正態(tài)分布高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

§7.5正態(tài)分布第七章隨機變量及其分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.利用實際問題的頻率分布直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.2.了解變量落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率大小.3.會用正態(tài)分布去解決實際問題.導(dǎo)語一所學(xué)校同年級的同學(xué)的身高，特別高的同學(xué)比較少，特別矮的同學(xué)也不多，大都集中在某個高度左右；某種電子產(chǎn)品的使用壽命也都接近某一個數(shù)，使用期過長，或過短的產(chǎn)品相對較少.生活中這樣的現(xiàn)象很多，是否可以用數(shù)學(xué)模型來刻畫呢？課時對點練一、正態(tài)曲線及其特征二、利用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率三、正態(tài)分布的應(yīng)用隨堂演練內(nèi)容索引正態(tài)曲線及其特征

一問題1下列隨機變量哪個是離散型隨機變量：(1)擲一枚骰子一次，用X表示所得點數(shù)；(2)白熾燈的使用時間.提示(1)是，(2)不是.問題2教材P74例2的高爾頓板試驗中，隨著重復(fù)次數(shù)的增加，頻率分布直方圖的形狀會越來越像一條鐘形曲線，那么這條曲線是否存在函數(shù)解析式呢？提示

存在.知識梳理1.我們稱f(x)＝________________，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，為_____________，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱_________.2.若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為______________.特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從______________.3.若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.正態(tài)密度函數(shù)正態(tài)曲線X～N(μ，σ2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布4.正態(tài)曲線的特點：(1)非負(fù)性：對?x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的_____.(2)定值性：曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為____.(3)對稱性：曲線是單峰的，它關(guān)于直線______對稱.(4)最大值：曲線在______處達(dá)到峰值.(5)當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近____軸.上方1x＝μx＝μx(6)當(dāng)____一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著____的變化而沿x軸平移，如圖①.(7)當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，當(dāng)σ較小時，峰值高，正態(tài)曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；當(dāng)σ較大時，峰值低，正態(tài)曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖②.σμ5.正態(tài)分布的幾何意義：若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.

(1)已知隨機變量服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線如圖所示，則總體的均值μ＝

，方差σ2＝

.例1202(2)某工廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一型號的機械零件，產(chǎn)品的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，)，Y～N(μ2，

)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是A.甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性高于乙

生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性B.甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性低于乙

生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性C.甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值大于乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值D.甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值小于乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值√由圖知甲、乙兩條生產(chǎn)線的平均值相等，甲的正態(tài)分布密度曲線較瘦高，所以甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性高于乙生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性.利用正態(tài)曲線的特點求參數(shù)μ，σ(1)正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱，由此特點結(jié)合圖象求出μ.(2)正態(tài)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值

，由此特點結(jié)合圖象可求出σ.反思感悟跟蹤訓(xùn)練1

(1)(多選)下面給出的關(guān)于正態(tài)曲線的4個敘述中，正確的有A.曲線在x軸上方，且與x軸不相交B.當(dāng)x>μ時，曲線下降，當(dāng)x<μ時，曲線上升C.當(dāng)μ一定時，σ越小，總體分布越分散，σ越大，總體分布越集中D.曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，且當(dāng)x＝μ時，位于最高點只有C錯誤，因為當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，總體分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散.√√√跟蹤訓(xùn)練1

(2)(多選)甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，

)，N(μ2，)，其正態(tài)分布的密度曲線f(x)＝，x∈R，如圖所示，則下列說法正確的是A.甲類水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4kgB.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2＝1.99√√√由圖象可知甲圖象關(guān)于直線x＝0.4對稱，乙圖象關(guān)于直線x＝0.8對稱，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A，C正確；因為甲圖象比乙圖象更“瘦高”，所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確；因為乙圖象的最大值為1.99，利用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率

二知識梳理正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________.0.68270.95450.9973盡管隨機變量的取值范圍是(－∞，＋∞)，但在一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生.在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3σ原則.注意點：設(shè)ξ～N(1,22)，試求：(1)P(－1≤ξ≤3)；例2∵ξ～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2，P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827.(2)P(3≤ξ≤5).∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，延伸探究若本例條件不變，求P(ξ>5).利用正態(tài)分布求概率的兩個方法(1)對稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間概率相等.如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解.反思感悟跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，則P(0<ξ<2)等于A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1由已知可得曲線關(guān)于直線x＝1對稱，P(ξ<2)＝0.6，所以P(ξ≥2)＝P(ξ≤0)＝0.4，故P(0<ξ<2)＝1－0.4－0.4＝0.2.√(2)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，則μ等于A.3 B.4 C.5 D.6∵P(ξ<2)＝0,2，P(2<ξ<6)＝0.6，∴P(ξ>6)＝1－0.2－0.6＝0.2，√正態(tài)分布的應(yīng)用

