2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程322直線的兩點式方程課件新人教A版必修2

3.2.2

直線的兩點式方程1.直線的兩點式、截距式方程【思考】(1)什么樣的直線的方程不能用兩點式表示?提示:與x軸、y軸平行的直線,x軸,y軸.(2)什么樣的直線的方程不能用截距式表示?提示:與x軸、y軸平行或重合及過原點的直線.

2.兩點的中點坐標(biāo)公式點P(x,y)是線段P1P2的中點,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2),則x=

【思考】如果已知點P(a,b)是線段P1P2的中點,其中P1(x1,y1),那么點P2的坐標(biāo)是什么?提示:設(shè)點P2(x2,y2),由中點坐標(biāo)公式:a=,b=,所以x2=2a-x1,y2=2b-y1,則點P2(2a-x1,2b-y1).【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)過點P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直線都可以用方程表示. (

)(2)在x軸,y軸上的截距分別為a,b的直線方程為

=1. (

)(3)任何一條直線都有在x軸,y軸上的截距.(

)【提示】(1)×.當(dāng)x1=x2或y1=y2時,直線不能用方程表示.(2)×.當(dāng)a=0或b=0時,在x軸,y軸上的截距分別為a,b的直線不能用方程=1表示.(3)×.例如與x軸平行的直線只有在y軸上的截距.2.直線=1在y軸上的截距是(

)A.3

B.-3

C.4

D.-4【解析】選D.直線=1即=1在y軸上的截距是-4.3.已知A(-5,4),B(3,-2),則線段AB的中點坐標(biāo)為________.

【解析】設(shè)線段AB的中點為M,其坐標(biāo)為(x,y),又因為A(-5,4),B(3,-2),則即線段AB的中點坐標(biāo)為(-1,1).答案:(-1,1)類型一直線的兩點式方程【典例】1.經(jīng)過A(-2,3),B(4,-1)的直線的兩點式方程為 (

)2.(2019·南京高一檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l經(jīng)過點(-1,0),(1,4),則直線l的兩點式方程是________.

3.已知在△ABC中,點A(-1,0),B(0,),C(1,-2),則AB邊中線所在直線的兩點式方程為________.

【思維·引】1.判斷是否符合直線的兩點式方程的形式.2.根據(jù)直線的兩點式方程公式寫方程.3.先求出AB的中點,再寫兩點式方程.【解析】1.選D.由題意可得直線的兩點式方程為2.根據(jù)兩點式方程可得答案:

3.點A(-1,0),B(0,),中點D所以AB邊中線所在直線的方程為答案:

【內(nèi)化·悟】直線的兩點式方程中,分子與分母有什么相同之處?提示:方程兩側(cè)的分式中,分子分母的中間運算符號相同,算式的后一個因式相同.【類題·通】求直線的兩點式方程的策略以及注意點(1)適用條件:兩點的連線不平行于坐標(biāo)軸,若滿足,則考慮用兩點式求方程.(2)差的順序性:常會將x,y或數(shù)字的順序錯位而導(dǎo)致錯誤.在記憶和使用兩點式方程時,必須注意坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系.提醒:已知兩點坐標(biāo),求過這兩點的直線方程也可以先求斜率,再代入點斜式得到直線的方程.【習(xí)練·破】已知△ABC三頂點坐標(biāo)為A(1,2),B(3,6),C(5,2),M為AB的中點,N為AC的中點,則中位線MN所在直線的兩點式方程為________.

【解析】由中點坐標(biāo)公式可得M(2,4),N(3,2),再由兩點式可得直線MN的方程為答案:

【加練·固】(2019·成都高一檢測)已知直線l過點(-2,1)與(2,3),則直線的兩點式方程為________.

【解析】直線l過點(-2,1)與(2,3),則直線的兩點式方程為答案:

類型二直線的截距式方程【典例】1.(2019·武侯高一檢測)過點P(2,3),并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為(

)A.x-y+1=0或3x-2y=0B.x+y-5=0C.x-y+1=0D.x+y-5=0或3x-2y=02.直線l過點(1,2)和第一、二、四象限,若l的兩截距之和為6,求直線l的方程.【思維·引】1.分截距等于0、不等于0兩種情況分別求方程.2.利用已知條件設(shè)出截距式方程求截距,整理得方程.【解析】1.選A.過點P(2,3),且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù),當(dāng)橫截距a=0時,縱截距b=0,直線過點P(2,3),(0,0),所以直線方程為即3x-2y=0.當(dāng)橫截距a≠0時,縱截距b=-a,直線方程為=1,因為直線過點P(2,3),所以直線方程為=1,解得a=-1,所以直線方程為-x+y=1,即x-y+1=0.綜上,所求直線方程為x-y+1=0或3x-2y=0.2.設(shè)直線l的橫截距為a,則縱截距為6-a,l的方程為

=1,因為點(1,2)在直線l上,所以=1,即a2-5a+6=0.解得a1=2,a2=3.當(dāng)a=2時,直線的方程為

=1,當(dāng)a=3時,直線的方程為=1,直線l都經(jīng)過第一、二、四象限,符合題意,綜上知,直線l的方程為【內(nèi)化·悟】設(shè)直線的截距式方程時需要注意什么問題?提示:需要注意直線的截距不能為0,如果不能確定,則分情況討論.【類題·通】直線的截距式方程在解題中的應(yīng)用(1)在解決直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、周長的問題中,常設(shè)直線的截距式方程.(2)當(dāng)直線與x軸、y軸平行,過原點時不能設(shè)截距式方程,可以利用點斜式等形式解題.【習(xí)練·破】直線l過點P(1,3),且與x,y軸正半軸圍成的三角形的面積等于6的直線方程是 (

