高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019選擇性必修二）第15講431一元線性回歸模型

4.3.1一元線性回歸模型TOC\o"13"\h\u題型1變量相關(guān)關(guān)系的判斷 5題型2線性相關(guān)強(qiáng)弱的判斷 6題型3相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用 9題型4線性回歸分析 13題型5非線性回歸分析 23◆類型1冪函數(shù)型回歸分析 23◆類型2指數(shù)模型回歸分析 36◆類型3對(duì)數(shù)模型回歸分析 44題型6殘差 50知識(shí)點(diǎn)一.變量的相關(guān)關(guān)系1.相關(guān)關(guān)系的概念∶我們所研究的很多問(wèn)題中，兩個(gè)變量之間經(jīng)常存在著相互影響、相互依賴的關(guān)系．這些關(guān)系常見的有兩類∶函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系．[概念辨析]相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同∶異同點(diǎn)關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系相同點(diǎn)兩者均是兩個(gè)變量之間的關(guān)系不同的是一種確定性關(guān)系是一種非確定性關(guān)系是一種因果關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系是一種理想的關(guān)系是更為一般的情況2.散點(diǎn)圖（1）概念∶一般地，如果收集到了變量x和變量y的n對(duì)數(shù)據(jù)（簡(jiǎn)稱為成對(duì)數(shù)據(jù)），如下表所示：序號(hào)i123...n變量xx1x2x3...xn變量yy1y2y3...yn則在平面直角坐標(biāo)系xOy中描出點(diǎn)（xi，yi），i=1，2，3，…，n，就可以得到這n對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.（2）作用∶散點(diǎn)圖展示了樣本點(diǎn)散布的位置．根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布趨勢(shì)分析兩個(gè)變量之間的關(guān)系，可直觀地判斷并得出結(jié)論.注意：（1）散點(diǎn)圖具有直觀、簡(jiǎn)明的特點(diǎn)，我們可以根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)判斷兩個(gè)變量有沒(méi)有相關(guān)關(guān)系；（2）通過(guò)散點(diǎn)圖不但可以判斷測(cè)量值的大小、變動(dòng)范圍與整體趨勢(shì)，還可以通過(guò)觀察剔除異常數(shù)值，提高估計(jì)相關(guān)程度的準(zhǔn)確性；（3）當(dāng)所畫的散點(diǎn)圖的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)差距很大時(shí)，可在實(shí)際作圖時(shí)，將橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)取不同的單位長(zhǎng)度，使畫出的散點(diǎn)圖形象、美觀.3.正相關(guān)與負(fù)相關(guān)（1）從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，稱這兩個(gè)變量正相關(guān)，散點(diǎn)圖如圖（甲）所示；（2）從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，散點(diǎn)圖如圖（乙）所示.4.線性相關(guān)與非線性相關(guān)∶（1）線性相關(guān)∶如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)（2）非線性相關(guān)∶如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).所得到的方程稱為非線性回歸方程（也簡(jiǎn)稱為回歸方程）知識(shí)點(diǎn)二.回歸直線方程1.回歸直線方程的概論一般地，已知變量x與y的n對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1，2，3，…，n.任意給定一個(gè)一次函數(shù)y=bx+a，對(duì)每一個(gè)已知的xi；由直線方程可以得到一個(gè)估計(jì)值eq\o(y,\s\up6(^))i＝eq\o(b,\s\up6(^))xi＋eq\o(a,\s\up6(^))，如果一個(gè)一次函數(shù)eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))能使（y1eq\o(y,\s\up6(^))1）2+（y2eq\o(y,\s\up6(^))2）2+...+(yneq\o(y,\s\up6(^))n)2取得最小值，則eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為y關(guān)于x的回歸直線方程（對(duì)應(yīng)的直線稱為回歸直線）.2.最小二乘法上述求回歸直線方程的過(guò)程中需使得平方和最小，所以其中涉及的方法稱為最小二乘法.可以證明，給定兩個(gè)y與x的一組數(shù)據(jù)之后，回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))總是存在的，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定參數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up11(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))其中，eq\o(b,\s\up6(^))稱為回歸系數(shù).它實(shí)際上也就是回歸直線方程的斜率.回歸直線方程確定之后，就可用于預(yù)測(cè).需要注意的是，上述公式中，x指的是x1，x2，x3，x4，…，xn平均數(shù)，即x=x1+x2+...+xnn回歸直線方程的性質(zhì)：（1）回歸直線一定過(guò)點(diǎn)（x，y）（2）y與x正相關(guān)的充要條件是eq\o(b,\s\up6(^))>0；y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是eq\o(b,\s\up6(^))<0；（3）當(dāng)x增大一個(gè)單位時(shí)，eq\o(b,\s\up6(^))增大1個(gè)單位，這就是回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))的實(shí)際意義；（4）回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中x的系數(shù)是eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))表示直線的斜率，注意與《選擇性必修第一冊(cè)》中的一次函數(shù)的關(guān)系式或直線方程y=ax+b進(jìn)行區(qū)分.知識(shí)點(diǎn)三.相關(guān)系數(shù)1.定義：統(tǒng)計(jì)學(xué)里，一般用r=2.性質(zhì)：可以證明，相關(guān)系數(shù)r具有以下性質(zhì)∶|r|≤1，且y與x正相關(guān)的充要條件是r>0，y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是r<0；（2）|r|越小，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)性越弱，也就是得出的回歸直線方程越?jīng)]有價(jià)值，即方程越不能反映真實(shí)的情況；|r|越大，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)性越強(qiáng)，也就是得出的回歸直線方程越有價(jià)值.（3）|r|=1的充要條件是成對(duì)數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)都在回歸直線上.注意：（1）樣本的相關(guān)系數(shù)r可以定量地反映出變量間的相關(guān)程度，明確給出有無(wú)必要建立兩變量間的回歸方程；（2）|r|很小只是說(shuō)明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度弱，但不一定不相關(guān).知識(shí)點(diǎn)四.殘差1.殘差∶殘差是指觀測(cè)值與理論值（擬合值）之間的差，即是實(shí)際觀察值與回歸估計(jì)值的差。2.數(shù)理統(tǒng)計(jì)中：殘差是樣本值和樣本均值之間的差值。誤差和殘差的區(qū)別：1、誤差是測(cè)量測(cè)得的量值減去參考量值。測(cè)得的量值簡(jiǎn)稱測(cè)得值，代表測(cè)量結(jié)果的量值。所謂參考量值，一般由量的真值或約定量值來(lái)表示。對(duì)于測(cè)量而言，人們往往把一個(gè)量在被觀測(cè)時(shí)，其本身所具有的真實(shí)大小認(rèn)為是被測(cè)量的真值。