2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：橢圓（4大考向解讀）解析版

專題15橢圓

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對橢圓的考查，重點(diǎn)是橢圓的定義和弦長2022?新高考I卷，16

(1)橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方橢圓的離心率2023?新高考I卷,5

程。2022?新高考II卷，16

直線與橢圓的應(yīng)用

(2)橢圓的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對2023?新高考n卷，5

稱性、頂點(diǎn)、離心率)。

(3)直線和橢圓的位置關(guān)系及綜合應(yīng)橢圓的軌跡方程2024?新高考n卷，5

用。

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷橢圓的考查體現(xiàn)在大題中，后續(xù)專題會解讀。II卷考查了橢圓的軌跡方程求法,

難度較易。橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定義的運(yùn)用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡單

幾何性質(zhì)，尤其是對離心率的求解，更是高考的熱點(diǎn)問題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)。

預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查橢圓的定義和離心率。

試題精講

一、單選題

1.(2024新高考n卷6)已知曲線C：x2+y2=16(y>0),從C上任意一點(diǎn)尸向x軸作垂線段PP,P'

為垂足，則線段PP的中點(diǎn)〃的軌跡方程為()

2222

A.—+—=1(>>0)B.土+匕=1(歹>0)

164168

2222

C.匕+土=1(y>0)D.匕+土=1(y>0)

164168

【答案】A

【分析】設(shè)點(diǎn)由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得尸(x，2y),代入圓的方程即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)則尸(x,%),P'(x,0),

因?yàn)槌鯙镻P的中點(diǎn),所以%=2y,BPP(x,2y),

又?在圓/+/=i6(y>0)上,

所以％2+4必=16(y>0),即0+J=l(y>0),

164

22

即點(diǎn)〃的軌跡方程為￡+?=?>。)?

164

故選:A

近年真題精選

一、單選題

22

1.（2023新高考I卷-5）設(shè)橢圓G:3+/=l（a>l）,C2：—+/=1的離心率分別為9勺?若％=國，則a=

a4

（）

A.38B.V2c.V3D.V6

3

【答案】A

【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.

【詳解】由02=瓜"得e；=3e：,因此izl=3x",而。>1,所以°=氈.

4a3

故選：A

2

2.（2023新高考H卷-5）己知橢圓C:?+/=i的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,直線V=x+加與c交于/,

8兩點(diǎn)，若△片/8面積是△&N8面積的2倍，則加=（）.

A2R亞rV20二

,D.-------V_/?-----------\-J?

3333

【答案】C

【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用A>0,求出加范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于用的方程，

解出即可.

y=x+m

【詳解】將直線y=、+機(jī)與橢圓聯(lián)立—2.消去歹可得4公+6mx+3m2-3=0,

—+y=1

[3'

因?yàn)橹本€與橢圓相交于48點(diǎn)，貝！JA=36加z-4x4（3〃/-3）>0,解得-2〈加<2,

設(shè)片到N5的距離4,F2到48距離右，易知片卜后,0）,工（夜,0）,

則4--義叫&-與也，

<2y/2

|-V2+mI

V

DAF'AB竟癡二臂詈=2,解得“=-*或-3夜（舍去），

V

2AF2AB

故選：C.

二、填空題

22

3.（2022新高考I卷?16）已知橢圓C:J+q=l（a>6>0）,C的上頂點(diǎn)為，，兩個(gè)焦點(diǎn)為耳，網(wǎng),離心率

ab~

為過耳且垂直于“巴的直線與C交于。，￡兩點(diǎn)，|。引=6,則ZUDE的周長是.

【答案】13

22

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為小+》=1,即3/+4/一12c2=0,根據(jù)離心率得到直線工8的斜

率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線DE的方程：x=^y-c,代入橢圓方程

131Q

3父+4/-12，=0,整理化簡得到：13/-664-%2=0,利用弦長公式求得c=q,得a=2c=根據(jù)對

稱性將的周長轉(zhuǎn)化為△月。E的周長，利用橢圓的定義得到周長為4a=13.

