高考數(shù)學(xué)江蘇專用(文)二輪專題突破：專題六 第3講 算法與復(fù)數(shù)

第3講算法與復(fù)數(shù)【高考考情解讀】1.高考題中對(duì)算法的流程圖的考查主要以填空題的形式為主，試題難度中等偏易，試題主要以考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的流程圖為主，且常常與其它數(shù)學(xué)知識(shí)融匯在一起考查，如算法與函數(shù)、算法和數(shù)列、算法和統(tǒng)計(jì)以及應(yīng)用算法解決實(shí)際問(wèn)題.2.復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算主要考查復(fù)數(shù)的分類、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)平面和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算為主，試題側(cè)重對(duì)基本運(yùn)算的考查，試題難度較低易于得滿分，主要分布在試卷的前3題位置．1．算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)(1)順序結(jié)構(gòu)：如圖(1)所示．(2)選擇結(jié)構(gòu)：如圖(2)和圖(3)所示．(3)循環(huán)結(jié)構(gòu)：如圖(4)和圖(5)所示．2．復(fù)數(shù)(1)復(fù)數(shù)的相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c，b＝d.(2)共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．(3)運(yùn)算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i、(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i、(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－da,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(4)復(fù)數(shù)的模：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R).考點(diǎn)一流程圖例1(1)(2013·安徽改編)如圖所示，算法流程圖的輸出結(jié)果是________．(2)(2013·江蘇)右圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的n的值是________．答案(1)eq\f(11,12)(2)3解析(1)賦值S＝0，n＝2進(jìn)入循環(huán)體：檢驗(yàn)n＝2<8，S＝0＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，n＝2＋2＝4；檢驗(yàn)n<8，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，n＝4＋2＝6；檢驗(yàn)n<8，S＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12)，n＝6＋2＝8，檢驗(yàn)n＝8，脫離循環(huán)體，輸出S＝eq\f(11,12).(2)賦值n＝1，a＝2進(jìn)入循環(huán)體，檢驗(yàn)a＝2<20，a＝3×2＋2＝8，n＝2，檢驗(yàn)a＝8<20，a＝3×8＋2＝26，n＝3，檢驗(yàn)a＝26≥20，脫離循環(huán)體，輸出n＝3.(1)高考中對(duì)于流程圖的考查主要有“輸出結(jié)果型”“完善流程圖型”“確定循環(huán)變量取值型”“實(shí)際應(yīng)用型”，具體問(wèn)題中要能夠根據(jù)題意準(zhǔn)確求解．(2)關(guān)于流程圖的考查主要以循環(huán)結(jié)構(gòu)的流程圖為主，求解流程圖問(wèn)題關(guān)鍵是能夠應(yīng)用算法思想列出每一次循環(huán)的結(jié)果，注意輸出值和循環(huán)變量以及判斷框中的限制條件的關(guān)系．(1)執(zhí)行如圖所示的流程圖，如果輸出的a＝341，那么判斷框中的n＝________.(2)(2013·濰坊模擬)執(zhí)行如圖所示的流程圖，輸出的結(jié)果S的值為________．答案(1)6(2)－1解析(1)執(zhí)行程序后，a1＝4a＋1＝1，k1＝k＋1＝2；a2＝4a1＋1＝5，k2＝k1＋1＝3；a3＝4a2＋1＝21，k3＝k2＋1＝4，a4＝4a3＋1＝85，k4＝k3＋1＝5；a5＝4a4＋1＝341，k5＝k4＋1＝6.要使輸出的a＝341，判斷框中應(yīng)為“k(2)第一次運(yùn)行：S＝0，n＝2；第二次運(yùn)行：S＝－1，n＝3；第三次運(yùn)行：S＝－1，n＝4；第四次運(yùn)行：S＝0，n＝5.……可推出其循環(huán)周期為4，從而可知，第2011次運(yùn)行時(shí)，S＝－1，n＝2012，此時(shí)2012<2012不成立，則輸出S＝－1.考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的基本概念例2(1)(2013·安徽改編)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為________．(2)(2013·四川改編)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是________．答案(1)3(2)B解析(1)a－eq\f(10,3－i)＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，且a－eq\f(10,3－i)為純虛數(shù)知a＝3.(2)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)A與表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，∴B點(diǎn)表示eq\x\to(z).復(fù)數(shù)的基本概念問(wèn)題涉及復(fù)數(shù)的分類、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等條件、復(fù)平面等基本知識(shí)，解決復(fù)數(shù)基本概念問(wèn)題關(guān)鍵是能夠充分地掌握各個(gè)概念，其實(shí)質(zhì)上就是對(duì)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中實(shí)部和虛部的限制條件的應(yīng)用或運(yùn)算．