2、殘差在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中是指實(shí)際觀察值與估計(jì)值（擬合值）之間的差。"殘差"蘊(yùn)含了有關(guān)模型基本假設(shè)的重要信息。如果回歸模型正確的話，我們可以將殘差看作誤差的觀測(cè)值。題型1變量相關(guān)關(guān)系的判斷【方法總結(jié)】?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系函數(shù)關(guān)系∶變量之間的關(guān)系具有確定性，當(dāng)一個(gè)變量確定后，另一個(gè)變量就確定了；（2）相關(guān)關(guān)系∶變量之間確實(shí)有一定的關(guān)系，但沒(méi)有達(dá)到可以互相決定的程度，它們之間的關(guān)系帶有一定的隨機(jī)性.【例題1】以下四個(gè)散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量的關(guān)系呈線性相關(guān)的是（）A.①②B.①③C.②③D.③④【解析】B.①③中的點(diǎn)分布在一條直線附近，兩個(gè)變量的關(guān)系呈線性相關(guān).【變式11】1.從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為【答案】正相關(guān)【變式11】2.下列語(yǔ)句所表示的事件中的因素不具有相關(guān)關(guān)系的是（）A.瑞雪兆豐年B.上梁不正下梁歪C.吸煙有害健康D．喜鵲叫喜，烏鴉叫喪【解析】D.選項(xiàng)A，B，C中描述的變量間都具有相關(guān)關(guān)系，而選項(xiàng)D是迷信說(shuō)法，沒(méi)有科學(xué)依據(jù).【變式11】3.下列兩個(gè)變量之間是相關(guān)關(guān)系的是（）圓的面積與半徑之間的關(guān)系球的體積與半徑之間的關(guān)系角度與它的正弦值之間的關(guān)系D.降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系【解析】D.由題意知A表示圓的面積與半徑之間的關(guān)系S=πr2，B表示球的體積與半徑之間的關(guān)系V=4πr題型2線性相關(guān)強(qiáng)弱的判斷【方法總結(jié)】線性相關(guān)強(qiáng)弱的判斷方法散點(diǎn)圖（越接近直線，相關(guān)性越強(qiáng)）；（2）相關(guān)系數(shù)（絕對(duì)值越大，相關(guān)性越強(qiáng)）.【例題2】甲?乙?丙?丁四位同學(xué)各自對(duì)x,y兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，分別求得樣本相關(guān)系數(shù)甲乙丙丁r0.20?0.95?0.120.85則試驗(yàn)結(jié)果中x,A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】由相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值的大小判斷．【詳解】由已知，乙的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為r=0.95故選：B．【變式21】1．（2022·陜西·延安市第一中學(xué)）對(duì)兩個(gè)變量y與x進(jìn)行回歸分析，分別選擇不同的模型，它們的相關(guān)系數(shù)r如下，其中擬合效果最好的模型是（

）①模型Ⅰ的相關(guān)系數(shù)r為0.25；

②模型Ⅱ的相關(guān)系數(shù)r為0.80；③模型Ⅲ的相關(guān)系數(shù)r為?0.50；

④模型Ⅳ的相關(guān)系數(shù)r為?0.90；A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ【答案】D【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小對(duì)相關(guān)關(guān)系強(qiáng)弱的判定，即可解出．【詳解】因?yàn)閞越趨近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，模型擬合效果越好，所以擬合效果最好的模型是Ⅳ．故選：D．【變式21】2．（2022·安徽滁州·）下列命題中正確的為（

）①散點(diǎn)圖可以直觀的判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；②經(jīng)驗(yàn)回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線；③線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)性越弱；④同一組樣本數(shù)據(jù)中，決定系數(shù)R2A．①② B．②④ C．①④ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)變量間的相關(guān)系數(shù)，一一判斷即可．【詳解】解：對(duì)于①，散點(diǎn)圖可以直觀的判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，故正確；對(duì)于②，回歸直線也可能不過(guò)任何一個(gè)點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于③，線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)，故錯(cuò)誤；對(duì)于④，同一組樣本數(shù)據(jù)中，決定系數(shù)R2故選：C．【變式21】3．下列命題中正確的為（）A．相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng) B．相關(guān)系數(shù)r越小，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱C．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好 D．用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸效果，R【答案】C【分析】根據(jù)“殘差”的意義、線性相關(guān)系數(shù)和相關(guān)指數(shù)的意義，即可作出正確的判斷．【詳解】相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值r越接近于1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，所以A，B錯(cuò)誤；殘差平方和越小的模型，擬合的效果就越好，所以C正確；用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸效果，R故選：C.【變式21】4．（多選）有一散點(diǎn)圖如圖所示，在5個(gè)x,y數(shù)據(jù)中去掉A．殘差平方和變小B．相關(guān)系數(shù)r變小C．決定系數(shù)R2D．解釋變量x與響應(yīng)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)【答案】AD【分析】利用散點(diǎn)圖分析數(shù)據(jù)，判斷相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù)，殘差的平方和的變化情況．【詳解】解：從散點(diǎn)圖可分析出，若去掉D點(diǎn)，則解釋變量x與響應(yīng)變量y的線性相關(guān)性變強(qiáng)，且是正相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)r變大，決定系數(shù)R2故選：AD【變式21】5．對(duì)四對(duì)變量y與x進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，已知n是觀測(cè)值組數(shù)，r是相關(guān)系數(shù)，若已知①n=7，r=0.9533；②n=15，r=0.3012；③n=17，r=0.7991；④n=3【答案】①③##3【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小與線性相關(guān)性之間的關(guān)系判斷可得出結(jié)果.【詳解】一般而言，當(dāng)r∈0.75,1，則變量y和所以，①和③中變量y和x具有線性相關(guān)關(guān)系，②中相關(guān)系數(shù)的絕絕對(duì)值較小，④中觀察值的組數(shù)較少.故答案為：①③.題型3相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用【例題3】某統(tǒng)計(jì)部門對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖．下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A．r4<r2<r1<r【答案】C【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可得相關(guān)性的強(qiáng)弱，即可比較大小.