【詳解】??橢圓的離心率為e=.?力2=/_,2=3'2,.?.橢圓的方程為

a2

22

尸+9=1，即3%2+4了2-12°2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為耳，右焦點(diǎn)為耳，如圖所示,：/工=。，OF,=c,a=2c,

.?.44月。=（,名為正三角形，?.?過耳且垂直于/月的直線與C交于D,E兩點(diǎn)，OE為線段/鳥的垂

直平分線，.??直線?！甑男甭蕿楦。甭实箶?shù)為6，直線。E的方程：x=^y-c,代入橢圓方程

3X2+4/-12C2=0,整理化簡得到：13/一6瘋y-9c2=0,

判別式A=僅人）2+4*13義%2=6?X16XC2,

“郎=J1+（G）1%一為=2xa=2x6x4x/=6,

13㈤-13

???c=——,得。=2c=—,

84

???OE為線段/鳥的垂直平分線，根據(jù)對稱性，AD=DF2,婕=%,.,.△/口?的周長等于△為0￡的周長，

利用橢圓的定義得到周長為

1

I。閭+巡|+\DE\=|DF2l+lEF2l+lDFXl+lEF{1=1DFXl+lDF2l+lEFl\+\EF2\=2a+2a=4a=13.

故答案為：13.

22

4.（2022新高考II卷-16）已知直線/與橢圓一+一=1在第一象限交于4,8兩點(diǎn)，/與x軸，y軸分別交于

o3

M,N兩點(diǎn)，且|K4|=|N3|,|ACV|=2VL貝心的方程為.

【答案1x+應(yīng)y—2A/2=0

【分析】令48的中點(diǎn)為￡，設(shè)/（國，乂），利用點(diǎn)差法得到上OE-心=-g，設(shè)直線=b+%

k<0,m>0,求出M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)|ACV|求出左、m,即可得解；

【詳解】［方法一］:弦中點(diǎn)問題：點(diǎn)差法

令48的中點(diǎn)為￡,設(shè)4（再,必），85,%）,利用點(diǎn)差法得到勺E也B=-g，

設(shè)直線Z8：V=b+",k<0,m>0,求出〃、N的坐標(biāo)，

再根據(jù)|M7V|求出后、m,即可得解；

解：令4B的中點(diǎn)為E,因?yàn)閨加留=的4，所以|ME|=|NE|,

2222

設(shè)8（%,%）,則工+2L=1,江+江=1,

6363

所以近一五+日一迂=0,即（X「X2）E+%）|5+%）（［一力）=0

663363

即左OE也8=一1，設(shè)直線/B：尸后+"，，左<0,m>Q,

（再一%乂再+%）

令x=0得”機(jī)，令k0得工=一/，即M-pOj,N（0M）,

所以￡卜mm

2k9'2

m

=解得一坐或左=也（舍去），

m222

~2k

y,\MN\=243,BP\MN\=^m2+（^2m^=273>解得羽=2或加=-2（舍去），

【方法二]:直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法

解：由題意知，點(diǎn)E既為線段N3的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn),

設(shè)）（占,%），8（%2，%），設(shè)直線"8:>=履+用，k<0,m>0,

則叩？,oj,N（O,m）,因?yàn)閨MV|=27L所以QE|=6

y=kx+m

聯(lián)立直線AB與橢圓方程得:x2y2消掉y得（1+2左2）%2+4成x+2/_6=0

—+—=1'

[63

2-

其中A=（4mA:）-4（1+2k2）（2/一6）>0,xx+x2=J~^2

m

???AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)XE=，又《一水,]J,x"

2k

?：k<0,m>Q,二左=-等，又|O￡|=（￡）2=6,解得m=2

所以直線AB:y=-*x+2,即x+My-2亞=0

必備知識速記

一、橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)耳，區(qū)的距離之和等于常數(shù)2。（2。>|耳8|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓

的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語言表示為：

｛尸||期|+1PF21=2a（2a>|FtF2\=2c>0）｝

注意：當(dāng)2a=2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；

當(dāng)2a<2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

二、橢圓的方程、圖形與性質(zhì)

