得=即=肅片，解方程求得尤的

值，繼而求得案的值.

EC

【詳解】(1)證明：?:AE〃CD,

???Z.AEB=乙DCE；

DE//AB,

???乙ABE=乙DEC,Z.1=z2,

???乙ABC=乙BCD,

???Z-ABE=Z.AEB,Z-DCE=乙DEC,

:.AB=AE,DE=DC,

???加7/CO,AD//CFf

???四邊形AFCD是平行四邊形

???AF=CD

:.AF=DE

在△ABF與△及40中.

(AB=EA

jZ1=Z2,

UF=ED

???AABF=△EAD(SAS)

BECBEC

(2),論ABF=^EADf

??.BF=AD,

在口/FCD中，AD=CF,

???BF=CF,

???Z-FBC=Z-FCB,

又???乙FCB=Z2,z2=zl,

???Z-FBC=zl,

在^EBF與AE/B中.

(Z.EBF=zl

l匕BEF=乙AEB'

???△EBFEAB；

.EBEF

,,EA-EB'

AB—9,

???4E=9；

vCD=5,

???AF=5；

???EF=4,

EB4

--=---,

9EB

：■BE=6或一6(舍)；

(3)延長BM、EO交于點(diǎn)G.

???△4BE與△DCE均為等腰三角形，/.ABC=乙DCE,

ABEDCE,

.AB_AE_BE

??DC~DE~CE9

設(shè)CE=1,BE=x,DC=DE=a,

則=AE=ax,AF=CD=a,

???EF-a(x—1),

-AB//DG,

???z.3=Z.G；

在△MAB與^MOG中,

z3=zG

z4=z5，

=MD

MAB=AMZ)G(i4i4S)；

DG=AB=ax.

EG=a(x+1)；

，：AB“EG,

FABEEG,

.FA_AB

,,一，

FEEG

a_ax

a(x-l)a(x+lY

???x(x—1)=X+1,

.，.%?—2%—1=0?

??.(%—l)2=2,

?,?%=1+V2,

xr=1—V2(舍)，=1+V2，

??.些=1+迎.

EC

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)及判定、相似三角形的性質(zhì)及判定，熟練判定三

角形全等及相似是解決問題的關(guān)鍵.

壓軸題預(yù)測

1.(2024?安徽六安?一模)如圖，將矩形力BCD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形力EFG,且點(diǎn)E在線段BD上，連

接DF、EG.

BA

(1)求證：EA平分NBEG；

(2)求證：DF=CD；

(3)連接OG,當(dāng)△DEG為等腰直角三角形時，求黑的值.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)V2-1

【分析】此題考查四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與

性質(zhì).

(1)由等腰三角形性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得“EB=N2EG,即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)SAS證明AADE三△尸ED,進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；

,、山、十rn_./IBBEBEBEy[2BEy]2BEy[2BE-5/一、t片“口口一r/口?p

先證明△?△可Z得1=I而=而=而=行=再進(jìn)仃計算即可得出答

(3)ZBE40G,AUDbDe.—EGcGDUoc-rue.

2

案.

【詳解】(1)-AB=AE,,

：.ZABE=ZAEB,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：Z.ABE=AAEG,

：.Z.AEB=/.AEG,

???E;4平分ZBEG；

(2),：^ABE=Z.AEB.^ABE+AADE=90%^AEB+^DEF=90%

：.Z-ADE=乙DEF,

又??10=EF,DE=DE,

**.△ADE三△FED(SAS)，

JAE=DF,

：.DF=AB,

VCD=AB,

：.DF=CD；

(3)\9^BAD=Z.EAG=90°,

A^BAE=乙DAG,

u

：AB=AEfAD=AG,

/.△ABEADG,

C.Z.ADG=乙ABE,

*：^ABE+/.ADE=90°,

???4WG+4WE=90。，

即NEOG=90°,

???當(dāng)△DEG為等腰直角三角形時，DE=DG,

???ABE?ADG,

AB_BE_BE_BE_y[2BE_^2BE_y/2BE

AD~DG~DE~-EG~EG~BD~BE+DE9

2

BE_遮BE

"'DE~BE+DE'

1V2

AIDE=BE+DE'

：.BE=(V2-1)DE,

AB_BE

V2-1

~AD~~DE

2.（2024?安徽合肥.二模）在學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)”這一重要的平面圖形變換時，李老師設(shè)計如下的一個問題，讓同學(xué)

們進(jìn)行探究.如圖1，ZC=90°MC=2BC=10,AD=2,過點(diǎn)D作DE14C交2B于點(diǎn)E,將AADE繞點(diǎn)4

逆時針方向旋轉(zhuǎn)a（0<a<360°）.