【詳解】由圖可知：r3，r1所對(duì)應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)正相關(guān)，而且r1對(duì)應(yīng)的相關(guān)性比r3對(duì)應(yīng)的相關(guān)性要強(qiáng)，故0<r故選：C【變式31】1．某工廠研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（單位：噸）與需求某種材料y（單位：噸）之間的相關(guān)關(guān)系，在生產(chǎn)過(guò)程中收集里組數(shù)據(jù)如表所示．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為y=0.7x3467y2.5345.9①變量x與y正相關(guān)；②y與x的相關(guān)系數(shù)r<0③a=0.35④產(chǎn)量為8噸時(shí)，預(yù)測(cè)所需材料約為5.95噸．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)回歸方程的意義即可判斷①②；求出樣本中心點(diǎn)，再根據(jù)回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)求出a，即可判斷③④【詳解】解：因?yàn)榛貧w直線方程y=0.7所以產(chǎn)量x與材料y呈正相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)r>0由表格可得x=則0.7×5+a=3.85，解得所以回歸直線方程y=0.7當(dāng)x=8時(shí)，y即產(chǎn)量為8噸時(shí)預(yù)測(cè)所需材料約為5.95噸，故④正確；故選：B【變式31】2．（2022·河北張家口·）（多選）變量x與y的成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下圖所示，并由最小二乘法計(jì)算得到回歸直線l1的方程為y=b1x+a1，相關(guān)系數(shù)為r1，決定系數(shù)為R12；經(jīng)過(guò)殘差分析確定第二個(gè)點(diǎn)BA．a(chǎn)1<a2 B．b1<【答案】BD【分析】根據(jù)點(diǎn)B的特點(diǎn)判斷選項(xiàng)AB，由于去掉B，其它點(diǎn)的線性關(guān)系更強(qiáng)，從而可判斷CD選項(xiàng)【詳解】因?yàn)楣?個(gè)點(diǎn)且離群點(diǎn)B的橫坐標(biāo)較小而縱坐標(biāo)相對(duì)過(guò)大，去掉離群點(diǎn)后回歸方程的斜率更大，而截距變小，所以B正確，而A錯(cuò)誤；去掉離群點(diǎn)后相關(guān)性更強(qiáng)，擬合效果也更好，且還是正相關(guān)，所以r1<r故選：BD【變式31】3．（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校）(多選)下列有關(guān)一元線性回歸方程模型的結(jié)論中，正確的有（

）A．在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=?0.4x+3中，當(dāng)解釋變量xB．若樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，則樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)C．若決定系數(shù)R2D．在回歸模型中，殘差平方和越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好【答案】BD【分析】根據(jù)回歸直線，線性相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)及殘差平方和等知識(shí)依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=?0.4x+3對(duì)于B，若樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，則樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故B正確；對(duì)于C，若決定系數(shù)R2的值越接近于1，則表示回歸模型的擬合效果越好，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在回歸模型中，殘差平方和越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好，故D正確.故選：BD.題型4線性回歸分析【方法總結(jié)】解答線性回歸問(wèn)題，應(yīng)通過(guò)散點(diǎn)圖來(lái)分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖來(lái)分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助回歸方程對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析.【例題4】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某同學(xué)10次考試的物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x如下表所示．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)x76827287937889668176物理成績(jī)y808775a1007993688577已知y與x線性相關(guān)，且y關(guān)于x的回歸直線方程為y=1.1x?5①a=86【答案】①②④【分析】先求出x,y，再代入回歸方程中可求出a，判斷①，由系數(shù)【詳解】對(duì)于①，因?yàn)閤=110i=1所以a+74410=1.1×80?5對(duì)于②，因?yàn)榛貧w方程y=1.1x?5對(duì)于③，因?yàn)榛貧w方程y=1.1x?5對(duì)于④，由于y關(guān)于x的回歸直線方程為y=1.1x?5故答案為：①②④【變式41】1．變量X，Y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表所示：X5678Y455.4a若根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出Y關(guān)于X的線性回歸方程為Y=0.26+0.76【答案】

6.4

＞【分析】先計(jì)算出X，接著利用線性回歸直線過(guò)樣本中心店可求得Y，再利用Y求a，通過(guò)Y=0.26+0.76X發(fā)現(xiàn)X與Y【詳解】由題意，可知X=6.5．由線性回歸直線過(guò)點(diǎn)X,Y，得Y=0.26+0.76X=5.2．由Y=14故答案為：6.4，>【變式41】2．如圖是某采礦廠的污水排放量y(單位：噸)與礦產(chǎn)品年產(chǎn)量x(單位：噸(1)依據(jù)折線圖計(jì)算相關(guān)系數(shù)r(精確到0.01)，并據(jù)此判斷是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？(若|r(2)若可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)建立y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)年產(chǎn)量為10噸時(shí)的污水排放量．相關(guān)公式：r=i=1回歸方程y=b【答案】(1)相關(guān)系數(shù)0.95，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系(2)y=0.3x+2.5【分析】（1）代入數(shù)據(jù)，算出相關(guān)系數(shù)r，將其絕對(duì)值與0.75比較，即可判斷可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．（2）先求出回歸方程，求出當(dāng)x=10（1）由折線圖得如下數(shù)據(jù)計(jì)算得：x=5，y=4，i=15(因?yàn)閨r（2）b=620當(dāng)x=10時(shí)，y所以預(yù)測(cè)年產(chǎn)量為10噸時(shí)的污水排放量為5.5噸【變式41】3．2015年7月31日，在吉隆坡舉行的國(guó)際奧委會(huì)第128次全會(huì)上，北京獲得2022年冬奧會(huì)舉辦權(quán).在申冬奧過(guò)程中，中國(guó)正式向國(guó)際社會(huì)作出“帶動(dòng)三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的莊嚴(yán)承諾.這一承諾，既是我國(guó)為國(guó)際奧林匹克運(yùn)動(dòng)做出重大貢獻(xiàn)的大國(guó)擔(dān)當(dāng)展現(xiàn)，也是根據(jù)我國(guó)經(jīng)濟(jì)水平和全民健身需求做出的群眾性運(yùn)動(dòng)的戰(zhàn)略部署.