數(shù)學(xué)-北京市東城區(qū)2024-2025學(xué)年高二年級第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測試題和答案

東城區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測本試卷共6頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試第一部分(選擇題共40分)(A)30°(2)已知向量a=(1,-2,2),b=(3,k,6),若a//b,則實(shí)數(shù)k的值為(4)已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-1,則p的值為(5)在一次業(yè)余歌唱比賽中，隨機(jī)從觀眾中抽出10人擔(dān)任評委.下面是他們給某位選手設(shè)這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為p?,再從中去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分，設(shè)剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為p?,則(A)p?=pz=47面ABM的距離為(7)做一個(gè)木梯需要7根橫梁，這7根橫梁的長度從上到下成等差數(shù)列.現(xiàn)有長為1.5m的一根木桿剛好可以截成最上面的三根橫梁，長為2m的一根木桿剛好可以截成最下面的三根橫梁，那么正中間的一根橫梁的長度是(8)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,M為線段OF的中點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與拋物線C的一個(gè)公共點(diǎn)為D,若△ODF的周長為8,則p的值為(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件(10)在平面直角坐標(biāo)系中，圓C截x軸所得弦長為1,截y軸所得弦長為2,則這樣的(A)有最大值，有最小值(B)有最大值，無最小值(C)無最大值，有最小值(D)無最大值，無最小值第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。(11)等比數(shù)列{a,}滿足：a,=-2,a?=4,則數(shù)列{a,}的前5項(xiàng)和是·(12)雙曲線的離心率為,漸近線方程為(13)已知a,b,c,d均為空間向量，其中a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1),若從a,b,c,d這4個(gè)向量中任取3個(gè)向量，均能構(gòu)成空間中的一組基底，則向量d的坐標(biāo)可以為(14)某景觀亭(如圖1)的上部可視為正四棱錐S-ABCD(如圖2).已知AB長為4米，且平面SAD|平面SBC,則頂點(diǎn)S到直線AB的距離為米；正四棱錐S-ABCD的側(cè)面積為平方米.高二數(shù)學(xué)第2頁(共6頁)(15)關(guān)于曲線C:x"—y"=1,n∈N*,給出下列四個(gè)結(jié)論：①對任意n∈N*,曲線Cn與直線y=x沒有公共點(diǎn)；②對任意n∈N*,曲線C,上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為R;③對任意n∈N*,曲線Cn為軸對稱圖形；④當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，曲線C,與x軸、y軸所圍成區(qū)域的面積為Sn,則S,<Sn+2<1.其中所有正確結(jié)論的序號是三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(16)(本小題13分)從某小區(qū)隨機(jī)抽取了100戶居民進(jìn)行了網(wǎng)費(fèi)調(diào)查，將他們的網(wǎng)費(fèi)分成6組：(50,100),(100,150),[150,200],(200,250),(250,300),[300,350],并整理得到如下頻率分布直方圖：X0(I)根據(jù)該頻率分布直方圖，求x的值；(Ⅱ)已知該小區(qū)共2000戶，估計(jì)該小區(qū)中網(wǎng)費(fèi)落在區(qū)間(200,300)內(nèi)的戶數(shù)；(Ⅲ)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值代替，估計(jì)該小區(qū)的戶均網(wǎng)費(fèi).高二數(shù)學(xué)第3頁(共6頁)(17)(本小題13分)已知圓C:x2+y2+4y+4-a=0(a>0)與x軸相切.(I)求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；(Ⅱ)直線l:2x+y-2=0與圓C交于A,B兩點(diǎn)，求線段AB的長.(18)(本小題14分)(Ⅱ)若點(diǎn)P是線段DB?的中點(diǎn)，求平面PA?B?與平面DBB?的夾角的余弦值.(19)(本小題15分)(I)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求{an}的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和Sn;(Ⅱ)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，求{an}的通項(xiàng)公式.(20)(本小題15分)已知橢圓C的離心率為,并且經(jīng)過點(diǎn)(2,0).(Ⅱ)直線l:y=k(x-3)(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，直線l?過點(diǎn)M,且與直線l垂直.記直線l?與y軸的交點(diǎn)為N.請問：是否存在直線l,使得|AB|=|MN|?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.(21)(本小題15分)設(shè)n為正整數(shù)，集合A,={α|α=(t?,t?,…,t),tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.