焦點(diǎn)的位

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

置

G

Zj

圖形

RiO

s;w

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程?1(“>…)

統(tǒng)一方程mx2+ny2=l(m>0,n>0,mw)

(X=QCOS6、r/、[x=tZCOS^-w,/、

參數(shù)方程\八招為參數(shù)(。￡[0,2加)八，。為參數(shù)(6￡[0,2加)

[y=bsind[y=bsin0

第一定義到兩定點(diǎn)耳、耳的距離之和等于常數(shù)2a,^\MFt\+\MF2\=2a(.2a>\F^2\)

范圍-a<x<a^-b<y<b-b<x<bS.-a<y<a

頂點(diǎn)A1(-a,0)、A](a,0)A】（0,—Q）、A，2（0,Q）

2(OS)

B|(O,-6)、BB1(-6,0)、B2(6,0)

軸長長軸長=2a>短軸長=2b長軸長=2a,短軸長=2b

對稱性關(guān)于X軸、y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對;稱

焦點(diǎn)耳（-C,。）、旦（G。）片(0,-c)、K(0,c)

焦距閨閶=2c(c2=a2-尸）

e=~=Jla2-b21-^(0<e<l)

離心率%、

aVa

準(zhǔn)線方程

c

>1外>1一外

點(diǎn)和橢圓

=10點(diǎn)（%,%）在橢圓<上=10點(diǎn)(%,孔)在橢圓4上

a2b2'22

的關(guān)系ab

<1內(nèi)<1內(nèi)

I=1駕^+^^=1((/Jo)為切點(diǎn))

（（x0,y0）為切點(diǎn)）

/b2一ab

切線方程

對于過橢圓上一點(diǎn)（X。,%）的切線方程，只需將橢圓方程中/換為x°X,「換為

可得

切點(diǎn)弦所

在的直線灣+萼=1（點(diǎn)（%,%）在橢圓外）理+等=1（點(diǎn)（x0,%）在橢圓夕卜）

abab

方程

"T，凡=4明，

(i)cos=（8為短軸的端點(diǎn)）

=sin?=/tang=

(T)SHF'F?

口

隹占二角oftJTx

形面積

7當(dāng)尸片工在長軸端點(diǎn)時(shí)，(44)min="

(

［當(dāng)尸片國在短軸端點(diǎn)時(shí)，(44)max=02

4寫點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

〕的+

MF2|=2a(2a>2c)

1|P^||P^|sinZ^)

S叱帖—

22

「耳月|=\PF^+\PF2I-21PFl||PF21cosNFFB

上焦半徑：|及陰|=4-紗0

左焦半徑：\MFX|=（2+ex0

下焦半徑：|孫=。+佻

焦半徑又焦半徑：|兒陰|

焦半徑最大值a+c,最小值

過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=2^（最短的過焦點(diǎn)的弦）

通徑

a

設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為力（西,必）,8。2，歹2），k/B=k,

2

貝!]弦長|/同=J1+左2上一引=J1+/J（X]+x2）-4玉%2

弦長公式+"）2_4歹14=,1+左2號

（其中a是消j后關(guān)于X的一元二次方程的X2的系數(shù)，A是判別式）

【橢圓常用結(jié)論】

2力2

1、過橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為生.

a

①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長軸的兩個(gè)端點(diǎn).

②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長軸的兩個(gè)端點(diǎn).

距離的最大值為a+c,距離的最小值為a-c.

2、橢圓的切線

22

①橢圓三+右=1（a>6>0）上一點(diǎn)尸（%,%）處的切線方程是寫+駕1=1；

abab

22

②過橢圓?+與=1（a>6>0）外一點(diǎn)尸（%,州）,所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是寫+理=1；

abab

22

③橢圓鼻+勺=1（a>6>0）與直線4v+8y+C=0相切的條件是4/+笈〃=,2.

ab

名校模擬探源

一、單選題

22

1.（2024?湖北荊州?三模）已知橢圓C：工+*=1的一個(gè)焦點(diǎn)為（0,2）,則后的值為（）

8k

A.4B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點(diǎn)位置即可得解.