從北京冬奧會(huì)申辦成功到2021年10月，全國(guó)參與冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)累計(jì)達(dá)到3.46億，實(shí)現(xiàn)了“帶動(dòng)三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的目標(biāo)，這是北京冬奧會(huì)給予全球冬季體育運(yùn)動(dòng)和奧林匹克運(yùn)動(dòng)的最為重要的遺產(chǎn)，可以說(shuō)是2022年北京冬奧會(huì)的第一塊金牌.“冬奧熱”帶動(dòng)“冰雪熱”，也帶動(dòng)了冰雪經(jīng)濟(jì)，以冰雪運(yùn)動(dòng)為主要內(nèi)容的冰雪旅游近年來(lái)發(fā)展迅速，2016至2022六個(gè)冰雪季的旅游人次y（單位億）的數(shù)據(jù)如下表：年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022年度代號(hào)t123456旅游人次y1.71.972.240.942.543.15(1)求y與t的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并回答y與t的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；(2)因受疫情影響，現(xiàn)將2019—2020年度的異常數(shù)據(jù)剔除，用剩下的5個(gè)年度數(shù)據(jù)（年度代號(hào)不變），求y關(guān)于t的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并推測(cè)沒(méi)有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估計(jì)值.附注：參考數(shù)據(jù)：t=16i=16ti=3.5，y=16【答案】(1)0.55，線性相關(guān)性不強(qiáng)(2)y=0.26t+1.43【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)系數(shù)，再進(jìn)行判斷即可，（2）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合回歸方程公式計(jì)算y關(guān)于t的線性回歸方程，再將t=4【詳解】（1）由參考數(shù)據(jù)計(jì)算得i=16(ti（2）五組數(shù)據(jù)的均值分別為t′=3.4b^=y關(guān)于t的線性回歸方程為y令t=4，則y因此，在沒(méi)有疫情情況下，20192020年度冰雪旅游人次的估計(jì)值為2.47億.【變式41】4．（2022·安徽·）為了解溫度對(duì)物質(zhì)A參與的某種化學(xué)反應(yīng)的影響，研究小組在不同溫度條件下做了四次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的溫度x（單位：°C）與A的轉(zhuǎn)化率y%（轉(zhuǎn)化率=A的轉(zhuǎn)化量A的起始量x45556575y23386574(1)求y與x的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；(2)該研究小組隨后又進(jìn)行了一次該實(shí)驗(yàn)，其中A的起始量為50g，反應(yīng)結(jié)束時(shí)還剩余2.5g，若已知y關(guān)于x的線性回歸方程為y=參考數(shù)據(jù)：i=14xiyi=12900參考公式：相關(guān)系數(shù)r【答案】(1)0.98(2)85°C【分析】（1）計(jì)算出x，y帶入相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式，即可算出答案.（2）由線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，即可算出b的值，根據(jù)題意算出y帶入回歸方程即可算出答案.(1)x=45+55+65+75所以r=900(2)根據(jù)回歸直線的性質(zhì)，y=bx?58，即由條件可知y=令1.8x?58=95，得因此估計(jì)這次實(shí)驗(yàn)是在85°C的溫度條件下進(jìn)行的.【變式41】5．（2022·江西吉安·）防疫抗疫，人人有責(zé)，隨著奧密克戎的全球肆虐，防疫形勢(shì)越來(lái)越嚴(yán)峻，防疫物資需求量急增.下表是某口罩廠今年的月份x與訂單y（單位：萬(wàn)元）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：月份x12345訂單y2024m4352(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并估計(jì)6月份該廠的訂單數(shù)；(2)求相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01），說(shuō)明y與x之間具有怎樣的相關(guān)關(guān)系.參考數(shù)據(jù)：i=15yi=175，i=15xiyi=608，【答案】(1)y=8.3(2)0.99，y與x之間具有很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系.【分析】（1）求出b與a的值，可得y關(guān)于x的線性回歸方程，取x=6求得y（2）由已知數(shù)據(jù)求得r值，可得y與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，故y與x之間的線性相關(guān)程度相當(dāng)高．(1)解：由題可得：x=1+2+3+4+5∴ba=∴y關(guān)于x的線性回歸方程為y2022年6月對(duì)應(yīng)的變量為6，將x=6代入y得y=8.3×6+10.1=59.9∴估計(jì)6月份該廠的訂單數(shù)為59.9萬(wàn)元．(2)相關(guān)系數(shù)r=∴y與x【變式41】6．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二期末）下表所示是我國(guó)2015年至2021年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）.年份t2015201620172018201920202021處理量y（億噸）1.81.972.12.262.42.552.69(1)由數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并預(yù)測(cè)2023年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.附：y≈2.25，i=17ti?tyi?y≈4.13，【答案】(1)答案見解析(2)y=?300.45+0.15【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式，直接計(jì)算求解即可.（2）根據(jù)題意，列方程計(jì)算出回歸方程，進(jìn)而代入預(yù)測(cè)值，即可求解.（1）由表中數(shù)據(jù)和附注中數(shù)據(jù)可得：t=2018，i所以r=因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.999，說(shuō)明y與t的線性相關(guān)相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.（2）由（1）得b=a=所以y關(guān)于t的回歸方程為：y=?300.45+0.15將2023代入回歸方程得：y=?300.45+0.15×2023=3所以預(yù)測(cè)2023年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約3億噸.【變式41】7．人工智能教育是將人工智能與傳統(tǒng)教育相結(jié)合，借助人工智能和大數(shù)據(jù)技術(shù)打造的智能化教育生態(tài).為了解我國(guó)人工智能教育發(fā)展?fàn)顩r，通過(guò)中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)平臺(tái)得到我國(guó)2015年－2020年人工智能教育市場(chǎng)規(guī)模統(tǒng)計(jì)圖.如圖所示，若用x表示年份代碼(2015年用1表示，2016年用2表示，依次類推)，用y表示市場(chǎng)規(guī)模(單位：億元)，試回答：(1)根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算變量y與x的相關(guān)系數(shù)r，并用r判斷兩個(gè)變量y與x相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱(精確到小數(shù)點(diǎn)后2位)；(2)若y與x的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，試求y關(guān)于x的線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)測(cè)2022年中國(guó)人工智能教育市場(chǎng)規(guī)模(精確到1億元).附：線性回歸方程y=bx相關(guān)系數(shù)r=參考數(shù)據(jù)：i=1【答案】(1)r≈0.96(2)y=382.86【分析】(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算x,y(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)結(jié)合公式即可求出線性回歸方程，將x＝8代入線性回歸方程即可預(yù)測(cè)2022年中國(guó)人工智能教育市場(chǎng)規(guī)模.