八年級(jí)上冊(cè)《線段的垂直平分線的性質(zhì)》課件與同步練習(xí)

13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱(chēng)圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)的意義和性質(zhì)，這節(jié)課我們一起運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)來(lái)探索線段垂直平分線的性質(zhì)和判定.學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能敘述出線段垂直平分線的性質(zhì).（2）能運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.（3）能說(shuō)出線段垂直平分線的判定方法.推進(jìn)新課知識(shí)點(diǎn)1探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)探究

如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點(diǎn)，分別量一量點(diǎn)P1，P2，P3，…

到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？ABlP1P2P3你能用不同的方法驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？相等.

請(qǐng)?jiān)趫D中的直線l上任取一點(diǎn)，那么這一點(diǎn)與線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等嗎？

探究

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.ABlP1P2P3

已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上.求證：PA=PB．證明：“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.”ABPCl證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．ABPCl

線段垂直平分線的性質(zhì)：

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．

反過(guò)來(lái)，如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？

點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．已知：如圖，在△ABP中，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．PABCPABC證明：過(guò)點(diǎn)P作線段AB的垂線PC，垂足為C．則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．

用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：∵

PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．

與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．PABC解：∵AB=AC，∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上．∵M(jìn)B=MC，∵點(diǎn)M在BC的垂直平分線上，∴直線AM是線段BC的垂直平分線．

練習(xí)1如圖，AB=AC，MB=MC．直線AM是線段BC的垂直平分線嗎？ABCDM鞏固練習(xí)【課本P62練習(xí)第2題】

練習(xí)2如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC與E，則△ADE的周長(zhǎng)等于______．8ABCDE

練習(xí)3到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是（

）A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三邊垂直平分線的交點(diǎn)C.三邊高線的交點(diǎn)D.沒(méi)有這樣的點(diǎn)B知識(shí)點(diǎn)2

例1尺規(guī)作圖：經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C（如圖）.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線ABC作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁.

（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.（2）以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E.（4）作直線CF.

直線CF就是所求作的垂線.CABDEFK

解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB=AC．

練習(xí)4如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE鞏固練習(xí)【課本P62練習(xí)第1題】ABCDE

∴AB=AC=CE．∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE．知識(shí)點(diǎn)3作線段的垂直平分線

例2如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱(chēng)，你能作出這條直線嗎？AB怎樣作線段AB的垂直平分線呢？

這種作法的依據(jù)是什么？這種作圖方法還有哪些作用？

確定線段的中點(diǎn)．

作法：如圖．（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；（2）作直線CD．

CD就是所求作的直線．

ABCD

如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，怎樣作出圖形的對(duì)稱(chēng)軸？

如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，其對(duì)稱(chēng)軸是任何一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．因此，只要找到任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對(duì)稱(chēng)軸．

如圖中的五角星，請(qǐng)作出它的一條對(duì)稱(chēng)軸.

你能作出這個(gè)五角星的其他對(duì)稱(chēng)軸嗎？它共有幾條對(duì)稱(chēng)軸？五角星的對(duì)稱(chēng)軸有什么特點(diǎn)？

鞏固練習(xí)

練習(xí)5作出下列圖形的一條對(duì)稱(chēng)軸，和同桌比較一下，你們作出的對(duì)稱(chēng)軸一樣嗎？

練習(xí)6如圖，角是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？

練習(xí)7如圖，與圖形A成軸對(duì)稱(chēng)的是哪個(gè)圖形？畫(huà)出它們的對(duì)稱(chēng)軸．ABCD隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，M是直線CD上的一點(diǎn).已知線段MA=12cm，則線段MB的長(zhǎng)為_(kāi)____cm.122.在△ABC中，AB的中垂線與AC邊所在直線相交所得的銳角為50°，則∠A的度數(shù)為（

）A.50° B.40°C.40°或140° D.40°或50°C3.畫(huà)出下列圖形的對(duì)稱(chēng)軸（有幾條對(duì)稱(chēng)軸就畫(huà)出幾條，不要遺漏）.綜合應(yīng)用4.如圖，將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處BC′交AD于E；（1）若∠DBC=22.5°，則在不添加輔助線的情況下，圖中45°的角（虛線也視為角的邊）有多少個(gè)？（2）你認(rèn)為圖中有多少組全等三角形，并把他們寫(xiě)下來(lái).解：（1）5個(gè).（2）4組，△BCD≌△BC′D，△ABE≌△C′DB，△ABD≌△CDB，△ABD≌△C′DB.拓展延伸5.電信部門(mén)要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，如圖，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置.解：如圖所示，兩條高速公路相交的角的角平分線和AB的垂直平分線的交點(diǎn)P1與P2點(diǎn).課堂小結(jié)

線段垂直平分線的性質(zhì)：

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．

與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．課后作業(yè)1.從課后習(xí)題中選取；2.完成練習(xí)冊(cè)本課時(shí)的習(xí)題。1．三角形ABC紙片上有一點(diǎn)P，量得PA＝3cm，PB＝3cm，則點(diǎn)P一定(

)A．是邊AB的中點(diǎn) B．在邊AB的中線上C．在邊AB的高上 D．在邊AB的垂直平分線上2．如圖，已知直線MN是線段AB的垂直平分線．若AM＝5cm，△MAB的周長(zhǎng)為16cm，則AN的長(zhǎng)為(