)A.3x+y-6=0

B.x+3y-10=0C.3x-y=0D.x-3y+8=0【解析】選A.設(shè)所求的直線方程為:=1(a>0,b>0).因為過點P(1,3)且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積等于6,所以解得a=2,b=6,所以直線的截距式方程為=1,故所求的直線方程為:3x+y-6=0.【加練·固】直線l經(jīng)過點A(-3,4),且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍,則直線l的方程是 (

)A.2x+y+2=0B.2x+y+2=0或4x+3y=0C.x-2y+11=0D.x-2y+11=0或4x-3y=0【解析】選B.當(dāng)直線經(jīng)過原點時,直線方程為:y=-x,即4x+3y=0;當(dāng)直線不經(jīng)過原點時,設(shè)直線方程為=1,把點A(-3,4)代入,得=1,解得a=-1,所以直線方程為=1,即2x+y+2=0.類型三直線方程的簡單應(yīng)用角度1圖象的辨析【典例】(2019·涪城高一檢測)兩條直線l1:=1和l2:=1在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可以是(

)【思維·引】根據(jù)圖象中l(wèi)1,l2的位置,確定截距的關(guān)系、符號,判斷是否符合.【解析】選A.由截距式方程可得直線l1的橫、縱截距分別為a,-b,直線l2的橫、縱截距分別為b,-a,選項A,由l1的圖象可得a<0,b>0,可得直線l2的截距均為正數(shù),故正確;選項B,只有當(dāng)a=-b時,才有直線平行,故錯誤;選項C,只有當(dāng)a=b時,才有直線的縱截距相等,故錯誤;選項D,由l1的圖象可得a>0,b>0,可得直線l2的橫截距為正數(shù),縱截距為負數(shù),圖象不對應(yīng),故錯誤.【素養(yǎng)·探】在利用方程辨析函數(shù)的圖象時,常常用到核心素養(yǎng)中的直觀想象,需要根據(jù)直線的方程想象圖象特征,根據(jù)圖象特征得出直線的方程性質(zhì).若將本例中的條件變?yōu)椤爸本€=1的圖象如圖所示”,則關(guān)于截距a,b的關(guān)系中一定正確的是________.

①|(zhì)a|>|b|;②③(b-a)(b+a)<0;④【解析】由題圖可知,a<0,b>0,且|a|>|b|,①正確;-a>b>0,所以,②正確;b-a>0,b+a<0,所以(b-a)(b+a)<0,③正確;<0<,④錯誤.答案:①②③角度2在幾何圖形中的綜合應(yīng)用【典例】已知直線l過點P(-2,1). (1)當(dāng)直線l與點B(-5,4),C(3,2)的距離相等時,求直線l的方程.(2)當(dāng)直線l與x軸、y軸圍成的三角形的面積為時,求直線l的方程.【思維·引】(1)首先分析直線與兩點距離相等的情況,再分情況求直線方程.(2)設(shè)出截距式方程,利用截距表示出面積、直線過已知點列出方程組解題.【解析】(1)①當(dāng)直線l∥BC時,kl=kBC=所以直線l的方程為y-1=-(x+2)化為x+4y-2=0.②當(dāng)直線l過線段BC的中點時,由線段BC的中點為M(-1,3),所以直線l的方程為y-1=(x+2),化為2x-y+5=0.綜上可知:直線l的方程為x+4y-2=0或2x-y+5=0.(2)設(shè)直線l的方程為=1.則解得所以直線l的方程為x+y+1=0或x+4y-2=0.【類題·通】求直線方程時方程形式的選擇技巧(1)已知一點的坐標(biāo),求過該點的直線方程時,通常選用點斜式方程.(2)已知直線的斜率,通常選用點斜式或斜截式,再由其他條件確定一個定點的坐標(biāo)或在y軸上的截距.(3)已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距時,通常選用截距式方程.(4)已知直線上兩點時,通常選用兩點式方程.【發(fā)散·拓】點P(a,b)關(guān)于直線y=x的對稱點P′的坐標(biāo)是什么?關(guān)于直線y=-x的對稱點P″的呢?提示:點P(a,b)關(guān)于直線y=x的對稱點P′的坐標(biāo)是(b,a);關(guān)于直線y=-x的對稱點P″的坐標(biāo)為(-b,-a).【延伸·練】已知△ABC的一個頂點是A(3,-1),∠B,∠C的平分線方程分別為x=0,y=x.(1)求直線BC的方程.(2)求直線AB的方程.【解析】(1)因為∠B,∠C的平分線分別是x=0,y=x,所以AB與BC關(guān)于x=0對稱,AC與BC關(guān)于y=x對稱.A(3,-1)關(guān)于x=0的對稱點A′(-3,-1)在直線BC上,A關(guān)于y=x的對稱點A″(-1,3)也在直線BC上.由兩點式,所求直線BC的方程:y=2x+5.(2)因為直線AB與直線BC關(guān)于x=0對稱,所以直線AB與BC的斜率互為相反數(shù),由(1)知直線BC的斜率為2,所以直線AB的斜率為-2,又因為點A的坐標(biāo)為(3,-1),所以直線AB的方程為y-(-1)=-2(x-3),即2x+y-5=0.【習(xí)練·破】已知△AB