⑴將△4DE旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置時，連接BE,。，求證：鬟=黑.

BECD

（2）若將△ADE旋轉(zhuǎn)至&。,后三點(diǎn)在同一條直線上時，求線段CD的長.

【答案】（1）詳見解析

⑵胃或4曲

【分析】（1）利用平行線的判定與性質(zhì)求出AaDEsAACB,根據(jù)相似的性質(zhì)得到黑=笑，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

得到ND4c=4EAB,再利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可得解;

(2)根據(jù)勾股定理求出4B=5西，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出CD=?BE,分點(diǎn)。在班上、點(diǎn)、D

在BE的延長線上兩種情況，根據(jù)勾股定理求出BE,據(jù)此計算即可.

【詳解】(1)證明：???NC=90。,。5_L4C

:.DE//BC

???△ADEACB

ADAE

,AC-AB

???將△ZDE繞4點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到圖2位置

???Z.EAD+Z.DAB=Z-BAC+Z-DAB

Z.DAC=Z.EAB

???△ADCAEB

.AEAD

,BE-CD

(2)???乙ABC=90。,ZC=2BC=10

???BC=5

AB=+B-2="02+52=5V5

DE//BC

ADACAEAB

''~DE~'BC~rAD~AC

??,AD=2

???DE=1

1/\斤rAE4。

由(t1)知，—

DC,CD

BE_AE

：'~CD=~AD

.BE_AB_\小_岳

?.麗一前一而一丁

2V5

*'.CD=——BE

如圖，當(dāng)點(diǎn)。在班上時，

B

v^ADE=90。

AC

??.Z.ADB=90°

在RtAADB中，AB=5V5,AD=2

由勾股定理得，DB=y/AB2-AD2=J（5V5）

—22=11

???BE=BD+DE=11+1=12

=12x—^=——

如圖，當(dāng)點(diǎn)。在BE的延長線上時,

在RtAADB中，AD=2,AB=5V5

由勾股定理得，BD=yjAB2-AD2=J（5V5）

-22=11

???BE=BD-DE=11-1=10

綜上所述：線段CD的長為鵬或4西.

【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，比例的基

本性質(zhì)，根據(jù)題意分情況畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?安徽安慶?一模）如圖，已知正方形2BCD,點(diǎn)P是邊BC上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)E

在DP上，滿足=延長BE交CD于點(diǎn)F.

Zr------------------J\D------------------jDA\---------------------\D

備用圖

（1）求證：乙BED=135°；

(2)連接CE.

①當(dāng)CE1BF時，求的值;

②如果△CEF是以CE為腰的等腰三角形，直接寫出/EBC的度數(shù).

【答案】(1)答案見解析

(2)①察=2；②NFBC的度數(shù)是15?；?2.5。

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)得4B=4D,ABAD=90°,貝iME=AB=AD,所以乙4EB=N力BE,

/.AED=Z.ADE,貝II2NAEB+2/.AED+90°=360°,所以28ED=/.AEB+/.AED=135°；

(2)①作AG_LBE于點(diǎn)G,則G3=GE,而CD1BF,所以/BEC=N4GB=NABC=90。，貝iJ/CBE=

^BAG=90°-AABG,可證明4BECw2L4GB,得EC=GB=BE,作PH_LBE于點(diǎn)H,可證明NHPE=

^HEP=45°,貝|HE=HP,因?yàn)镻H//CE,得出二=里=也=tan/CBE=/=工,可得出答案；

BPBHBHBE2

②分兩種情況討論，一是FE=CE,貝IkEFC=NECF,可推導(dǎo)出NEBC=NECB,貝l|BE=CE=FE,作

ELLAD于點(diǎn)L,可證明AL=DL,所以4E=DE=AD,則N￡;4D=60°,所以Z_R4E=30°,貝Ij/ABE=

AAEB=75°,可求得NCBF=15。；二是CF=CE,貝UNCEF=NCFE,可證明點(diǎn)E在4c上，貝I]NB4E=

ADAE=45°,求得NABE=AADE=67.5°,貝！kCBF=乙CDP=22.5°.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABC。是正方形，AE=AB,

：.AB=AD,ABAD=90°,

/.AE=AD，

:.ZAEB=ZABE,^AED=乙4OE,

???乙AEB+乙ABE+^AED+A.ADE+乙BAD=360°,

??.2(AEB+2乙AED+90°=360°,

???/,AEB+AAED=135°,

???乙BED=乙AEB+乙AED=135°.

