2024-2025學年高中數學第三章三角恒等變形課時作業(yè)243.2.3兩角和與差的正切函數含解析北師大版必修4

課時作業(yè)24兩角和與差的正切函數時間：45分鐘滿分：100分——基礎鞏固類——一、選擇題(每小題5分，共40分)1．求值：eq\f(1－tan15°,1＋tan15°)＝(C)A．eq\f(1,2) B．eq\r(3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(3),2)解析：eq\f(1－tan15°,1＋tan15°)＝eq\f(tan45°－tan15°,1＋tan45°tan15°)＝tan(45°－15°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).故選C．2．若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，則tanα等于(C)A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－2解析：∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(1,3)，∴tanα＝2.3．若A＝15°，B＝30°，則(1＋tanA)(1＋tanB)的值為(B)A．1 B．2C．－1 D．－2解析：∵tan(A＋B)＝tan45°＝1，∴eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝1.∴tanA＋tanB＝1－tanAtanB．∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝2.4．△ABC中，tanA·tanB>1，則△ABC為(A)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不能確定解析：∵tanA·tanB>1>0.∴tanA>0且tanB>0(否則A、B同為鈍角，不行能)，∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)<0，∴90°<A＋B<180°，∴0°<C<90°.5．若tan(α＋β)＝eq\f(3,4)，tan(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,2)，那么tan(α＋eq\f(π,4))的值等于(A)A．eq\f(2,11) B．eq\f(4,11)C．eq\f(1,2) D．2解析：∵α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－(β－eq\f(π,4))，∴tan(α＋eq\f(π,4))＝tan[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝eq\f(tanα＋β－tanβ－\f(π,4),1＋tanα＋βtanβ－\f(π,4))＝eq\f(\f(3,4)－\f(1,2),1＋\f(3,4)×\f(1,2))＝eq\f(\f(1,4),\f(11,8))＝eq\f(2,11).6．若sinα＝eq\f(4,5)，tan(α＋β)＝1，且α是其次象限角，則tanβ＝(C)A．eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3)C．－7 D．－eq\f(1,7)解析：因為sinα＝eq\f(4,5)，α為其次象限角，所以cosα＝－eq\f(3,5)，所以tanα＝－eq\f(4,3).因為tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，所以1＝eq\f(－\f(4,3)＋tanβ,1＋\f(4,3)tanβ)，解得tanβ＝－7.7．已知tanα，tanβ是關于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的兩個實數根，則eq\f(sinα＋β,cosα－β)＝(C)A．－1B．1C．－2D．2解析：∵tanα，tanβ是關于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的兩個實數根，∴tanα＋tanβ＝－6，tanα·tanβ＝2.則eq\f(sinα＋β,cosα－β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(tanα＋tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(－6,1＋2)＝－2.8．已知tan110°＝a，求tan10°的值，那么以下四個答案中：①eq\f(a＋\r(3),1－\r(3)a)；②eq\f(a＋\r(3),\r(3)a－1)；③a＋eq\r(a2＋1)；④a－eq\r(a2＋1)正確的是(D)A．①② B．③④C．①④ D．②③解析：tan110°＝－tan70°＝－eq\f(sin70°,cos70°)＝－eq\f(cos20°,sin20°)＝－eq\f(1,tan20°)＝－eq\f(1,tan10°＋10°)＝－eq\f(1－tan210°,2tan10°)＝a，則tan210°－2atan10°－1＝0，∴tan10°＝a±eq\r(a2＋1)，由于tan110°<0，∴a<0，而tan10°>0，∴tan10°＝a＋eq\r(a2＋1)，故③正確．又tan10°＝－tan170°＝－eq\f(tan110°＋tan60°,1－tan110°tan60°)＝－eq\f(a＋\r(3),1－\r(3)a)＝eq\f(a＋\r(3),\r(3)a－1)，故②正確．二、填空題(每小題5分，共15分)9．在△ABC中，tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB，則C＝eq\f(π,3).解析：由已知得tanA＋tanB＝－eq\r(3)(1－tanAtanB)，∴tan(A＋B)＝－eq\r(3).∵A，B均為△ABC的內角，∴0<A＋B<π.