離散型隨機(jī)變量的均值高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值第七章§7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握離散型隨機(jī)變量的均值的概念和性質(zhì).2.掌握兩點(diǎn)分布的均值.3.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值和性質(zhì)，解決一些相關(guān)的實(shí)際問題.在射擊運(yùn)動(dòng)中，射擊選手的每次射擊成績(jī)是一個(gè)非常典型的隨機(jī)事件.(1)如何刻畫每個(gè)選手射擊的技術(shù)水平與特點(diǎn)？(2)如何比較兩個(gè)選手的射擊情況？(3)如何選擇優(yōu)秀的射擊運(yùn)動(dòng)員代表國(guó)家參加奧運(yùn)會(huì)才能使得獲勝的概率較大？導(dǎo)語(yǔ)離散型隨機(jī)變量的均值問題1某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是7,7,7,7,8,8,8,9,9,10，則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？知識(shí)梳理則稱E(X)＝

＝

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱

.(2)兩點(diǎn)分布的均值：一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝

.(1)均值：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，Xx1x2…xnPp1p2…pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn期望0×(1－p)＋1×p＝p知識(shí)梳理注意點(diǎn)：分布列只給了隨機(jī)變量取所有可能值的概率，而均值卻反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.例1

(1)已知隨機(jī)變量X滿足P(X＝1)＝0.3，P(X＝0)＝0.7，則E(X)等于A.0.3B.0.7 C.0.21 D.1√根據(jù)題意可知，隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，所以E(X)＝0.3.(2)某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過，便可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止.如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)ξ的分布列和均值，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率.反思感悟求隨機(jī)變量X的均值的方法和步驟(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X所有可能的取值.(2)求出X取每個(gè)值的概率P(X＝k).(3)寫出X的分布列.(4)利用均值的定義求E(X).跟蹤訓(xùn)練1從裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球和1個(gè)黑球的袋中隨機(jī)逐一取球，已知每個(gè)球被取到的可能性相同.若取后不放回，設(shè)取完紅球所需的次數(shù)為X，求X的分布列及均值.均值的性質(zhì)知識(shí)梳理離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(shù)(X是隨機(jī)變量)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝

.aE(X)＋b6.隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)問題2若X，η都是離散型隨機(jī)變量，且η＝aX＋b(其中a，b是常數(shù))，那么E(η)與E(X)有怎樣的關(guān)系？提示

X，η的分布列為Xx1x2…xi…xnηax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn例2已知隨機(jī)變量X的分布列為若Y＝－2X，則E(Y)＝______.延伸探究1.本例條件不變，若Y＝2X－3，求E(Y).所以a＝15.反思感悟求線性關(guān)系的隨機(jī)變量η＝aξ＋b的均值的方法(1)定義法：先列出η的分布列，再求均值.(2)性質(zhì)法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可.跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，則E(X)的值為A. B.5 C.1 D.31因?yàn)镋(Y)＝E(5X＋1)＝5E(X)＋1＝6，所以E(X)＝1.√(2)已知隨機(jī)變量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如表所示，則m的值為√均值的應(yīng)用例3

等級(jí)珍品特級(jí)優(yōu)級(jí)一級(jí)箱數(shù)10151510(1)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，再?gòu)某槿〉?0箱中隨機(jī)抽取3箱，ξ表示隨機(jī)抽取的3箱中是特級(jí)的箱數(shù)，求ξ的分布列及均值E(ξ)；(2)利用樣本估計(jì)總體，該地提出兩種購(gòu)銷方案供采購(gòu)商參考：方案一：不分等級(jí)賣出，價(jià)格為20元/kg；方案二：分等級(jí)賣出，分等級(jí)的臍橙價(jià)格如表所示：等級(jí)珍品特級(jí)優(yōu)級(jí)一級(jí)售價(jià)(元/kg)25201510從采購(gòu)商節(jié)約資金的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？反思感悟解答實(shí)際問題時(shí)，(1)把實(shí)際問題概率模型化；(2)利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，列出分布列；(3)利用公式求出相應(yīng)均值.跟蹤訓(xùn)練3某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無(wú)關(guān).(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；隨堂演練1.已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示：X0246P0.10.2m0.2則E(X)的值為A.2 B.2.4C.3.6D.不確定√依題意和分布列的性質(zhì)得，0.1＋0.2＋m＋0.2＝1，解得m＝0.5，所以E(X)＝0×0.1＋2×0.2＋4×0.5＋6×0.2＝3.6.2.已知Y＝4X＋7，E(Y)＝15，則E(X)等于A.67 B.11 C.2 D.1√E(Y)＝4E(X)＋7＝15，則E(X)＝2.4.利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策，應(yīng)選擇的方案是______.自然狀況方案盈利概率A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A3A1的均值為50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；A2的均值為70×0.