期末專項復(fù)習(xí)：全等三角形 二十個必考點（原卷版）

全等三角形二十個必考點【華東師大版】題型先知【考點1利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】 【考點2將已知圖形分割成幾個全等的圖形】 【考點3添加條件使三角形全等】 【考點4靈活選用判定方法證明全等】 【考點5尺規(guī)作圖與全等的綜合運用】 【考點6證明全等的常見輔助線的作法】 【考點7證一條線段等于兩條線段的和（差）】 【考點8全等中的倍長中線模型】【考點9全等中的旋轉(zhuǎn)模型】 【考點10全等中的垂線模型】 【考點11作等腰三角形】 【考點12利用三線合一求值】 【考點13利用三線合一證明】 【考點14利用等角對等邊證明邊長相等】 【考點15利用等角對等邊證明】 【考點16等邊三角形的判定與性質(zhì)】 【考點17垂直平分線的判定與性質(zhì)】 【考點18等腰三角形中的新定義問題】 【考點19角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】 【考點20角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】

舉一反三【考點1利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】【例1】（2022·山東·禹城市督楊實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【變式1-1】（2022·江蘇省灌云高級中學(xué)城西分校八年級階段練習(xí)）如圖，由4個相同的小正方形組成的格點圖中，∠1+∠2+∠3=________度．【變式1-2】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個頂點均為格點，則∠P＋∠Q＝__________度．【變式1-3】（2022·山東·濟南市槐蔭區(qū)教育教學(xué)研究中心二模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，求α+β=______度．【考點2將已知圖形分割成幾個全等的圖形】【例2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）沿著圖中的虛線，請將如圖的圖形分割成四個全等的圖形．【變式2-1】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）方格紙上有2個圖形，你能沿著格線把每一個圖形都分成完全相同的兩個部分嗎？請畫出分割線．【變式2-2】（2022·江蘇·八年級課時練習(xí)）試在下列兩個圖中，沿正方形的網(wǎng)格線（虛線）把這兩個圖形分別分割成兩個全等的圖形，將其中一部分涂上陰影．【變式2-3】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）知識重現(xiàn)：“能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．”理解應(yīng)用：我們可以把4×4網(wǎng)格圖形劃分為兩個全等圖形．范例：如圖1和圖2是兩種不同的劃分方法，其中圖3與圖1視為同一種劃分方法．請你再提供四種與上面不同的劃分方法，分別在圖4中畫出來．【考點3添加條件使三角形全等】【例3】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，∠C＝∠D＝90°，添加下列條件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC與Rt△ABD全等的條件有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式3-1】（2022·重慶·中考真題）如圖，點B，F(xiàn)，C，E共線，∠B=∠E，BF=EC，添加一個條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（

）A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD【變式3-2】（2022·安徽淮南·八年級期末）如圖，點P是AB上任意一點，∠ABC=∠ABD，還應(yīng)補充一個條件，才能推出△APC≌△APD．從下列條件中補充一個條件，不一定能推出△APC≌△APD的是(

)A．BC=BD； B．AC=AD；C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB【變式3-3】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，AB，CD相交于點E，且AB=CD，試添加一個條件使得△ADE≌△CBE．現(xiàn)給出如下五個條件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有(

)A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點4靈活選用判定方法證明全等】【例4】（2022·湖南·八年級單元測試）具備下列條件的兩個三角形一定是全等三角形的是（

）．A．有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形B．兩邊及其中一條對應(yīng)邊上的高也對應(yīng)相等的兩個三角形C．兩邊分別相等，并且第三條邊上的中線也對應(yīng)相等的兩個三角形D．有兩邊及其第三邊上的高分別對應(yīng)相等的兩個三角形【變式4-1】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)瀚文外國語學(xué)校七年級階段練習(xí)）我國傳統(tǒng)工藝中，油紙傘制作非常巧妙，其中蘊含著數(shù)學(xué)知識．如圖是油紙傘的張開示意圖，AE=AF，GE=GF，則△AEG≌△AFG的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【變式4-2】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級）如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，AC與BD交于點O，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，那么圖中全等的三角形有（