【詳解】由題意得，°?=4,a2=k9b2=S9所以左=4+8=12.

故選：D.

222

2.（2024?山東煙臺?三模）若橢圓二+二=1與橢圓Y+[=i">1）的離心率相同，則實(shí)數(shù)6的值為

43b2

（）

A.撞^B.-C.—D.-

3324

【答案】A

【分析】由離心率相等列出關(guān)于6的方程求解即可.

222

【詳解】若橢圓二+匕=1與橢圓x?+A=l（b>l）的離心率相同，

43b2

貝！]9=。，解得6=述>1滿足題意.

4b23

故選：A.

22

3.（2024?江西九江?三模）已知橢圓C:=+《=l（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為片，鳥，過片且傾斜角為￡的

ab6

直線交。于第一象限內(nèi)一點(diǎn)A.若線段4片的中點(diǎn)在了軸上,△/耳月的面積為26,則C的方程為（）

22

A.y?=lB.二+匕=1

+32

22

C/AD.二+匕=1

96

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得到RM/8，/AFH=?,，設(shè)|，聞=%，其它邊全部用t表示，運(yùn)用面積為2G構(gòu)造

6

方程求出t.再用橢圓定義求出a,進(jìn)而求出c,b即可.

【詳解】如圖,為線段與耳的中點(diǎn),3為線段/的中點(diǎn)…。8〃工鳥，又軸，居lx軸.

在RM"；鳥中，ZAF,F2=2,設(shè)|/用=乙則|明1=2人閨國=匕的面積為2g,

6

—xyfit'x.t=2A/3,Z=2./.2a=[%胤+=3/=6,a=3,

__22

222，則的方程為三+?=

2c-\FXF2I=yfit=2>/3,c=V3,b=tz-c=6C1.

故選：D.

22_

4.（2024?河南?三模）已知橢圓C:\+q=l（a>6>0）的右焦點(diǎn)為b，短軸長為26,點(diǎn)"在橢圓上，若

ab

II的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（）

A.3B.4C.1D.2

【答案】D

【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)得到關(guān)于凡c的方程組，解之即可得解.

【詳解】依題意，橢圓短軸長為26，得b=5貝！J/-C2=62=3,

5L\MF\的最大值是最小值的3倍，即a+c=3（a-c）,

所以a=2c,所以a=2,c=l,則其焦距為2c=2.

故選：D

22

5.（2024?浙江紹興?三模）已知直線>=息（左*0）與橢圓C：'+方=l（a>6>0）交于A,B兩點(diǎn)，以線

段48為直徑的圓過橢圓的左焦點(diǎn)￡,若|耳/|=2山西，則橢圓C的離心率是（）

A.如B.-C.—D.-

2439

【答案】C

【分析】由題意可得四邊形/688為矩形，結(jié)合橢圓定義與勾股定理可將閨旬+|耳刈分別用。和。表示，即

可得離心率.

【詳解】取右焦點(diǎn)鳥,連接/耳、BF2,由耳在以線段N8為直徑的圓上,

故/耳，班"結(jié)合對稱性可知四邊形/耳陷為矩形，有|/引=忸耳|,

有OA=OB=OK=c,又閨4=2寓同，

由閨耳42=（2",則寓H=RC,國理=竽c,

由橢圓定義可得出旬+H閶=2。，

故寓H+寓4=苧c+竽c="c=2a,

_c_2_45

則e一°一6布-3.

丁

故選：c.

22

6.(2024?江西鷹潭?三模)已知橢圓C:5+與=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳耳，傾斜角為45°且過

ab

原點(diǎn)的直線/交橢圓于兩點(diǎn).若=|4月I，設(shè)橢圓的離心率為e,則e?=()

A.V2-1B.2-V2

C.V3-1D.3-V3

【答案】B

【分析】根據(jù)題意|九亞|=|耳巴『2c,得到四邊形g九例為矩形，由直線/過原點(diǎn)且傾斜角為45°,在

和△MO片中，利用余弦定理計(jì)算得|龍名|,|5|,結(jié)合橢圓的定義2々=|龍陰|+阿眉,求得離心率，進(jìn)而計(jì)算

出e2.

