2025初中數(shù)學(xué)競賽專項復(fù)習(xí)：整數(shù) 講義（學(xué)生版+解析版）

_________________全國初中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)教程_________________

專題01整數(shù)（學(xué)生版）

點!真題重現(xiàn)

（2024七年級?全國?競賽）上海世博會將于2010年5月1日至10月31日舉行，截至2009年9月23日，

已有242個國家和國際組織確認(rèn)參加上海世博會.其中非洲|a個國家，美洲山個國家，歐洲c個國家，亞洲Id個

國家，大洋洲e個國家，國際組織/個.

己知：（1）10<e<b<d<c<f<a；

（2）a-c、b+1.e、/■是完全平方數(shù)；

（3）d與242的最大公約數(shù)是22.

求a、b、c、d、e>/的值.

考點突破

一、奇數(shù)與偶數(shù)

【學(xué)霸筆記】

一個大于1的正整數(shù)，若除了1與它自身，再沒有其他的約數(shù)，這樣的正整數(shù)叫作質(zhì)數(shù)；一個大于1

的正整數(shù)，除了1與它自身，若還有其他的約數(shù)，這樣的正整數(shù)稱為合數(shù).這樣，我們可以按約數(shù)個數(shù)將正

整數(shù)分為三類：

正整數(shù)《質(zhì)數(shù)

［合數(shù)

質(zhì)數(shù)、合數(shù)有下面常用的性質(zhì)：

1.1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；2是唯一的偶質(zhì)數(shù).

2.若質(zhì)數(shù)則必01a或

3.若正整數(shù)a,6的積是質(zhì)數(shù)p,則必有。=0或6=。.

【典例】一個兩位數(shù)的個位數(shù)字和十位數(shù)字交換位置后，所得的數(shù)比原來的數(shù)大9,這樣的兩位數(shù)中，質(zhì)數(shù)

有（）

A.1個B.3個C.5個D.6個

【分析】設(shè)個位數(shù)為x,十位數(shù)為》則這個兩位數(shù)為10y+x,個位十位交換后兩位數(shù)表示為10x+y,根

據(jù)所得的數(shù)比原來的數(shù)大9列出方程，再根據(jù)未知數(shù)的取值確定符合質(zhì)數(shù)的個數(shù)即可.

【解答】解：設(shè)原兩位數(shù)的個位數(shù)為X,十位數(shù)為y(x,y為自然數(shù))，原兩伴數(shù)為lOy+無，新兩位數(shù)為

10x+y,根據(jù)題意得：

10x+y-(10y+x)=9,

化簡得：x-y—l,

因為尤，y為1-9內(nèi)的自然數(shù)，兩位數(shù)為質(zhì)數(shù)且個位與十位上的數(shù)大1時，符合條件的數(shù)有23、67、89,

所以這樣的兩位數(shù)中，質(zhì)數(shù)有3個.

故選：B.

【點評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，涉及到質(zhì)數(shù)的性質(zhì).解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題

目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解.注意不要漏解.

【鞏固】已知三個不同的質(zhì)數(shù)a,b,c滿足a/A?+a=2000,那么a+6+c=.

二、奇數(shù)與偶數(shù)

【學(xué)霸筆記】

整數(shù)按能否被2整除分為兩大類:奇數(shù)和偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)有下列基本性質(zhì):

1.奇數(shù)W偶數(shù).

2.兩個整數(shù)相加(減)或相乘，結(jié)果的奇偶性如下所示：

±奇偶奇偶

奇偶奇奇奇偶

偶奇偶偶偶偶

3.若干個奇數(shù)之積是奇數(shù)，偶數(shù)與任意整數(shù)之積是偶數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和為偶數(shù)，若干個偶數(shù)的和為偶

數(shù).

4.設(shè)機、〃是整數(shù)，則以士九，|加土九|的奇偶性相同.

5.設(shè)m是整數(shù)，則m與|巾機"的奇偶性相同.

【典例】已知a、b、c中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)，”是整數(shù)，如果S=(a+2〃+l)+(b+2w+2)+(c+2〃+3),

那么()

A.S是偶數(shù)

B.S是奇數(shù)

C.S的奇偶性與”的奇偶性相同

D.S的奇偶性不能確定

【分析】弄清。+2〃+1,b+2n+2,c+2w+3的奇偶性即可.可將3數(shù)相加，可知和為偶數(shù)，再根據(jù)三數(shù)和

為偶數(shù)必有一數(shù)為偶數(shù)的性質(zhì)可得積也為偶數(shù).

【解答】解：(a+2/i+l)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1).

?；a+b+c為偶數(shù)，6(n+1)為偶數(shù)，

a+b+c+6(w+1)為偶數(shù)

.,.a+2n+l,b+2n+2,c+2n+3中至少有一個為偶數(shù)，

；.S是偶數(shù).故選：A.

【點評】三個數(shù)的和為偶數(shù)，則至少有一個為偶數(shù)；三個數(shù)中有一個為偶數(shù)，則三數(shù)之和為偶數(shù).三個

數(shù)中有一個為偶數(shù)，則三數(shù)之積也為偶數(shù)

【鞏固】已知三個質(zhì)數(shù)a、b、c滿足a+b+c+abc=99,那么-6|+|6-c|+|c-的值等于.

三、數(shù)的十進制

【典例】用十進制計數(shù)法表示正整數(shù)，如365=300+60+5=3X102+6X101+5,用二進制計數(shù)法來表示正整

數(shù)，如：5=4+1=1X22+0X2'+1X2°,記作：5=(101)2,14=8+4+2=1X23+1X22+1X2x+0X2°,記

作：14=(1110)2,則(101011)2表示數(shù)()

A.24B.42C.43D.61

5432

【分析】根據(jù)二進制記數(shù)法可以得到(101011)2=1X2+0X2+1X2+0X2+1X2^1X2°,然后計算即

可求得.