）A．5對 B．6對 C．7對 D．8對【變式4-3】（2022·浙江·八年級單元測試）根據(jù)下列條件不能唯一畫出△ABC的是（

）A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°【考點5尺規(guī)作圖與全等的綜合運用】【例5】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC外找一個點A'（與點A不重合），并以BC為一邊作△A'BC，使之與△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，則符合條件的點A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式5-1】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，以△ABC的頂點A為圓心，以BC長為半徑作??；再以頂點C為圓心，以AB長為半徑作弧，兩弧交于點D；連結(jié)AD，CD．由作法可得：△ABC?△CDA的根據(jù)是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【變式5-2】（2022·廣東·普寧市紅領(lǐng)巾實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）在課堂上，張老師布置了一道畫圖題：畫一個Rt△ABC，使∠B=90°，它的兩條邊分別等于兩條已知線段．小劉和小趙同學(xué)先畫出了∠MBN=90°之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．那么小劉和小趙同學(xué)作圖確定三角形的依據(jù)分別是______；_______【變式5-3】（2022·北京·101中學(xué)九年級開學(xué)考試）李老師制作了如圖1所示的學(xué)具，用來探究“邊邊角條件是否可確定三角形的形狀”問題．操作學(xué)具時，點Q在軌道槽AM上運動，點P既能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運動，也能在軌道槽QN上運動．圖2是操作學(xué)具時，所對應(yīng)某個位置的圖形的示意圖．有以下結(jié)論：①當(dāng)∠PAQ=30°，PQ=6時，可得到形狀唯一確定的△PAQ②當(dāng)∠PAQ=90°，PQ=10時，可得到形狀唯一確定的△PAQ③當(dāng)∠PAQ=150°，PQ=12時，可得到形狀唯一確定的△PAQ其中所有正確結(jié)論的序號是______________．【考點6證明全等的常見輔助線的作法】【例6】（2022·江蘇·宿遷青華中學(xué)七年級階段練習(xí)）（1）如圖①，四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且BE+FD=EF．試探究圖中∠EAF與∠BAD之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到G，使DG=BE，連結(jié)AG．先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，從而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF與∠BAD之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）將（1）中的條件“∠B=∠ADC=90°”改為“∠B+∠D=180°”（如圖②），其余條件不變，上述數(shù)量關(guān)系是否成立，成立，請證明；不成立，說明理由（3）如圖③，中俄兩國海軍在南海舉行聯(lián)合軍事演習(xí)，中國艦艇在指揮中心（O）北偏西30°的A處，俄羅斯艦艇在指揮中心南偏東70°的B處，兩艦艇到指揮中心距離相等．接到行動指令后，中國艦艇向正東方向以60海里/小時的速度前進，俄羅斯艦艇沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，2小時后，指揮中心觀測到兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處且相距280海里．求此時兩艦艇的位置與指揮中心（O處）形成的夾角∠EOF的大?。咀兪?-1】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，則∠B=（

）A．50° B．40° C．40°或70【變式6-2】（2022·全國·七年級單元測試）（1）求證：等邊三角形內(nèi)的任意一點到兩腰的距離之和等于定長.（提示：添加輔助線證明）（2）如圖所示，在三角形ABC中，點D是三角形內(nèi)一點，連接DA、DB、DC，若AB=AC,∠ADB=∠ADC，求證：AD平分∠BAC.【變式6-3】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）已知等腰△ABC中，AB=AC，點D在直線AB上，DE∥BC，交直線AC與點E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足為H．（1）當(dāng)點D在線段AB上時，如圖1，求證DH=BH+DE；（2）當(dāng)點D在線段BA延長線上時，如圖2，當(dāng)點D在線段AB延長線上時，如圖3，直接寫出DH，BH，DE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．【考點7證一條線段等于兩條線段的和（差）】【例7】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求證：CD＝AB＋AD【變式7-1】（2022·安徽淮北·八年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AE是∠BAC的平分線，且AE⊥CE．若AC=a,BD=b，則四邊形ABDC的周長為（

）A．1.5(a+b) B．2a+b C．3a-b D．a(chǎn)+2b【變式7-2】（2022·山東煙臺·七年級期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直線AB上一點（點D不與點A、B重合），連接DC并延長到E，使得CE＝CD，過點E作EF⊥直線BC，交直線BC于點F．(1)如圖1，當(dāng)點D為線段AB上的任意一點時，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當(dāng)點D為線段BA的延長線上一點時，依題意補全圖2，猜想線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，并證明．(3)如圖3，當(dāng)點D在線段AB的延長線上時，直接寫出線段EF、CF、AC之間的數(shù)量關(guān)系．【變式7-3】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）在△ABC中，AE，CD為△ABC的角平分線，AE，CD交于點F．（1）如圖1，若∠B=60°．①直接寫出∠AFC的大?。虎谇笞C：AC=AD+CE．（2）若圖2，若∠B=90°，求證：S△ACF【考點8全等中的倍長中線模型】【例8】（2022·江西吉安·七年級期末）（1）基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方式解決問題如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；（3）綜合應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝12∠BAD，試問線段EF、BE、FD【變式8-1】（2022·山東德州·八年級期末）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點D是BC的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB//CD，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，【變式8-2】（2022·山東·高唐縣趙寨子中學(xué)八年級期中）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點M是BE的中點，連接CM、DM．

