2024年中考數(shù)學專項復習：梅涅勞斯定理、塞瓦定理（解析版）

模型介紹

13梅涅勞斯定理：任何一條直線截三角形的各邊，都使得三條不相鄰線段之積等于另外三條

線段之積.當直線交三角形ABC三邊所在直線8C、AB.AC于。、E、尸點時，則有AEX

BDXCF=EBXCDXAF

13塞瓦定理：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點。，延長A。、BO、C。分別交對邊于。、

E、F,則BDXCEXAF=DCXEAXFB.

例題精講

考點一：梅涅勞斯定理

【例1]如圖，等邊△ABC的邊長為2,尸為AB中點，延長BC至。，使CE>=2C,連接

交AC于E,則四邊形2CEF的面積為.

由梅涅勞斯定理得，空?里?奧=1,

FBCDEA

即工.名.d=1,則%=1,

12EAEA2

連FC,S^BCF——SAABC,SACEF=—SAABC,

26

于是SBCEF=SABCF+SACEF

=—S^ABC

3

=2.xAx2X2sin60°

32

_4yV3_2A/3

323

故答案為2叵.

3

A變式訓練

【變式17].如圖，D、E、尸內(nèi)分正△ABC的三邊AB、BC、AC均為1：2兩部分，AD.

BE、C尸相交成的△PQR的面積是△ABC的面積的（）

解：對△4OC用梅涅勞斯定理可以得：AP.DB.CE=i,則膽=2

PDBCEAPD1

、26655

設S/\BCF=—,S/\BCQ=—S/\BCE-,SBPRF——S^\ABD-,

3721721

:.SAPQR=SABCF-S^BCQ-SBPRF=^SMBC-

7

故選：D.

【變式1-2】.梅涅勞斯定理

梅涅勞斯(Menelcms)是古希臘數(shù)學家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：

如圖(1),如果一條直線與△ABC的三邊A5,BC,C4或它們的延長線交于尸、D、E

三點,那么一定有祟歌唾r

下面是利用相似三角形的有關知識證明該定理的部分過程:

證明：如圖(2),過點A作AG〃BC,交。廠的延長線于點G,則有空=幽

FBBD

圖⑴圖⑵

任務：(1)請你將上述材料中的剩余的證明過程補充完整；

(2)如圖(3),在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,點。為BC的中點，點廠在A2

上，且BF=2ARC尸與AD交于點E,則AE=6.

解：(1)補充的證明過程如下：

VAG//BD,

...AAGE^ACDE.

.CECD

??-

AEAG

.AFBDCEAGBDCD

"FB'DC'EA"BD'DC'AG-1

根據(jù)梅涅勞斯定理得:AFrBCrDE

(2)BF"DC'AE

又??貴lb

：.DE=AE.

在RtzXABO中，AB=13,BD=5,ZADB=90°,則由勾股定理知：^=VAB2-BD2

=V132-52=12-

：.AE=6.

故答案是：6.

考點二：塞瓦定理

【例2】.如圖：P,Q,R分別是△ABC的2C,CA,邊上的點.若AP,BQ,CR相交

證明：如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有

AR二江甌BP=CQ二S2kBMC

"2ABMCPC^AAMCQA

SAAMB

【變式27].請閱讀下列材料，并完成相應任務

如圖，塞瓦定理是指在△A8C內(nèi)任取一點。，延長AO,BO,C。分別交對邊。，E,F

于，則坨義煦義電1=1.

DCEABF

任務：(1)當點。，￡分別為邊BC,AC的中點時，求證：點廠為A3的中點；

(2)若△ABC為等邊三角形，42=12,AE=4,點。是8C邊的中點，求的長.

；D,E分別為邊BC,AC的中點,

:.BD=CD,EA=CE,

.BDtCE,

.?-------i,------=1,

CDEA

由塞瓦定理，得ERxCRx空=1

DCEABF

?AF,

??---二1,

BF

：.AF=BF,

???點尸為AB的中點;

(2)解：?「△ABC為等邊三角形，AB=12,

：.AB^AC=BC=12,

VAE=4,

???EC=12-4=8,

丁點。是3c的中點,

:?BD=CD=6,

9：AB=12,

：.AF=AB-BF=12-BF,

由賽瓦定理,得需X導弟］

.?4x|x^=i

64BF

：.BF=S.