(2)解：①如圖1,作4G1BE于點(diǎn)G,則G5=GE,

???乙BEC=^LAGB=/.ABC=90°,

???乙CBE=/-BAG=90°-/.ABG,

BC=AB,

ABEC三A4GB(44S),

??.EC=GB=-BE,

2

作PH1.BE于點(diǎn)H,貝！UPHB==90。，

???乙HEP=180°-乙BED=180°-135°=45°,

??.Z.HPE=Z.HEP=45°,

??.HE=HP,

??.PH||CE,

PCHE處小“公生1

.麗一而BHBE2

—

.?.詈的值是2.

②如圖2,4CEF是等腰三角形，S.FE=CE,則"FC乙ECF,

乙EBC+Z.EFC=90°,乙ECB+乙ECF=90°,

:.ZEBC=ZECB,

??.BE=CE=FE,

作于點(diǎn)3則匕ELD=乙BAD=90°,

??.EL||AB||CD,

ALBE?

==],

DLFE

AL=DL,

AE=DE=AD,

???/.EAD=60°,

???Z^E=90°-60o=30°,

???乙ABE=Z.AEB=|x(180°-30°)=75°,

???乙CBF=90°-75°=15°；

如圖3,4CE尸是等腰三角形，且=貝！=

???乙CEF=Z.AEB,

??.Z.CEB+^LAEB=乙CEB+乙CEF=180°,

.??點(diǎn)E在正方形48CD的對角線AC上，

AB=AD=CB=CD,乙ABC=^ADC=乙BCD=90°,

Z.BAE=Z.DAE=Z.BCA=/.DCA=45°,

.-./.ABE=/.AEB=Z.ADE=/.AED=|x(180°-45°)=67.5°,

ABF=乙CDP=90°-67.5°=22.5°,

綜上所述，/FBC的度數(shù)是15?；?2.5。.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、

三角形內(nèi)角和定理、平行線分線段成比例定理、勾股定理掌握相關(guān)定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(2024?安徽合肥?一模)已知，如圖①，在△4BC中，N4CB=90。,CD1AB于點(diǎn)。，貝|有AC?=人。?

AB,嘗試運(yùn)用此結(jié)論解決下列問題：

(1)如圖②，在矩形4BCD中，AD=2,點(diǎn)尸在2B上，F(xiàn)B=2AP,DP_LAC于點(diǎn)E,求力E的長.

(2)如圖③，在矩形2BCD中，點(diǎn)E在邊BC上，△DCE與△DFE關(guān)于直線DE對稱，點(diǎn)C的對稱點(diǎn)尸在邊4B

上，G為4。中點(diǎn)，連接GC交。尸于點(diǎn)M,GC||FE,若4。=2,求GM的長.

【答案】(1)1

(2)V2-1

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角

形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由矩形的性質(zhì)得，AB||CD,從而得至!]△川￡■“△CDE,即若=釜=[由題干中。屋=.?2C,得

CECD3

到22=AE-4AE,計算即可得到答案；

(2)由ADCE與ADFE關(guān)于直線DE對稱，得ADFEWADCE,從而得至1」功莊="?！?90°,DC=

DF,再通過證明△(?￡)“三ADF力得到CM=2,由題干可得，DG2=GM-GC,設(shè)GM=x,貝UCG=

GM+CM^x+2,I2=x(x+2),解方程求出x的值即可.

【詳解】(1)解：:FB=2AF,

：.AB=AF+BF=3AF,

在矩形4BCD中，AB||CD,AB=CD,/.ADC=90°,

貝此瓦4F=NECD,乙EFA=LEDC,

AFECDE,

,AE_AF_1

"CE~CD~3f

CE=3AE,

??.AC=4AEf

???DFLAC,

由題干可知0/2=AE?AC,

???22=AE-4/E,

解得/E=1；

(2)解：在矩形48co中，/-BCD=^CDA==90°,

???^ADF+Z.CDM=90°,

???△DCE與工OFE關(guān)于直線OE對稱，

DFE=△DCE,

???乙DFE=乙DCE=90°,DC=DF,

vGC||FE,

???DM1GC,

???(CDM+乙DCM=90°,

又?.?4COM+44DF=90。，

???^ADF=乙DCM,

?*.ACDM=△。尸4(AAS)，

.?.CM=DA=2,

G是4。的中點(diǎn)，

DG—GA—1,

由題干可知DG?=GM-GC,

設(shè)GM=%,貝!]CG=GM+CM=x+2,

2

l=x(x+2),解得1,x2=—y/2—1(負(fù)值，舍去),

:.GM的長為近一1.