（1）∵x=16i=16x∴相關(guān)系數(shù)r=∵相關(guān)系數(shù)r≈0.96>0.75（2）設(shè)y關(guān)于x的線性回歸方程為y=其中b=a=∴y關(guān)于x的線性回歸方程為y=382.86把x=8代入得y故據(jù)此預(yù)測(cè)2022年中國(guó)人工智能教育市場(chǎng)規(guī)模將達(dá)到約2677億元.題型5非線性回歸分析◆類型1冪函數(shù)型回歸分析【方法總結(jié)】?jī)绾瘮?shù)型回歸模型的處理方法：冪函數(shù)型y=axn（n為常數(shù)，a，x，y均取正值），兩邊取常用對(duì)數(shù)1gy=1g（axn），即lgy=nlgx+lga，令y′=1gy，x′=1gx，原方程變?yōu)閥′=nx′+lga，然后按線型回歸模型求出n，lga.【例題51】數(shù)據(jù)顯示，中國(guó)在線直播用戶規(guī)模及在線直播購(gòu)物規(guī)模近幾年都保持高速增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，下表為2017－2021年中國(guó)在線直播用戶規(guī)模（單位：億人），其中2017年－2021年對(duì)應(yīng)的代碼依次為1－5．年份代碼x12345市場(chǎng)規(guī)模y3.984.565.045.866.36參考數(shù)據(jù)：y=5.16，v=1.68，i=1參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)v1，y1，v2，y2，…，(1)由上表數(shù)據(jù)可知，可用函數(shù)模型y=bx+a(2)已知中國(guó)在線直播購(gòu)物用戶選擇在品牌官方直播間購(gòu)物的概率為p，現(xiàn)從中國(guó)在線直播購(gòu)物用戶中隨機(jī)抽取4人，記這4人中選擇在品牌官方直播間購(gòu)物的人數(shù)為X，若PX【答案】(1)y(2)分布列見解析，E【分析】（1）設(shè)v=x，則（2）先由PX（1）設(shè)v=x，則y=bv+a所以b=把1.68，5.16代入y=bv即y關(guān)于x的回歸方程為y=1.98（2）由題意知X~B4，p，PX=3=所以，X的取值依次為0，1，2，3，4，PX=0=PX=2=C4X01234P11696256256EX【變式51】1．（2022·福建省福州屏東中學(xué)）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi（xyωiiii46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=x(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2（i）年宣傳費(fèi)x=49（ii）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1)，(u【答案】(1)y=(2)y(3)（i）66.32千元；（ii）46.24千元.【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的變化趨勢(shì)判斷回歸方程的類型；（2）利用最小二乘法求回歸方程系數(shù)，即可得回歸方程；（3）根據(jù)回歸方程估計(jì)x=49的銷售量和利潤(rùn)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大時(shí)的x（1）解：由散點(diǎn)圖知：各點(diǎn)呈非線性遞增趨勢(shì)，所以y=（2）解：由wi=x由w=6.8，y=563，則所以y=100.6+68（3）解：①當(dāng)x=49時(shí)，y=100.6+68×49此時(shí)年利潤(rùn)z=0.2×576.6?49=66.32②由題意，z=0.2(100.6+68所以，當(dāng)x=6.8，即x【變式51】2．某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品測(cè)得數(shù)據(jù)如下：尺寸x384858687888質(zhì)量y16.818.820.722.42425.5質(zhì)量與尺寸的比y0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1)若按照檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，合格產(chǎn)品的質(zhì)量yg與尺寸xmm之間近似滿足關(guān)系式(2)已知產(chǎn)品的收益z（單位：千元）與產(chǎn)品尺寸和質(zhì)量的關(guān)系為z=2附：（1）參考數(shù)據(jù)：i=16lnxi?lny（2）參考公式：對(duì)于樣本vi,ui(i=1,2,?,n)，其回歸直線【答案】(1)y(2)當(dāng)產(chǎn)品的尺寸約為72mm時(shí)，收益z的預(yù)報(bào)值最大【分析】（1）結(jié)合非線性回歸方程的求法求得y關(guān)于x的回歸方程.（2）求得z的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)x約為72mm時(shí)，收益z的預(yù)報(bào)值最大.（1）對(duì)y=c?令vi=lnxi，ui根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量及最小二乘估計(jì)公式有：d=a=又a=lnc=1，所以c（2）由（1）得y=e?x1令t=x，則當(dāng)此時(shí)x=所以當(dāng)產(chǎn)品的尺寸約為72mm時(shí)，收益z的預(yù)報(bào)值最大.【變式51】3．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）學(xué)生的學(xué)習(xí)除了在課堂上認(rèn)真聽講，還有一個(gè)重要環(huán)節(jié)就是課后的“自主學(xué)習(xí)”，包括預(yù)習(xí)，復(fù)習(xí)，歸納整理等等，現(xiàn)在人們普遍認(rèn)為課后花的時(shí)間越多越好，某研究機(jī)構(gòu)抽查了部分高中學(xué)生，對(duì)學(xué)生花在課后的學(xué)習(xí)時(shí)間（設(shè)為x分鐘）和他們的數(shù)學(xué)平均成績(jī)（設(shè)為y）做出了以下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)表格回答問(wèn)題：x60708090100110120130y92109114120119121121122(1)請(qǐng)根據(jù)所給數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，并且從以下三個(gè)函數(shù)從①y=bx+a；②(2)根據(jù)（1）中選擇的回歸類型，求出y與x的回歸方程；(3)請(qǐng)根據(jù)此回歸方程，闡述你對(duì)學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)和成績(jī)之間關(guān)系的看法．參考公式：回歸方程y=a^參考數(shù)據(jù)：ln【答案】(1)散點(diǎn)圖見解析，y=(2)y(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖可得函數(shù)模型；（2）由（1）中模型可得lny=klnx+lnm（3）根據(jù)回歸方程可得相應(yīng)的看法.(1)散點(diǎn)圖如圖所示：由圖象可知y=(2)對(duì)y=m?xk設(shè)u=lnx，v=lnk=lnm=v故lny=0.33lnx∴y(3)此回歸方程為關(guān)于時(shí)間的增函數(shù)，說(shuō)明隨著學(xué)習(xí)時(shí)間的增加，學(xué)習(xí)成績(jī)是提高的，但是函數(shù)的增速先快后慢，說(shuō)明如果原來(lái)成績(jī)較低，通過(guò)增加學(xué)習(xí)時(shí)間可以有效提高成績(jī)，但是當(dāng)成績(jī)提高到120分左右時(shí)，想要通過(guò)延長(zhǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間來(lái)提高學(xué)習(xí)成績(jī)就比較困難了，需要想別的辦法.【變式51】4．