【數(shù)學(xué)】乘法公式(2)課件-2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級下冊

1.3乘法公式第一章整式的乘除1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點;（重點）2.會運用公式進行簡單的運算；(難點)學(xué)習(xí)目標(biāo)第3課時完全平方公式的認識平方差公式：

(a+b)(a－b)=a2－b2

2.公式的結(jié)構(gòu)特點：

左邊是兩個二項式的乘積，即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積；右邊是兩數(shù)的平方差.1.由下面的兩個圖形你能得到哪個公式？復(fù)習(xí)鞏固新課導(dǎo)入3.多項式乘多項式的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的結(jié)果相加

.單項式×多項式單項式×單項式多項式×多項式情境引入一塊邊長為a米的正方形實驗田，因需要將其邊長增加b米.形成四塊實驗田，以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實驗田的總面積,并進行比較.你發(fā)現(xiàn)了什么？aabb直接求：總面積=(a+b)(a+b)間接求：總面積=a2+ab+ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方公式講授新課觀察下面算式及其運算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？(m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+2×3m+9=m2+6m+9(2+3x)2=(2+3x)(2+3x)=22+2×3x+2·3x+9x2=4+2×2×3x+9x2=4+12x+9x2根據(jù)上面的規(guī)律，你能直接下面式子的寫出答案嗎？a2+2ab+b2(a＋b)2=

.你能用右圖解釋這一公式嗎？總面積=(a+b)2

；總面積=a2+ab+ab+b2.=a2+2ab+b2

(a+b)2=a2+2ab+b2

議一議(a-b)2=?你是怎么做的呢？方法一：(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2方法二：(a-b)2=[a+(-b)][a+(-b)]=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2(a-b)2=

.a2-2ab+b2要點歸納完全平方公式（a+b)2=

.a2+2ab+b2（a-b)2=

.a2-2ab+b2

兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.這兩個公式叫作完全平方公式.

簡記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中間”

公式特征：1.積為二次三項式；2.積中的兩項為兩數(shù)的平方；3.另一項是兩數(shù)積的2倍，且與乘式中間的符號相同.4.公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項式和多項式.你能根據(jù)圖中的面積解釋(a－b)2=a2－2ab+b2嗎?baba

圖

1思考:a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)2典例精析例1

運用完全平方公式計算：解:(2x－3)2==4x2(1)(2x－3)2；(a－

b)2=a2

－2ab+b2(2x)2－2?(2x)?3+32－12x+9；(a

+

b)2=a2

+

2ab+b2y2(2)(y+)2.=y2+y

++()2+2?y?

解：(y+)2=

思考(a+b)2與(-a-b)2相等嗎?(a-b)2與(b-a)2相等嗎?(a-b)2與a2-b2相等嗎?為什么?(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2(a-b)2與a2-b2不一定相等.只有當(dāng)b=0或a=b時，(a-b)2=a2-b2.例2

運用乘法公式計算:(1)(x+2y－3)(x－2y+3);

解:原式=[x+(2y－3)][x－(2y－3)]=x2－(2y－3)2=x2－(4y2－12y+9)=x2－4y2+12y－9.方法總結(jié)：需要分組.分組方法是“符號相同的為一組，符號相反的為另一組”.(2)(a+b－5)2.解：原式=[(a+b)－5]2=(a+b)2－10(a+b)+52=a2+2ab+b2－10a－10b+25方法總結(jié)：把其中兩項看成一個整體，再運用完全平方公式計算.例3

如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個完全平方式，求m的值．解：因為36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，

所以(m＋1)xy＝±2·6x·5y，

所以m＋1＝±60，

所以m＝59或－61.方法總結(jié)：兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．例4

如圖的三角形可解釋(a＋b)n的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”.其中(a＋b)0＝1，(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，根據(jù)“楊輝三角”計算(a＋b)4.解：原式＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4

1．在等號右邊的括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)捻棧海?）a+b－c=a+（）（2）a－b+c=a－（）（3）a－b－c=a－（）（4）a+b+c=a－（）b-cb-cb+c-b-c能否用去括號法則檢查添括號是否正確?當(dāng)堂練習(xí)