【解答】解：(101011)2=1X25+0X24+1X23+0X22+1X2^1X2°=32+8+2+1=43,

故選：C.

【點評】本題考查了數(shù)的十進制，有理數(shù)的混合運算，正確理解題目中介紹的二進制是關(guān)鍵，主要考查

了學(xué)生的自學(xué)能力.

【鞏固】(1)【歸納與發(fā)現(xiàn)】

①填空：12=3X4,1+2=3X1；69=3X,6+9=3X；

②填空：312=3X104,3+l+2=3X2；504=3X,5+0+4=3義.

(2)【驗證與說理】

①試說明2325及其各個數(shù)位上的數(shù)字之和都可以被3整除(是3的整數(shù)倍)；

②設(shè)礪是一個四位數(shù)(a,b,c,d分別為其千位，百位，十位，個位上的數(shù)字)，若q+6+c+d可以被

3整除，試說明而可以被3整除.

四、數(shù)的整除性

【學(xué)霸筆記】

對于整數(shù)。和不為零的整數(shù)6,總存在整數(shù)機、〃使得a=6m+zi(0&n<b),其中，"稱為商，〃稱

為余數(shù)，特別地，當(dāng)"=0時，即環(huán)加;，便稱a被b整除(也稱。是6的倍數(shù)或6是a的約數(shù))，記為61a.

整除有以下基本性質(zhì)：

1.若a也a\c,則a|(b±c)；

2.若a|A〃c則a|c；

3.若a|6c且(a,c)=l,則a|6,特別地,若質(zhì)數(shù)0|bc,則必有0歷或p|c；

4.若"a,c|a且(6,c)=l,則6c|a.

解整除有關(guān)問題常用到數(shù)的整除性常見特征：

1.被2整除的數(shù):個位數(shù)字是偶數(shù)；

2.被5整除的數(shù):個位數(shù)字是0或5；

3.被4整除的數(shù):末兩位組成的數(shù)被4整除；被25整除的數(shù)，末兩位組成的數(shù)被25整除；

4.被8整除的數(shù):末三位組成的數(shù)被8整除；被125整除的數(shù)，末三位組成的數(shù)被125整除：

5.被3整除的數(shù):數(shù)字和被3整除；

6.被9整除的數(shù):數(shù)字和被9整除；

7.被11整除的數(shù):奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差被11整除

【典例】若x，y為整數(shù)，且2x+3y,9x+5y之一能被17整除，那么另一個也能被17整除.

【分析】先設(shè)〃=2x+3y,v=9x+5y,假設(shè)17|a,把兩式相減即可得到17|3v,即17|9x+5y,同理把兩式相

減消去x即可得到17|2x+3y.

【解答】證明：設(shè)a=2x+3y,v=9x+5y.若17|a,從上面兩式中消去y,得

3v-5w=17x.①

所以17|3v.

因為(17,3)=1,所以17M即17|9x+5y.

若17|v,同樣從①式可知17|5M.

因為(17,5)=1,

所以17|?,即1712r+3y.

【點評】本題考查的是數(shù)的整除性問題，屬較簡單題目.

【鞏固】已知7位數(shù)1287孫6是72的倍數(shù),求出所有的符合條件的7位數(shù).

五、帶余除法

【學(xué)霸筆記】

用一個正整數(shù)6去除另一個正整數(shù)a,若商為公余數(shù)為廠，則有a=6q+,(0<r<b),

余數(shù)有以下基本性質(zhì)：

1.b\(a—r)；

2.一個正整數(shù)。被另一個正整數(shù)”伽>1)除時，余數(shù)只可能是0,1,2,…，("-1)中的一個，這樣我們可

以把整數(shù)按余數(shù)來分類；

3.若兩個正整數(shù)a,b被根除所得的余數(shù)相同，則稱。與b對模相同余，記作a=b(modm),即(a-b)被加

整除.

【典例】一個自然數(shù)N被10除余9,被9除余8,被8除余7,被7除余6,被6除余5,被5除余4,被

4除余3,被3除余2,被2除余1,求N的最小值.

【分析】這個數(shù)加1可以被9,8,7,6,5,4,3,2整除，只需要求出9、8、7、6,5、4、3、2的最

小公倍數(shù)減一即可.

【解答】解：設(shè)這個自然數(shù)是N.根據(jù)題意，可知，

這個自然數(shù)加1就可以被9,8,7,6,5,4,3,2整除，

就是9,8,7,6,5,4,3,2的最小公倍數(shù)減去1,

Z.^=3X3X2X2X2X7X5-1=2519.

【點評】本題主要考查了整除的性質(zhì)和求最小公倍數(shù)的方法.由每組的余數(shù)均比除數(shù)小1,可得原數(shù)+1

可被2?10整除，故欲求N的最小值，只需求出2?10的最小公倍數(shù)，即N+1的最小值即可.

【鞏固】若1059,1417,2312分別被自然數(shù)x除時，所得的余數(shù)都是》求x-y的值.

“模擬演練

a+bb+cc+a

1.如a、b、c是三個任意整數(shù)，那么一廠、一、一()

22

A.都不是整數(shù)B.至少有兩個整數(shù)

C.至少有一個整數(shù)D.都是整數(shù)

2.正整數(shù)a,b,c是等腰三角形三邊的長，并且。+6c+6+ca=24,則這樣的三角形有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.在1?2005的所有正整數(shù)中，共有個整數(shù)無，使33Al和f被5除的余數(shù)相同.