5.（2024.安徽合肥.一模）（1）如圖1,已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是8c上一

點(diǎn)，以4E為邊在直線MN的上方作正方形4EFG.

①NH4E與ND4G的數(shù)量關(guān)系為;（直接寫出答案）

②連接FC,求證：AFCN=45°；

（2）如圖2,將圖1中的正方形2BCD改為矩形=a,BC=b（a、b為常數(shù)），E是線段BC上一

動點(diǎn)（不含端點(diǎn)8、C）,以4E為邊在直線MN的上方作矩形4EFG,使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上.判斷當(dāng)

點(diǎn)E由B向C運(yùn)動時，NFCN的大小是否保持不變？若NFCN的大小不變，請用含。、6的代數(shù)式表示

tan/FCN的值；若NFCN的大小發(fā)生改變，請舉例說明.

【答案】(1)^BAE=2LDAG(2)見詳解(3)tan^FCN=-

a

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)

用，其重點(diǎn)是通過證三角形全等或相似來得出線段的相等或成比例.

(1)①根據(jù)三角形全等判定方法證明ABAE三ADAG,然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得解；

②作尸"1MN于先證△力BE三AEHF,得到對應(yīng)邊相等，從而推出CHF是等腰直角三角形，LFCH

的度數(shù)就可以求得了.

(2)通過構(gòu)建直角三角形來求度數(shù)，作于4FCH的正切值就是

【詳解】解：(1)①=理由如下：

如圖1,連接DG,

AB=AD,AE=AG,4BAD=Z.EAG=90°,

**.Z-BAE+Z.EAD=Z.DAG+Z.EAD?

Z.BAE=Z-DAG,

BAE=△OZG（SAS），

???乙BAE=Z.DAG；

故答案為：/-BAE=^DAG；

②證明：作FH1MN于H,如圖2,

:.ZFEH=ZBAE,

又AE=EF,4EHF=^EBA=90°,

EFH/EB（AAS），

??.FH=BE,EH=AB=BC,

:.CH=BE=FH,

NFHC=90。,

???乙FCN=45°；

(2)解：當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動時，4FCN的大小總保持不變，理由如下:

作于H,如圖3,

由已知可得4瓦4G=乙BAD=Z-AEF=90°,

結(jié)合(1)得上FEH=^BAE=^DAG,

又.G在射線CO上，AGDA=乙EHF=乙EBA=90°,

在△G/D和△EFH中，

/.GDA=Z.FHE

乙DAG=4FEH,

、AG=EF

GADFEH>

EH=AD=BC=b,

??.CH=BE；

vZ.ABE=Z.EHF,乙BAE=^FEH,

EFHAEB,

.EH_FH_FH

"AB~BE~CH；

在FEH中，tan^.FCN=-=—=

KtCHABa

.??當(dāng)點(diǎn)E由8向C運(yùn)動時，NFCN的大小總保持不變，tcm/FCN=L

a

6.(2024?安徽合肥?一模)在△ABC中，乙4=90。，CD平分乙4cB交48于點(diǎn)E,過點(diǎn)8作1CO于點(diǎn)

D.

AD

DA

B

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)48=4C時,

①求NDBE的度數(shù);

②探究線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明;

(2)如圖2,當(dāng)時，求胃的值.

2CE

【答案】(1)①22.5°②EC=2BD,理由見解析

【分析】本題主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，作輔助線構(gòu)

造出與所求和已知相關(guān)的全等三角形，是解答本題的關(guān)鍵.

(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出N4BC=乙4cB=45。，再利用角平分線的定義得到NBCD=

Z.ACD=22.5°,然后得到NDBC=67.5°,解答即可；

②延長和C4交于點(diǎn)F,得出=再證明△力F8三△4EC,利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；

(2)延長BD和C4交于點(diǎn)F,得出BF=2BD,然后證明△AFBAEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論

即可.

