2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評價第四章三角恒等變換作業(yè)含解析北師大版必修第二冊

PAGE單元素養(yǎng)評價（三）(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.(2024·全國Ⅲ卷)已知2tanθ-tanQUOTE=7,則tanθ=()A.-2 B.-1 C.1 D.2【命題意圖】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值,屬于中檔題.【解析】選D.由題意可知2tanθ-QUOTE=7,整理得:2tanθ-2tan2θ-1-tanθ=7-7tanθ,解得tanθ=2.【補償訓(xùn)練】(2024·東莞高一檢測)若sinα+cosα=QUOTE,則tanα+QUOTE的值為()A.1 B.2 C.-1 D.-2【解析】選B.tanα+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,又sinα+cosα=QUOTE,所以sinαcosα=QUOTE,所以tanα+QUOTE=2.2.(2024·肇慶高一檢測)函數(shù)y=sinQUOTE+sinQUOTE的最小值為()A.QUOTE B.-2 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選C.y=sinQUOTE+sinQUOTE=sin2xcosQUOTE+cos2xsinQUOTE+sin2xcosQUOTE-cos2xsinQUOTE=QUOTEsin2x,所以函數(shù)y的最小值為-QUOTE.3.(2024·長沙高一檢測)已知sinQUOTE=cosQUOTE,則sin2α=()A.-1 B.1 C.QUOTE D.0【解析】選A.因為sinQUOTE=cosQUOTE,所以QUOTEcosα-QUOTEsinα=QUOTEcosα-QUOTEsinα,可得QUOTEcosα=QUOTEsinα,所以tanα=-1.因此sin2α=2sinαcosα=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1.4.若sin(π-α)=-QUOTE且α∈QUOTE,則sinQUOTE=()A.-QUOTE B.-QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.sin(π-α)=sinα=-QUOTE,又α∈QUOTE,所以cosα=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.由cosα=2cos2QUOTE-1,QUOTE∈QUOTE得cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE,所以sinQUOTE=cosQUOTE=-QUOTE.5.(2024·南昌高一檢測)已知函數(shù)f(x)=cos2QUOTE·cos2QUOTE,則fQUOTE等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.f(x)=cos2QUOTE·cos2QUOTE=QUOTE·QUOTE,=QUOTE·QUOTE=QUOTE,所以fQUOTE=QUOTE=QUOTE.6.(2024·襄陽高一檢測)被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的聞名數(shù)學(xué)家華羅庚先生提倡的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了特別廣泛的應(yīng)用.0.618就是黃金分割比t=QUOTE的近似值,黃金分割比還可以表示成2sin18°,則QUOTE=()A.4 B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選D.把t=2sin18°代入QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.7.設(shè)△ABC的三個內(nèi)角為A,B,C,向量m=(QUOTEsinA,sinB),n=(cosB,QUOTEcosA),若m·n=1+cos(A+B),則C=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為m·n=QUOTEsinAcosB+sinB·QUOTEcosA=QUOTEsin(A+B)=QUOTEsinC=1-cosC,所以sinQUOTE=QUOTE,又因為0<C<π,所以C+QUOTE=QUOTE,故C=QUOTE.8.(2024·杭州高一檢測)在△ABC中,若sin(B+C)sin(B-C)=sin2AA.等腰三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形【解析】選C.因為0<A<π,所以sinA>0,同理sinC>0,因為sin2A=sinQUOTEsinQUOTE=sinQUOTEsinQUOTE=sinAsinQUOTE,所以sinQUOTE=sinA=sinQUOTE,則sinBcosC-cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC可得cosBsinC=0,所以cosB=0,因為0<B<π,所以B=QUOTE.因此△ABC是直角三角形.二、多選題(每小題5分,共20分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.(2024·濰坊高一檢測)已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=QUOTE,則下列結(jié)論正確的是()A.θ∈QUOTE B.cosθ=-QUOTEC.tanθ=-QUOTE D.sinθ-cosθ=QUOTE【解析】選ABD.因為sinθ+cosθ=QUOTE①,所以QUOTE=QUOTE,即sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=QUOTE,所以2sinθcosθ=-QUOTE,因為θ∈(0,π),所以sinθ>0,cosθ<0,所以θ∈QUOTE,所以QUOTE=1-2sinθcosθ=QUOTE,所以sinθ-cosθ=QUOTE②,①加②得sinθ=QUOTE,①減②得cosθ=-QUOTE,所以tanθ=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.10.(2024·南京高一檢測)已知α,β是銳角,cosα=QUOTE,cos(α-β)=QUOTE,則cosβ=()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.-QUOTE【解析】選AC.由α是銳角,cosα=QUOTE,則sinα=QUOTE=QUOTE,又α,β是銳角,則-β∈QUOTE,得α-β∈QUOTE,又cosQUOTE=QUOTE,則sin(α-β)=±QUOTE,則cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=QUOTE×QUOTE±QUOTE×QUOTE=QUOTE,得cosβ=QUOTE或cosβ=QUOTE.11.(2024·沈陽高一檢測)關(guān)于函數(shù)f(x)=3sinxcosx+3QUOTEsin2x-QUOTE+1,下列命題正確的是()A.由fQUOTE=fQUOTE=1可得x1-x2是π的整數(shù)倍B.y=f(x)的表達(dá)式可改寫成f(x)=3cosQUOTE+1C.y=f(x)的圖象關(guān)于點QUOTE對稱D.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-QUOTE對稱【解析】選BD.因為f(x)=3sinxcosx+3QUOTEsin2x-QUOTE+1,所以f(x)=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x+1=3sinQUOTE+1.A.由f(x)=3sinQUOTE+1=1得sinQUOTE=0,又函數(shù)的最小正周期T=π,則x1-x2是QUOTE=QUOTE的整數(shù)倍,故A錯誤,B.f(x)=3sinQUOTE+1=3cosQUOTE+1=3cosQUOTE+1=3cosQUOTE+1,故B正確,C.當(dāng)x=QUOTE時,sinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE=-QUOTE≠0,即函數(shù)關(guān)于QUOTE不對稱,故C錯誤,D.當(dāng)x=-QUOTE時,sinQUOTE=sin-QUOTE-QUOTE=sinQUOTE=-1,是最小值,則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-QUOTE對稱,故D正確.12.(2024·濟南高一檢測)已知0<α<β<QUOTE,且tanα,tanβ是方程x2-kx+2=0的兩不等實根,則下列結(jié)論正確的是()A.tanα+tanβ=-k B.tan(α+β)=-kC.k>2QUOTE D.k+tanα≥4【解析】選BCD.因為tanα,tanβ是方程x2-kx+2=0的兩不等實根,所以tanα+tanβ=k,tanα·tanβ=2,tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=-k,由0<α<β<QUOTE,tanα,tanβ均為正數(shù),則tanα+tanβ=k≥2QUOTE=2QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)tanα=tanβ時取等號,等號不成立,k+tanα=2tanα+tanβ≥2QUOTE=4,當(dāng)且僅當(dāng)2tanα=tanβ時取等號.三、填空題(每小題5分,共20分)13.(2024·揭陽高一檢測)化簡:QUOTE=________.