4.設(shè)四位數(shù)abed滿足a3+/+c3+d3+]=]0c+d,則這樣的四位數(shù)的個數(shù)為

5.有若干個蘋果，2個一堆多一個，3個一堆多一個，4個一堆多一個，5個一堆多一個，6個一堆多一個,

則這堆蘋果最少有個.

6.我們用記號表示兩個正整數(shù)間的整除關(guān)系，如3|12表示3整除12,那么滿足x|(y+1)與y|(x+1)

的正整數(shù)組(尤，y)共有組.

111111

7.a,b,c都是質(zhì)數(shù)，且滿足a+b+c+“Z?c=99,貝”I石—萬I+I—I+I~~—I=

8.從古至今，密碼的使用在很多方面都發(fā)揮著極其重要的作用.有一種密碼的明文（真實文），其中的字

母按計算機鍵盤順序（自左至右、自上而下）與26個自然數(shù)1,2,3,…，25,26對應(yīng)（見下表）.

QWERTYUI0PASD

12345678910111213

FGHJKLZXCVBNM

14151617181920212223242526

設(shè)明文的任一字母對應(yīng)的自然數(shù)為x,譯為密文字母后對應(yīng)的自然數(shù)為X：例如，有一種譯碼方法按照以

下變換實現(xiàn)：無一尤'，其中V是（3x+2）被26除所得的余數(shù)與1之和（14W26）.

則x=l時，x'=6,即明文。譯為密文匕x=10時，x'=7,即明文P譯為密文U.

現(xiàn)有某變換，將明文字母對應(yīng)的自然數(shù)x變換為密文字母相應(yīng)的自然數(shù)￡：無一無，，尤，為（3x+6）被26除

所得余數(shù)與1之和（1WXW26,1W6W26）.

已知運用此變換，明文〃譯為密文T,則明文D4F譯成密文為.

9.求證：

(1)8|(551999+17)；

(2)8(32,i+7)；

(3)17|(191000-1).

10.在一次游戲中，魔術(shù)師請一個人隨意想一個三位數(shù)abc（a、b.c依次是這個數(shù)的百位、十位、個位數(shù)

字），并請這個人算出5個數(shù)acb、bac、bca、方6與cba的和N,把N告訴魔術(shù)師，于是魔術(shù)師就可以說

出這個人所想的數(shù)abc.現(xiàn)在設(shè)N=3194,請你當(dāng)魔術(shù)師，求出數(shù)abc.

11.某次數(shù)學(xué)競賽，共有40道選擇題，規(guī)定答對一題得5分，不答得1分，答錯倒扣1分.證明：不論有

多少人參賽，全體學(xué)生的得分總和一定是偶數(shù).

12.設(shè)m6是兩個不相等的正整數(shù)，P為質(zhì)數(shù)，滿足d+a=p2,且磬是整數(shù).

b2+a

(1)求證：a>b\

(2)求p的值；

(3)求a,b的值.

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專題01整數(shù)（解析版）

點!真題重現(xiàn)

1.（2024七年級?全國?競賽）上海世博會將于2010年5月1日至10月31日舉行，截至2009年9月23日，

已有242個國家和國際組織確認(rèn)參加上海世博會.其中非洲|a個國家，美洲山個國家，歐洲c個國家，亞洲Id個

國家，大洋洲e個國家，國際組織/個.

己知：（1）10<e<b<d<c<f<a；

（2）a-c、b+1.e、/■是完全平方數(shù)；

（3）d與242的最大公約數(shù)是22.

求a、b、c、d、e>/的值.

【答案】a—51,b—35,c=47,d=44,e=16,/=49

【分析】本題考查完全平方數(shù)，公約數(shù)，解二元一次方程等，先由（1）（2）得出e最小是42=16,b最小

是52-1=24,進而結(jié)合（3）以及6個數(shù)之和為242確定d的值；再根據(jù)/>d=44>36=62,確定f=

72=49；進而推出a+b+c=133,由16<6+1<44知b=52-1=24或b=62-1=35,分情況討論

得出。和c的值，即可求解.

【詳解】解：a+b+c+d+e+f=242,

由（3）知d=22k,k是整數(shù).

由⑴、（2）知e最小是42=16,b最小是52—1=24,則d最小是24+1=2是fc>1.

若k>2,貝!Id最小是22x3=66,242>a+f+c+d>66x4=264,矛盾.

所以k=2,d=22X2=44.

由（1）、（2）知/>d=44>36=62,

若/i282=64,貝吃42=a+b+c+d+e+f>2f+2d+2e>2x64+2x44+2x16=248,矛盾.

所以f<82,則f=72=49.

a+b+c=242—44—16—49=133,

由16<b+l<44知b=52-1=24或b=62-1=35.

若b=24,則a+c=109①，

c>d=44,a—c<109—44x2=21,

a一c與a+c奇偶性相同,

由（2）知a-c是完全平方數(shù)，且a—c>l,則a-c=32=9②，

①一②得c=50>/,矛盾；

則6=35,a+c=98③，c>d=44,a—c<98—44x2=10,

a-c與a+c奇偶性相同，

由(2)知Q—C是完全平方數(shù)，

則a—c=22=4(4),

③+④得a=51,c=98-51=47.

綜上：a=5Lb=35,c=47,d=44,e=16,f=49.