【詳解】(1)①=90。，AB=AC,

J.Z.ABC=Z.ACB=45°,

又：CD平分乙4CB,

:.乙BCD=^ACD=-^ACB=工x45。=22.5°,

22

又?：BD1CD,

:?乙DBC=90°-乙BCD=90°-22.5°=67.5°,

:,(DBE=Z-DBC一乙ABC=67.5°-45°=22.5°；

②EC=280,理由為：

延長和CA交于點(diǎn)F,

?：BD1CD,乙BCD=2LACD,

AzF=乙FBC,

：.BF=2BD,

又?：乙DBE=Z.ACD=22.5°,^FAB=^CAE=90°,AB=AC,

/.△AFB=△AEC,

：.EC=BF=2BD；

E

(2)延長8。和ca交于點(diǎn)F,

CD平分乙4CB,

:.乙

BCD=4ACD=-2^ACB,

?；BD1CD,

AzF=(FBC,

：.BF=2BD,

=90°,

:?乙DBE+ZF=Z.DCA+ZF=90°,

:?乙DBE=Z.DCA,

/.△AFBAEC,

?.?BF—_BA—_—5，

CEAC2

,BD_5

??——.

CE4

E，\

7.（2024.安徽合肥?一模）【原題呈現(xiàn)】如圖1,在等邊△力BC中，D、E是AB、AC上的點(diǎn)，且CD=4E,

求NCFD度數(shù).

解答過程：

在等邊A4BC中，zX=ZDCS=60°,BC=AC,

又；CD—AE,CDB=AZECXSAS），

乙CFD=乙FCB+乙DBC=Z.FCB+4ACE=AACB=60°

【操作探究】如圖2,將CB繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60。到CQ,連接BQ,連接FQ交BC于點(diǎn)O,求證：

ZCFQ=60°

【深入思考】如圖3,延長QF交力C于點(diǎn)。，若點(diǎn)尸恰好是力C的中點(diǎn).

①請直接寫出方=_；

UD

②若ZC=6,求F。的長.

圖1圖2圖3

【答案】操作探究：見解析；深入思考：①3②芋

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判

定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，熟練掌握知識點(diǎn)并添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的

關(guān)鍵.

操作探究：延長尸。至點(diǎn)G,使得FG=FC,連接CG,先證明AGFC是等邊三角形，再利用等邊三角形的

性質(zhì)證明△GCB三△FCQ&AS），即可求解；

深入思考：①先證明四邊形4BQC是菱形，再證明AOCPsAOBQ,理由相似三角形的性質(zhì)即可求解；②

連接BP,由等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得ACOQ三△CBD（ASA），再根據(jù)勾股定理和解直角

三角形求出BP,BD的長，通過證明AFC。SABCE,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】操作探究：延長FD至點(diǎn)G,使得FG=FC,連接CG,如圖

圖3

???FG=FC,且4GFC=60°,

.?.,GFC是等邊三角形，

CG=FG=FC,乙GCF=60°,

又iZBCQ=60°,

*'?Z-GCF+Z.FCB=乙BCG+乙FCB,

???Z-GCB=Z.QCFf

CG=CF

???在△GCB與△FCQ中，4GCB=NQCF,

、CB=CQ

???△GCB=△FCQ(SAS)'

???乙CFQ=LG=60°；

【深入思考】①由【操作探究】知，△GCB=△FCQ,；.乙CGB=(CFO=60°,

??.(QCB=乙ABC=60°,

??.CQ//AB,

???CQ=CB=BA,

???四邊形/BQC是平行四邊形，

X---AC=ZB,???四邊形4BQC是菱形，

:.CP||BQ,

：.^OCP=乙OBQ,乙OPC=乙OQB,

OCPOBQ,

.co_CP_CP_1

"OB~BQ~AC~2；

②連接如圖,

0

???△4BC是等邊三角形

AB=AC=BC=6,AA=Z.ABC=AACB=60°,

由①噓/

CO=2,OB=4,

由【操作探究】知，LGCB=AFCQ,

???Z-CQO=Z-CBD,

又???CQ=CB,乙OCQ=乙DCB=60°,

COQ=△CBO（ASA），

CO=CD=2=AE,

:.BE=AB-AE=4,

???P是4c的中點(diǎn),

??.BP-C,〃BP=*BC=30。，DP=PC-CD=%C-CD=3-2=1,

PB=AB-cos30°=3V5，

???Rt△BPD中,PB=AB?cos30°=3后

Rt^BPD中，BD=J（3by+/=2夕=CE，

由①知，乙CFO=60°,

.-./.CFO=/.CBE=60°,/.FCO=乙BCE,

???△FCOBCE,

.co_FO

??—，

CEEB

2_FO

,?2V7?4，

4夕

7

8.（2024.安徽.一模）如圖1,在△Z8C中，48=47,點(diǎn)。是的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，的長為半徑作

弧交力B于點(diǎn)E,連接0E,作NBDE的平分線交AB于點(diǎn)G,延長DG到F,使FG=DG.