【詳解】如圖所示，

因?yàn)椴穬?nèi)用=2c,且。分別為MN和片￡的中點(diǎn)，|。叫=|。閶=|ON|=|O耳|=c,所以四邊形鶴出

為矩形，

又直線/過原點(diǎn)且傾斜角為45°,即NMO&=45°,NMO￡=135°,且為等腰三角形，

所以，在AMOB中，根據(jù)余弦定理可得|Af周2=<?+c2-2xcxcxcos45°=(2-&)<?,即="-Vic,

同時(shí)，在當(dāng)中，根據(jù)余弦定理可得|M<=C2+C2-2XCXCXCOS135°=(2+0)C2,即|孫|=也+怯,

所以2a=+=也-亞c+J2+V^c,可得6=7=出正+&+五，

/_2]=_________4_________二2_2一五

、+也+]2-y[2+2-72+2+V22+5/2

故選：B.

7.（2024?天津河西?三模）已知片，鳥是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，尸是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且

JT

/片尸工=§,若橢圓的離心率為，，雙曲線的離心率為e?,則e；+e；的最小值為（）

A.3+6B.C.D.4

22

【答案】C

2222

【分析】設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：5+3=1，a=1，易得a\b；=a；+b；=/,設(shè)

axa2b2

\PF\=m\PF^=n,利用橢圓和雙曲線的定義得到加=%-%，”=%+出，然后在△尸與與中，利用余弦定理

13

得到=+==4,然后利用基本不等式求解.

e\e2

【詳解】解：如圖所示：

2222

設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：\+%=1,《=|，

%a2b2

由題意得-匕；=+b；=c2,

設(shè)m=〃,貝!J加+〃=2%,〃一加二2出，

解得加=一％,〃=%+”2,

在△尸片片中，由余弦定理得：|片用2=］尸聞2+|尸馬2一21sH尸閭-os/耳尸鳥,

即（2c『=（41一電）2+（%+。2）2—（。1—。2）（。1+〃2）,化簡得4c2=Q；+3。；,

13

貝！1丁二=4,

eie2

所以2田菅+1'

7

當(dāng)且僅當(dāng)與=當(dāng)，即￡=島2時(shí)，等號成立；

q4

故選：c

22

8.2024?四川?三模）已知橢圓C:±+4=l（6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳外，點(diǎn)尸是橢圓上一點(diǎn)，若△尸用;

4b

的內(nèi)心為〃，連接尸M并延長交X軸于點(diǎn)。，S.\PM\=S5\QM\,則橢圓的短軸長為（）

A.2B.2亞C.2A/3D.巫

3

【答案】D

PF、2Q

【分析】合理構(gòu)建圖形，利用角平分線定理和等比定理得到崇=丁，再求短軸長度即可.

QF12c

如圖，連接孫,3,在△理。和△因0中，

利用角平分線定理可得緇=黑=臀=百，

QMQFXQF2

由等比定理可得n=n箸=ll，從而c=孚人手

故橢圓的短軸長為26=生色，故B正確.

3

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是合理構(gòu)建圖形，然后利用角平分線定理和等比定理

PF、2a

得到景=丁，再求解短軸長度即可?

QF22C

9.（2024?廣東汕頭?三模）已知橢圓C：.+《=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,P是C上任意一點(diǎn)，則下

列不正確的是（）

A.C的離心率為/B.陷|的最小值為2

C.|尸7訃|尸司的最大值為16D.可能存在點(diǎn)尸，使得/月盟=65。

【答案】D

【分析】求出橢圓C的長短半軸長及半焦距，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)逐項(xiàng)分析計(jì)算即可.

