2025高考數(shù)學(xué)解答題：概率與統(tǒng)計題型匯編含答案

2025高考數(shù)學(xué)解答題：概率與統(tǒng)計題型匯編含答案

解答題「輟率與統(tǒng)計

—°°—

題型一離散型隨機變量及其分布列......................................................1

題型二超幾何分布與二項分布..........................................................3

題型三均值與方差的實際應(yīng)用..........................................................5

題型四正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布........................................................7

題型五線性回歸與非線性回歸..........................................................9

題型六獨立性檢驗及應(yīng)用..............................................................12

題型七條件概率/全概率公式/貝葉斯公式..............................................14

題型八概率與統(tǒng)計圖表的綜合應(yīng)用.....................................................16

題型九概率與其他知識的交匯應(yīng)用.....................................................19

題型十利用概率解決決策類問題.......................................................22

必刷大題..............................................................................25

題型一離散型隨機變量及其分布列

o大題典例

1.（23-24高三下?廣東佛山?一模）密室逃脫是當(dāng)下非常流行的解壓放松游戲，現(xiàn)有含甲在內(nèi)的7名成員

參加密室逃脫游戲，其中3名資深玩家，4名新手玩家，甲為新手玩家.

（1）在某個游戲環(huán)節(jié)中，需隨機選擇兩名玩家進(jìn)行對抗，若是同級的玩家對抗,雙方獲勝的概率均為

之；若是資深玩家與新手玩家對抗,新手玩家獲勝的概率為:，求在該游戲環(huán)節(jié)中,獲勝者為甲的概

率；

（2）甲作為上一輪的獲勝者參加新一輪游戲:如圖，有兩間相連的密室，設(shè)兩間密室的編號分別為①和

②.密室①有2個門，密室②有3個門（每個門都可以雙向開），甲在每個密室隨機選擇1個門出去，若

走出密室則挑戰(zhàn)成功.若甲的初始位置為密室①，設(shè)其挑戰(zhàn)成功所出的密室號為X（X=1,2）,求X的

分布列.

S變式訓(xùn)練

2.(24-25高三上?貴州?月考習(xí))已知甲、乙兩人參加某檔知識競賽節(jié)目，規(guī)則如下：甲、乙兩人以搶答的

方式答題，搶到并回答正確得1分,答錯則對方得1分，甲、乙兩人初始分均為0分，答題過程中當(dāng)一人

比另一人的得分多2分時，答題結(jié)束,且分高者獲勝，若甲、乙兩人總共答完5題時仍未分出勝負(fù)，則答

題直接結(jié)束，且分高者獲勝.已知甲、乙兩人每次搶到題的概率都為］,甲、乙兩人答對每道題的概率

分別為!■，卷，每道題兩人答對與否相互獨立,且每題都有人搶答.

(1)求第一題結(jié)束時甲獲得1分的概率；

(2)記X表示知識競賽結(jié)束時，甲、乙兩人總共答題的數(shù)量,求X的分布列與期望.

3.(24-25高三上?北京?月考習(xí))某校舉辦知識競賽，已知學(xué)生甲是否做對每個題目相互獨立，做對

。三道題目的概率以及做對時獲得相應(yīng)的獎金如表所示.

題目ABC

411

做對的概率T~2~4

獲得的獎金/元204080

規(guī)則如下：按照48。的順序做題，只有做對當(dāng)前題目才有資格做下一題.

［注：甲最終獲得的獎金為答對的題目相對應(yīng)的獎金總和.］

(1)求甲沒有獲得獎金的概率；

(2)求甲最終獲得的獎金X的分布列及期望；

(3)如果改變做題的順序，最終獲得的獎金期望是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個順序最終獲得的獎

金期望最大？(不需要具體計算過程，只需給出判斷)

題型二超幾何分布與二項分布

O大題典例

4.（24-25高三上?北京?期中）某種產(chǎn)品按照產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分為一等品、二等品、三等品、四等品四個等

級，某采購商從采購的該種產(chǎn)品中隨機抽取100件,根據(jù)產(chǎn)品的等級分類得到如下數(shù)據(jù)：

等級一等品二等品三等品四等品

數(shù)量40301020

（1）根據(jù)產(chǎn)品等級,按分層抽樣的方法從這100件產(chǎn)品中抽取10件,再從這10件產(chǎn)品中隨機抽取3件,

記這3件產(chǎn)品中一等品的數(shù)量為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）若將頻率視為概率,從采購的產(chǎn)品中有放回地隨機抽取3件產(chǎn)品，求恰好有1件四等品的概率；

（3）生產(chǎn)商提供該產(chǎn)品的兩種銷售方案供采購商選擇，

方案一:產(chǎn)品不分類，售價均為21元/件.