2.下面各式的計算是否正確？如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？（1）(x+y)2=x2+y2(2)(x

－y)2=x2－y2(3)(－x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××x2+2xy+y2x2－2xy+y2

x2－2xy+y24x2+4xy+y23.如圖，將完全相同的四張長方形紙片和一張正方形紙片拼成一個較大的正方形，則可得出一個等式為(

)A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b)D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4abD4.若代數(shù)式x2＋kx＋25是一個完全平方式，則k=_______．10或－105.若(x-y)2=(x+y)2+a,則a為

.-4xy(1)(6a+5b)2；

(2)(4x－3y)2

；

=16x2－24xy+9y2；(3)(2m－1)2

；

=4m2－4m+1；(4)(－2m－1)2

.

=4m2+4m+1.6.運用完全平方公式計算:=36a2+60ab+25b2；完全平方公式法則注意(a±b)2=a2±2ab+b21.項數(shù)、符號、字母及其指數(shù)2.不能直接應(yīng)用公式進行計算的式子，需要先添括號變形3.弄清完全平方公式和平方差公式的不同點（從公式結(jié)構(gòu)特點及結(jié)果兩方面）課堂小結(jié)1.進一步掌握完全平方公式；2.靈活運用完全平方公式進行計算．(重點，難點)學(xué)習(xí)目標(biāo)第4課時完全平方公式的運用2.想一想：（1）兩個公式中的字母都能表示什么?（2）完全平方公式在計算化簡中有些什么作用?（3）根據(jù)兩數(shù)和或差的完全平方公式，能夠計算多個數(shù)的和或差的平方嗎?

(a+b)

2=a2+2ab+b2(a－b)

2=a2－2ab+b2

1.完全平方公式：復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課導(dǎo)入完全平方公式的運用講授新課思考：怎樣計算1022,1972更簡便呢？分析：1022和1972是改寫成(a+b)2還是(a-b)2呢？a和b怎么確定呢？(1)1022；解：原式=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)1972.解：原式=(200–3)2=40000-1200+9=38809.=1002+2×2×100+22=2002-2×3×200+32典例精析例1計算：(1)(x+3)2－x2；(2)(a+b+3)(a+b－3)；(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).解：(1)(x+3)2－x2=

x2+6x+9－x2=6x+9(2)(a+b+3)(a+b－3)=[(a+b)+3][(a+b－3]=(a+b)2－32

=a2+2ab+b2－9；(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)=

x2+10x+25－(x2－5x+6)=

x2+10x+25－x2+5x－6=

15x+19.例2

運用乘法公式計算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3);

原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.解:(1)方法總結(jié)：用平方差公式進行計算，需要分組.分組方法是“符號相同的為一組，符號相反的為另一組”.(2)(a+b+c)2.解：原式=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.方法總結(jié)：要把其中兩項看成一個整體，再按照完全平方公式進行計算.例3

化簡：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y).解：原式=(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)=(x2－4y2)2=x4－8x2y2＋16y4.方法總結(jié)：先運用平方差公式，再運用完全平方公式.例4

已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2

的值．解：因為a＋b＝7，所以(a+b)2＝49.所以a2＋b2＝(a+b)2-2ab=49-2×10＝29.(a－b)2＝a2＋b2-2ab＝29-2×10＝9.解題時常用結(jié)論：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2.1.運用完全平方公式計算：(1)962

；(2)2032.解：原式=（100－4）2=1002+42－2×100×4=10000+16－800=9216；解：原式=（200+3）2=2002+32++2×200×3=40000+9+1200=41209.當(dāng)堂練習(xí)2.若a+b=5,ab=－6,

求a2+b2,a2－ab+b2.3.已知x2+y2=8,x+y=4,求x－y.解：a2+b2=（a+b)2－2ab=52-2×(－6)=37；a2－ab+b2=a2+b2－ab=37－(－6)=43.解：因為x+y=4,所以