【數(shù)學(xué)】圖形的軸對稱 章末小結(jié)課件-2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級下冊

第五章圖形的軸對稱章末小結(jié)軸對稱圖形生活中的軸對稱現(xiàn)象軸對稱的性質(zhì)簡單的軸對稱圖形等腰三角形線段角兩個圖形成軸對稱畫圖尺規(guī)作圖一、軸對稱及其性質(zhì)(一)軸對稱1.軸對稱圖形如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫作軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。2.軸對稱如果兩個平面圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱這條直線叫作這兩個圖形的對稱軸。3.軸對稱圖形和軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系軸對稱圖形兩個圖形成軸對稱圖形區(qū)別聯(lián)系一個圖形具有的特殊形狀兩個全等圖形的特殊的位置關(guān)系1.都是沿著某條直線折疊后能重合。2.可以互相轉(zhuǎn)化。(二)軸對稱的性質(zhì):1.軸對稱的基本性質(zhì):在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。2.性質(zhì)的應(yīng)用：利用對應(yīng)角相等求角度；利用對應(yīng)線段相等求線段，求面積，求周長；作圖。(三)畫圖補(bǔ)全軸對稱圖形，或畫成軸對稱的另一個圖形。畫圖依據(jù)：對稱兩點(diǎn)到對稱軸的距離相等解:，圖(1)(3)(5)(6)是軸對稱圖形；圖(2)(4)(7)不是軸對稱圖形。1.圖中的圖形是不是軸對稱圖形?若是，請畫出其對稱軸，并說出對稱軸的條數(shù)。1.圖中的圖形是不是軸對稱圖形?若是，請畫出其對稱軸，并說出對稱軸的條數(shù)。2.如圖所示，點(diǎn)P關(guān)于直線OA，OB的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)C，D，CP，PD分別交OA，OB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CD，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，連接PM，PN。(1)若△PMN的周長為8，求CD的長。(2)若∠AOB=45°，求∠MPN的度數(shù)。(1)解:因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于直線OA，OB的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)C，D，所以PM=CM，PN=DN，因?yàn)椤鱌MN的周長為8，所以PM+PN+MN=8，所以CD=CM+DN+MN=PM+PN+MN=8，即CD=8。2.如圖所示，點(diǎn)P關(guān)于直線OA，OB的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)C，D，CP，PD分別交OA，OB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CD，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，連接PM，PN。(1)若△PMN的周長為8，求CD的長。(2)若∠AOB=45°，求∠MPN的度數(shù)。(2)解:因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于直線OA，OB的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)C，D，所以PM=CM，PN=DN，所以∠C=∠CPM，∠D=∠DPN，因?yàn)椤螦OB=45°，所以∠CPD=360°-90°-90°-45°=135°，所以∠C+∠D=180°-∠CPD=45°，所以∠CPM+∠DPN=45°，所以∠MPN=∠CPD-(∠CPM+∠DPN)=135°-45°=90°。分析:挖掘出折疊前后相等的線段或角，可實(shí)現(xiàn)線段或角的轉(zhuǎn)換，這是求解折疊問題的關(guān)鍵。3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，BC=8，點(diǎn)D在AB邊上，將△ACD沿直線CD折疊，使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)E處。(1)求△BDE的周長。(2)若∠B=37°，求∠EDB的度數(shù)。解:(1)由折疊可知AC=CE，AD=DE。因?yàn)锳C=6，所以CE=6，因?yàn)锽C=8，所以BE=BC-CE=2，所以△BDE的周長=DE+BD+EB

=AD+BD+EB=AB+EB。

3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，BC=8，點(diǎn)D在AB邊上，將△ACD沿直線CD折疊，使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)E處。(2)若∠B=37°，求∠EDB的度數(shù)。(2)由折疊可知∠A=∠CED，因?yàn)椤螧=37°，所以∠A=∠CED=180°-∠ACB-∠A