方案二:分類賣出,分類后的產(chǎn)品售價如下：

等級一等品二等品三等品四等品

售價/（元/件）24221816

從采購商的角度考慮，你覺得應(yīng)該選擇哪種銷售方案？請說明理由.

S變式訓(xùn)練

5.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?月考習(xí)）哈三中文學(xué)社團(tuán)舉行知識競賽答題活動，比賽分兩輪，具體規(guī)

則如下:第一輪，參賽選手從A類6道題中任選3道進(jìn)行答題，都答完后錯題個數(shù)不超過1道（否則終

止比賽）才能進(jìn)行第二輪答題；第二輪答題從B類10道題中任選3道進(jìn)行答題.A類題每答對一道

得10分，B類題每答對一道得30分,答錯不扣分，以兩輪總分和決定優(yōu)勝.總分80分或90分為三等

獎，110分為二等獎，120分為一等獎.某班參加活動的同學(xué)人類題中只有4道能答對，B類題中，每

題答對的概率均為。，且各題答對與否互不影響.

（1）求該同學(xué)被終止比賽的概率；

（2）現(xiàn)該同學(xué)進(jìn)入第二輪，求他在第二輪答題中得分X的分布列及期望；

（3）求該同學(xué)獲得三等獎的概率.

6.（24-25高三上?重慶?月考習(xí)）我國承諾2030年前“碳達(dá)峰”，2060年“碳中和”，“碳達(dá)峰”是指二氧化

碳的排放不再增長，達(dá)到峰值之后再慢慢減下去；“碳中和”是指針對排放的二氧化碳要采取植樹、節(jié)

能減排等各種方式全部抵消掉.做好垃圾分類和回收工作可以有效地減少處理廢物造成的二氧化碳

的排放，助力“碳中和”.重慶十一中某班利用班會課時間組織了垃圾分類知識競賽活動，競賽分為初

賽、復(fù)賽和決賽，只有通過初賽和復(fù)賽,才能進(jìn)入決賽.首先出戰(zhàn)的是第一組、第二組、第三組，已知第

一組、第二組通過初賽和復(fù)賽獲勝的概率均為|■，第三組通過初賽和復(fù)賽的概率分別為P和今-。，

其中0VpW；,三組是否通過初賽和復(fù)賽互不影響.

（1）求P取何值時，第三組進(jìn)入決賽的概率最大；

（2）在（1）的條件下,求進(jìn)入決賽的隊伍數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

題型三均值與方差的實際應(yīng)用

O大題典例

7.（24-25高三上?河北?期中）隨著我國城鎮(zhèn)化建設(shè)的不斷推進(jìn)，各種智能終端的普及和互聯(lián)互通，人工

智能在教育、醫(yī)療、金融、出行、物流等領(lǐng)域發(fā)揮了巨大的作用.為普及人工智能相關(guān)知識，培養(yǎng)青少年

對科學(xué)技術(shù)的興趣，某中學(xué)組織開展“科技興國”人工智能知識競賽.競賽試題有甲、乙、丙三類（每類

題有若干道），各類試題的每題分值及選手小李答對概率如下表所示，各小題回答正確得到相應(yīng)分值,

否則得0分,競賽分三輪答題依次進(jìn)行,競賽結(jié)束,各輪得分之和即為選手最終得分.

項目

每小題分值每小題答對概率

題型

2

甲類題10

T

1

乙類題

20T

1

丙類題30

其競賽規(guī)則為：

第一輪，先回答一道甲類題，若正確,進(jìn)入第二輪答題;若錯誤，繼續(xù)回答另一道甲類題,該題回答正

確，同樣進(jìn)入第二輪答題;否則，退出比賽.

第二輪,在丙類題中選擇一道作答,若正確,進(jìn)入第三輪答題;否則，退出比賽.

第三輪，在乙類試題中選擇一道作答.

（1）求小李答題次數(shù)恰好為2次的概率;

（2）求小李最終得分的數(shù)學(xué)期望.

S變式訓(xùn)練

8.(24-25高三上?四川成都?月考習(xí))某小區(qū)有3000名居民，想通過驗血的方法篩選乙肝病毒攜帶者，假

設(shè)攜帶病毒的人占a%.為減輕工作量，隨機地按n人一組分組，然后將各組n個人的血樣混合在一起

化驗.若混合血樣呈陰性，說明這4個人全部陰性;若混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈

陽性,就需要對每個人再分別化驗一次.

(1)若a=0.2,n=20,試估算該小區(qū)化驗的總次數(shù)；

(2)若a=0.9,且每人單獨化驗一次花費10元，%人混合化驗一次花費n+9元，求當(dāng)n為何值時，每

個居民化驗的平均費用最少.