∴A＋B＝eq\f(2π,3).∴C＝eq\f(π,3).10．已知α、β均為銳角，且tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)，則tan(α＋β)＝1.解析：tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝tan(eq\f(π,4)－α)，∵α，β均為銳角，∴β＝eq\f(π,4)－α，∴α＋β＝eq\f(π,4)，∴tan(α＋β)＝taneq\f(π,4)＝1.11．已知tan(α＋β＋γ)＝mtan(α－β＋γ)，且sin2(α＋γ)＝5sin2β，則實數m＝eq\f(3,2).解析：設A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，則2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B．因為sin2(α＋γ)＝5sin2β，所以sin(A＋B)＝5sin(A－B)，所以sinAcosB＋cosAsinB＝5(sinAcosB－cosAsinB)，所以6cosAsinB＝4sinAcosB，所以2tanA＝3tanB．故m＝eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(3,2).三、解答題(共25分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)12．(12分)如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，BC邊上的高AD將BC分成2cm和3cm兩段，求△ABC的面積．解：設∠BAD＝α，∠CAD＝β，AD＝x.在Rt△ADB中，tanα＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(2,x).在Rt△ADC中，tanβ＝eq\f(DC,AD)＝eq\f(3,x).tan45°＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f(\f(2,x)＋\f(3,x),1－\f(2,x)·\f(3,x))＝1，即eq\f(5x,x2－6)＝1.解這個方程，得x＝6或x＝－1(舍)．故S△ABC＝eq\f(1,2)×5×6＝15(cm2)．13．(13分)在△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＋1＝tanAtanB，試推斷△ABC的形態(tài)．解：由tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，得tanB＋tanC＝eq\r(3)(1－tanBtanC)．若tanBtanC＝1，則tanB＝eq\f(1,tanC).故在△ABC中，∠B＝eq\f(π,2)－∠C，∴∠B＋∠C＝eq\f(π,2)，即∠A＝eq\f(π,2)，此時tanA無意義，與題設沖突．∴tanBtanC≠1，∴eq\f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)＝tan(B＋C)＝eq\r(3).又∵∠B＋∠C∈(0，π)，∴∠B＋∠C＝eq\f(π,3).同理，∵eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＋1＝tanAtanB，∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(\r(3),3).∵∠A＋∠B∈(0，π)，∴∠A＋∠B＝eq\f(5,6)π.又∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠A＝eq\f(2,3)π，∠B＝∠C＝eq\f(π,6)，∴△ABC為等腰三角形．——實力提升類——14．(5分)已知△ABC的三個內角分別為A，B，C，若eq\f(sinA＋\r(3)cosA,cosA－\r(3)sinA)＝taneq\f(5π,6)，則sin(B＋C)＝(B)A．eq\f(\r(3),2) B．1C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(2),2)解析：由eq\f(sinA＋\r(3)cosA,cosA－\r(3)sinA)＝taneq\f(5π,6)，得eq\f(sinA＋\f(π,3),cosA＋\f(π,3))＝taneq\f(5π,6)，所以tan(A＋eq\f(π,3))＝taneq\f(5π,6)，所以A＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，所以A＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.因為角A為三角形的內角，所以A＝eq\f(π,2)，所以sin(B＋C)＝1，故選B．15．(15分)是否存在銳角α和β，使α＋2β＝eq\f(2π,3)①，且taneq\f(α,2)tanβ＝2－eq\r(3)②，同時成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，請說明理由．解：存在．解法一：由①得eq\f(α,2)＋β＝eq\f(π,3).∴tan(eq\f(α,2)＋β)＝eq\f(tan\f(α,2)＋tanβ,1－tan\f(α,2)tanβ)＝eq\r(3).將②代入得taneq\f(α,2)＋tanβ＝3－eq\r(3).∴taneq\f(α,2)，tanβ是方程x2－(3－eq\r(3))x＋2－eq\r(3)＝0的兩根．解得x1＝1，x2＝2－eq\r(3).若taneq\f(α,2)＝1，則與α為銳角沖突．∴tanβ＝1，taneq\f(α,2)＝2－eq\r(3)，∴β＝eq\f(π,4)，代入①得α＝eq\f(π,6)，滿意taneq\f(α,2)＝2－eq\r(3).解法二：由①得eq\f(α,2)＝eq\f(π,3)－β，代入②得：tan(eq\f