安徽省合肥市高三下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁安徽省合肥市高三下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈Z|x+1>0}，B={x||x+1|≤3}，則A∩B=(

)A.{?1,0,1,2} B.{?1,0,1} C.{0,1,2} D.{0,1}2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(?1,2)，則復(fù)數(shù)5iz的虛部是(

)A.?1 B.1 C.?2 D.23.若空間中三條不同的直線a，b，c滿足a⊥c，b⊥c，則a/?/b是a，b，c共面的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知向量e1=(1,0)，e2=(1,3)，設(shè)a=4e1A.π6 B.π4 C.π35.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，過頂點A作C的一條漸近線的垂線，交yA.3 B.2 C.3 D.6.已知tanθtan2θtanθ?A.925 B.35 C.17257.已知AB為圓錐PO的底面直徑，O為底面圓心，正三角形ACD內(nèi)接于⊙O，若PA=6，圓錐的側(cè)面積為122π，則PA與BD所成角的余弦值為A.26 B.34 C.8.已知點A(?23,0)，C，D是⊙O:x2+y2=16與x軸的交點.點B滿足：以A.43 B.8 C.12 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.從某校高一和高二年級分別隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行知識競賽，按得分(滿分100分)繪制如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖，并用頻率估計概率.記高一年級學(xué)生得分平均數(shù)的估計值為x，高二年級學(xué)生得分中位數(shù)與平均數(shù)的估計值分別為y，z.從高一和高二年級各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，記事件M=“高一年級學(xué)生得分不低于60分，高二年級學(xué)生得分不低于80分”，事件N=“高一年級學(xué)生得分不低于80分，高二年級學(xué)生得分不低于60分”，則(

)

A.x<z B.y>z C.事件M，N互斥 D.P(M)=P(N)10.將函數(shù)f(x)=sin(2x?π6)的圖象向左平移π6A.f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線x=?7π4對稱

B.f(x)與g(x)的圖象關(guān)于點(4π3,0)對稱

C.當(dāng)x∈(7π3,8π3)時，f(x)>g(x)11.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)f(1?y)+f(y)f(1?x)=2f(x+y)，f(0)=1，則(

)A.f(2)=1 B.?x0∈R，f(x0)<0

C.f(x)的圖象關(guān)于點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知△ABC為銳角三角形，且AB=5，AC=6，△ABC的面積為66，則BC=

．13.已知函數(shù)f(x)=|x?a|?a+1,x>1x2?2ax+3,x≤1的最小值為?1，則a=14.如圖，在4×4的方格中放入棋子，每個格子內(nèi)至多放一枚棋子，若每行都放置兩枚棋子，則恰好每列都有兩枚棋子的概率為

．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且(1)求{an}和(2)求數(shù)列{anbn16.(本小題15分)

如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長都為2，∠A1(1)證明：平面ACC1(2)求CB1與平面AB17.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=(x?1)ex?ax?b，曲線y=f(x)在點(0,f(0))(1)求a，b的值;(2)討論f(x)的零點個數(shù)，并證明所有零點之和為0．18.(本小題17分)已知拋物線Γ:x2=43y，⊙E:(1)求|PE|的最小值;(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為2，過P作⊙E的兩條切線，分別交Γ于B，C兩點．(ⅰ)求直線BC斜率的取值范圍;(ⅱ)證明直線BC過定點．19.(本小題17分)當(dāng)前,以大語言模型為代表的人工智能技術(shù)正蓬勃發(fā)展,而數(shù)學(xué)理論和方法在這些模型的研發(fā)中,發(fā)揮著重要作用.例如,當(dāng)新聞中分別出現(xiàn)“7點鐘,一場大火在郊區(qū)燃起”和“7點鐘,太陽從東方升起”這兩個事件的描述時,它們提供的“信息量”是不一樣的,前者比后者要大,會吸引人們更多關(guān)注.假設(shè)通常情況下,它們發(fā)生的概率分別是p=0.0001和p=0.9999,用ln1p這個量來刻畫“信息量”的大小,計算可得前者約為9,后者接近于0.現(xiàn)在,假設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=xi)=pi,0<pi<1,i=1,2,?,m.則稱H(X)=i=1mp(1)若X的分布列為P(X=x1)=p,P(X=x2)=1-p,0<p<1.求H(X)(2)證明:eH(X)≤(3)若X~B(n,p),且n為定值,設(shè)H(X)=f(p),證明:f'(12)=0.