注:假設(shè)每位居民的化驗結(jié)果呈陰性還是陽性相互獨立.當(dāng)0<p<0.01時，(1—p)飛1-np.

9.(24-25高三上?遼寧丹東?期中)甲乙兩人各有n張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別

標(biāo)有數(shù)字1,3,5,2窿一1,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,……,2九，兩人進(jìn)行。輪比賽，在每輪比

賽中，甲按照固定順序1,3,5,……，2"-1每輪出一張卡片，乙從自己持有的卡片中隨機選一張，并

比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分,數(shù)字小的人得0分,然后各自棄置此輪所選的卡片

(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).

(1)當(dāng)n=4時，求甲的總得分小于2的概率.

(2)分別求甲得分的最小值和最大值的概率；

⑶已知:若隨機變量Xt服從兩點分布，且P(Xi=l)=1-P(X產(chǎn)0)=%，i=1，2,服…，九，則

甲的總得分為Y，乙的總得分為Z,求E

(y)和E(Z)的值，并由這兩個值來判斷隨著輪數(shù)的增加，甲乙的總得分期望之差有什么變化規(guī)律?

■上如■正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正就布

O大題典例

10.(24-25高三上?浙江?月考習(xí))在一次聯(lián)考中，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，甲乙兩個學(xué)校的考生人數(shù)都為1000人,數(shù)

學(xué)均分都為94,標(biāo)準(zhǔn)差都為12,并且根據(jù)統(tǒng)計密度曲線發(fā)現(xiàn)，甲學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，乙學(xué)校

的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不服從正態(tài)分布.

(1)甲學(xué)校為關(guān)注基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的教學(xué)，準(zhǔn)備從70分及以下的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行訪問，學(xué)生小月考

分為68分，求他被抽到的概率大約為多少；

(2)根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)學(xué)校乙得分不低于130分的學(xué)生有25人，得分不高于58分的有1人,試說明乙學(xué)校

教學(xué)的特點；

參考數(shù)據(jù)：若X~N(〃,a2)，則P(〃一aWXW〃+Q七0.68,P(〃一2(7WXW〃+2a)70.95,-3少

<X<〃+3(7h0.99.

S變式訓(xùn)練

11.（24-25高三上?江蘇泰州?月考習(xí)）以4地生產(chǎn)的所有番茄為總體，總體中每個番茄的重量為隨機變

量X,X?N（M,〃），其中〃。均為正數(shù).隨機從總體中抽取n個番茄作為一個樣本，番茄的重量分別

為Xi,X2,…,X”,其取值相互獨立.樣本均值為又.

/_n_\_n_

（1）已知對于任意的隨機變量K,K,…，匕,有=?（匕）；如果匕,冷…，匕的取值相互獨

'i=l）i=l

/n\_

立,則又有。匯匕（均.求現(xiàn)又）及。（又）.

'2=1'i=l

（2）若d>0,證明：〃一d<N<〃+d是又一d<〃<又+d的充要條件.

12.按照國際乒聯(lián)的規(guī)定，標(biāo)準(zhǔn)的乒乓球在直徑符合的條件下，重量為2.7克，其重量的誤差在區(qū)間［

-0.081,0.081］內(nèi)就認(rèn)為是合格產(chǎn)品，在正常情況下樣本的重量誤差必服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的

一批產(chǎn)品中隨機抽取10件樣本,其重量如下：

2.722.682.72.752.662.72.62.692.72.8

（1）計算上述10件產(chǎn)品的誤差的平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差s；

（2）①利用⑴中求的平均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差s,估計這批產(chǎn)品的合格率能否達(dá)到96%；

②如果產(chǎn)品的誤差服從正態(tài)分布N（0,0.04052）,那么從這批產(chǎn)品中隨機抽取10件產(chǎn)品，則有不合格產(chǎn)

品的概率為多少？（附:若隨機變量re服從正態(tài)分布N（",冷,則一。V立<〃+0）q0.683,F（/z-

2ff<x<n+2（y^0.954,-3a<c<〃+3a）70.997,0.95410用0.624,O.99710用0.9704分別代

替計算）

題型五線性回歸與非線性回歸

O大題典例

13.（24-25高三上?陜西西安?模擬預(yù)測）近年來我國新能源汽車行業(yè)蓬勃發(fā)展，新能源汽車不僅對環(huán)境保

護(hù)具有重大的意義，而且還能夠減少對不可再生資源的開發(fā)，是全球汽車發(fā)展的重要方向.“保護(hù)環(huán)

境，人人有責(zé)”,在政府和有關(guān)企業(yè)的努力下，某地區(qū)近幾年新能源汽車的購買情況如下表所示：

年份力20192020202120222023

新能源汽車購買數(shù)量>（萬輛）0.400.701.101.501.80

（1）計算U與t的相關(guān)系數(shù)度（保留三位小數(shù)）；

（2）求y關(guān)于工的線性回歸方程,并預(yù)測該地區(qū)2025年新能源汽車購買數(shù)量.