(2)連接EF,BF.

①如圖2,判斷四邊形BDEF的形狀，并證明;

②如圖3,若AABC為等邊三角形，其他條件不變，已知等邊AABC的邊長為4,求AaF。的面積.

【答案】（1）見解析

（2）①四邊形BDE尸是菱形，證明見解析；②3次

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出進(jìn)而根據(jù)作圖可得DB=DE,DG是NBDE的角平

分線，DG=DF,證明AAGF三△4GD（SAS），得出N￡MG=NFAG,即可得證；

（2）①根據(jù)（1）可得4G垂直平分DF,進(jìn)而證明EFIIBD,EF=BD可得四邊形BDEF是平行四邊形，根

據(jù)EF=ED,即可得出結(jié)論；

②先證明△4FD是等邊三角形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得4G,進(jìn)而根據(jù)三角形的

面積公式，即可求解.

【詳解】（1）證明：：在AABC中，AB=4C,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

/.ZCAD=ZBAD

根據(jù)作圖可得DB=DE,DG是NBDE的角平分線，DG=FG,

：.DG1BE,

：.Z.AGD=ZXGF=90°,

又：力G=4G,

△AGF=△AGD（SAS）9

：.^DAG=/-FAG,

Z-DAG=Z-BAD=Z.CAD,

???ZCAF=3ZFAB；

(2)①四邊形BDEF是菱形，

證明：如圖2,「DGIBE,DG=GF,貝MG垂直平分DF,

：.EF=ED,

：.AEFD=乙EDF,

「DG是NBDE的角平分線，

:.乙EDF=乙BDF,

：.ZEFD=ZBDF,

：.EF||BD,

又,：ED=BD,

：.EF=BD,

...四邊形BOEF是平行四邊形，

又,：EF=ED,

四邊形BDEF是菱形；

②如圖3,△力BC為等邊三角形，等邊AABC的邊長為4,

1

：.^LDAC=-Z-BAC=30°,

2

VZ.CAF=34FAB=3^DAC=90°,

工乙FAD=匕FAC一乙DAC=60°,

又=4),

.*?△/FD是等邊三角形，

1

VAC=4,^DAC=-ABAC=30°,

2

DC=2,

「?A。=2百，

9：AG1DF,

：.Z.GAD=30°,

AGD=^AD=V3,

?'-AG=yjAD2-GD2=3，

Z.△4F0的面積(xFDxAG=^x2V3x3=3V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角

的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

9.(2024?安徽?模擬預(yù)測)如圖1,在四邊形力BDE中，4ABC=4BDE,點(diǎn)、C在邊BD上,且

AC//DE,AB//CE,點(diǎn)F在邊4C上，且4F=CE,連接BF,DF,DF交CE于點(diǎn)、G.

(1)求證：BF=DF-,

(2)如圖2,若ZACE=NCDF,求證：CECF=BFDG■,

⑶如圖3,若延長所恰好經(jīng)過點(diǎn)E,求普的值.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

⑶2^

【分析】(1)證明△力BF三△C4E,得出BF=4E,證明四邊形4FDE為平行四邊形，得出恁=。/，則可

得出結(jié)論；⑵證明△FCG-AFDC,得出與=整，證明AFCG7DEG,得整=仁，則得出結(jié)論；⑶

DFCFDGDE

證明△ABF-ACEF,得出*=綣，設(shè)"=%AF=CE=m,解方程求出X,則可得出答案.

CECF

【詳解】(1)VAC||DE,AB||CE

??.Z.BDE=Z.ACB,Z-ABC=乙DCE,乙BAC=Z.ACE

???Z-ABC=Z.BDE

???(ABC=Z-BDE=Z-ACB=Z-DCE

??.AB=AC,CE=DE

在和△C4E中,

AF=CE

又???\/.BAC=乙ACE

、AB=AC

ABF=△CAE（SAS）

??.BF=AE

???CE=DE,AF=CE

??.AF=DE

-AF=DE,AC||DE

???四邊形ZFOE為平行四邊形

??.AE=DF

BF=DF

（2）..尸G=Z-CFD

'\z-ACE=匕CDF

???△FCGFDC

CF_GF

*'DF=CF

又???AC||DE

FCGDEG

GFCFGFDG

-----=------，即nn---=----

DGDECFDE

.CFDG

又.DE=CE,DF=BF

CFDG