\考點突破

一、奇數(shù)與偶數(shù)

【學(xué)霸筆記】

一個大于1的正整數(shù)，若除了1與它自身，再沒有其他的約數(shù)，這樣的正整數(shù)叫作質(zhì)數(shù)；一個大于1

的正整數(shù)，除了1與它自身，若還有其他的約數(shù)，這樣的正整數(shù)稱為合數(shù).這樣，我們可以按約數(shù)個數(shù)將正

整數(shù)分為三類：

正整數(shù)《質(zhì)數(shù)

［合數(shù)

質(zhì)數(shù)、合數(shù)有下面常用的性質(zhì)：

1.1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；2是唯一的偶質(zhì)數(shù).

2.若質(zhì)數(shù)01a6則必01a或

3.若正整數(shù)a,6的積是質(zhì)數(shù)p,則必有。=「或》=「.

【典例】一個兩位數(shù)的個位數(shù)字和十位數(shù)字交換位置后，所得的數(shù)比原來的數(shù)大9,這樣的兩位數(shù)中，質(zhì)數(shù)

有（）

A.1個B.3個C.5個D.6個

【分析】設(shè)個位數(shù)為x,十位數(shù)為y,則這個兩位數(shù)為IQy+x,個位十位交換后兩位數(shù)表示為10x+y,根

據(jù)所得的數(shù)比原來的數(shù)大9列出方程，再根據(jù)未知數(shù)的取值確定符合質(zhì)數(shù)的個數(shù)即可.

【解答】解：設(shè)原兩位數(shù)的個位數(shù)為x,十位數(shù)為y（x,y為自然數(shù)），原兩伴數(shù)為10y+x,新兩位數(shù)為

10x+y,根據(jù)題意得：

10x+y-（10y+x）=9,

化簡得：x-y—1,

因為尤，y為1-9內(nèi)的自然數(shù)，兩位數(shù)為質(zhì)數(shù)且個位與十位上的數(shù)大1時，符合條件的數(shù)有23、67、89,

所以這樣的兩位數(shù)中，質(zhì)數(shù)有3個.

故選：B.

【點評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，涉及到質(zhì)數(shù)的性質(zhì).解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題

目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解.注意不要漏解.

【鞏固】已知三個不同的質(zhì)數(shù)a,b,c滿足aZA:+a=2000,那么a+6+c=.

【分析】由題設(shè)條件abbc+a=2Q00得）=2000,注意到2000能夠被8整除，由此推斷a、（/A?+l）

的奇偶性.以此為突破口，問題就迎刃而解了.

【解答】解：（6%+1）=2000,；.a能被2000整除且a,b,c為不同的質(zhì)數(shù)

.,.a=2或5

當(dāng)a=2,6%+1=1000

A^c=999.,.33X37=999

:.b=3,c=37

當(dāng)a=5,bbc+l=400

.'.bbc—399（不合題意）

/.a+b+c—2+3+37=42.

【點評】本題用到了：任何一個整數(shù)都能分解成質(zhì)因數(shù)的連乘積，這種分解式是唯一的.

二、奇數(shù)與偶數(shù)

【學(xué)霸筆記】

整數(shù)按能否被2整除分為兩大類:奇數(shù)和偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)有下列基本性質(zhì)：

1.奇數(shù)力偶數(shù).

2.兩個整數(shù)相加（減）或相乘，結(jié)果的奇偶性如下所示：

±奇偶X奇偶

奇偶奇奇奇偶

偶奇偶偶偶偶

3.若干個奇數(shù)之積是奇數(shù)，偶數(shù)與任意整數(shù)之積是偶數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和為偶數(shù)，若干個偶數(shù)的和為偶

數(shù).

4.設(shè)小〃是整數(shù)，則7n土九，|6士九|的奇偶性相同.

5.設(shè)m是整數(shù)，則機與|機|,加”的奇偶性相同.

【典例】已知。、6、c中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)，〃是整數(shù)，如果S=Ca+2n+l）+（b+2n+2）+（c+2n+3）,

那么（）

A.S是偶數(shù)

B.S是奇數(shù)

C.S的奇偶性與”的奇偶性相同

D.S的奇偶性不能確定

【分析】弄清a+2〃+l,b+2〃+2,c+2〃+3的奇偶性即可.可將3數(shù)相加，可知和為偶數(shù)，再根據(jù)三數(shù)和

為偶數(shù)必有一數(shù)為偶數(shù)的性質(zhì)可得積也為偶數(shù).

【解答】解：(。+2"+1)+(b+2n+2)+(c+2〃+3)=ct+b+c+6(/?+1).

?；a+b+c為偶數(shù)，6(n+1)為偶數(shù)，

a+b+c+6(〃+1)為偶數(shù)

.,.a+2n+l,b+2n+2,c+2w+3中至少有一個為偶數(shù)，

是偶數(shù).故選：A.

【點評】三個數(shù)的和為偶數(shù)，則至少有一個為偶數(shù)；三個數(shù)中有一個為偶數(shù)，則三數(shù)之和為偶數(shù).三個

數(shù)中有一個為偶數(shù)，則三數(shù)之積也為偶數(shù)

【鞏固】已知三個質(zhì)數(shù)a、b、c滿足a+6+c+次?c=99,那么-6|+|6-c|+|c-的值等于.

【分析】通過討論判斷出。、b、c中只有一個數(shù)為奇數(shù)，又知偶數(shù)質(zhì)數(shù)僅有2—個，可推出a=b=2,c

=19.