【變式2-2】?請閱讀下列材料，并完成相應任務

塞瓦定理

定理內(nèi)容：如圖1,塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點0,延長AO,BO,C0分別交對

邊于“E,F,貝喘X導祟1

數(shù)學意義：使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來

進行三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基

本定理，具有重要的作用.

AAA

（圖D（圖2）（圖3）

任務解決:

(1)如圖2,當點。，E分別為邊8C,AC的中點時，求證：點F為的中點；

(2)若△ABC為等邊三角形(如圖3),AB=\2,AE=4,點。是BC邊的中點，求BE

的長，并直接寫出△BOP的面積.

(1)證明：???點。，E分別為邊BC,AC的中點，

：.BD=CD,CE=AE,

BDCEAF_.

由賽瓦定理可得:DCXyEAXyBF=1

：.AF=BF,

即點尸為AB的中點；

(2):△ABC為等邊三角形,AB=12,

：.BC=AC=12,

???點。是3c邊的中點,

：.BD=DC=6f

VAE=4,

：.CE=S,

由賽瓦定理可得：BF=8；

△80廠的面積為&巧.

□

1.如圖，在△ABC中，M■是AC的中點，E是AB上一點，AE=^-AB,連接EM并延長,

4

交8c的延長線于。，則幽=()

CD

232

解：如圖，過C點作CP〃AB,交DE于P,

'：PC//AE,

：.LAEMsACPM,

?PC=CM

"AE前’

是AC的中點，

：.AM=CM,

：.PC=AE,

"：AE=^AB,

4

：.CP=-^AB,

4

:.CP=LBE,

3

,JCP//BE,

XDCPs△DBE,

.CP=CD=1

■'BEBDW，

：.BD=3CD,

：.BC=2CD,即區(qū)_=2.

CD

故選：B.

A

*卜M

BD

2.如圖，在AABC中，D、E分別是5。、AC上的點，A。與相交于點G,若AG：GD

=4：1,BD：DC=2：3,則AE：EC的值是（）

/

A-2B-5C-3D.A

3

解：過D作DH〃AC交BE于H,

△DHGs△AEG,/\BDH^△CBE,

.PH_.DG_1PH_BD_2

■"AE"AGCE"BC"5，

：.AE=4DH,CE=^-DH,

2

.AE_4DH_8

FC”，

故選：B.

BDC

3.如圖，在△ABC中，A。是BC邊上的中線，尸是AO邊上一點.射線3交A8于點E,

且3a」，則空等于1.

EB6FD—3一

A

RDC

解：如圖：過點。作DG〃EC交AB于G,

,；Ar＞是BC邊上的中線，

GD是△BEC的中位線，

:?BD=CD,BG=GE.

..AE=1

'EB6"

?AE=1

,?而5

'：DG//EC,

?AE=AF=1

"EGFD~3

故答案是：1.

3

4.如圖，在△ABC中，點。是AB邊上的一點，S.AD=3BD,連接。并取C￡＞的中點E,

連接BE,若NACD=NBEr)=45°,且CD=6&,則AB的長為4/二百.

解：如圖，取AO中點R連接EF,過點。作。G_LEF于G,DHLBE于H,

.\AD=3BD=3afAB=4af

??,點E為8中點，點F為A0中點，CD=6七

：.DF=—afEF//AC,DE=3&,

2

：.ZFED=ZACD=45°,

VZBE￡)=45°,

：.ZFED=ZBEDfNFEB=9U°,

VDGXEF,DH1.BE,

四邊形EHDG是矩形，DG=DH,

四邊形DGEH是正方形，

:.DE=?DG=3?,DH//EF,

:.DG=DH=3,

'：DH//EF,

:.NBDH=NDFG,

：.△BOW△。尸G,

?.?-B-D=BH,

DFDG

._a_=BH

"IT,

2a

:.BH=2,

=,

.,.Br>=^BH2+DH2=V4+9/13，

.\AB=4Vl3，

故答案為：4713.