某公司為了確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷量y（單位：噸）和年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的影響，對(duì)近6年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi年份201620172018201920202021年宣傳費(fèi)x（萬(wàn)元）384858687888年銷售量y（噸）16.818.820.722.424.025.5經(jīng)電腦模擬，發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)x（萬(wàn)元）與年銷售量y（噸）之間近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=a?iiii75.324.618.3101.4(1)從表中所給出的6年年銷售量數(shù)據(jù)中任選2年做年銷售量的調(diào)研，求所選數(shù)據(jù)中至多有一年年銷售量低于20噸的概率；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)u1,v1、u2.v2、【答案】(1)14(2)y【分析】（1）列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）令v=lny，u=lnx，則v=bu+lna，計(jì)算出u、v的值，將參考數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，計(jì)算出（1）解：從表中所給出的6年年銷售量數(shù)據(jù)中任選2年做年銷售量的調(diào)研，所有的基本事件有：16.8,18.8、16.8,20.7、16.8,22.4、16.8,24.0、16.8,25.5、18.8,20.7、18.8,22.4、18.8,24.0、18.8,25.5、20.7,22.4、20.7,24.0、20.7,25.5、22.4,24.0、22.4,25.5、24.0,25.5，共15種，其中，事件“所選數(shù)據(jù)中至多有一年年銷售量低于20噸”所包含的基本事件有：16.8,20.7、16.8,22.4、16.8,24.0、16.8,25.5、18.8,20.7、18.8,22.4、18.8,24.0、18.8,25.5、20.7,22.4、20.7,24.0、20.7,25.5、22.4,24.0、22.4,25.5、24.0,25.5，共14種，故所求概率為P=（2）解：令v=lny，u=ln則u=i=16lni=1所以，b=i=16u故y關(guān)于x的回歸方程為y=e?【變式51】5．為了提高智慧城市水平，某市公交公司推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來(lái)越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，x表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表下所示：x1234567y611213466101196同學(xué)甲選擇指數(shù)型函數(shù)模型y=c?dxyvi=1i=1i=1i=11062.141.54140253550.12276943.47(1)根據(jù)表中相關(guān)數(shù)據(jù)，利用同學(xué)甲的模型建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)若同學(xué)甲求得其非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的殘差平方和為i=17yi?yi①用決定系數(shù)R2②用你認(rèn)為擬合效果較好的模型預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次；參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)u1,v1，u2,v2，…，u【答案】(1)y(2)①甲建立的回歸模型擬合效果更好；②3470人次【分析】（1）對(duì)y=c?dx兩邊取對(duì)數(shù)，得lg（2）①根據(jù)題意求出R甲2，然后與R乙（1）對(duì)y=c?dx兩邊取對(duì)數(shù)得：lgy=lgc+lgd∴β=lgd=所以d=100.25所以y（2）①甲建立的回歸模型的R甲∴甲建立的回歸模型擬合效果更好.②利用甲建立的模型預(yù)測(cè)，當(dāng)x=8時(shí)，y∴活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次為3470人次；【變式51】6．（2022·吉林·梅河口市第五中學(xué)）新型冠狀病毒肺炎COVID19疫情發(fā)生以來(lái)，在世界各地逐漸蔓延.在全國(guó)人民的共同努力和各級(jí)部門的嚴(yán)格管控下，我國(guó)的疫情已經(jīng)得到了很好的控制.然而，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，每個(gè)國(guó)家在疫情發(fā)生的初期，由于認(rèn)識(shí)不足和措施不到位，感染人數(shù)都會(huì)出現(xiàn)快速的增長(zhǎng).下表是小王同學(xué)記錄的某國(guó)連續(xù)8天每日新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù).日期代碼x12345678累計(jì)確診人數(shù)y481631517197122為了分析該國(guó)累計(jì)感染人數(shù)的變化趨勢(shì)，小王同學(xué)分別用兩桿模型：①y=bx2+a，②y=dx+c對(duì)變量x和y的關(guān)系進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，殘差圖如下(注：殘差ei=y(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個(gè)模型?并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；(2)根據(jù)（1）問(wèn)選定的模型求出相應(yīng)的回歸方程（系數(shù)均保留兩位小數(shù)）；(3)由于時(shí)差，該國(guó)截止第9天新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù)尚未公布.小王同學(xué)認(rèn)為，如果防疫形勢(shì)沒(méi)有得到明顯改善，在數(shù)據(jù)公布之前可以根據(jù)他在（2）問(wèn)求出的回歸方程來(lái)對(duì)感染人數(shù)做出預(yù)測(cè)，那么估計(jì)該地區(qū)第9天新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù)是多少?（結(jié)果保留整數(shù)）附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b^=i【答案】(1)選擇模型①，理由見解析(2)y(3)157【分析】（1）選擇模型①.根據(jù)殘差的意義直接判斷；（2）套公式求出系數(shù)，即可得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸方程；（3）將x=9（1）選擇模型①.理由如下：根據(jù)殘差圖可以看出，模型①的估計(jì)值和真實(shí)值相對(duì)比較接近，模型②的殘差相對(duì)較大一些，所以模型①的擬合效果相對(duì)較好（2）由（1），知y關(guān)于x的回歸方程為y=bx2+由所給數(shù)據(jù)得：z=y=18a=y?（3）將x=9代入上式，得y所以預(yù)測(cè)該地區(qū)第9天新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù)為157人.◆類型2指數(shù)模型回歸分析【例題52】x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，在相關(guān)關(guān)系中，若用y＝c1ec2x擬合時(shí)的決定系數(shù)為R12【答案】R【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小與擬合效果的關(guān)系判斷即可.【詳解】由題圖知，用y＝c1ec2x故答案為：R1【變式52】1．為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)x變化的繁殖個(gè)數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)x123456繁殖個(gè)數(shù)y612254995190(1)在圖中作出繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的散點(diǎn)圖，并由散點(diǎn)圖判斷y=bx+a（a,b為常數(shù)）與y=c(2)對(duì)于非線性回歸方程y=c1ec2xxyziii3.5062.833.5317.50596.5712.09（?。┳C明：“對(duì)于非線性回歸方程y=c1ec2x，令z（ⅱ）根據(jù)（?。┑呐袛嘟Y(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)保留2位小數(shù)）．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)u1,v1,【答案】(1)選擇y=(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）y【分析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖趨勢(shì)選擇；(2)將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型，結(jié)合所給數(shù)據(jù)求解.【詳解】（1）作出散點(diǎn)圖如圖所示．