【解答】解：a+6+c+"c這個式子，在。、b、c都是整數(shù)時有如下特性，

a、b、。三個數(shù)全為奇數(shù)時值為偶數(shù)；

只有兩個數(shù)為奇數(shù)時值為偶數(shù)；

只有一個數(shù)為奇數(shù)時值為奇數(shù)；

全為偶數(shù)時值為偶數(shù)；

a+b+c+abc=99,因此只有一個數(shù)為奇數(shù)，

而偶數(shù)質(zhì)數(shù)僅有2—個，

因此不妨設(shè)a=b=2,

則c=19,\a-b\+\b-c|+|c-a|=34.

故答案為：34.

【點評】此題考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，2在解題中起著重要作用.解題時要側(cè)重于邏輯推理，這也是

競賽題的精彩之處.

三、數(shù)的十進制

【典例】用十進制計數(shù)法表示正整數(shù)，如365=300+60+5=3X102+6X101+5,用二進制計數(shù)法來表示正整

數(shù)，如：5=4+l=lX22+0X21+lX2°,記作：5=(101)2,14=8+4+2=1X23+1X22+1X21+OX2°,記

作：14=(1110)2,貝I(101011)2表示數(shù)()

A.24B.42C.43D.61

5432L

【分析】根據(jù)二進制記數(shù)法可以得到(101011)2=1X2+0X2+1X2+0X2+1X2+1X2°,然后計算即

可求得.

5432r

【解答】解：(101011)2=1X2+0X2+1X2+0X2+1X2+1X2°=32+8+2+1=43,

故選：C.

【點評】本題考查了數(shù)的十進制，有理數(shù)的混合運算，正確理解題目中介紹的二進制是關(guān)鍵，主要考查

了學(xué)生的自學(xué)能力.

【鞏固】(1)【歸納與發(fā)現(xiàn)】

①填空：12=3X4,1+2=3X1；69=3X,6+9=3X；

②填空：312=3X104,3+l+2=3X2；504=3X,5+0+4=3X.

(2)【驗證與說理】

①試說明2325及其各個數(shù)位上的數(shù)字之和都可以被3整除(是3的整數(shù)倍)；

②設(shè)溫是一個四位數(shù)(a,b,c,1分別為其千位，百位，十位，個位上的數(shù)字)，若a+6+c+d可以被

3整除，試說明示H可以被3整除.

【分析】(1)①②根據(jù)有理數(shù)的加法法則、乘法法則計算；

(2)利用數(shù)的十進制表示出2325,根據(jù)數(shù)的整除解答；

②利用數(shù)的十進制表示出礪，再根據(jù)數(shù)的整除解答.

【解答】解(1)①12=3X4,1+2=3X1；69=3X23,6+9=3X5；

②312=3X104,3+l+2=3X2；504=3X168,5+0+4=3*3,

故答案為：①23,5；②168,3；

(2)02325=2X1000+3X100+2X10+5X1

=2X(999+1)+3X(99+1)+2X(9+1)+5

=2X999+2+3X99+3+2X9+2+5

=(2X999+3X99+2X9)+C2+3+2+5)

=3(2X333+3X33+2X3)+3X4,

,.?2X333+3X33+2X3為整數(shù),4為整數(shù)，

.?.2325可以被3整除，

2+3+2+5=12=3X4,3義4能被3整除，

.*.2325及其各個數(shù)位上的數(shù)字之和都可以被3整除；

②abcd=1000<7+1000+1Oc+d

=a(999+1)+b(99+1)+c(9+1)+d

=999a+a+99b+b+9c+c+d

=(999a+996+9c)+Ca+b+c+d)

—3(333a+336+3c)+(a+b+c+d),

".'a,b,c,d為整數(shù),

；.333a+336+3c是整數(shù)，

A3X(333a+33b+3c)能被3整除,

.?.若a+b+c+d能被3整除，則Hcd可以被3整除.

【點評】本題考查的是數(shù)的十進制、數(shù)的整除，正確利用數(shù)的十進制表示數(shù)是解題的關(guān)鍵.

四、數(shù)的整除性

【學(xué)霸筆記】

對于整數(shù)。和不為零的整數(shù)6,總存在整數(shù)相、"使得a=匕6+九(00n<b),其中相稱為商，”稱

為余數(shù)，特別地，當(dāng)〃=0時，即便稱。被b整除(也稱。是6的倍數(shù)或6是a的約數(shù))，記為b|a.

整除有以下基本性質(zhì)：

1.若a也a\c,則a|(b±c)；

2.若a也"c則a|c；

3.若a|6c且(a,c)=l,則a|6,特別地,若質(zhì)數(shù)0|bc,則必有p歷或p|c；

4,若b|a,c|a且(6,c)=l,則6c|a.

解整除有關(guān)問題常用到數(shù)的整除性常見特征：

1.被2整除的數(shù):個位數(shù)字是偶數(shù)；

2.被5整除的數(shù):個位數(shù)字是?；?；

3.被4整除的數(shù):末兩位組成的數(shù)被4整除；被25整除的數(shù)，末兩位組成的數(shù)被25整除；

4.被8整除的數(shù):末三位組成的數(shù)被8整除；被125整除的數(shù)，末三位組成的數(shù)被125整除：

5.被3整除的數(shù):數(shù)字和被3整除；

6.被9整除的數(shù):數(shù)字和被9整除；

7.被11整除的數(shù):奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差被11整除

【典例】若x,y為整數(shù)，且2x+3y,9x+5y之一能被17整除，那么另一個也能被17整除.

【分析】先設(shè)"=2x+3y,v=9x+5y,假設(shè)17|",把兩式相減即可得到17|3v,即17|9x+5y,同理把兩式相

減消去x即可得到17|2x+3y.