22

【詳解】橢圓C：上+匕=1的長半軸長0=4,短半軸長6=2石，半焦距。=行彳=2,

1612

cI

對于A,C的離心率e=—=彳，A正確;

a2

\PFx\+\PF^2a

對于B,由<I，??，得尸片區(qū)a+c因此1咫lmin="C=2,B正確;

［同卜］明142c

對于C,I因卜|一耳區(qū)（上>1[尸/3=二=]6,當(dāng)且僅當(dāng)|P4|=|尸￡1=4時(shí)取等號，c正確;

I尸片『+|時(shí)『一|片耳『(2"-Re)?］

對于D,當(dāng)P不在x軸上時(shí),cosNF'PF2=

2|尸￡||巡|2?||呷

24241

=4西分記-1=5,當(dāng)且僅當(dāng)"|=冏|=4取等號,

當(dāng)P在x軸上時(shí)，cos/耳1=1,上述不等式成立，因此/耳尸耳最大為60。，D錯(cuò)誤.

故選：D

22

10.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）已知橢圓。:a+芯=1（°>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為用工，過用向圓

x2+/=%2引切線交橢圓于點(diǎn)只。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若依尸閆0用，則橢圓的離心率為（）

A.yB.立C.苴D.|

2233

【答案】C

【分析】先畫出圖形，由|。尸|=|。閭=|。周得郎，尸匕，進(jìn)而得OM//W，「周=2|。閭=6,然后由橢圓

的定義可得%=27,由勾股定理/j從而即可得到離心率.

【詳解】由題意畫出圖形，如下圖：

設(shè)切點(diǎn)為M,連接尸耳，由已知尸|=|0鳥|=|。耳.??咫，時(shí),

■：OMVPF?.-.OM//PF,,又。是耳外的中點(diǎn)，

圓/+/=%的半徑為*

\PF{\=2\OM\=bf\PF2\=2a-b9

得Y，

???/+(2〃-4=402=4d—〃)，即2a=3b,

a3

cb

e=—=

aa3

故選：C.

22

11.（2024?浙江?三模）已知橢圓「:\+y__i（〃>b>o）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn),過鳥的直線/與橢

ab2~2

圓「相交于/、8兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C連接耳C,F、A.若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)XCVFXA,

SACOF?=2s△陽則橢圓「的離心率為（）

A廂口追「廂n行

2k?-----JJ.?-----U?

551010

【答案】A

【分析】由三角形面積關(guān)系得出優(yōu)。=*=寓q,再由勾股定理及橢圓定義求出乙利用余弦定理及

cos/AFzK+cosZCT^O=0求解即可.

【詳解】設(shè)區(qū)旬=乙由^ACOF,=2s4AF、4

可得$"陋=2s=4s△皿&,由于與△明月等高,

所以優(yōu)C|=4/=區(qū)C|,

Wq~FJ5

\IJ

*

又片C_L/14cl=5f,.?.寓4|=3f,

又+H用=2a=4/,.?"=■!，

c

在△CQO中，cos/CgO=—,

2a

vcos//8片+cosZCT^O=0,

/.CQSZ.AFF=-

2X2a

2

在△/乙耳中，cos"/『爭’叫:生—ac

2仍2人「仍也Iacla

化簡可得24=502,解得e=

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)之一根據(jù)三角形面積關(guān)系得出|￡C|=|4C|=4乙其次需要根據(jù)

cos//BE+COSZCF2O=0建立a,。關(guān)系.

二、多選題

22

12.（2024?河南開封?三模）橢圓C:言^+3=1（%>0）的焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為，，直線/月與C的

7T

另一個(gè)交點(diǎn)為3,若―3，則（）

A.C的焦距為2B.C的短軸長為

C.C的離心率為心

D.ZUB&的周長為8

2

【答案】ABD

【分析】根據(jù)/片/g=?以及橢圓的對稱性可得=￡

進(jìn)而可求解a=2,6=G,c=1,即可

3a[2m+1

根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.