由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)型曲線y=故選擇y=（2）（i）證明：由已知：令z=lny，則則α=lnc1，β=c2，即（ii）由（i）知繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x可以用線性回歸方程來(lái)擬合．由表中數(shù)據(jù)可得，β=α=得到z關(guān)于x的線性回歸方程為z=0.69x+1.12因此細(xì)菌的繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的非線性回歸方程為y=【變式52】2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）多年來(lái)，清華大學(xué)電子工程系黃翔東教授團(tuán)隊(duì)致力于光譜成像芯片的研究，2022年6月研制出國(guó)際首款實(shí)時(shí)超光譜成像芯片，相比已有光譜檢測(cè)技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了從單點(diǎn)光譜儀到超光譜成像芯片的跨越，為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，該研發(fā)團(tuán)隊(duì)為需要了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對(duì)年銷售額y（單位：億元）的影響，結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量x，和年銷售額y，的數(shù)據(jù)（i=1，2，?，12），該團(tuán)隊(duì)建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①y=α+βx2xyiii206677020014uviii4604.2031250000.30821500(1)設(shè)ui和yi的相關(guān)系數(shù)為r1,x(2)（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額y需達(dá)到80億元，預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元？附：①相關(guān)系數(shù)r=i=1nxi?②參考數(shù)據(jù)：308=77×4,80【答案】(1)模型y=(2)（i）y=e0.02【分析】（1）由題意計(jì)算相關(guān)系數(shù),比較它們的大小即可判斷；（2）（i）先建立v關(guān)于x的的線性回歸方程,再轉(zhuǎn)化為y關(guān)于x的回歸方程；(2)利用回歸方程計(jì)算y=80則r1<r（2）（i）先建立v關(guān)于x的線性回歸方程.由y=eλx+t由于λt所以v關(guān)于x的線性回歸方程為v=0.02所以lny=0.02x（ii）下一年銷售額y需達(dá)到80億元，即y=80，代入y=e又e所以0.02x+3.84=4.382，解得所以預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量是27.1億元【變式52】3．（2022·遼寧·高二期末）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，也侵害木棉、錦葵等植物．為了防治蟲害，從根源上抑制害蟲數(shù)量．現(xiàn)研究紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度的關(guān)系，收集到7組溫度x和產(chǎn)卵數(shù)y的觀測(cè)數(shù)據(jù)于表Ⅰ中．根據(jù)繪制的散點(diǎn)圖決定從回歸模型①y=C1表Ⅰ溫度x/℃20222527293135產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212465114325(1)請(qǐng)借助表Ⅱ中的數(shù)據(jù)，求出回歸模型①的方程：表Ⅱ（注：表中tiiiiii18956725.2716278106iiii11.06304041.86825.09(2)類似的，可以得到回歸模型②的方程為y=0.36x2(3)若求得回歸模型①的相關(guān)指數(shù)R2=0.95，回歸模型②的相關(guān)指數(shù)參考數(shù)據(jù)：e?3.41附：回歸方程y=βx+相關(guān)指數(shù)R2【答案】(1)y=e0.26(2)模型①：1.54；模型②：65.54(3)模型①【分析】（1）利用兩邊取自然對(duì)數(shù)，利用表中的數(shù)據(jù)即可求解；（2）分別計(jì)算模型①、②在x=20（3）根據(jù)相關(guān)指數(shù)的大小判斷摸型①、②的殘差平方和，再得出那個(gè)模型的擬合效果更好.(1)由y=C1令t=lny,由表Ⅱ數(shù)據(jù)可得，b=a^所以t=0.26所以回歸方程為y=e0.26(2)由題意可知，模型①在x=20時(shí)殘差為y模型②在x=20時(shí)殘差為y(3)因?yàn)?.95>0.81，即模型①的相關(guān)指數(shù)大于模型②的相關(guān)指數(shù)，由相關(guān)指數(shù)公式知，模型①的殘差平方和小于模型②的殘差平方和，因此模型①得到的數(shù)據(jù)更接近真實(shí)數(shù)據(jù)，所以模型①的擬合效果更好.【變式52】4．某研究所為了研究某種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的關(guān)系，現(xiàn)將收集到的溫度xi和一組昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y經(jīng)計(jì)算得到以下數(shù)據(jù)：x=16(1)若用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)的變化關(guān)系，求y關(guān)于x的回歸方程y=(2)若用非線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)的變化關(guān)系，求得y關(guān)于x的回歸方程y=0.06e0.2303①試與（1）中的回歸模型相比，用R2說(shuō)明哪種模型的擬合效果更好；②用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為35℃時(shí)該組昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）．附參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,【答案】(1)y=6.6(2)①用y=0.06e0.2303【分析】（1）利用最小二乘法即得；（2）根據(jù)線性回歸方程結(jié)合R2的值，即可比較擬合效果，然后將x（1）由題意可知b=a=∴y關(guān)于x的線性回歸方程是y=6.6（2）①用指數(shù)回歸模型擬合y與x的關(guān)系，相關(guān)指數(shù)R2線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，相關(guān)指數(shù)R2且0.9398<0.9672，∴用y=0.06e0.2303②y=0.06e0.2303則y=0.06故預(yù)測(cè)溫度為35℃時(shí)該昆蟲產(chǎn)卵數(shù)約為190個(gè)．◆類型3對(duì)數(shù)模型回歸分析【例題53】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我國(guó)為全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃．某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金．現(xiàn)該企業(yè)為了了解年研發(fā)資金投入額x（單位：億元）對(duì)年盈利額y（單位：億元）的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入額xi和年盈利額yi的數(shù)據(jù)．通過(guò)對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①y=α+βx2；②y=eλx+t，其中αxyiiu26215652680viiii5.36112501302.612(1)請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好？(2)根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（系數(shù)精確到0.01）(3)若希望2021年盈利額y為250億元，請(qǐng)預(yù)測(cè)2021年的研發(fā)資金投入額x為多少億元．（結(jié)果精確到0.01）【答案】(1)模型y=(2)y(3)約為27.56億元【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)公式求解進(jìn)行比較即可；（2）建立v關(guān)于x的線性回歸方程，由y=eλx+t，得ln（1）設(shè)ui和yi的相關(guān)系數(shù)為r1，xi和由題意，r1r2則r1<r（2）先建立v關(guān)于x的線性回歸方程，由y=eλx+tλ^=i所以v關(guān)于x的線性回歸方程為v=0.18x+0.56，所以ln（3）2021年盈利額y=250（億元），所以250=則0.18x因?yàn)閘n250=3ln5+ln2≈3×1.609+0.693=5.52，所以x≈【變式53】1．