【解答】證明：設(shè)”=2x+3y,v=9x+5y.若17|M,從上面兩式中消去》得

3v-5"=17元.①

所以1713V.

因為(17,3)=1,所以17|v,即17|9無+5y.

若17|v)同樣從①式可知1715M.

因為(17,5)=1,

所以17|?,即17|2x+3y.

【點評】本題考查的是數(shù)的整除性問題，屬較簡單題目.

【鞏固】已知7位數(shù)1287孫6是72的倍數(shù)，求出所有的符合條件的7位數(shù).

【分析】7位數(shù)1287町/6能被8,9整除，運用整數(shù)能被8、9整除的性質(zhì)討論x和y的取值組合，從而得

出答案.

【解答】解：：7211287久y6,

；.8|1287孫6,9|1287xy6,

由此得：l+2+8+7+x+y+6=24+x+y是9的倍數(shù)，而0<xW9,0<yW9,

則x+y=3或12,又盯6必是8的倍數(shù)，y6必是4的倍數(shù)，

則y=l,3,5,7或9,

當(dāng)y=l時，x=2,8|216；

當(dāng)y=3時，x=0或9,8不能整除36（不符合題意），8|936（符合題意）；

當(dāng)y=5時，x=7,8不能整除756（不符合題意）；

當(dāng)y=7時，x=5,8|576；

當(dāng)y=9時，x=3,8不能整除396（不符合題意）；

綜上可得：當(dāng)尸1,尤=2；y=3,x=9,y=7,x=5時所得的7位數(shù)滿足條件.

符合條件的7位數(shù)為：1287216,1287936,1287576.

【點評】本題考查了數(shù)的整除性的知識，難度較大，關(guān)鍵是根據(jù)整除的知識得到x+y的可能值及y的可

能值，然后分類討論可能性.

五、帶余除法

【學(xué)霸筆記】

用一個正整數(shù)b去除另一個正整數(shù)a,若商為g,余數(shù)為r,則有a=的+/（0<「<6）,

余數(shù)有以下基本性質(zhì)：

1.b\（a—r）；

2.一個正整數(shù)。被另一個正整數(shù)"（">1）除時，余數(shù)只可能是0,1,2,…，（"一1）中的一個，這樣我們可

以把整數(shù)按余數(shù)來分類；

3.若兩個正整數(shù)a,b被根除所得的余數(shù)相同，則稱。與6對模同余，記作。三伙即（。-6）被加

整除.

【典例】一個自然數(shù)N被10除余9,被9除余8,被8除余7,被7除余6,被6除余5,被5除余4,被

4除余3,被3除余2,被2除余1,求N的最小值.

【分析】這個數(shù)加1可以被9,8,7,6,5,4,3,2整除，只需要求出9、8、7、6、5、4、3、2的最

小公倍數(shù)減一即可.

【解答】解：設(shè)這個自然數(shù)是M根據(jù)題意，可知，

這個自然數(shù)加1就可以被9,8,7,6,5,4,3,2整除，

就是9,8,7,6,5,4,3,2的最小公倍數(shù)減去1,

：.N=3X3X2X2X2X7X5-1=2519.

【點評】本題主要考查了整除的性質(zhì)和求最小公倍數(shù)的方法.由每組的余數(shù)均比除數(shù)小1,可得原數(shù)+1

可被2?10整除，故欲求N的最小值，只需求出2?10的最小公倍數(shù)，即N+1的最小值即可.

【鞏固】若1059,1417,2312分別被自然數(shù)x除時，所得的余數(shù)都是y,求尤-y的值.

【分析】設(shè)已知三數(shù)除以x的商分別為自然數(shù)a、b、c,根據(jù)題干條件1059、1417和2312分別被自然

數(shù)尤除時，所得余數(shù)都是自然數(shù)y,于是可列式。x+y=1059,①6x+y=1417,②cx+y=2312,③根據(jù)這

三個式子求出尤和y的值.

【解答】解：設(shè)已知三數(shù)除以x的商分別為自然數(shù)a、b、c,則可得

ax+y=1059①，

6x+y=1417②，

cx+y=2312③，

②-①得，Qb-a)x=358=2X179④，

③-②得，(c-b)x=895=5X179⑤，

⑤-①得，(c-a)x=1253=7X179⑥，

從④、⑤、⑥三式可知，x=179,

.?.1059=179X5+164,

；.y=164,

.*.x-y=179-164=15.

【點評】本題主要考查數(shù)的整除性，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)已知三數(shù)除以x的商分別為自然數(shù)a、b、c,

根據(jù)題干條件列出方程，此題難度不大

.模擬演練

,LA,——,,a+bb+cc+a

1.如a、b、儂三個任思整數(shù)'那么三、—，—)

A.都不是整數(shù)B.至少有兩個整數(shù)

C.至少有一個整數(shù)D.都是整數(shù)

【分析】分三種情況討論：①假設(shè)a,b,c都是偶數(shù)或都是奇數(shù)，②假設(shè)其中有兩個是偶數(shù)，一個是奇

數(shù)，③假設(shè)有兩個奇數(shù),一個偶數(shù)，即可得出答案.

a+bb+cc+a

【解答】解:假設(shè)a,b,c都是偶數(shù)或都是奇數(shù)，則a+b,b+c,"C都是偶數(shù)，那么三、—>〒都

是整數(shù),

一個是奇數(shù)，那么等、等、詈有一個是整數(shù),

假設(shè)其中有兩個是偶數(shù),

假設(shè)有兩個奇數(shù)，-個偶數(shù)，那么等、等、詈有一個是整數(shù),

綜上所述:等、等、等至少有一個是整數(shù),

故選：C.

