課時把關練高中數(shù)學選擇性RJA第一章14空間向量的應用142用空間向量研究距離夾角問題

課時把關練1.4空間向量的應用1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題1.已知平面的一個法向量是，點是平面內的一點，則點到平面的距離是（）A.1B.C.2D.2.已知在菱形中，，點E為的中點，點F為的中點，將菱形沿翻折，使平面平面，則異面直線和所成角的余弦值為（）A.B.C.D.3.如圖所示，在直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，則點D到平面ACE的距離為（）A.33 B.233 C.3 4.在正三棱柱中，側棱長為，底面三角形的邊長為1，則與側面所成角的大小為（）A. B. C. D.5.如圖所示，過正方形ABCD的頂點A，作PA⊥平面ABCD，若PA＝BA，則平面ABP與平面CDP的夾角的大小是（）A.30° B.45° C.60° D.90°6.在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD，M為AD的中點，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（）A.23 B.34 C.33 D7.在如圖的正方體ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝3，點M是側面BCC'B'內的動點，滿足AM⊥BD'，設AM與平面BCC'B'所成角為A.B.C.D.8.在棱長為的正方體中，，分別是，的中點，則下列說法正確的是（）A.四邊形是菱形B.直線與直線的距離是C.直線與平面所成角的正弦值是33D.平面與平面所成角的正弦值是3069.已知直線l的一個方向向量為m=1，2，-1，若點P（-1，1，-1）為直線l外一點，點A（4，1，10.已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點.（1）求點D到平面PEF的距離.（2）求直線AC到平面PEF的距離.

11.條件①：圖①中tanB＝2；條件②：圖①中3AD＝2AB+AC；條件③：如圖②，在三棱錐ABCD的底面BCD中，CD>BD，S△BCD＝1.從以上三個條件中任選一個，補充在問題中的橫線上，如圖①所示，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，過點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上，沿AD將△ABD折起，使∠BDC＝90°（如圖②），點M為棱AC的中點.已知，在棱CD上取一點N，使得CN＝3DN，求平面BNM與平面BNC的夾角的余弦值.

課時把關練1.4空間向量的應用1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題參考答案1.C2.B3.B4.A5.B6.C7.B8.AD9.1710.解：（1）以D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E1,12所以EF＝-12,12,0設平面PEF的法向量為n＝（x，y，z），則n·EF令x＝2，則y＝2，z＝3，所以平面PEF的一個法向量為n＝（2，2，3）.又因為DP＝（0，0，1），所以點D到平面PEF的距離為DP·nn＝0+0+3（2）因為AE＝0,12,0，所以點A到平面PEF的距離為AE·n因為AC∥平面PEF，所以直線AC到平面PEF的距離等于點A到平面PEF的距離，為171711.解：選條件①時：在題圖①所示的△ABC中，設AD＝CD＝x，在Rt△ABD中，tanB＝ADBD＝x3-x＝2，解得x＝2，∴BD＝如圖，以D為原點，建立空間直角坐標系Dxyz，則D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1）.∴BM＝（1，1，1）.由CN＝3DN，可得N0,12,0，∴設平面BNM的一個法向量為n＝（x，y，z），由n·BN=0,n·BM=0,得-x+12y=0,-x+y+z=0,令x＝1取平面BNC的一個法向量m＝（0，0，1），∴cos〈m，n〉＝∴平面BNM與平面BNC的夾角的余弦值為66選條件②時：在題圖①所示的△ABC中，由3AD＝2AB+得2（ADAB）＝ACAD，即DC＝2BD∵BC＝3，DC＝2BD，∴CD＝2，BD＝1.以下解題過程