2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章不等式3.4基本不等式第1課時基本不等式練習(xí)新人教A版必修5

PAGEPAGE1§3.4基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)第1課時基本不等式1.下列各式中，對任何實數(shù)x都成立的一個式子是A.lg(x2＋1)≥lg(2x) B.x2＋1＞2xC.eq\f(1,x2＋1)≤1 D.x＋eq\f(1,x)≥2解析對于A，當(dāng)x≤0時，無意義，故A不恒成立；對于B，當(dāng)x＝1時，x2＋1＝2x，故B不成立；對于D，當(dāng)x＜0時，不成立.對于C，x2＋1≥1，∴eq\f(1,x2＋1)≤1成立.故選C.答案C2.設(shè)a，b為正數(shù)，且a＋b≤4，則下列各式中正確的一個是A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＜1 B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥1C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＜2 D.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2解析因為ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))eq\s\up12(2)＝4，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))≥2eq\r(\f(1,4))＝1.答案B3.四個不相等的正數(shù)a，b，c，d成等差數(shù)列，則A.eq\f(a＋d,2)＞eq\r(bc) B.eq\f(a＋d,2)＜eq\r(bc)C.eq\f(a＋d,2)＝eq\r(bc) D.eq\f(a＋d,2)≤eq\r(bc)解析因為a，b，c，d成等差數(shù)列，則a＋d＝b＋c，又因為a，b，c，d＞0且不相等，所以b＋c＞2eq\r(bc)，故eq\f(a＋d,2)＞eq\r(bc).答案A4.a2＋b2＋c2＋3________2(a＋b＋c)(填“＞”“≥”“＜”或“≤”).解析因為a2＋b2＋c2＋3＝(a2＋1)＋(b2＋1)＋(c2＋1)≥2a＋2b＋2c＝2(a＋b＋c).所以a2＋b2＋c2＋3≥2(a＋b＋c).(當(dāng)且僅當(dāng)a＝1，b＝1，c＝1時等號成立)答案≥5.已知a，b是正數(shù)，求證eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab).解析∵a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))>0，∴eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\f(2,2\r(\f(1,ab)))＝eq\r(ab)，即eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)(當(dāng)a＝b時取“＝”).[限時45分鐘；滿分80分]一、選擇題(每小題5分，共30分)1.有下列式子：①a2＋1＞2a；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≥2；③eq\f(a＋b,\r(ab))≥2；④x2＋eq\f(1,x2＋1)≥1，其中正確的個數(shù)是A.0 B.1 C.2 D解析∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a，故①不正確；對于②，當(dāng)x＞0時，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x＋eq\f(1,x)≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”)；當(dāng)x＜0時，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝－x－eq\f(1,x)≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時取“＝”)，∴②正確；對于③，若a＝b＝－1，則eq\f(a＋b,\r(ab))＝－2＜2，故③不正確；對于④，x2＋eq\f(1,x2＋1)＝x2＋1＋eq\f(1,x2＋1)－1≥1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取“＝”)，故④正確.答案C2.下列不等式中正確的是A.a＋eq\f(4,a)≥4 B.a2＋b2≥4abC.eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D.x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)解析a<0，則a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A錯；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B錯，a＝4，b＝16，則eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)，故C錯；由基本不等式可知D項正確.答案D3.若a>b>0，則下列不等式成立的是A.a>b>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab) B.a>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>bC.a>eq\f(a＋b,2)>b>eq\r(ab) D.a>eq\r(ab)>eq\f(a＋b,2)>b解析a＝eq\f(a＋a,2)>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>eq\r(b·b)＝b，因此只有B項正確.答案B4.a，b∈R，則a2＋b2與2|ab|的大小關(guān)系是A.a2＋b2≥2|ab| B.a2＋b2＝2|ab|C.a2＋b2≤2|ab| D.a2＋b2＞2|ab|解析∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|b|時，等號成立.)答案A5.