對于x2yn-1+…+xny?.設(shè)B,是A,的子集，且滿足：對于B,中的任意兩個(gè)不同的元素α,β,都有α*β=0,則稱集合B。具有性質(zhì)P(n).(I)當(dāng)n=4時(shí)，若α=(1,1,0,0),β=(0,0,1,1),求α*α,α*β的值；(Ⅱ)已知正整數(shù)n≥2,集合Cn+2為An+2的子集.求證：“集合Cn+2具有性質(zhì)P(n+2)”的充要條件為“對Cn+2中任意兩個(gè)不同的元素α=(pi,r?,r?,…,rn,q?),(Ⅲ)給定不小于2的偶數(shù)n,設(shè)B,具有性質(zhì)P(n),求集合B,中元素個(gè)數(shù)的最大值.高二數(shù)學(xué)第6頁(共6頁)東城區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測高二數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2025.1一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)(13)(1,2,3)(答案不唯一)(14)2√216√2三、解答題(共6小題，共85分)(16)(共13分)………………5分(Ⅱ)在樣本中，網(wǎng)費(fèi)落在區(qū)間(200,300)內(nèi)的頻率為(0.0060+0.0036)×50=0.48,所以估計(jì)該小區(qū)中網(wǎng)費(fèi)落在區(qū)間(200,300)內(nèi)的戶數(shù)約為2000×0.48=960.…………9分因?yàn)橥M中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值代替，估計(jì)該樣本的平均值約為x≈50×0.06+100×0.12+150×0.22+200×0.30+250×0.18+300×0.12=189.所以估計(jì)該小區(qū)的戶均網(wǎng)費(fèi)為189元.……………………13分(17)(共13分)由此可得圓心坐標(biāo)為(0,-2).因?yàn)閳AC與x軸相切，所以圓心到x軸的距離為2=√a.所以半徑長為2.………………6分所以圓心C到直線l的距離為.………………13分(18)(共14分)高二數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第1頁(共4頁)所以四邊形ABCD為正方形.所以ACLBD.所以AC⊥平面DBB?.………………(Ⅱ)在長方體ABCD-A?B?C?D?中，DA⊥DC,DCLDD?,DD?LDA,以D為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD?所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.因?yàn)镈A=DC=1,DD?=2,點(diǎn)P是線段DB?所以AC=(-1,1,0)是平面DBB?的一個(gè)法向量.設(shè)n=(x,y,z)是平面PA?B?的一個(gè)法向量，則即則令x=2,得y=0,z=-1,故n=(2,0,-1).設(shè)平面PA?B?與平面DBB?的夾角為θ,則所以平面PA?B?與平面DBB?的夾角的余弦值為…………………14分(19)(共15分)解得所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式即即高二數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第2頁(共4頁)(Ⅱ)因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列，所以得a?+a1q2=3,即a?+9a?=3,解得所以數(shù)列{a,}的通項(xiàng)公式為.……………15分(20)(共15分)所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程………4分………4分………………(Ⅱ)設(shè)A(x?,y?),B(x2,y2),M(xo,yo).整理得(4k2+3)x2-24k2x+36k2-12=0,△=242k?-4(4k2+3)(36從而則,故直線l?的方程為),即令x=0,得,則解得,滿足要求故存在滿足要求的直線l,其方程為√6x-4y-3√6=0高二數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)分(21)(共15分)解：(I)由于α=(1,1,0,0),β=(0,0,1,1),由定義可知：α*α=1×0+1×0+0×1+0×1=0,α*β=1×1+1×1+0×0+0×0=2.………4分(Ⅱ)必要性若集合Cn+2具有性質(zhì)P(n+2),=(r?,r2,…,rn)*(Ss?,S2,…,sn)由α*β的定義可知，對任意正整數(shù)n,都有α*β≥0,所以有(r?,r?,…,rn)*(s?,S?,…,sn)=0,(pi,q?)*(p2,q?)=0.充分性若對Cn+2中任意兩個(gè)不同的元素α=(pi,r?,r?,…,rn,q?),β=(p?,S1,S?,…,sn,q?)都有(r?,r2,…,rn)*(S?,S?,…,sn)=0,(p=(r?,r?,…,rn)*(s?,S?,…,sn)+(pi,q?)*(p?,q?)=0.(Ⅲ)設(shè)具有性質(zhì)P(n)的集合B,的元素個(gè)數(shù)最大值為an,由于(0,1)*(1,0)=1,(0,1)*(1,1)=1,(1,0)*(1,1)=1,則(0,1),(1,0),(1,1)中至多有一個(gè)屬于B?,當(dāng)B?={(0,0),(0,1)}時(shí)，B?元素個(gè)數(shù)取到最大值為2.一方面，若集合B?,B。分別具有性質(zhì)P(2),P(n),令集合Cn+2={α|α=(p,t?,t?,…,tn,q),其中(t?,t2,對Cn+2中任意兩個(gè)不同的元素α=(pi,r?,r2,…,rn,q?),β=(p?,S?,S?,…,S,q?),都有α*β=0,另一方面，設(shè)具有性質(zhì)P(n+2)的集合Bn+2元素個(gè)數(shù)取到最大值為an+2,設(shè)α=(xi,x?,…,xn,Cn+1,xn+2)和β=(yi,y2,…,yn,yn+1,yn+2)為Bn+