2（為一可（協(xié)一虧）2（電一元）（仇一列

參考公式V=/E/，b=n----------,a=y-bx.

/nFn口

J小二可寸牙納-?。圪9

5

參考數(shù)值：U七3.6056,可（少一刃=3.6.

?M

S變式訓(xùn)練

14.（24-25高三上?廣東?月考習(xí)）仙人掌別名老鴉舌,神仙掌，這一獨特的仙人掌科草本植物，以其頑強的

生命力和獨特的形態(tài)在自然界中獨樹一幟，以其形似并攏手指的手掌，且?guī)в写痰奶卣鞫妹?仙人

掌不僅具有極高的觀賞價值，還具有一定的藥用價值,被譽為“夜間氧吧”，其根莖深入土壤或者干燥

的黃土中使其能夠吸收足夠多的水分進(jìn)行儲藏來提高生存能力，我國某農(nóng)業(yè)大學(xué)植物研究所相關(guān)人

員為了解仙人掌的植株高度式單位：cm）,與其根莖長度以單位：cm）之間是否存在線性相關(guān)的關(guān)系，

通過采樣和數(shù)據(jù)記錄得到如下數(shù)據(jù)：

樣本編號i1234

根莖長度&10121416

植株高度依6286112132

_4__4_

參考數(shù)據(jù)：2⑶—下）2=20,2（%—5）2=2792,73490759.1.

i=li=l

⑴由上表數(shù)據(jù)計算相關(guān)系數(shù)r,并說明是否可用線性回歸模型擬合"與①的關(guān)系（若m>0.75,則可

用線性回歸模型擬合，計算結(jié)果精確到0.001）；

（2）求"關(guān)于力的線性回歸方程.

附:對于一組數(shù)據(jù)（如幼）,儂,紡），…，（再，如），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關(guān)

nn

2（為一可（%一萬）2（電一可（%一萬）

系數(shù)V的公式分別為b=片1n-----------,d=y-bx,r=一.

_n,。InIn

之（電-W）（±L動2（%—歹）2

〃=1Vi=lV2=1

15.（24-25高三上?福建泉州?月考習(xí)）一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度比有關(guān)，現(xiàn)收集了該

種藥用昆蟲的6組觀測數(shù)據(jù)如下表：

溫度//°。212324272932

產(chǎn)卵數(shù)”個61120275777

[616666

經(jīng)計算得：ZR2為=26,虧=RX%=33,Z⑶一下）萬）=557,X出一4=84,Z（%-前=

O￡=10￡=1i=l?=1?=1

6

3930,線性回歸模型的殘差平方和￡（%一。）一=236.64,6&。6。5仁3167,其中傷,仍分別為觀測數(shù)據(jù)中的

￡=1'

溫差和產(chǎn)卵數(shù)，i=123,4,5,6.

（1）若用線性回歸方程，求"關(guān)于2的回歸方程5=應(yīng)+&（精確到o.1）；

（2）若用非線性回歸模型求得夕關(guān)于c回歸方程為y=0.066。23。3%且相關(guān)指數(shù)4=Q.9522.

⑴試與⑴中的回歸模型相比,用不說明哪種模型的擬合效果更好.

（w）用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為35℃時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.

附:一組數(shù)據(jù)（如91）,（狽紡），…，（X，%），其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計為6=

nn

X（g一司（依一百）2（%一。）

三。----------，&=虧一位;相關(guān)指數(shù)五2=1—胃-------.

￡（◎-可,蕭

?M

題型六獨立性檢驗及應(yīng)用

念大題典例

16.（24-25高三上?四川綿陽?月考習(xí)）2021年8月，義務(wù)教育階段“雙減”政策出臺，某初中在課后延時服

務(wù)開設(shè)奧數(shù)、科技、體育等特色課程.為了進(jìn)一步了解學(xué)生選課的情況，隨機選取了400人進(jìn)行調(diào)查問

卷，整理后獲得如下統(tǒng)計表：

喜歡奧數(shù)不喜歡奧數(shù)總計

已選奧數(shù)課（A組）15050200

未選奧數(shù)課（B組）90110200

總計240160400

（1）若從樣本內(nèi)喜歡奧數(shù)的240人中用分層抽樣方法隨機抽取32人,則應(yīng)在A組、B組各抽取多少人?