小王從甲地到乙地來回的時速分別為a和b(a＜b)，其全程的平均時速為v，則A.a＜v＜eq\r(ab) B.v＝eq\r(ab)C.eq\r(ab)＜v＜eq\f(a＋b,2) D.v＝eq\f(a＋b,2)解析v＝eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq\f(2ab,a＋b)＜eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab).因為eq\f(2ab,a＋b)－a＝eq\f(2ab－a2－ab,a＋b)＝eq\f(ab－a2,a＋b)＞eq\f(a2－a2,a＋b)＝0，所以eq\f(2ab,a＋b)＞a，即v＞a.故選A.答案A6.(實力提升)若a＞b＞0，則下列不等式中總成立的是A.eq\f(2ab,a＋b)＜eq\f(a＋b,2)＜eq\r(ab) B.eq\f(a＋b,2)≥eq\f(2ab,a＋b)≥eq\r(ab)C.eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)＞eq\f(2ab,a＋b) D.eq\r(ab)＜eq\f(2ab,a＋b)＜eq\f(a＋b,2)解析a＞b＞0，eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，eq\f(2ab,a＋b)＜eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab)，從而eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)＞eq\f(2ab,a＋b).答案C二、填空題(每小題5分，共15分)7.設(shè)正數(shù)a，使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，則eq\f(1,2)logat________logaeq\f(t＋1,2)(填“＞”“≥”“≤”或“＜”).解析因為a2＋a－2＞0，所以a＜－2或a＞1，又a＞0，所以a＞1，因為t＞0，所以eq\f(t＋1,2)≥eq\r(t)，所以logaeq\f(t＋1,2)≥logaeq\r(t)＝eq\f(1,2)logat.答案≤8.某市一外貿(mào)公司，第一年產(chǎn)值增長率為a，其次年產(chǎn)值增長率為b，這兩年的平均增長率為x，那么x與eq\f(a＋b,2)的大小關(guān)系是________.解析依題意，可得(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a＋1＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，所以1＋x≤1＋eq\f(a＋b,2)，即x≤eq\f(a＋b,2).答案x≤eq\f(a＋b,2)9.(實力提升)若a＞0，b＞0，a＋b＝2，則下列不等式①ab≤1；②eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)；③a2＋b2≥2；④eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2，對滿意條件的a，b恒成立的是________.(填序號)解析因為ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝1，所以①正確；因為(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)＝2＋2eq\r(ab)≤2＋a＋b＝4，故②不正確；a2＋b2≥eq\f(（a＋b）2,2)＝2，所以③正確；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(2,ab)≥2，所以④正確.答案①③④三、解答題(本大題共3小題，共35分)10.(11分)已知a，b，c為不全相等的正實數(shù)，且abc＝1.求證：eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).證明因為a，b，c都是正實數(shù)，且abc＝1.所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))＝2eq\r(c)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,bc))＝2eq\r(a)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,ac))＝2eq\r(b)，以上三個不等式相加，得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))≥2(eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c))，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c).因為a，b，c不全相等，所以上述三個不等式中的“＝”不都成立，所以eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).11.(12分)已知0＜x＜1，試比較2＋log2x＋eq\f(5,log2x)與2－2eq\r(5)的大小.解析因為0＜x＜1，所以log2x＜0，eq\f(5,log2x)＜0.所以－log2x＞0，－eq\f(5,log2x)＞0.所以(－log2x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,log2x)))≥2eq\r(（－log2x）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,log2x))))＝2eq\r(5)，即－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x＋\f(5,log2x)))≥2eq\r(5)，當(dāng)且僅當(dāng)－log2x＝－eq\f(5,log2x)，即log2x＝－eq\r(5)時等號成立，所以log2x＋eq\f(5,log2x)≤－2eq\r(5)，可得2＋log2x＋eq\f(5,log2x)≤2－2eq\r(5).12.(12分)(實力提升)已知a＞0，b＞0，c＞0且不全相等，求證：lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(a＋c,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＞lga＋lgb＋lgc.證明因為a，b，c＞0且不全相等，