參考答案1.C

2.A

3.B

4.C

5.D

6.C

7.A

8.B

9.AB

10.ACD

11.ACD

12.7

13.±2

14.57215.解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，{bn}的公比為q，

則2a1+4d=2b1qa1(a1+2d)=b1q2，即3+2d=3q3+2d=q2，

因為q≠0，所以d=q=3，所以an=3n16.解：(1)設(shè)AC的中點為O，連接OB，OM，A1C.

因為M是AA1的中點，所以O(shè)M//A1C，

因為三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長都為2，

所以四邊形ACC1A1為菱形，所以AC1⊥A1C，

所以AC1⊥OM．

又AC1⊥BM，OM∩BM=M，OM，BM?平面BOM，

所以AC1⊥平面BOM，因為OB?平面BOM，所以AC1⊥BO．

又BO⊥AC，且AC∩AC1=A，AC1?平面ACC1A1，AC?平面ACC1A1，

所以BO⊥平面ACC1A1．

因為BO?平面ABC，

所以平面ACC1A1⊥平面ABC．

(2)連接A1O，由題意知A1O⊥AC，所以O(shè)B，OC，OA1兩兩垂直，

以O(shè)為原點，OB，OC，OA1所在直線分別為X軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則O(0,0,0)，B(3,0,0)17.解：(1)因為f′(x)=xex?a，由題意得f′(0)=?1f(0)=?2，

所以a=1b=1．

(2)由(1)知，f(x)=(x?1)ex?x?1，所以f′(x)=xex?1，

令g(x)=f′(x)，則g′(x)=(x+1)ex．

所以當(dāng)x∈(?∞,?1)時，g′(x)<0，即g(x)在(?∞,?1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(?1,+∞)時，g′(x)>0，即g(x)在(?1,+∞)上單調(diào)遞增，

又g(1)>0，g(0)<0，且當(dāng)x<0時，g(x)<0．

所以存在唯一x0，使得g(x0)=0，

當(dāng)x∈(?∞,x0)時，g(x)<0，即f′(x)<0，

所以f(x)在(?∞,x0)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(x0,+∞)時，g(x)>0，即f′(x)>0，

所以f(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f(x)≥f(x0)，

因為g(x0)=0，即x0ex0=1(顯然x0>0)，

也即ex0=118.解：(1)設(shè)點P(x0,y0)，則x02=43y0，

又E(0,1)，所以|PE|=x02+(y0?1)2=43y0+(y0?1)2=y02?23y0+1，

所以當(dāng)y0=13時，|PE|的最小值為223；

(2)記直線PB，PC，BC的斜率分別是k1，k2，k3，

設(shè)過P(2,3)的圓E的切線方程為：y?3=k(x?2)，則有|2?2k|k2+1=r，

即(4?r2)k2?8k+4?r2=0(?)

因為k1，k2是(?)方程的兩個根，19.解：（1）由題意知，H(X)=-plnp-(1-p)ln(1-p)，其中0<p<1.

令H(X)=φ(p)，則φ'(p)=ln1?pp.

所以當(dāng)0<p<12時，φ'(p)>0，所以φ(p)在(0,12)上單調(diào)遞增；

當(dāng)12<p<1時，φ'(p)<0，所以φ(p)在(12,1)上單調(diào)遞減.

所以H(X)在p=12時