（1）當(dāng)點D在AB上，點E在AC上時（如圖一），求證：DM=CM，DM⊥CM；

（2）當(dāng)點D在CA延長線上時（如圖二）（1）中結(jié)論仍然成立，請補全圖形（不用證明）；

（3）當(dāng)ED∥AB時（如圖三），上述結(jié)論仍然成立，請加以證明．【變式8-3】（2022·全國·八年級）如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學(xué)是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【考點9全等中的旋轉(zhuǎn)模型】【例9】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知C為線段AB上一點，分別以線段AC，BC為直角邊作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，連接AE，BD，線段AE，BD之間的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為_______．拓展探究：如圖2，把Rt△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，線段AE，BD交于點F，則AE與BD【變式9-1】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，則△ABD與△AEC的面積之和為（A．36 B．21 C．30 D．22【變式9-2】（2022·江蘇·南京民辦求真中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一個頂點將這個直角三角形的斜邊分成二部分，AD=3厘米，陰影部分的面積是6平方厘米，DB長______厘米．【變式9-3】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）綜合與實踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝12∠ABC，試探索線段MN、AM、CN（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝12∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為【考點10全等中的垂線模型】【例10】（2022·廣東佛山·七年級階段練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，∠EAB+∠DAC=度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當(dāng)直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．【變式10-1】（2022·陜西省西安愛知中學(xué)七年級期末）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長為6，求△BCD的面積．【變式10-2】（2022·安徽·九年級期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點為射線CB上一動點，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點作FD⊥AC交AC于D點，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點，若AG＝3，CG＝1，求證：E點為BC中點．（3）當(dāng)E點在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交子G點，若BC＝4，BE＝3，則AGCG=【變式10-3】（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當(dāng)點E與點A重合時（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．(1)當(dāng)三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．(2)當(dāng)三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．【考點11作等腰三角形】【例11】（2022·山東青島·九年級專題練習(xí)）如圖，已知：點P和直線BC．求作：等腰直角三角形MPQ，是∠PMQ=45°，點M落在BC上．【變式11-1】（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級期中）我們知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一個頂角等于36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”．在△ABC中，已知：AB=AC，且∠B=36°，請用兩種不同的尺規(guī)作圖在BC上找點D，使得△ABD是黃金三角形，并說明其中一種做法的理由．【變式11-2】（2022·福建龍巖·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，射線CM∥AB．(1)在線段AB上取一點E，使得CE=CB，在射線CM上確定一點D，使△CDE是以CE為底邊的等腰三角形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接AD，求證：AD=BC．【變式11-3】（2022·山東省青島第六十三中學(xué)八年級期中）已知∠α，線段a，求作：等腰△ABC，使得頂角∠A=∠α，BC上的高為a．【考點12利用三線合一求值】【例12】（2022·河北保定·八年級期末）如圖，一位同學(xué)拿了兩塊同樣的含45°的三角尺，即等腰直角△MNK，等腰直角△ACB做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設(shè)AC＝BC＝a，猜想此時重疊部分四邊形CEMF的面積為（

）A．12a2 B．13a2 C．14a2 D．【變式12-1】（2022·廣東·深圳市布心中學(xué)七年級期末）如圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E中同一條直線上，CM平分∠DCE，連接BE，以下結(jié)論：①AD=DC；②CM⊥AE；③AE-BE=2CM；④∠BCM=∠CBE，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式12-2】（2022·浙江·平陽蘇步青學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點E，AC＝6，DE＝2，則△BCE的面積是(