)A．3cm B．5cmC．8cm D．11cmDA3．如圖，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連接AD.若AE＝4cm，則△ABC的周長(zhǎng)與△ABD的周長(zhǎng)的差為(

)A．2cm

B．4cmC．6cm D．8cmD4．如圖，AC＝AD，BC＝BD，AB與CD相交于點(diǎn)O，則AB與CD的關(guān)系是____________________.AB垂直平分CD5．如圖，AB垂直平分CD，AC＝1.6cm，BC＝2.3cm，則四邊形ACBD的周長(zhǎng)是__________cm.7.86．如圖，在△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P.(1)求證：PA＝PB＝PC.(2)點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平分線上？由此你還能得出什么結(jié)論？解：(1)證明：由垂直平分線的性質(zhì)，可知PB＝PC；同理，由垂直平分線的性質(zhì)，可知PA＝PB，∴PA＝PB＝PC.(2)∵PA＝PC，∴由垂直平分線的判定可知，點(diǎn)P也在邊AC的垂直平分線上．由此得出結(jié)論：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．7．如圖，已知正五邊形ABCDE，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，準(zhǔn)確地畫(huà)出它的一條對(duì)稱(chēng)軸(保留作圖痕跡)．解：如圖，直線AK即為所求的一條對(duì)稱(chēng)軸(答案不唯一)．8．如圖，找出軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，并指出兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)．解：如圖，A，B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，C，D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．9．如圖，點(diǎn)A，B在直線l異側(cè)，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧交直線l于點(diǎn)C，D.分別以點(diǎn)C，D為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在l下方交于點(diǎn)E，連接AE.(1)根據(jù)題意，利用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形．(2)求證：直線l垂直平分AE.解：(1)如圖所示，即為所求．(2)如圖，連接AC，CE，ED，AD.∵AC＝AD＝AB，CE＝ED＝AB，∴AC＝CE，AD＝DE，∴點(diǎn)C，D在AE的垂直平分線上，∴直線l垂直平分AE.第十三章軸對(duì)稱(chēng)13．1軸對(duì)稱(chēng)13．1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)《第1課時(shí)線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定》同步練習(xí)1線段的垂直平分線的性質(zhì)1．已知直線AB是線段CD的垂直平分線，并且垂足為B.若AC＝5cm，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．AB＝5cm B．BC＝5cmC．BD＝5cm D．AD＝5cmD2．如圖，在△ABC中，DE是AB的垂直平分線，若AE＝4，EC＝2，則BC的長(zhǎng)是(

)A．2B．4C．6D．8C3．如圖，AC⊥BD，OB＝OD，AB＝3，CD＝5，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)是________.164．教材P62練習(xí)1改編如圖，AD⊥BC，BD＝DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上．已知BD＝3，AB＝5，則DE＝______.85．如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，AB－BC＝3，△BCD的周長(zhǎng)為15，求AB的長(zhǎng)．解：∵M(jìn)N為AC的垂直平分線，∴DC＝DA，∴DC＋DB＋BC＝AD＋DB＋BC＝AB＋BC＝15.又∵AB－BC＝3，∴AB＝9.2線段的垂直平分線的判定6．如圖，△ABC中，AC＝BC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則(

)A．l垂直AB

B．l平分ABC．l垂直平分AB

D．不能確定7．已知線段AB，直線CD⊥AB于點(diǎn)O，AO＝OB.若點(diǎn)M在直線CD上，則MA＝________；若NA＝NB，則點(diǎn)N在____________上．DMB直線CD8．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，邊BC的垂直平分線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.求證：點(diǎn)A在CD的垂直平分線上．證明：如圖，連接AC，證AC＝AB＝AD即可．9．如圖，AB＝AC，OB＝OC.求證：AO垂直平分BC.證明：∵AB＝AC，∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上．∵OB＝OC，∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上，∴AO垂直平分BC.10．如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交邊AB，BC于點(diǎn)D，E，邊AC的垂直平分線分別交邊AC，BC于點(diǎn)F，G.若△AEG的周長(zhǎng)為8，則BC的長(zhǎng)是(

)A．12

B．8

C．6

D．4B11．如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線與邊BC的垂直平分線的交點(diǎn)P恰好在邊AC上，且AC＝10cm，則點(diǎn)B到點(diǎn)P的距離為_(kāi)___________.5cm12．如圖，AD是△BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：(1)DE＝DF.(2)AD垂直平分EF.證明：(1)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.(2)證Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，∴AE＝AF，DE＝DF，即點(diǎn)A在EF的垂直平分線上，點(diǎn)D也在EF的垂直平分線上，即AD垂直平分EF.13．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：CF＝AD.(2)連接BE.若AD＝2，AB＝8，當(dāng)BC為多少時(shí)，點(diǎn)B在AF的垂直平分線上？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)證明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE.在△ADE與△FCE中，∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴CF＝AD.(2)當(dāng)BC＝6時(shí)，點(diǎn)B在線段AF的垂直平分線上．理由如下：∵AD＝2，∴CF＝AD＝2.∵BC＝6，∴BF＝BC＋CF＝6＋2＝8.∵AB＝8，∴AB＝BF，∴點(diǎn)B在AF的垂直平分線上．14．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC的垂直平分線上，且BD平分∠ABC，DF⊥BC于點(diǎn)F.(1)求證：