（2）依據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，能否認(rèn)為選報奧數(shù)延時課與喜歡奧數(shù)有關(guān)？

附：

0.10.050.010.0050.001

a2.7063.8416.6357.87910.828

參考公式i…），其中』

S變式訓(xùn)練

17.（24-25高三上?寧夏中衛(wèi)?月考習(xí)）寧夏新高考改革方案已正式公布，根據(jù)改革方案,將采用“3+1+

2”的高考模式,其中，“3”為語文、數(shù)學(xué)，外語3門參加全國統(tǒng)一考試，選擇性考試科目為政治，歷史、地

理、物理、化學(xué)、生物6門，由考生根據(jù)報考高校以及專業(yè)要求,結(jié)合自身實際，首先在物理和歷史中選

擇1門，再從政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門，形成自己的“高考選考組合”.

（1）若某學(xué)生根據(jù)方案進(jìn)行隨機選科，求該生恰好選到“物化生”組合的概率；

（2）由于物理和歷史兩科必須選擇1科，某校想了解高一新生選科的需求，隨機選取100名高一新生進(jìn)

行調(diào)查,得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)，完成下面2x2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否認(rèn)為

“選科與性別有關(guān)”？

選擇物理選擇歷史合計

男生4050

女生

合計30100

附參考公式與表m+b）（；*（？）（b+d），ua+i+d-

為2獨立性檢驗中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值:

a0.100.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

18.（24-25高三上?上海?開學(xué)考試）某地生產(chǎn)隊在面積相等的50000塊稻田上種植一種新型水稻，從中抽

取100塊得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）與優(yōu)質(zhì)頻數(shù)并部分整理成下表（最終畝產(chǎn)量均在900kg

到1200kg之間）

畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

優(yōu)質(zhì)頻數(shù)51014186

普通頻數(shù)12464

（1）這50000塊稻田中，畝產(chǎn)量在［1050,1100）的頻數(shù)約為多少？

（2）估計這片稻田的平均畝產(chǎn)量（單位kg）；

（3）已知在100塊抽取稻田中畝產(chǎn)量在［1050,1100）的優(yōu)質(zhì)稻田有25塊,是否有0.95的把握認(rèn)為產(chǎn)品

是否優(yōu)質(zhì)與畝產(chǎn)量不少于1050kg且少于1200kg有關(guān)？（參考公式：％2=

(a+b+c+d)(ad—bcf

，參考數(shù)據(jù)：P（*>3.841）Q0.05）

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

題型七條件概率/全概率公式/貝葉斯公式

念大題典例

19.（24-25高三上?貴州遵義?模擬預(yù)測）已知4臺車床加工的同一種零件共計1000件，其中第一臺加工

200件，次品率為5%；第二臺加工250件，次品率為6%；第三臺加工250件，次品率為8%；第四臺加工

300件，次品率為10%.現(xiàn)從這1000件零件中任取一個零件.

（1）求取到的零件是次品的概率；

（2）若取到的零件是次品，求它是第i（其中i=1,2,3,4）臺車床加工的零件的概率.

S變式訓(xùn)練

20.（24-25高三上?廣東?月考習(xí)）甲乙兩人參加知識競賽活動，比賽規(guī)則如下：兩人輪流隨機抽題作答,

答對積1分，答錯不得分:然后換對方抽題作答，甲乙兩人各完成一次答題記為一輪比賽.比賽過程

中，有選手領(lǐng)先2分者立即晉級，比賽結(jié)束（不管該輪比賽有沒有完成）.已知甲答對題目的概率為

卷，乙答對題目的概率為p，答對與否相互獨立，抽簽決定首次答題方，已知第一輪答題后甲乙兩人各

積1分的概率為-1.記比賽結(jié)束時甲乙兩人的答題總次數(shù)為71s>2）.

0

（1）求p;

（2）求在n=4的情況下，甲晉級的概率；

（3）由于比賽時長關(guān)系，比賽答題不能超過3輪，若超過3輪沒有晉級者,則擇期再進(jìn)行比賽.求甲在

3輪比賽之內(nèi)成功晉級的概率.

21.（24-25高三上?四川內(nèi)江?月考習(xí)）夏日天氣炎熱，學(xué)校為高三備考的同學(xué)準(zhǔn)備了綠豆湯和銀耳羹兩種

涼飲，某同學(xué)每天都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學(xué)第1天選擇綠豆湯的概率是?，若在前一

天選擇綠豆湯的條件下,后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為!，而在前一天選擇銀耳羹的條件下，后一

天繼續(xù)選擇銀耳羹的概率為y,如此往復(fù).（提示:設(shè)表示第n天選擇綠豆湯）

（1）求該同學(xué)第一天和第二天都選擇綠豆湯的概率

（2）求該同學(xué)第2天選擇綠豆湯的概率；

（3）記該同學(xué)第幾天選擇綠豆湯的概率為2,求出2的通項公式.