7T

【詳解】由于/片/鳥=；所以/片NO=/O/g=Z，

O

兀AO

故cosAFAO-cos—=

X6a2

因此與=m2j,

—,故"9=3,

am+1

22

所以橢圓C：----1-----=1,a=2,b=A/3,C=1

43

對于A,焦距為2c=2,故A正確，

對于B,短軸長為26=2e，B正確，

QJ

對于C,離心率為e=￡=c錯(cuò)誤，

a2

對于D,△/陷的周長為4a=8,D正確,

故選：ABD

13.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知長軸長、短軸長和焦距分別為加、26和2c的橢圓。，點(diǎn)N是橢圓。與其

長軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)2是橢圓。與其短軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)耳和耳為其焦點(diǎn)，/8,8片.點(diǎn)尸在橢圓。上,

7T

若ZF2PF、,貝U()

A.a,b,。成等差數(shù)列

B.a,b,c成等比數(shù)列

C.橢圓。的離心率6=括+1

D.A/B4的面積不小于A尸耳鳥的面積

【答案】BD

【分析】

AB選項(xiàng)，根據(jù)垂直關(guān)系得到左BG七B=T,求出/=的,得到A錯(cuò)誤，B正確；C選項(xiàng)，根據(jù)/=的得到

c2+ac-a2=0,進(jìn)而求出離心率；D選項(xiàng)，計(jì)算出和月的面積，作差法結(jié)合基本不等式求出答

22

【詳解】AB選項(xiàng)，橢圓方程為j+看=1,不妨設(shè)/(凡0),8(0,6),

ab

因?yàn)?81.8月，且直線/瓦8月的斜率存在，所以心也”7,

即一1,故a/,c成等比數(shù)列，A錯(cuò)誤，B正確;

c\a)

C選項(xiàng)，因?yàn)閆?2=Q2—02,/=QC,所以。2+ac—/=0,

方程兩邊同除以/得,/+?—1=0,解得e=-負(fù)值舍去,

2

故離心率為e=1二二C錯(cuò)誤；

2

D選項(xiàng)，由橢圓定義得|尸片|+戶均=2°,1片/=2c,

因?yàn)镕2PFX=p所以|尸片「+1尸周2Tp琳尸聞=松，

\PFl\+\PF2\=2a兩邊平方得|期『+|尸旦「+21期卜|尸閶=4/,

故3M?附1=4吃Sf=；|明?熙成=孚,

又b?=ac,且〃>c,由基本不等式得

帥；'一〃=《（〃+0_26）=_|1+0_27^）>0,

2

所以=若歸>b>SWj即dBK的面積不小于△期￡的面積，D正確.

故選：BD

22萬

14.（2024?河南?三模）己知橢圓C:二+烏=l（a>6>0）經(jīng)過點(diǎn)尸（0,1）,且離心率為先.記C在尸處的

ab2

切線為/,平行于OP的直線/'與C交于/,B兩點(diǎn),則（）

22

A.C的方程上+匕=1

42

B.直線OP與/的斜率之積為-1

C.直線OP,/與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形

D.直線P4,P8與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題干列出方程組，解方程組可判斷A；根據(jù)直線與橢圓相切的可求出直線/的方程即可判斷

B,C；通過計(jì)算后以+螃=0可判斷D.

,S-V2

a2a—2

2122

【詳解】/+*】，??6=應(yīng)，橢圓方程為：±+乙=1,故A正確;

r42

ab2=b2+c2c=V2

取橢圓方程的右半部分得：好卜一手,則

如圖，因?yàn)辄c(diǎn)尸在第一象限,

，1人/Ft門

-X

2（2八2）,18-2x2

所以怎M所以kop-kpM

=1/,=_?,r故B錯(cuò)誤;

kpM+kop=0,貝!UPON為等腰三角形，故C正確;

M^x

y=----x+m

2

AB:y=----x+m,<，消歹可得工2+亞加x+加2-2=0,

2

2

x1x2=m-2,

V2,VI,

x+mlx+m1

_—i-^-Y2-_42x,x2+(m-2)(xl+x2)-2y/2m+2-/2

xx-^2x2—V2-A/2^X2-^2j

P4PB與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形，故D正確.

故選：A