=180°-90°-37°=53°，所以∠ADE=360°-∠ACB-∠A-∠CED

=360°-90°-53°-53°=164°，所以∠EDB=180°-∠ADE=180°-164°=16°。分析:確定已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；作關(guān)鍵點(diǎn)的對稱點(diǎn)；連接對稱點(diǎn)得所求圖形。4.如圖所示，以虛線為對稱軸，畫出圖形的另一半。解:如圖所示:(1)延長AO到點(diǎn)A′，使A′O=AO；(2)延長BP到點(diǎn)B′，使B′P=BP，在B′P上截取D′P=DP；(3)延長CQ到點(diǎn)C′，使C′Q=CQ；(4)分別作點(diǎn)E，F(xiàn)，H，G關(guān)于虛線的對稱點(diǎn)E′，F(xiàn)′，H′，G′；(5)連接A′，B′，D′，C′，再依次連接E′F′，F(xiàn)′H′，H′G′，G′E′，即畫出了圖形的另一半。二、簡單的軸對稱圖形(一)等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形是軸對稱圖形。2.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高和底邊上的中線互相重合(簡稱“三線合一”)。3.等腰三角形的兩個底角相等。(二)等邊三角形的性質(zhì)1.等邊三角形是軸對稱圖形，共有三條對稱軸。2.等邊三角形每個角的平分線和這個角的對邊上的中線、高線重合(簡稱“三線合一”)，它們所在的直線都是等邊三角形的對稱軸。3.等邊三角形的各角都相等，都等于60°。(三)線段的垂直平分線1.定義：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線。2.線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等。3.線段的對稱軸：這條線段的垂直平分線。ABO(四)角平分線1.角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。2.定理的作用:證明線段相等。BADOPEC5.如圖，△AOD關(guān)于直線l進(jìn)行軸對稱變換后得到△BOC，下列說法不正確的是（）A．∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCOB．直線∠垂直平分AB、CDC．AO⊥OB，DO⊥OCD．AD=BC，OD=OCC

6.如圖所示，已知在等腰三角形ABC中，點(diǎn)D，E在BC上，AB=AC，AD=AE.試說明:BD=CE。分析：作AH⊥BC；需說明BH=CH，DH=EH。方法二如圖所示.過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H。因?yàn)锳B=AC，AH⊥BC，所以BH=CH。同理可得，DH=EH，所以BH-DH=CH-EH，即BD=CE。6.如圖所示，已知在等腰三角形ABC中，點(diǎn)D，E在BC上，AB=AC，AD=AE.試說明:BD=CE。分析:7.如圖，線段AB，BC的垂直平分線l1，l2相交于點(diǎn)O，連接AO，CO，若∠1=39°，則∠AOC=

。l1，l2分別為線段AB，BC的垂直平分線(可設(shè)D，E為垂足)連接OB△AOB是等腰三角形△BOC是等腰三角形解析:如圖，連接OB，設(shè)l1交AB于點(diǎn)D，l2交BC于點(diǎn)E。因?yàn)榫€段AB，BC的垂直平分線l1，l2相交于點(diǎn)O，所以O(shè)A=OB=OC。因?yàn)閘1⊥AB，l2⊥BC，所以∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，所以∠AOD+∠COE=∠BOD+∠BOE=∠DOE。因?yàn)椤螪OE+∠1=180°，∠1=39°，所以∠DOE=141°，所以∠AOC=360°-∠DOE-(∠AOD+∠COE)=360°-2∠DOE=360°-2×141°=78°。7.如圖，線段AB，BC的垂直平分線l1，l2相交于點(diǎn)O，連接AO，CO，若∠1=39°，則∠AOC=

。78°8.如圖，AD//BC，∠ABC的平分線BP與∠BAD的平分線AP相交于點(diǎn)P，作PE⊥AB于點(diǎn)E，若PE=2.5，則平行線AD與BC之間的距離為()A.3B.4C.5D.6解析:如圖，過點(diǎn)P作GH⊥AD交AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，因?yàn)锳D//BC，所以GH⊥BC，因?yàn)锳P平分∠BAD，PE⊥AB，PG⊥AD，所以PG=PE=2.5，同理可得PH=PE=2.5，所以GH=PG+PH=5，即平行線AD與BC之間的距離為5。8.如圖，AD//BC，∠ABC的平分線BP與∠BAD的平分線AP相交于點(diǎn)P，作PE⊥AB于點(diǎn)E，若PE=2.5，則平行線AD與BC之間的距離為()A.3B.4C.5D.6C9.如圖，校園內(nèi)有兩條路OA，OB，在交叉口附近有兩塊宣傳牌C，D，學(xué)校準(zhǔn)備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置P到兩塊宣傳牌的距離相等，并且到兩條路的距離也相等，請你幫忙找到燈柱的位置P，并說明理由。ACDOB思路引導(dǎo)：到兩塊宣傳牌的距離相等到兩條路的距離相等兩條線的交點(diǎn)為點(diǎn)P的位置點(diǎn)P在OA，OB央角的平分線上點(diǎn)