題型八概率與統(tǒng)計圖表的綜合應(yīng)用

O大題典例

22.（24-25高三上?廣東廣州?模擬預(yù)測）在某地區(qū)進(jìn)行高中學(xué)生每周戶外運動調(diào)查，隨機調(diào)查了1000名

高中學(xué)生戶外運動的時間（單位:小時），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.

木頻率

組距

0.15

S

S05

S04

03

S02

S0O1

246

1618時間（小時）

⑴求Q的值,估計該地區(qū)高中學(xué)生每周戶外運動的平均時間；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）

（2）為進(jìn)一步了解這1000名高中學(xué)生戶外運動的時間分配，在（14,16］,（16,18］兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用

分層抽樣的方法抽取了5人,現(xiàn)從這5人中隨機抽取3人進(jìn)行訪談，記在（14,16］內(nèi)的人數(shù)為X,求X

的分布列和期望；

（3）以頻率估計概率,從該地區(qū)的高中學(xué)生中隨機抽取8名學(xué)生，用“區(qū)（協(xié)”表示這8名學(xué)生中恰有k

名學(xué)生戶外運動時間在（8,10］內(nèi)的概率，當(dāng)R（k）最大時，求k的值.

???

S變式訓(xùn)練

23.（24-25高三上?寧夏石嘴山?月考）某校為了解該校學(xué)生“停課不停學(xué)”的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)效率，隨機抽查了

高一年級100位學(xué)生的某次數(shù)學(xué)成績（單位:分），得到如下所示的頻率分布直方圖：

（I）估計這100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均值現(xiàn)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）

（2）根據(jù)整個年級的數(shù)學(xué)成績可以認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X近似地服從正態(tài)分布N（〃，02）,經(jīng)計算，（1）

中樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為10，用樣本平均數(shù)行作為〃的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為c的估計值,

現(xiàn)任抽取一位學(xué)生,求他的數(shù)學(xué)成績恰在64分到94分之間的概率；（若隨機變量X?N（〃，ff2）,則P（zz

+0.6827,尸（〃一2b<X<〃+2。）比0.9545,-3。WXW〃+3b）u0.9973）

（3）該年級1班的數(shù)學(xué)老師為了能每天督促學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生每天的作業(yè)質(zhì)量及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

積極性，特意在微信上設(shè)計了一個每日作業(yè)小程序，每當(dāng)學(xué)生提交的作業(yè)獲得優(yōu)秀時，就有機會參與

一次小程序中”玩游戲，得獎勵積分”的活動，開學(xué)后可根據(jù)獲得積分的多少向老師領(lǐng)取相應(yīng)的小獎

品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點一下游戲的開始按鈕，小兔

子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均為9，依次點擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到

第14格（獎勵0分）或第15格（獎勵5分）時,游戲結(jié)束，每天的積分自動累加,設(shè)小兔子跳到第n（lW

"W14）格的概率為阿,試證明｛2+1—2｝是等比數(shù)列，并求8式獲勝的概率）的值.

24.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?月考習(xí)）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績,將最近一段時間內(nèi)每

日的汽車銷售情況進(jìn)行了統(tǒng)計，如圖所示.

。50100150200250300每日汽車銷售量/輛

（1）求a的值,并求該公司這段時間內(nèi)每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)；

（2）以頻率估計概率，若在這段時間內(nèi)隨機選擇4天,設(shè)每日汽車銷售量在［200,250）內(nèi)的天數(shù)為X,

在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎活動,規(guī)則如下:在三棱錐A-

BCD中，△BCD、/\ACD均是邊長為2的正三角形，AB=0,現(xiàn)從寫有數(shù)字1~8的八個標(biāo)簽中隨機

選擇兩個分別貼在A、B兩個頂點,記頂點入、口上的數(shù)字分別為巾和九，若E為側(cè)棱AB上一個動

言=■'當(dāng)"二面角E—67大于?即為中獎’求中獎的概率.

點，滿足

題型九概率與其他知識的交匯應(yīng)用

念大題典例

25.（24-25高三上?廣東深圳?月考習(xí)）甲乙兩人參加知識競賽活動，比賽規(guī)則如下：兩人輪流隨機抽題作

答,答對積1分且對方不得分，答錯不得分且對方積1分;然后換對方抽題作答,直到有領(lǐng)先2分者晉

級，比賽結(jié)束.已知甲答對題目的概率為4，乙答對題目的概率為p,答對與否相互獨立,抽簽決定首

次答題方，已知兩次答題后甲乙兩人各積1分的概率為-f-.記甲乙兩人的答題總次數(shù)為n（n>2）.