【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1.答案:114.(2024·全國Ⅱ卷)若sinx=-QUOTE,則cos2x=______.

【解析】cos2x=1-2sin2x=1-2×QUOTE=1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【補償訓(xùn)練】設(shè)cosx=t,用t的代數(shù)式表示cos2x=______;用t的代數(shù)式表示cos3x=________.

【解析】cos2x=2cos2x-1=2t2-1,cos3x=cosQUOTE=cos2xcosx-sin2xsinx=QUOTEcosx-2sinxcosxsinx=2cos3x-cosx-2QUOTEcosx=4cos3x-3cosx=4t3-3t.答案:2t2-14t3-3t15.(2024·南昌高一檢測)定義運算QUOTE=ad-bc,若cosα=QUOTE,QUOTE=QUOTE,0<β<α<QUOTE,則β=________.

【解析】依據(jù)題意得到QUOTE=sinαcosβ-sinβcosα=sinQUOTE=QUOTE,cosβ=cosQUOTE=cosαcosQUOTE+sinαsinQUOTE,又0<β<α<QUOTE,所以0<α-β<QUOTE,cosQUOTE=QUOTE=QUOTE,又cosα=QUOTE,sinα=QUOTE,則cosβ=QUOTE,β=QUOTE.答案:QUOTE16.(2024·哈爾濱高一檢測)已知角α的頂點在坐標(biāo)原點,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點P(-3,QUOTE),則QUOTE=________;tan2α+tanQUOTE=________.