5.如圖，在△ABC中，ZACB=9Q°,AC=8\Q,BC=16,A。是邊BC的中線，過點C

作CELA。于點E,連接BE并延長交AC于點F,則AD的長是16,EF的長是

1277

:.CD=BD=8,

VZACB=90°,AC=8我,

AD=VAC2-H?D2=16，

ADAC162

??3決=4?，

,-A￡=7AC2-CE2=12;

,.DE^AD-AE^4,

'JDG//AC,

.DG_BD_BG_1

"CF=BC=BF"2>

設DG=x,則CF=2x,AF=8a-2x，

'：DG//AC,

\ZDGE=NAFE,ZEDG=NEAF,

\/\DEG^/\AEF,

.DG二EG_DE=4_1

''版標工FF"巧

即T—一，

8V3-2x3

解得：x=@叵，

5

CF=2x=

5

-,.BF=VCF2+BC2=3竺-，

5

???—BG二1."，

BF2

???16市

??bG=GF=——‘

b

.?.E-G-1,1,1

EF3

.-.￡F=312V7

45

故答案為：16,絲巨

5

6.如圖，△ABC中，D、E是3C邊上的點，BD：DE：EC=3：2：1,“在AC邊上，CM：

AM=1：2,8M交A￡）、AE于H、G,貝！1BH：HG：GM等于51：24：10

A

過M作AfQ〃2c交AE于N,交AD于F,交AB于Q,

,:BD：DE-.EC=3：2：1,

.,.設EC=a,DE—la,BD—3a,

'：MQ//BC,

：./\AMN°a/\ACE,

'：CM：MA=1：2,

.M=AM=2

"CEAC丁

3

同理加尸=2。，MQ—4a,

'CMQ//BC,

叢MNGs叢BEG,

.MN=MG

"BE而’

2_

a

.MG=-3=2

BG2a+3a15

?MG=_2_=12

??麗7785

同理蛆=嫗=區(qū)=2MH=2=34

BH麗石石，麗石而，

?理=21BH_85-34—51

"BM醞‘BM8585

：.BH：HG：GM=51：24：10,

故答案為：51：24：10.

7.如圖，UiABCD的對角線相交于點0,在AB的延長線上任取一點E,連接0E交BC于

點、F.若AD=c,BE=b,貝！J

—a+2b—

D

解：取AB的中點M,連接OM,

"/四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,OB=OD,

J.OM//AD//BC,OM=—AD^—c,

22

：.△EFBS/\E0M,

?.?一BE=-B-F-,

MEOM

\'AB=a,AD=c,BE=b,

：.ME=MB+BE=—AB+BE^—a+b,

22

.bBF

矛+byc

.?.BF^-bc.

a+2b

故答案為：

a+2b

8.在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,AM為8c邊上的中線，CZ)_L4M■于點。，CD

解：過點8作BfUBC,交EC的延長線于點凡

c

VZACB=90°,AC^BC,

：.ZBCF+ZACD=90°,

又；BFLBC,CD.LAM,

：.ZBCF+ZF=90°,ZCAD+ZACD=90°,

：.ZACD=ZF,ZBCF=ZCAD,

：.AACM^/XCBF(AAS),

：.BF=CM,

又為BC邊上的中線,

：.BF=CM=^-BC,

2

?.*ZA￡C=NBEF,

：.AACEsABFE,

.AEACBC

,?施不基

9.如圖，在△ABC中，M是AC的中點，E、尸是8c上的兩點，S.BE=EF=FC,求.BN：

NQ-.QM的值.

解：連接如圖，

是AC的中點，EF=FC,

:.MF為ACEA的中位線，

：.AE=2MF,AE//MF,

'JNE//MF,

.BN=BE=1NE=BE=_1

,?而EF'MFBF7

：.BN=NM,MF=2NF,

設BN=a,NE=b,則NM=a,MF=2b,AE=4b,

：.AN=3b,

,JAN//MF,

?NQ=AN=3b=2

"QMMF2b

.\NQ=—a,QM=—a,

55

10.如圖，△ABC中，ZACB=90°,CD_LAB于點。，E為BC上一點,AE交CD于點F,

EH_LA8于點"，若CF=2FD,EH=?求的值.