（1）求p;

（2）當(dāng)九=2時，求甲得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）若答題的總次數(shù)為n時，甲晉級的概率為2（⑷，證明：餐<丹⑷+A⑷+…+2⑷<4-

ioy

???

S變式訓(xùn)練

26.(24—25高三上?湖南?月考習(xí))若無窮正項數(shù)列｛時｝同時滿足下列兩個性質(zhì)：①存在河>0,使得冊<

M,nEN*；②｛冊｝為單調(diào)數(shù)列，則稱數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P.

(1)若0n=2n—1也=(卜了,

(i)判斷數(shù)列｛冊｝,｛幻｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

⑹記S”=出8+a2b2+---+anbn,判斷數(shù)列｛SJ是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

(2)已知離散型隨機變量X服從二項分布B5，p),0<p<記X為奇數(shù)的概率為c”.證明:數(shù)列

｛cj具有性質(zhì)P.

27.（24-25高三上?海南省?開學(xué)考試）第十五屆全國運動會將于2025年在廣東、香港、澳門三地舉辦.為

了普及全運知識，某大學(xué)舉辦了一次全運知識闖關(guān)比賽，比賽分為初賽與復(fù)賽,初賽勝利后才能參加

復(fù)賽,初賽規(guī)定：三人組隊參賽，每次只派一個人，且每人只派一次;如果一個人闖關(guān)失敗,再派下一個

人重新闖關(guān);三人中只要有人闖關(guān)成功即視作初賽勝利，無需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊參加

初賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為P1、P2、P3,假定O、P2、P3互不相等，且每人能否闖關(guān)成功相互

獨立.

（1）若計劃依次派甲、乙、丙進(jìn)行初賽闖關(guān)，加=|■，2=/，求該小組初賽勝利的概率；

（2）已知1＞物＞g＞P3,若乙只能安排在第二個派出，要使初賽派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、

丙誰先派出；

（3）初賽勝利小組的三名成員都可以進(jìn)入復(fù)賽，復(fù)賽規(guī)定:單人參賽,每個人回答三道題,全部答對獲

得一等獎;答對兩道題獲得二等獎;答對一道題獲得三等獎;全部答錯不獲獎，已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)

賽，他在復(fù)賽中前兩道題答對的概率均為a,第三道題答對的概率為b.若他獲得一等獎的概率為

O

設(shè)他獲得二等獎的概率為p,求P的最小值.

題型十利用概率解決決策類問題

念大題典例

28.(24-25高三上?寧夏銀川?月考習(xí))2023年12月30號，長征二號丙/遠(yuǎn)征一號S運載火箭在酒泉衛(wèi)星

發(fā)射中心點火起飛，隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)實驗衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿完成，此

次任務(wù)是長征系列運載火箭的第505次飛行，也代表著中國航天2023年完美收官.某市一調(diào)研機構(gòu)為

了了解當(dāng)?shù)貙W(xué)生對我國航天事業(yè)發(fā)展的關(guān)注度，隨機的從本市大學(xué)生和高中生中抽取一個容量為40

的樣本進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表：

關(guān)注度

學(xué)生群體合計

關(guān)注不關(guān)注

大學(xué)生2028

高中生

合計24

附:

a0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

2n(ad-bcf

X=-----------------------------------，n=a+b+c+a.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(1)完成上述列聯(lián)表,依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，能否認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有

關(guān)？

(2)該市為了提高本市學(xué)生對航天事業(yè)的關(guān)注，舉辦了一次航天知識闖關(guān)比賽，包含三個問題,有兩種

答題方案選擇：

方案一：回答三個問題，至少答出兩個可以晉級；

方案二:在三個問題中，隨機選擇兩個問題，都答對可以晉級.

已知小華同學(xué)答出三個問題的概率分別是得，-I，/小華回答三個問題正確與否相互獨立，則小華

應(yīng)該選擇哪種方案晉級的可能性更大？(說明理由)

???

S變式訓(xùn)練

29.（24-25高三上?貴州貴陽?月考習(xí)）某校將進(jìn)行籃球定點投籃測試,規(guī)則為:每人至多投3次，在M處

投一次三分球，投進(jìn)得3分，未投進(jìn)不得分,在N處連續(xù)投2次兩分球，每投進(jìn)一次得2分,未投進(jìn)不得

分,測試者累計得分高于3分即通過測試，并終止投籃（若前兩次投籃后確定不能通過測試也終止投

籃）.甲同學(xué)為了通過測試，刻苦訓(xùn)練，投中3分球的概率為■!，投中2分球的概率為J,且每次投籃結(jié)

52

果互不影響.