三

(1)現(xiàn)實世界中的很多隨機變量遵循正態(tài)分布.例如反復(fù)測量某一個物理量，其測量誤差X通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做n次測量，最后結(jié)果的誤差，Xn

～N

，則為使|Xn|≥的概率控制在0.0455以下，至少要測量的次數(shù)為(附：若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)A.32 B.64 C.128 D.256例3√(2)某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(4,0.52).質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機抽查1件，測得它的外直徑為5.7cm，試問：該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？由于外直徑X～N(4,0.52)，則X在[4－3×0.5,4＋3×0.5]之內(nèi)取值的概率為0.9973，在[2.5,5.5]之外取值的概率為0.0027，而5.7?[2.5,5.5]，這說明在一次試驗中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認(rèn)為這批零件是不合格的.解題時，應(yīng)當(dāng)注意零件尺寸應(yīng)落在[μ－3σ，μ＋3σ]之內(nèi)，否則可以認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格.判斷的根據(jù)是小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格.反思感悟跟蹤訓(xùn)練3

“雙十二”網(wǎng)購狂歡節(jié)是繼“雙十一”之后的又一次網(wǎng)絡(luò)促銷日，在這一天，許多網(wǎng)商還會進(jìn)行促銷活動，但促銷力度不及“雙十一”.已知今年“雙十二”期間，某小區(qū)居民網(wǎng)上購物的消費金額(單位：元)近似服從正態(tài)分布N(600,10000)，則該小區(qū)800名居民中，網(wǎng)購金額超過800元的人數(shù)大約為(附：若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)A.16 B.18 C.20 D.25√∵小區(qū)居民網(wǎng)上購物的消費金額(單位：元)近似服從正態(tài)分布N(600,10000)，∴該小區(qū)800名居民中，網(wǎng)購金額超過800元的人數(shù)大約為0.02275×800＝18.2≈18.課堂小結(jié)1.知識清單：(1)正態(tài)曲線及其特點.(2)正態(tài)分布的應(yīng)用，3σ原則.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：概率區(qū)間轉(zhuǎn)化不等價.隨堂演練

1.設(shè)有一正態(tài)總體，它的正態(tài)曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝

，則這個正態(tài)總體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是A.10與8 B.10與2C.8與10 D.2與10√1234由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知，總體的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.2.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，則實數(shù)a的值為A.1 B.2 C.3 D.41234隨機變量X服從正態(tài)分布N(a,4)，所以曲線關(guān)于直線x＝a對稱，且P(X＞a)＝0.5，由P(X＞1)＝0.5，可知μ＝a＝1.√3.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(10,22)，則D(3X－1)等于A.6 B.11 C.12 D.36√1234因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(10,22)，所以D(X)＝22＝4，所以D(3X－1)＝32D(X)＝9×4＝36.4.如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，則μ＝

.1234因為ξ～N(μ，σ2)，故正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，又P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)，2課時對點練

12345678910111213141516基礎(chǔ)鞏固1.已知隨機變量X～N(6,1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，則P(7<X≤8)為A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.2718√由題設(shè)可得P(5≤X≤7)≈0.6827，P(4≤X≤8)≈0.9545，123456789101112131415162.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是A.σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)內(nèi)與落在(10,10.3)內(nèi)的概率相等√12345678910111213141516因為某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，所以測量的結(jié)果的概率分布關(guān)于直線x＝10對稱，且方差σ2越小，則分布越集中，對于A，σ越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大，故選項A正確；對于B，不管σ取何值，測量結(jié)果大于10的概率均為0.5，故選項B正確；對于C，由于概率分布關(guān)于直線x＝10對稱，所以測量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項C正確；12345678910111213141516對于D，由于概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的區(qū)域大于(10，10.3)分布在10附近的區(qū)域，故測量結(jié)果落在(9.9,10.2)內(nèi)的概率大于落在(10,10.3)內(nèi)的概率，故選項D錯誤.12345678910111213141516√12345678910111213141516因為隨機變量X～B(6，p)，所以E(X)＝6p，即E(Y)＝2，123456789101112131415164.某中學(xué)抽取了1600名同學(xué)進(jìn)行身高調(diào)查，已知樣本的身高(單位：cm)服從正態(tài)分布N(170，σ2).若身高在165cm到175cm的人數(shù)占樣本總數(shù)的

，則樣本中不高于165cm的同學(xué)數(shù)目約為A.80

B.160

C.240

D.320√123456789101112131415165.(多選)已知三個正態(tài)密度函數(shù)fi(x)＝(x∈R，i＝1,2,3)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是A.σ1＝σ2 B.μ1>μ3C.μ2＝μ3 D.σ2<σ3√根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，且μ越大，圖象越靠近右邊，所以μ1<μ2＝μ3，故B錯誤，C正確；又σ較小時，峰值高，曲線“瘦高”，所以σ1＝σ2<σ3，A，D正確.√√123456789101112131415166.(多選)如圖分別是甲、乙、丙三種品牌手表日走時誤差分布的正態(tài)分布密度曲線，則下列說法正確的是A.三種品牌的手表日走時誤差的均值相等B.三種品牌的手表日走時誤差的均值從大到小