【解析】由題意得sinα=QUOTE,cosα=-QUOTE,tanα=-QUOTE.QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE;tan2α=QUOTE=-QUOTE,tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2+QUOTE.tan2α+tanQUOTE=2.答案:-QUOTE2四、解答題(共70分)17.(10分)已知α∈QUOTE.(1)若sinα=QUOTE,求sinQUOTE的值;(2)若cosQUOTE=QUOTE,求sinα的值.【解析】(1)因為sinα=QUOTE,α∈QUOTE,所以cosα=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTEsinα+QUOTEcosα=QUOTE+QUOTE=QUOTE.(2)因為α∈QUOTE,所以α+QUOTE∈QUOTE,又因為cosQUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE,所以sinα=sinQUOTE=QUOTEsinQUOTE-QUOTEcosQUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE.18.(12分)(2024·長沙高一檢測)已知2sinx=cosx.(1)求sin2x-sinxcosx的值;(2)若π<x<2π,求tanQUOTE的值.【解析】(1)由2sinx=cosx得tanx=QUOTE,則sin2x-sinxcosx=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.(2)方法一:tanx=QUOTE=QUOTE?tan2QUOTE+4tanQUOTE-1=0,得tanQUOTE=-2±QUOTE,由π<x<2π及tanx=QUOTE>0得π<x<QUOTE,則QUOTE<QUOTE<QUOTE,所以tanQUOTE=-2-QUOTE.方法二:由π<x<2π及tanx=QUOTE>0得π<x<QUOTE,從而sinx=-QUOTE,cosx=-QUOTE,tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-2-QUOTE.19.(12分)(2024·貴陽高一檢測)在推導(dǎo)許多三角恒等變換公式時,我們可以利用平面對量的有關(guān)學(xué)問來探討,在肯定程度上可以簡化推理過程.如我們就可以利用平面對量來推導(dǎo)兩角差的余弦公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.詳細(xì)過程如下:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O,以O(shè)x為始邊作角α,β.它們的終邊與單位圓O的交點分別為A,B.則=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,有:·=cosαcosβ+sinαsinβ,設(shè),的夾角為θ,則·=||·||cosθ=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ,另一方面,由圖(1)可知,α=2kπ+β+θ;由圖(2)可知α=2kπ+β-θ.于是α-β=2kπ±θ,k∈Z.所以cos(α-β)=cosθ,也有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,所以,對于隨意角α,β有:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(Cα-β)此公式給出了隨意角α,β的正弦、余弦值與其差角α-β的余弦值之間的關(guān)系,稱為差角的余弦公式,簡記作Cα-β.有了公式Cα-β以后,我們只要知道cosα,cosβ,sinα,sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.閱讀以上材料,利用圖(3)單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)(圖中M是AB的中點),實行類似方法(用其他方法解答正確同等給分)解決下列問題:(1)推斷=是否正確?(不須要證明)(2)證明:sinα+sinβ=2sinQUOTEcosQUOTE.【解析】(1)因為對于非零向量n,QUOTEn是n方向上的單位向量,又=1且與共線,所以=正確.(2)因為M為AB的中點,則OM⊥AB,從而在△OAM中,||=||·cosQUOTE=cosQUOTE,又=,=QUOTE,=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE,即sinα+sinβ=2sinQUOTEcosQUOTE.20.(12分)(2024·杭州高一檢測)已知函數(shù)f(x)=sin2x+QUOTE-cos2x+1,x∈R.(1)若x∈QUOTE,求函數(shù)f(x)的值域;(2)已知α為銳角且fQUOTE=QUOTE,求sinQUOTE的值.【解析】(1)因為f(x)=sinQUOTE-cos2x+1=sin2xcosQUOTE+cos2xsinQUOTE-cos2x+1=QUOTEsin2x+QUOTEcos2x-cos2x+1=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x+1=sinQUOTE+1.令t=2x-QUOTE∈QUOTE,則sint∈QUOTE,即f(x)∈QUOTE,故函數(shù)f(x)的值域為QUOTE.(2)由f(α)=sinQUOTE+1=QUOTE?sinQUOTE=QUOTE,又因為α為銳角,所以2α-QUOTE∈QUOTE,又sinQUOTE=QUOTE<QUOTE,所以2α-QUOTE∈QUOTE,即有cosQUOTE=QUOTE.所以sinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTEcosQUOTE+cosQUOTEsinQUOTE=QUOTE.21.(12分)(2024·林州高一檢測)如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,點AQUOTE,BQUOTE,點P,Q在單位圓上,以x軸正半軸為始邊,以射線OP為終邊的角為θ,以射線OQ為終邊的角為φ,滿意φ-θ=QUOTE.(1)若θ=QUOTE,求·.(2)當(dāng)點P在單位圓上運動時,求函數(shù)fQUOTE=·的解析式,并求fQUOTE的最大值.【解析】(1)由題圖可知,∠POA=θ=QUOTE,∠QOA=QUOTE+QUOTE=QUOTE.·=·=-·=22-2×1×cosQUOTE=4+QUOTE.(2)由題意可知PQUOTE,QQUOTE.因為cosφ=cosQUOTE=-sinθ,sinφ=sinQUOTE=cosθ,所以QQUOTE