解：對于△CB。和截線AFE,由梅涅勞斯定理可知：患.空?.”=1，

EBADFC

■:CF=2FD,

???F-D='1，

CF2

AD

???CE=2.器?BE，

AB

易知汨,

?.B?EE二H11,

ACAD

BEU^~*AC,

AD

由射影定理可知AC2=AD^AB,

o

：.BE?CE=（2嗤?BE）?BE=2嘿松=2嘿.瑞匐）2=2喘?李-AC2

9

二2嘿崇加加吻心

,:EH=?

:.BE?CE=4.

11.如圖，△ABC中，AO_LBC于點。，E是AB上一點，連接DE,2ZC+ZBZ)E=180°.

(1)求證：/BDE=2/CAD；

(2)若AC=8O,ZAED=ZACB,求證BE=2CZ)；

(3)若AE=kBE,BD=mCD,則理的值為—空由L_(用含機，左的式子表示).

BDkm+m

：.ZC+—ZBDE=90°,

2

'：AD±BC,

：.ZC+ZCAD=90°,

：.ZCAD=—ZBDE,

2

：.ZBDE=2ZCAD；

(2)證明：如圖，延長￡>E至R使。尸=BD,連接在。2上截取DG=C。，連接

AG,

'：AD.LBC,

：.ZADC=ZADG=9Q°,

在△ADC和△AOG中，

'CD=DG

-ZADC=ZADG,

AD=AD

AADC^AADG(SAS),

：.AG=AC,ZGAD=ZCAD,ZAGC=ZACB,

：.ZCAG^2ZCAD,

'：ZBDF=2ZCAD,

：.ZBDF=ZCAG,

VAC=B￡>,

：.AC=BD=AG=DF,

：./\BDF^/\CAG(SAS),

:?BF=CG,NDFB=/AGC=/ACB,

VZAED=ZACB,/AED=NBEF,

：./DFB=NBEF,

：?BF=BE,

：.BE=CG,

?；CG=2CD,

:?BE=2CD；

(3)解：如圖，記AG與?！甑慕稽c為H,設CD=y,則切，

延長。E至R使=3。=樞y,連接5R在03上截取DG=CO=y,連接AG,

則CG=CD=2y,

由(2)知，AA￡)C^AAr>G,

：.AC=AG,ZCAD=ZGADf

:?/CAG=2/CAD,

由(1)知，/BDE=2NCAD,

:?NBDE=/CAG,

?：DF=BD,AC=AG,

???—DF——BD,

ACAC

ADBF^AACG,

Z.DBF=ZAGC,

S.AG//BF,

：.ADHGS^DFR,

?.D?-HD二G一,

DFBD

：.DH=DG=y,

,JAG//BF,

：./\BEF^/\AEH,

???E-F=BE'，

EHAE

?:AE=kBE,

?EF_BE_1

"EHkBET

：.EH=kEF,

'：DF=DH+EH+EF=y+kEF+EF=my,

?Er-(m-l)y

k+1'

.k(m-1)y

k+1

DE=EH+DH='I11rLi，y=(km+1)y,

k+1k+1

(km+1)y

...EE=k+1km+1,

BDmyknrtn

故答案為：旦迫■.

km+m

12.如圖1,RtAABC+，ZBAC=90°,A。是中線，BE±AD,垂足為E,點尸在A。上,

/ACF=/DBE.

（1）求證：ZABD=ZCFD；

（2）探究線段ARDE的數(shù)量關系，并證明你的結論；

（3）如圖2,延長BE交CP于點P,AB=415AF,求理的值.

EP

(1)證明：設NDBE=NCFD=ci,

VBE±AZ),

：.ZBED=90°,

AZADB+a=90°,

又,.,NA4C=90°,AO是中線，

：.AD=BD=CD,

：.ZBAD=ZABD,

：.ZADB+2ZBA￡>=180°,

：.2ZBAD=90°+a,

又???NCfZ>=NZMC+NACT=NQAC+a=90°-ZBAD+a=2ZBAD-ZBAD=ZBADf

ZABD=ZBAD,

：.NABD=NCFD；

(2)解：AF=2DE.