依次為甲、乙、丙C.三種品牌的手表日走時誤差的方差從小到大依次為甲、乙、丙D.三種品牌手表中甲品牌的質(zhì)量最好√√√12345678910111213141516由題中圖象可知三種品牌的手表日走時誤差的平均數(shù)(均值)相等，由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)，可知σ越大，正態(tài)曲線越扁平，σ越小，正態(tài)曲線越瘦高，故三種手表日走時誤差的標(biāo)準(zhǔn)差(或方差σ2)從小到大依次為甲、乙、丙，甲品牌的質(zhì)量最好.123456789101112131415167.設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(4,3)，若P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，則實數(shù)a＝

.由題意，隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(4,3)，可得μ＝4，σ2＝3，又由P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，可得x＝a－5和x＝a＋1關(guān)于直線x＝4對稱，所以a－5＋a＋1＝8，解得a＝6.6123456789101112131415168.在某項測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為

.因為正態(tài)分布的均值為1，所以P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝0.4，所以P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.8.0.8123456789101112131415169.若X～N(μ，σ2)，根據(jù)P(μ≤X≤μ＋σ)≈0.34135，P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)≈0.1359，寫出下列各概率值：(1)P(μ－σ≤X≤μ)；根據(jù)對稱性，P(μ－σ≤X≤μ)＝P(μ≤X≤μ＋σ)≈0.34135.12345678910111213141516(2)P(μ－2σ≤X≤μ).P(μ－2σ≤X≤μ)＝P(μ≤X≤μ＋2σ)＝P(μ≤X≤μ＋σ)＋P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)≈0.34135＋0.1359＝0.47725.1234567891011121314151610.某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達(dá)時間X(分鐘)服從正態(tài)分布N(5,1)；第二條路線較長不擁擠，X服從N(6,0.16).若有一天他出發(fā)時離點名時間還有7分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？若離點名時間還有6.5分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？還有7分鐘時：若選第一條路線，即X～N(5,1)，能及時到達(dá)的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7)若選第二條路線，即X～N(6,0.16)，能及時到達(dá)的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)因為P1<P2，所以應(yīng)選第二條路線.同理，還有6.5分鐘時，應(yīng)選第一條路線.1234567891011121314151612345678910111213141516綜合運用11.已知某批零件的長度X(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(60，σ2)，且P(X<62)＝0.8，從中隨機取一個零件，其長度落在區(qū)間(58,60)內(nèi)的概率為A.0.3

B.0.4

C.0.5

D.0.6√由題意知X～N(60，σ2)，所以μ＝60，所以P(X<62)＝0.8＝P(X<60)＋P(60<X<62)，又P(X<60)＝0.5，所以P(60<X<62)＝0.3，由正態(tài)密度曲線的對稱性可得P(58<X<60)＝0.3.1234567891011121314151612.某工廠生產(chǎn)一種螺栓，在正常情況下，螺栓的直徑X(單位：mm)服從正態(tài)分布X～N(100,1).現(xiàn)加工10個螺栓的尺寸(單位：mm)如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.根據(jù)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，概率低于0.0027視為小概率事件，工人隨機將其中的8個交與質(zhì)檢員檢驗，則質(zhì)檢員認(rèn)為設(shè)備需檢修的概率為√1234567891011121314151610個螺栓的尺寸，只有103.2不在區(qū)間[97,103]內(nèi)，1234567891011121314151613.一批電阻的阻值X(單位：Ω)服從正態(tài)分布N(1000,52)，現(xiàn)從甲、乙兩箱成品中各隨機抽取一個電阻，測得阻值分別為1011Ω和982Ω，則下列結(jié)論正確的是A.甲、乙兩箱電阻均可出廠B.甲、乙兩箱電阻均不可出廠C.甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠D.甲箱電阻不可出廠，乙箱電阻可出廠√12345678910111213141516依題意N(1000,52)，μ－3σ＝1000－15＝985，μ＋3σ＝1000＋15＝1015，[μ－3σ，μ＋3σ]＝[985,1015]，1011∈[985,1015]，982?[985,1015]，所以甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠.1234567891011121314151614.設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0無實數(shù)根的概率為

，則μ＝

.412345678910111213141516拓廣探究15.(多選)若隨機變量ξ～N(0,2)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，則下列等式成立的有A.φ(－x)＝1－φ(x)B.φ(2x)＝2φ(x)C.P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1D.P(|ξ|>x)＝2－2φ(x)√√√12345678910111213141516因為ξ～N(0,2)，所以其正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝0對稱，因為φ