【點評】本題考查了整數(shù)的奇偶性問題，難度一般，關(guān)鍵是掌握分類討論的思想解題.

2.正整數(shù)a,b,c是等腰三角形三邊的長，并且a+6c+b+ca=24,則這樣的三角形有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】先將a+6c+6+ca=24可以化為（a+6）（c+1）=24,然后根據(jù)24分解為大于等于2的兩個正

整數(shù)的乘積有幾種組合討論是否符合題意即可得出答案.

【解答】解：a+bc+b+ca=24可以化為（a+6）（c+1）=24,其中a,b,c都是正整數(shù)，并且其中兩個

數(shù)相等，

令a+6=A,°+1=（7則4C為大于2的正整數(shù)，

那么24分解為大于等于2的兩個正整數(shù)的乘積有幾種組合2X12,3X8,4X6,6X4,3X8,2X12,

①、A=2,C=12時，c=ll,a+b=2,無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；

②、A=3,C=8時，c=7,a+b=3,無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；

③、A=4,C=6時，c=5,a+b=4,無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；

④、A=6,C=4時，c=3,a+b=6,可以得到a=6=c=3,可以組成等腰三角形；

⑤、A=8,C=3時，c=2,a+b=S,可得a=6=4,c=2,可以組成等腰三角形，a=6=4是兩個腰；

⑥、A=12,C=2時，可得a=b=6,c=l,可以組成等腰三角形，a=6=6是兩個腰.

一共有3個這樣的三角形.

故選：C.

【點評】本題考查數(shù)的整除性及等腰三角形的知識，難度一般，在解答本題時將原式化為因式相乘的形

式及將24分解為大于等于2的兩個正整數(shù)的乘積有幾種組合是關(guān)鍵.

3.在1?2005的所有正整數(shù)中，共有332個整數(shù)x,使33Kl和/被5除的余數(shù)相同.

【分析】首先求出33/1除以5的余數(shù)和x3除以5的余數(shù)，分別求出余數(shù)的循環(huán)節(jié)，然后比較相等個數(shù)

的余數(shù)中，有幾個數(shù)讓33戶1和丁被5除的余數(shù)相同，根據(jù)規(guī)律，求出總數(shù).

【解答】解：33Al除以5的余數(shù)，

依次為1、2、4、3、1、2、4、3-

4個數(shù)為一個循環(huán)，

/除以5的余數(shù)，

依次為1、3、2、4、0、1、3、2、4、0、1、3、2、4、0、3、3、2、4、0-

顯然5個數(shù)為一個循環(huán)，

依次為1、3、2、4、0,

這樣，我們考慮20個數(shù)的循環(huán)，

33戶1除以5的余數(shù)：1、2、4、3；1、2、4、3；1、2、4、3；1、2、4、3；1、2、4、3；

/除以5的余數(shù)：1、3、2、4、0；1、3、2、4、0；1、3、2、4、0；1、3、2、4、0；1、3、2、4、0；

對比可以看出第1、12、18、19這幾個數(shù)，使33/1和丁被5除的余數(shù)相同，

即20個數(shù)的一個循環(huán)中，有4個數(shù)符合要求，

即2005=20X100+5,

前5個數(shù)中有1個符合要求,

故滿足要求的總數(shù)為100X4+1=401（個），

故答案為401.

【點評】本題主要考查同余問題的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握帶余除法的知識，此題比較簡單.

4.設(shè)四位數(shù)abed滿足1+戶+°3+43+]=]0°+力則這樣的四位數(shù)的個數(shù)為5.

【分析】首先根據(jù)題意確定a,b,c,d的取值范圍，再分類討論求解即可.

【解答】解：根據(jù)題意可得：a,b,c,d是小于10的自然數(shù)，

a3+Z?3+c3+i/3+l=10c+d,

可得/+/+°3+/+1是兩位數(shù)，

：.a,b,c,d均為小于5的自然數(shù)，

如果c=l,d=0,則a=2,b=0,此時這個四位數(shù)為2010,

如果c=l,d=l,則a=2,b=0,此時這個四位數(shù)為2011,

如果c=l,d=2,則a=l,b=l,此時這個四位數(shù)為1112,

如果c=2,找不到符合要求的數(shù)，

如果c=3,d=0,則a=l,b=l,此時這個四位數(shù)為1130,

如果c=3,<7=1,則。=1,b=l,此時這個四位數(shù)為1131,

如果c=4,則,3=64,不符合題意，

故此四位數(shù)可能為：2010或2011或1112或1130或1131.

故答案為：5.

【點評】此題考查了數(shù)字的表示方法與有關(guān)性質(zhì).解此題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，求得a,b,c,d的取值范

圍，利用分類討論思想求解.

5.有若干個蘋果，2個一堆多一個，3個一堆多一個，4個一堆多一個，5個一堆多一個，6個一堆多一個，

則這堆蘋果最少有61個.

【分析】設(shè)這堆蘋果最少有x個，2個一堆是小堆，3個一堆是小堆，4個一堆是“3堆，5個一堆是烈

堆，6個一堆是小堆，根據(jù)題意列出方程組，把x-1與q轉(zhuǎn)化為最小公倍數(shù)關(guān)系，即可求出x的最小值.

【解答】解：設(shè)這堆蘋果最少有x個，依題意得

fx=2的+1rx—1=2q1

x=3q2+1x—1=3q2

<x=4q3+1,所以（%-1=4q3

x=5q4+1%—1=5Q4

<x=6Q5+1lx—1=6q5

由此可見，x-l是2,3,4,5,6的最小公倍數(shù)

因為2、3、4、5、6的最小公倍數(shù)是60,所以x-1=60,即％=61

故答案為：61個.