)A．4 B．6 C．8 D．12【變式12-3】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，DE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，若DE＝4，則CF的長為_____.【考點13利用三線合一證明】【例13】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級）已知：如圖△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們交于點H，且AE=BE．求證：(1)△AHE≌△BCE；(2)AH=2BD．【變式13-1】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，連接EF交AD于G，試判斷AD與EF垂直嗎？并說明理由．【變式13-2】（2022·北京·垂楊柳中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是△ABC的高．求證：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【變式13-3】（2022·山東青島·七年級期末）已知，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于點D，點E是AB邊上的一動點（不與點A、B(1)如圖①，若E運動到BD上，過點A作CE的垂線交CD于點G，CE于點F，CB于點H，求證：CG=BE；(2)如圖②，若E運動到AD上，過點A作CE的垂線與CE延長線交于點F，延長AF交CD延長線于點G，試猜想CG、【考點14利用等角對等邊證明邊長相等】【例14】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，過點D作BC的平行線，分別交AB，AC于E，F(xiàn)，則△AEF的周長是_____.【變式14-1】（2022·湖南長沙·八年級期中）如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于點F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的長為__cm．【變式14-2】（2022·浙江·樂清市知臨寄宿學(xué)校八年級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于點D，E為AC上一點，AE＝AB，連接DE.(1)求證：△ABD≌△AED；(2)已知∠ABC＝2∠C且BD＝5，AB＝9，求AC長．【變式14-3】（2022·福建·廈門雙十中學(xué)八年級期末）如圖，為的角平分線．(1)如圖1，若于點，交于點，，．則_______；(2)如圖2，于點，連接，若的面積是6，求的面積；(3)如圖3，若，，，則的長為_______．（用含的式子表示）【考點15利用等角對等邊證明】【例15】（2022·天津·八年級期中）如圖：E在△ABC的AC邊的延長線上，AB＝AC，D點在AB邊上，DE交BC于點F，DF＝EF，求證：BD＝CE．【變式15-1】（2022·浙江·八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過點B作AD的垂線，垂足為點D，DE∥AC，交AB于點E，(1)求證：△BDE是等腰三角形；(2)求證：CD=BE．【變式15-2】（2022·陜西西安·七年級期末）已知∠AOB=60°，小新在學(xué)習(xí)了角平分線的知識后，做了一個夾角為120°（即∠DPE=120°）的角尺來作∠AOB的角平分線．問題發(fā)現(xiàn)(1)如圖1，他先在邊OA和OB上分別取OD=OE，再移動角尺使PD=PE，然后他就說射線OP是∠AOB的角平分線．請問小新的觀點是否正確，為什么？問題探究(2)如圖2，小新在確認射線OP是∠AOB的角平分線后，一時興起，將角尺繞點P旋轉(zhuǎn)了一定的角度，若角尺旋轉(zhuǎn)后恰好使得DP∥OB，發(fā)現(xiàn)線段OD與OE有一定的數(shù)量關(guān)系．請你直接寫出線段OD與OE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式15-3】（2022·江西·吉安縣文博國際學(xué)校八年級開學(xué)考試）如圖①，ΔABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F(1)圖①中有幾個等腰三角形？猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系．(2)如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，在第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？(3)如圖③，若ΔABC中∠B的平分線BO與∠ACG平分線CO交于O，過O點作OE∥BC，交AB于E，交AC于F．EF與BE、CF【考點16等邊三角形的判定與性質(zhì)】【例16】（2022·全國·八年級期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別是BC，AB上的點，且BE＝CD，AD與CE相交于點F，連接BF，延長FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面積為m，AF：EF＝5：3，則△AEG的面積是（）A．25m B．13m C．【變式16-1】（2022·河南·鄭州市第四初級中學(xué)八年級期中）如圖，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝2b，點D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是（）A．12a+2b B．12a+43【變式16-2】（2022·廣東·東華學(xué)校八年級期中）如圖，已知△ABC和△CDE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，(1)求證：BD=AE，并求出∠DOE的度數(shù)；(2)判斷△CFG的形狀并說明理由；(3)求證：OA+OC=OB．