（2022·江西·臨川一中）2022年6月5日是世界環(huán)境日，十三屆全國(guó)人大常委會(huì)第三十二次會(huì)議表決通過(guò)的《中華人民共和國(guó)噪聲污染防治法》今起施行.噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問(wèn)題，為了解聲音強(qiáng)度D（單位：dB）與聲音能量I（單位：W?cm?2）之間的關(guān)系，將測(cè)量得到的聲音強(qiáng)度D和聲音能量(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，D=a1+b1I(2)求聲音強(qiáng)度D關(guān)于聲音能量I的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程（請(qǐng)使用題后參考數(shù)據(jù)作答）；(3)假定當(dāng)聲音強(qiáng)度大于45dB時(shí)，會(huì)產(chǎn)生噪聲污染，城市中某點(diǎn)P處共受到兩個(gè)聲源的影響，這兩個(gè)聲源的聲音能量分別是Ia和Ib，且1Ia+9Ib=參考數(shù)據(jù)：I=1.04×10?11，D=36.7，令Wii=110(Iii=110Ii?ID【答案】(1)D(2)D(3)點(diǎn)P處會(huì)受到噪聲污染【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合圖象的增長(zhǎng)趨勢(shì)，即可求解．（2）令Wi=lgIi，（3）設(shè)點(diǎn)P處的聲音能量為I1，則I1=Ia【詳解】（1）解：散點(diǎn)圖近似在一條曲線上，故D=（2）解：令Wi=lgIi，W=lgI，則即D關(guān)于W的回歸方程是D=93.7+5則D關(guān)于I的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程是D=93.7+5lg（3）解：設(shè)點(diǎn)P處的聲音能量為I1，則I因?yàn)镮a>0，Ib所以I1當(dāng)且僅當(dāng)Ib=3Ia，即所以D=93.7+5lg所以點(diǎn)P處會(huì)受到噪聲污染．【變式53】2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）受北京冬奧會(huì)的影響，更多人開始關(guān)注滑雪運(yùn)動(dòng)，但由于室外滑雪場(chǎng)需要特殊的氣候環(huán)境，為了滿足日益增長(zhǎng)的消費(fèi)需求，國(guó)內(nèi)出現(xiàn)了越來(lái)越多的室內(nèi)滑雪場(chǎng).某投資商抓住商機(jī)，在某大學(xué)城附近開了一家室內(nèi)滑雪場(chǎng).經(jīng)過(guò)6個(gè)季度的經(jīng)營(yíng)，統(tǒng)計(jì)該室內(nèi)滑雪場(chǎng)的季利潤(rùn)數(shù)據(jù)如下：第x個(gè)季度123456季利潤(rùn)y（萬(wàn)元）2.23.64.34.95.35.5根據(jù)上面的數(shù)據(jù)得到的一些統(tǒng)計(jì)量如下：yuiii4.30.5101.414.11.8表中ui=lgx(1)若用方程y=a+blg(2)利用（1）中得到的方程預(yù)測(cè)該室內(nèi)滑雪場(chǎng)從第幾個(gè)季度開始季利潤(rùn)超過(guò)6.5萬(wàn)元；附：線性回歸方程y=bx+a中，【答案】(1)y=2.3+4lg(2)第12個(gè).【分析】（1）根據(jù)最小二乘法可得y=2.3+4（2）由2.3+4lgx（1）由u=lgx，先求y關(guān)于u的線性回歸方程由已知數(shù)據(jù)得b=故a=所以y關(guān)于u的回歸方程為y=2.3+4故y關(guān)于x的回歸方程為y=2.3+4lg（2）令2.3+4lgx>6.5，得所以x>故預(yù)測(cè)從第12個(gè)季度開始季利潤(rùn)超過(guò)6.5萬(wàn)元；題型6殘差【方法總結(jié)】殘差計(jì)算思路如下∶先求出回歸方程y=bx+a（b，a直接套公式即可），然后把表格中每一個(gè)x值通過(guò)方程算出對(duì)應(yīng)的每一個(gè)y值，最后與表格中的y值對(duì)應(yīng)相減即可。數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異yiyi是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱ei=yi殘差計(jì)算公式∶實(shí)際觀察值與估計(jì)值（擬合值）之間的差。殘差平方和：i【例題6】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）將兩個(gè)變量x、y的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)x1,y1，x2,y2，①i=1②利用最小二乘法求出的線性回歸直線一定經(jīng)過(guò)散點(diǎn)圖中的某些點(diǎn)；③相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，說(shuō)明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；④通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)，解釋變量的取值不能距離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn)，求得的預(yù)報(bào)值不是響應(yīng)變量的精確值．【答案】③④##4【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合線性回歸方程的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于①，對(duì)于線性回歸方程，用相關(guān)系數(shù)來(lái)刻畫回歸效果，并非i=1對(duì)于②，利用最小二乘法求出的線性回歸直線有可能不經(jīng)過(guò)散點(diǎn)圖中的所有點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤，對(duì)于③，相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，說(shuō)明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以③正確，對(duì)于④，若解釋變量的取值超出樣本數(shù)據(jù)范圍太多，則導(dǎo)致預(yù)報(bào)值準(zhǔn)確度降低，得到預(yù)報(bào)值已不是準(zhǔn)確值，所以④正確，故答案為：③④【變式61】1．（2022·北京朝陽(yáng)·高二期末）已知一組樣本數(shù)據(jù)x1,y1,A．?2.45 B．2.45 C．3.45 D．54.55【答案】B【分析】根據(jù)樣本點(diǎn)的橫坐標(biāo)和回歸直線方程得出y的估計(jì)值，根據(jù)殘差定義計(jì)算.【詳解】把x=165代入y=0.85x所以在樣本點(diǎn)165,57處的殘差e=故選：B.【變式61】2．（2022·湖北·高二期末）某城市選用一種植物進(jìn)行綠化，設(shè)其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測(cè)得一些數(shù)據(jù)如下表所示：第x天1234567高度y/cm1469111213由表格中數(shù)據(jù)可得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=2.04x+a，則第7天的殘差為（

）A．1.12 B．2.12 C．【答案】C【分析】依題意求出x、y，根據(jù)回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)x,y求出【詳解】解：通過(guò)表格計(jì)算得，x=17因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線y=2.04x+a過(guò)點(diǎn)所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=2.04所以回歸模型第7天的殘差13?(2.04×7?0.16)=?1.12．故選：C．【變式61】3．（2022·云南省玉溪第一中學(xué)高三開學(xué)考試）新能源汽車的核心部件是動(dòng)力電池，電池占了新能源整車成本的大頭，而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分．從2020年底開始，碳酸鋰的價(jià)格一路水漲船高，下表是2022年某企業(yè)的前5個(gè)月碳酸鋰的價(jià)格與月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份代碼x12345碳酸鋰價(jià)格y（萬(wàn)元/kg）0.50.61m1.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.28x+a，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出在樣本點(diǎn)(5,1.5)處的殘差為【答案】1