(1)復(fù)數(shù)eq\f(1＋i,1－ai)(i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為________．(2)(2012·課標(biāo)全國(guó)改編)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)的四個(gè)命題：p1：|z|＝2;p2：z2＝2i；p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i;p4：z的虛部為－1.其中真命題的個(gè)數(shù)為________．答案(1)1(2)2解析(1)eq\f(1＋i,1－ai)＝eq\f(1＋i1＋ai,1＋a2)＝eq\f(1－a＋1＋ai,1＋a2)，∴1－a＝0，a＝1.(2)∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq\r(－12＋－12)＝eq\r(2)，∴p1是假命題；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命題；∵eq\x\to(z)＝－1＋i，∴p3是假命題；∵z的虛部為－1，∴p4是真命題．其中的真命題共有2個(gè)：p2，p4.考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的運(yùn)算例3(1)(2013·山東改編)復(fù)數(shù)z滿足(z－3)(2－i)＝5(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝________.(2)(2012·江蘇)設(shè)a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i為虛數(shù)單位)，則a＋b的值為________．答案(1)5－i(2)8解析(1)由(z－3)(2－i)＝5得，z－3＝eq\f(5,2－i)＝2＋i，∴z＝5＋i，∴eq\x\to(z)＝5－i.(2)∵eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(1,5)(25＋15i)＝5＋3i，∴a＝5，b＝3.∴a＋b＝5＋3＝8.(1)與復(fù)數(shù)z有關(guān)的復(fù)雜式子為純虛數(shù)，可設(shè)為mi(m≠0)，利用復(fù)數(shù)相等去運(yùn)算較簡(jiǎn)便．(2)在有關(guān)復(fù)數(shù)z的等式中，可設(shè)出z＝a＋bi(a，b∈R)，用待定系數(shù)法求解．(3)熟記一些常見(jiàn)的運(yùn)算結(jié)果可提高運(yùn)算速度：(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，設(shè)ω＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，則ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝eq\x\to(ω)，1＋ω＋ω2＝0.(1)已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，則z·eq\x\to(z)＝________.(2)(2013·安徽改編)設(shè)i是虛數(shù)單位，eq\x\to(z)是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)．若z·eq\x\to(z)i＋2＝2z，則z＝________.答案(1)eq\f(1,4)(2)1＋i解析(1)∵z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(\r(3)＋i,－2－2\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i,－21＋\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i1－\r(3)i,－21＋\r(3)i1－\r(3)i)＝eq\f(2\r(3)－2i,－8)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,4)i，故eq\x\to(z)＝－eq\f(\r(3),4)－eq\f(1,4)i，∴z·eq\x\to(z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)＋\f(1,4)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)－\f(1,4)i))＝eq\f(3,16)＋eq\f(1,16)＝eq\f(1,4).(2)設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，代入z·eq\x\to(z)i＋2＝2z，整理得：(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2,a2＋b2＝2b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝1，))因此z＝1＋i.1．算法(1)解答有關(guān)流程圖問(wèn)題，首先要讀懂流程圖，要熟練掌握流程圖的三個(gè)基本結(jié)構(gòu)．(2)循環(huán)結(jié)構(gòu)常常用在一些有規(guī)律的科學(xué)計(jì)算中，如累加求和，累乘求積，多次輸入等．利用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法，第一要選擇準(zhǔn)確地表示累計(jì)的變量，第二要注意在哪一步結(jié)束循環(huán)．解答循環(huán)結(jié)構(gòu)的流程圖題，最好的方法是執(zhí)行完整每一次循環(huán)，防止執(zhí)行不徹底，造成錯(cuò)誤．2．復(fù)數(shù)(1)與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念和復(fù)數(shù)的幾何意義有關(guān)的問(wèn)題，一般是先變形，把復(fù)數(shù)的非代數(shù)形式化為代數(shù)形式，然后再根據(jù)條件，列方程(組)求解．(2)與復(fù)數(shù)z的模|z|和共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)有關(guān)的問(wèn)題，一般都要先設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入條件，用待定系數(shù)法解決．(3)復(fù)數(shù)運(yùn)算中常用的結(jié)論①(1±i)2＝±2i；②eq\f(1＋i,1－i)＝i；③eq\f(1－i,1＋i)＝－i；④－b＋ai＝i(a＋bi)；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N.1．