（1）若甲同學(xué)先投3分球,求他投籃2次就終止投籃的概率；

（2）為使通過測試的概率最大，甲同學(xué)應(yīng)先投幾分球？

（3）為使投籃累計得分期望最大，甲同學(xué)應(yīng)先投幾分球？

30.（24-25高三上?內(nèi)蒙古赤峰?月考習(xí)）某校高三年級部組織高中生數(shù)學(xué)知識競賽，競賽分為個人賽和

團(tuán)體賽,競賽規(guī)則如下:個人賽規(guī)則:每位參賽選手只有一次挑戰(zhàn)機會，電腦同時給出2道判斷題T?R

（判斷對錯）和4道選擇題X1,X2,X3，X4（每個選擇題的四個選項中有且僅有一個是正確的），要求參賽

者全都作答，若有4道或4道以上答對,則該選手挑戰(zhàn)成功.團(tuán)體賽規(guī)則：以班級為單位，每班參賽人數(shù)

不少于20人，且參賽人數(shù)為偶數(shù)，參賽方式有如下兩種可自主選擇其中之一參賽:方式一:將班級選

派的2n個人平均分成八組，每組2人，電腦隨機分配給同組兩個人一道相同試題，兩人同時獨立答題，

若這兩人中至少有一人回答正確，則該小組挑戰(zhàn)成功，若這八個小組都挑戰(zhàn)成功，則該班級挑戰(zhàn)成功.

方式二:將班級選派的2n個人平均分成2組，每組n個人，電腦隨機分配給同組九個人一道相同試題,

各人同時獨立答題，若這n個人都回答正確，則該小組挑戰(zhàn)成功.若這兩個小組至少有一個小組挑戰(zhàn)

成功則該班級挑戰(zhàn)成功.

（1）在個人賽中若一名參賽選手全部隨機作答，求這名選手恰好答對一道判斷題并且答對兩道選擇題

的概率；

（2）甲同學(xué)參加個人賽，他能夠答對判斷題7］并且答對選擇題Xi，其余題目只能隨機作答，求甲同學(xué)

挑戰(zhàn)成功的概率；

（3）在團(tuán)體賽中，假設(shè)某班每位參賽同學(xué)對給出的試題回答正確的概率均為常數(shù)尸（0<P<l）,為使本

班團(tuán)隊挑戰(zhàn)成功的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？說明理由.

［必利大題)

S刷模擬

31.(2024?全國?高考真題)某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造,升級改造后,從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)

品中隨機抽取150件進(jìn)行檢驗，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級品合格品不合格品總計

甲車間2624050

乙車間70282100

總計96522150

(1)填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級品非優(yōu)級品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車

間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？

(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率p=0.5,設(shè)力為升級改造后抽取的幾件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.

如果/>p+1.65J%歷，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù),

能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后,該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？(“W?12.247)

n(ad-bc)2

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

P(K2,k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

25

32.（2024?全國?高考真題）某投籃比賽分為兩個階段,每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下:第

一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分;若至少投中

一次,則該隊進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得

0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成,設(shè)甲每次投中的概率

為P，乙每次投中的概率為g,各次投中與否相互獨立.

⑴若p=0.4,q=0.5，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.

（2）假設(shè)0<pVq,

⑴為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

（u）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

33.(2024?北京?高考真題)某保險公司為了了解該公司某種保險產(chǎn)品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保

單中隨機抽取1000份,記錄并整理這些保單的索賠情況,獲得數(shù)據(jù)如下表：

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

假設(shè):一份保單的保費為0.4萬元;前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元;第四次索賠時，保險公

司賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨立.用頻率估計概率.

(1)估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；

(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.

⑴記X為一份保單的毛利潤,估計X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(ii)如果無索賠的保單的保費減少4%,有索賠的保單的保費增加20%,試比較這種情況下一份保單

毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計值與⑴中E(X)估計值的大小.(結(jié)論不要求證明)

34.（2024?上海?高考真題）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生

中抽取580人,得到日均體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示:

時間范圍學(xué)業(yè)成績[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？

（2）估計該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）

（3）是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)?

（附：z2=----產(chǎn)）、（1~,其中n=a+b+c+d,尸（*>3.841）?0.05.）

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

35.（2024.上海.高考真題）水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱,二級果34箱.

（1）隨機挑選兩箱水果,求恰好一級果和二級果各一箱的概率；

（2）進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果,求一級果和二級果各幾箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一級果共120個,單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克,方差為603.46；二級果48個,

單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克,方差為648.21；求168個水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果的質(zhì)

量.

解答題,,粗卓易能針

OO

題型一離故型隘機變量及其分布列.................................................1

題型二超幾何分布與二項分布.....................................................4

題型三均值與方差的實際應(yīng)用.....................................................8

題型四正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布..................................................11

題型五畿性閾明與非線性閾效....................................................13

題型六注立性檢酷及應(yīng)用.............................................