理由：過點。作CM,AO交AO的延長線于點M,

,?工。是中線，

:?BD=CD,

9：ZCMD=ZBED=90°,/CDM=/BDE,

：.ACDM^ABDE(A4S),

:?DM=DE,CM=BE,

又???N3AD=NCFM,NAEB=NCMF,

；?LCMF咨4BEA(A4S),

：.AE=MF,

：.AE-EF=MF-EF,

：.AF=EMf

又,：EM=2DE,

:?AF=2DE；

(3)解：過點C作CMLAO交AO的延長線于點M,

由(2)可知，AF=2DE,AD=CD,設。E=x,則A尸=2x,

F

P

VAB=V15AF,

.?.42=2百^尤，

：.AB=2y[}^x,

設EF=y,

.\AE=y+2x,AD=CD=y+3x,

由（2）可知，BE=CM,

：.AB2-AE2=CZ>2.。河2,

?1?（2V15X）2-（y+2x）2=（y+3無）2-X2,

解得y=3%,y=-8x（舍去），

.\AE=5x,

?:/BDE=/CFE,/AEB=/PEF,

:?△BEAS^PEF,

???B—E_二A—E_~5—x=5—.

EFEF3x3

13.如圖1,ZkABC中，AB=AC,點。在BA的延長線上，點E在8c上，DE=DC,點、F

(1)圖1中是否存在與/BOE相等的角？若存在，請找出，并加以證明，若不存在,

說明理由；

(2)求證：BE=EC；

(3)若將“點。在8A的延長線上，點E在8C上”和“點尸是。E與AC的交點，

且DF=FE”分別改為“點。在A8上，點E在C8的延長線上”和“點尸是ED的延長

線與AC的交點，且DF=kFE”,其他條件不變(如圖2).當AB=1,NA8C=a時，求

8E的長(用含左、。的式子表示).

解：(1)NDCA=NBDE.

證明：VAB=AC,DC=DE,

：.ZABC=NACB,NDEC=ZDCE.

：.ZBDE=ZDEC-ZDBC=ZDCE-ZACB=ZDCA.

(2)過點E作EG〃AC,交A3于點G,如圖1,

則有NOAC=N0G￡.

在△OCA和△&)G中，

'/DCA;NGDE

<ZDAC=ZDGE

DC=DE

AADCA^AEDG(A4S).

:?DA=EG,CA=DG.

：.DG=AB.

:?DA=BG.

\'AF//EG,DF=EF,

：.DA=AG.

:,AG=BG.

9：EG//AC,

：.BE=EC.

(3)過點E作￡G〃AC,交AB的延長線于點G,如圖2,

*：AB=AC,DC=DE,

：.ZABC=NACB,ZDEC=ZDCE.

：.ZBDE=ZDBC-ZDEC=ZACB-ZDCE=ZDCA.

9

：AC//EGf

：.ZDAC=ZDGE.

在△OCA和△EDG中，

<ZDCA=ZGDE

<ZDAC=ZDGE

DC=DE

/.△DCA^AEDG(A45).

:?DA=EG,CA=DG

：.DG=AB=1.

\UAF//EG,

△ADFS/\GDE.

.ADDF

"DG"DE'

：DF=kFE,

\DE=EF-DF=Cl-k)EF.

.AD二kEF

~"(l-k)EF-

\AD=-^—.

1-k

過點A作垂足為H,如圖2,

VAB=AC,AHA.BC,

：.BH=CH.

：.BC=2BH.

*：AB=1,ZABC=a,

BH=AB*cosNABH=cosa.

/.BC=2cosa.

9：AC//EG,

：.AABCSAGBE.

.BC_AC

e，BE"GE'

.2cosa__1

一BE=1，

1-k

?——2kcos

1-k

：.BE的長為2kcos.

1-k

H

圖2

E

14.閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務.