【點評】本題考查的是帶余數(shù)的除法，根據(jù)題意列出方程組是解答此題的關(guān)鍵.

6.我們用記號表示兩個正整數(shù)間的整除關(guān)系，如3|12表示3整除12,那么滿足x|(y+1)與y|(x+1)

的正整數(shù)組(x,y)共有5組.

【分析】根據(jù)滿足x|(y+1)與y|(x+1),因而x與y的差一定是1或相等，據(jù)此即可進行討論即可.

【解答】解：根據(jù)滿足R(y+1)與y|(無+1),因而尤與y的差一定是1或相等.

可以驗證(1,1)(L2)(2,1)(2,3)(3,2)滿足條件，

當(dāng)尤＞3以后(x,x+1)以及(尤，x)(無，x-1)都不滿足條件.

故共有5組，分別是(1,1)(1,2)(2,1)(2,3)(3,2).

故答案為:5.

【點評】本題主要考查了數(shù)的整除性，根據(jù)x|(y+1)與(x+1),得到x與y的差一定是1或相等，是

解題的關(guān)鍵.

11111117

7.a,b,c都是質(zhì)數(shù)，且￥兩足〃+Z?+c+H?c=99,則1工一五1+?萬一引+'F—a'~"[g

【分析】先根據(jù)假設(shè)a,b,c都是奇數(shù)，判斷出與已知相矛盾，可得出a,b,c中必有兩個偶數(shù)是2,

再求出另一個數(shù)的值，代入所求代數(shù)式進行計算即可.

【解答】解：若。，b,c都是奇數(shù)，那么abc也為奇數(shù)，則a+6+c+a〃c為偶數(shù)，與a+6+c+abc=99矛盾，

.'.a,b,c中必有一個偶數(shù)，

又Va,b,c都是質(zhì)數(shù)，

b,c中必有一個偶數(shù)是2,

令a=2,則b+c+2bc=97,

同理，若b,c都是奇數(shù)，則歷為奇數(shù)，則b+c+26c為偶數(shù)，與b+c+26c=97矛盾，

:.b,c中也必有一個偶數(shù)，則偶數(shù)必是2,

令b=2,可得c=19,

故答案為：

19

【點評】本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)，熟知''在所有質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)”是解答此題的關(guān)鍵.

8.從古至今，密碼的使用在很多方面都發(fā)揮著極其重要的作用.有一種密碼的明文(真實文)，其中的字

母按計算機鍵盤順序(自左至右、自上而下)與26個自然數(shù)1,2,3,…，25,26對應(yīng)(見下表).

QWERTYUI0PASD

12345678910111213

FGHJKLZXCVBNM

14151617181920212223242526

設(shè)明文的任一字母對應(yīng)的自然數(shù)為x,譯為密文字母后對應(yīng)的自然數(shù)為尤'.例如，有一種譯碼方法按照以

下變換實現(xiàn)：其中尤是(3x+2)被26除所得的余數(shù)與1之和(1WXW26).

則x=l時，x，=6,即明文。譯為密文匕x=10時，》=7,即明文尸譯為密文U.

現(xiàn)有某變換，將明文字母對應(yīng)的自然數(shù)無變換為密文字母相應(yīng)的自然數(shù)也無一￡,X，為(3x+b)被26除

所得余數(shù)與1之和(1WXW26,1W6W26).

已知運用此變換，明文”譯為密文T,則明文D4y譯成密文為CH。.

【分析】根據(jù)明文字母對應(yīng)的自然數(shù)x變換為密文字母相應(yīng)的自然數(shù)達x-E￡為(3尤+6)被26除所

得余數(shù)與1之和(1WXW26,1W6W26)推知［(3X13+6)-4］是26的倍數(shù)即可得出b的值，易得結(jié)果.

【解答】解：???明文X譯為密文T,

即H為16,T為5,

(16X3+6)+26=〃…4,

；.6=8,

根據(jù)題意，D為13,則(3X13+8)4-26=1-21,

21+1=22,

，￡?譯文為C,

同理：A譯文為H,y譯文為Q,

故答案為CHQ.

【點評】此題以密碼知識為載體，考查了同學(xué)們的邏輯推理能力，要明確帶余除法的意義，可為解題指

明方向.

9.求證：

(1)8|(551999+17)；

(2)8(32B+7)；

(3)17|(191000-1).

【分析】(1)根據(jù)55+1能被8整除可得出551999+1也能被8整除，進而可得出答案；

(2)先根據(jù)32-1=9-1=8能被8整除可得出32n-1能被8整除，故32"-1+8能被8整除，即3加+7

能被8整除；

(3)根據(jù)19-2=17能被17整除，可知194-(24+1)能被17整除，進而可得出(194)250+1250-2

能被17整除，故可得出結(jié)論.

【解答】證明：(1)；55+1能被8整除,

.,.551999+1也能被8整除，

,.T6能被8整除,

.,.551999+1+16=551999+17能被8整除；

(2)=32-1=9-1=8能被8整除,

??A?"-1能被8整除,

...32"-1+8能被8整除,

即32n+7能被8整除；

(3)V19-2=17能被17整除，

/.194-(24+1)能被17整除，

...191000=(194)25。+]250-2能被17整除,

(191000-1).

【點評】本題考查的是同余問題，熟知同余問題的等價關(guān)系式解答此題的關(guān)鍵.

10.在一次游戲中，魔術(shù)師請一個人隨意想一個三位數(shù)abc(a、6、c依次是這個數(shù)的百位