【變式16-3】（2022·廣東·汕頭市金平區(qū)金園實驗中學(xué)八年級期末）曉芳利用兩張正三角形紙片，進行了如下探究：初步發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連接AE交BD延長線于點F，求證：∠AFB＝60°；深入探究：如圖2，在正三角形紙片△ABC的BC邊上取一點D，作∠ADE＝60°交∠ACB外角平分線于點E，探究CE，DC和AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；拓展創(chuàng)新：如圖3，△ABC和△DCE均為正三角形，連接AE交BD于P，當(dāng)B，C，E三點共線時，連接PC，若BC＝3CE，直接寫出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個進行證明：（1）AP-3PDPC（2）AP+PC+2PDBD-PC+PE【考點17垂直平分線的判定與性質(zhì)】【例17】（2022·廣東·廣州市第九十七中學(xué)八年級期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延長線于N．（1）證明：BM=CN；（2）當(dāng)∠BAC=70°時，求∠DCB的度數(shù)．【變式17-1】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，△ABC中，BE平分∠ABC，E在AC垂直平分線上，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，求證：（1）AG＝CF；（2）BC﹣AB＝2FC．【變式17-2】（2022·山西臨汾·八年級階段練習(xí)）情景一：小明在數(shù)學(xué)興趣小組探究活動課上發(fā)現(xiàn)：對于一個△ABC，分別作邊AB，AC的垂直平分線DM，EN相交于點O，如圖1所示，此時經(jīng)過測量后，得到∠MAN＝30°，根據(jù)上述條件，能不能得到∠BAC的度數(shù)呢？小明結(jié)合所學(xué)過的知識進行了以下論證．證明：∵DM是邊AB的垂直平分線，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B．同理可得∠NAC＝∠C，則∠BAC-解得∠BAC＝105°．情景二：小明繼續(xù)對上述問題進行探究發(fā)現(xiàn)：若邊AB，AC的垂直平分線DM，EN相交于點O，如圖2所示，試判斷∠MAN與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系．(1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______．(2)在圖1的情況下，若∠MAN的度數(shù)為α，則∠BAC的大小為______（用含α的代數(shù)式表示）．(3)請寫出情景二中∠MAN與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式17-3】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，CA＝CB，過點A作射線AP∥BC，點M、N分別在邊BC、AC上（點M、N不與所在線段端點重合），且BM＝AN，連結(jié)BN并延長交射線AP于點D，連結(jié)MA并延長交AD的垂直平分線于點E，連結(jié)ED．【猜想】如圖①，當(dāng)∠C＝30°時，可證△BCN≌△ACM，從而得出∠CBN＝∠CAM，進而得出∠BDE的大小為______度．【探究】如圖②，若∠C＝β．（1）求證：△BCN≌△ACM．（2）∠BDE的大小為______度（用含β的代數(shù)式表示）．【應(yīng)用】如圖③，當(dāng)∠C＝120°時，AM平分∠BAC，若AM、BN交于點F，DE＝12DF，DE＝1，則△DEF的面積為______【考點18等腰三角形中的新定義問題】【例18】（2022·山西臨汾·八年級階段練習(xí)）綜合實踐在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過研討給出定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE，則△ABD≌△ACE(SAS)．(1)【初步把握】如圖2，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有_______≌________．(2)【深入研究】如圖3，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE，并連接BE，CD，求證：(3)【拓展延伸】如圖4，在兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，交于點P，請判斷BD和CE的關(guān)系，并說明理由．【變式18-1】（2022·福建廈門·八年級期末）定義：一個三角形，若過一個頂點的線段將這個三角形分為兩個三角形，其中一個是直角三角形，另一個是等腰三角形，則稱這個三角形是等直三角形，這條線段叫做這個三角形的等直分割線段．例如：如圖，在△ABC中，∵AD⊥BC于D，且BD=AD，∴△ACD是直角三角形，△ABD是等腰三角形，∴△ABC是等直三角形，AD是△ABC的一條等直分割線段．(1)如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分線，請說明AD是△ABC的一條等直分割線段．(2)若△ABC是一個等直三角形，恰好有兩條等直分割線，∠B和∠C均小于45°，求證：△ABC是等腰三角形．【變式18-2】（2022·浙江·八年級單元測試）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．(1)如圖1，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，點A為重合的頂角頂點．求證：BD=CE．(2)如圖2，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，點A為重合的頂角頂點，點D、E均在△ABC外，連接BD、CE交于點M，連接AM，求證：AM平分∠BME．【變式18-3】（2022·河南省直轄縣級單位·八年級期末）閱讀下列材料，解答問題：定義：線段BM把等腰△ABC分成△ABM與△BCM（如圖1），如果△ABM與△BCM均為等腰三角形，那么線段BM叫做△ABC的完美分割線．(1)如圖1，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，BM為△ABC的完美分割線，且CM<AM，則∠C=°，∠AMB=(2)如圖2，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=108°,AC=CN，求證：AN為(3)如圖3，已知△ABC是一等