塞瓦（GiovanniCeva,1648?1734）意大利水利工程師，數(shù)學家，塞瓦定理載于1678年

發(fā)表的《直線論》一書，塞瓦定理是指如圖1,在△ABC內(nèi)任取一點0,延長A。，B0,

CO分別交對邊于F,E,則坨?里.空=i.

DCEAFB

下面是該定理的部分證明過程：

如圖2,過點A作2C的平行線分別交BE,CF的延長線于點N.則NN=NBCB,

/NAF=ZFBC.

：.ANAFsACBF.

?的M①.

BFBC

同理可得△N。4s△co。.

，期善■②.

DCDO

任務一：

（1）請分別寫出與△MO4,相似的三角形；

（2）寫出由（1）得到的比例線段；

任務二：結合①②和（2）,完成該定理的證明；

任務三：如圖3,△ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,CD±AB,垂足為。，點E

為。C的中點，連接AE并延長，交8c于點E連接8E并延長，交AC于點G.小明同

學自學了上面定理之后解決了如圖3所示的問題，并且他用所學知識己經(jīng)求出了BF與

PC的比是25：16,請你直接寫出AECG與△E4G面積的比.

圖1

解:

任務一:

(1)AMOA^ABOD；AMEA^AB￡C；

(、)MQ_MA_QA.ME^EA_MA.

-BO=BD"OD'BE"EC"Be'

任務二：

證明：

如圖所示：

由任務一可得：——；—?

AMOAEAAM

同理可得△OANSZ\O￡)C；/\AFN^/\BFC；

.OPDC.AF一AN.

"OA"AN'而同’

.BDAH

??---=---;

DCAN

.BDCEAFAMBCAN,

DCEAFBANAMBC

任務三：

由任務一和任務二可得：

在中'轉春喘

=1;

,.?RtZXABC中，AC=4,BC=3,

：.AB=yj32+42=5;

AD

cosZBAC=—

ABAC

.4AD

?.—=---;

54

.?.A￡)=K；

5

J.BD^AB-AD=—-,

5

..BFCGAD-

FCGADB

16

.25CGV

??而演”豆「

-5

過點E作EHLAC于";

15.問題提出

如圖（1）,在△ABC中，AB=AC,。是AC的中點，延長BC至點E,使DE=DB,延

長即交4B于點R探究空的值.

AB

問題探究

（1）先將問題特殊化.如圖（2）,當N54C=60°時，直接寫出BE的值；

AB

（2）再探究一般情形.如圖（1）,證明（1）中的結論仍然成立.

問題拓展

如圖（3）,在△ABC中，AB^AC,。是AC的中點，G是邊BC上一點，型=工（〃<2）,

BCn

延長BC至點E,使DE=DG,延長ED交AB于點?直接寫出空的值（用含”的式子

AB

表示）.

(1)(2)(3)

解：（1）如圖，取AB的中點G,連接。G,

(2)

?.,點D是AC的中點，

...■DG是△ABC的中位線，

J.DG//BC,

'：AB=AC,ZBAC^60°,

AABC是等邊三角形，

:點。是AC的中點，

：.ZDBC^30°,

"：BD=ED,

：.ZE=ZDBC^3Q°,

：.DF±AB,

VZAGD=ZADG=60°,

：.△A￡)G是等邊三角形，

：.AF=^-AG,

2

?/AG=AAB,

2

：.AF=—AB,

4

.AF1

??=—;

AB4

(2)取2C的中點X,連接。H,

?.?點。為AC的中點,

：.DH//ABfDH=^ABf

2

9

：AB=ACf

：.DH=DC,

:?/DHC=/DCH,

?：BD=DE,

：./DBH=/DEC,

；?/BDH=NEDC,

:?△DBHQXDEC(ASA),

：.BH=EC,

???—EB——3,

EH2

'：DH//AB,

：.△EDHs^EFB,

.FBEB3

"DH=EH'2，

.膽工

AB'I'

?空」.

"AB"I'

問題拓展

取BC的中點H,連接。H,

由(2)同理可證明△DGHZZXDEC(ASA),

：.GH=CE,

:.HE=CG,

..CG=1

*BCn'

?.?-H-E--1,

BCn

?.?-H-E=2,

BHn

?.?-H-E-二---2-,

BEn+2

'