已知m∈R，復(fù)數(shù)1－eq\f(m,i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x－y＝0上，則實(shí)數(shù)m的值是________．答案1解析1－eq\f(m,i)＝1＋mi，該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1，m)，即1－m＝0，m＝1.2．執(zhí)行如圖所示的流程圖，輸出的M的值為________．答案161解析由流程圖可得：M＝1，k＝0；k＝1，M＝3×1＋2＝5；k＝2，M＝3×5＋2＝17；k＝3，M＝3×17＋2＝53；k＝4，M＝3×53＋2＝161；不滿足循環(huán)條件，跳出循環(huán)，輸出M＝161.3．已知z是純虛數(shù)，eq\f(z＋2,1－i)是實(shí)數(shù)，那么z＝________.答案－2i解析由題意設(shè)z＝ai(a∈R且a≠0)，∴eq\f(z＋2,1－i)＝eq\f(2＋ai1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2－a＋a＋2i,2)，則a＋2＝0，∴a＝－2，即z＝－2i.(推薦時(shí)間：40分鐘)1．(2013·北京改編)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(2－i)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第________象限．答案四解析(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，∴對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(3，－4)，位于第四象限．2．(2012·陜西改編)設(shè)a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則“ab＝0”是“復(fù)數(shù)a＋eq\f(b,i)為純虛數(shù)”的________條件．答案必要不充分解析直接法．∵a＋eq\f(b,i)＝a－bi為純虛數(shù)，∴必有a＝0，b≠0，而ab＝0時(shí)有a＝0或b＝0，∴由a＝0，b≠0?ab＝0，反之不成立．∴“ab＝0”是“復(fù)數(shù)a＋eq\f(b,i)為純虛數(shù)”的必要不充分條件．3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(1＋2i)＝4－2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|等于________．答案2解析由題知z＝eq\f(4－2i,1＋2i)，∴|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4－2i,1＋2i)))＝eq\f(|4－2i|,|1＋2i|)＝eq\f(\r(20),\r(5))＝2.4．(2013·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ改編)執(zhí)行右面的流程圖，如果輸入的t∈[－1,3]，則輸出的s的范圍為________．答案[－3,4]解析由流程圖知：s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3tt<1,4t－t2t≥1))，①當(dāng)－1≤t<1時(shí)，－3≤s<3；②當(dāng)1≤t≤3時(shí)，s＝－(t－2)2＋4∈[3,4]，由①②知，s∈[－3,4]．5．如圖所示的流程圖中，若輸入值分別為a＝20.9，b＝(－0.9)2，c＝log0.91.3，則輸出的數(shù)為________．答案a解析由此流程圖可知輸出的數(shù)是a，b，c三者當(dāng)中最大的，∵a＝20.9>1，b＝(－0.9)2∈(0,1)，c＝log0.91.3<0，∴a最大．∴輸出的數(shù)是a.6．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝eq\f(－1＋2i,2＋i)＋eq\f(2,1－i)，則|z|＝________.答案eq\r(5)解析z＝eq\f(5i,5)＋eq\f(21＋i,2)＝1＋2i?|z|＝eq\r(5).7．(2013·陜西改編)設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是________．(填序號(hào))①若|z1－z2|＝0，則eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)；②若z1＝eq\x\to(z2)，則eq\x\to(z1)＝z2；③若|z1|＝|z2|，則z1·eq\x\to(z1)＝z2·eq\x\to(z2)；④若|z1|＝|z2|，則zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2).答案④解析由|z1－z2|＝0，則z1－z2＝0，∴z1＝z2，所以eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)，故①為真命題；由于z1＝eq\x\to(z2)，則eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)＝z2，故②為真命題；由|z1|＝|z2|，得|z1|2＝|z2|2，則有z1·eq\x\to(z1)＝z2·eq\x\to(z2)，故③為真命題，④為假命題，如z1＝1，z2＝i.8．執(zhí)行如圖的流程圖，輸出的A為________．答案2047解析該流程圖的功能是求數(shù)列{an}的第11項(xiàng)，而數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝2an－1＋1.∵an＋1＝2an－1＋2＝2(an－1＋1)，∴{an＋1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．∴an＝2n－1，∴a11＝211－1＝2047.9．根據(jù)如圖所示的偽代碼，當(dāng)輸入a，b分別為2,3時(shí)，最后輸出的m值為________．答案3解析∵a＝2，b＝3，∴a＜b，應(yīng)把b值賦給m，∴m的值為3.10．(2013·重慶改編)執(zhí)行如圖所示的流程圖，如果輸出s＝3，那么判斷框內(nèi)的n應(yīng)為_______．答案7解析當(dāng)k＝2時(shí)，s＝log23，當(dāng)k＝3時(shí)，s＝log23·log34，當(dāng)k＝4時(shí)，s＝log23·log34·log45.由s＝3，得eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg4,lg3)×eq\f(lg5,lg4)×…×eq\f(lgk＋1,lgk)＝3，即lg(k＋1)＝3lg2，所以k＝7.再循環(huán)