線性代數(shù)教案第三章

PAGEPAGE15線性代數(shù)教學(xué)教案第三章向量組及其線性組合授課序號(hào)01教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第一節(jié)向量組及其線性組合課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)向量組的線性組合、向量組的等價(jià)教學(xué)難點(diǎn)向量由向量組線性表示的判定方法、向量組等價(jià)的判定方法參考教材同濟(jì)版《線性代數(shù)》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解n維向量、向量組、向量組的線性組合、向量組等價(jià)的概念以及向量組與矩陣的對(duì)應(yīng)熟悉向量能由向量組線性表示的判斷方法；熟悉向量組B能由向量組A線性表示的判斷方法和兩向量組等價(jià)的判斷方法。教學(xué)基本內(nèi)容一、向量的概念及運(yùn)算：1.維向量的定義：由個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為維向量.若維向量寫成的形式，稱為維列向量；若維向量寫成的形式，稱為維行向量.這個(gè)數(shù)稱為該向量的個(gè)分量，其中稱為第個(gè)分量．常用…來(lái)表示維列向量，而用,…來(lái)表示維行向量.當(dāng)是復(fù)數(shù)時(shí)，維向量稱為維復(fù)向量，當(dāng)是實(shí)數(shù)時(shí)，維向量稱為維實(shí)向量，本書所討論的向量都是實(shí)向量.分量都是零的向量稱為零向量，記為，即或.向量稱為向量的負(fù)向量，記為.2.向量的運(yùn)算：由于向量可看成行矩陣或列矩陣，因此我們可用矩陣的運(yùn)算來(lái)定義向量的運(yùn)算，也就是：設(shè)，，則有（1）；（2）；我們稱這兩種運(yùn)算為向量的線性運(yùn)算.（3）；.二、向量組及其線性組合：向量組：由若干個(gè)維數(shù)相同的向量構(gòu)成的集合，稱為向量組．線性組合：給定維向量組，對(duì)于任意一組數(shù)，表達(dá)式稱為該向量組的一個(gè)線性組合.線性表示：給定維向量組和一個(gè)維向量，如果存在一組數(shù)，使得，則稱向量可由向量組線性表示，或者說(shuō)向量是向量組的一個(gè)線性組合.定理1向量可由向量組（唯一）線性表示的充分必要條件是線性方程組有（唯一）解.三、向量組的等價(jià)：向量組由向量組線性表示：設(shè)是個(gè)維向量組成的向量組，而是個(gè)維向量組成的向量組.如果向量組中每一個(gè)向量均可由向量組線性表示，則稱向量組可由向量組線性表示.向量組等價(jià)：如果向量組與向量組可以相互線性表示，則稱向量組與向量組等價(jià).定理2設(shè)有向量組與向量組.令矩陣，，則向量組可由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣方程有解.向量組與向量組等價(jià)的充分必要條件是矩陣方程與同時(shí)有解.四、主要例題：例1將線性方程組中第個(gè)未知量的系數(shù)寫成一個(gè)維列向量，而該方程組的常數(shù)也寫成一個(gè)維列向量，則該方程組也可用向量的形式來(lái)表達(dá)：.例2設(shè)矩陣，將矩陣與列向量組和行向量組對(duì)應(yīng).例3設(shè)向量組，將任一向量由線性表示.例4設(shè)有向量及向量組，試問(wèn)能否由線性表示.例5設(shè)向量組，而，問(wèn)：向量能否由向量組線性表示？若可以，求出線性表達(dá)式。例6已知向量組和，證明：向量組可由向量組線性表示.例7已知向量組和，證明：向量組和向量組等價(jià).隨堂練習(xí)：向量能否由向量組線性表示？若能，求出表示式.授課序號(hào)02教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)向量組線性相關(guān)性的概念、向量組線性相關(guān)性的判斷教學(xué)難點(diǎn)向量組線性相關(guān)性的概念參考教材同濟(jì)版《線性代數(shù)》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念；熟悉向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的判斷方法；理解向量組線性相關(guān)性理論的一些主要結(jié)論。教學(xué)基本內(nèi)容一、向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)：線性相關(guān)：設(shè)有個(gè)維向量構(gòu)成的向量組，如果存在一組不全為零的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)．線性無(wú)關(guān)：若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，才有，則稱向量組線性無(wú)關(guān).定理1個(gè)維向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組有非零解；線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是上述齊次線性方程組只有零解.二、向量組線性相關(guān)性的一些重要結(jié)論：定理2向量組線性相關(guān)的充分必要條件是存在某一個(gè)向量可由其余向量線性表示.推論1兩個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是它們的分量對(duì)應(yīng)成比例.推論2設(shè)向量組是向量組的部分組.若部分組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān).推論3若向量組線性無(wú)關(guān)，則其部分組也線性無(wú)關(guān).推論4設(shè)是個(gè)維向量組成的向量組，當(dāng)時(shí)該向量組一定線性相關(guān).特別地，個(gè)維向量一定線性相關(guān).定理3設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量一定能由向量組線性表示，且表示式是唯一的.定理4如果向量組可由向量組線性表示，并且，則向量組線性相關(guān).推論5如果向量組可由向量組線性表示，并且向量組線性無(wú)關(guān)，則.推論6如果向量組與向量組均線性無(wú)關(guān)，并且這兩個(gè)向量組等價(jià)，則.二、主要例題：例1對(duì)于向量組，存在一組不全為零的數(shù)，使得，所以向量組線性相關(guān).而對(duì)于向量組，對(duì)任意一組數(shù)，有，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，才有，所以向量組線性無(wú)關(guān).例2證明：任一含有零向量的向量組必定線性相關(guān).例3設(shè)有向量組，判斷向量組的線性相關(guān)性.例4已知向量組線性無(wú)關(guān)，，試證明：向量組也線性無(wú)關(guān).例5設(shè)，，，則，因此線性相關(guān).而與的分量不對(duì)應(yīng)成比例，與的分量也不對(duì)應(yīng)成比例，從而線性無(wú)關(guān)，也線性無(wú).例6已知向量組線性無(wú)關(guān)，向量組線性相關(guān)，證明：向量可由向量組線性表示.隨堂練習(xí)：判斷下列向量組的線性相關(guān)性：(1)；(2).授課序號(hào)03教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第三節(jié)向量組的秩與矩陣的秩課的類型復(fù)習(xí)、新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)矩陣秩的定義、矩陣秩的求法、向量組秩的定義、向量組秩的求法、矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)矩陣的秩、向量組的極大無(wú)關(guān)組、向量組的秩的定義參考教材同濟(jì)版《線性代數(shù)》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解向量組的極大無(wú)關(guān)組的概念、向量組的秩的概念、矩陣秩的概念；理解矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系；熟練掌握矩陣秩的求法、向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組的求法。教學(xué)基本內(nèi)容一、向量組秩的概念：向量組的極大無(wú)關(guān)組：設(shè)是一個(gè)維向量組（它可以包含有無(wú)限多個(gè)向量），如果在中取出個(gè)向量滿足條件：（1）向量組線性無(wú)關(guān)；（2）對(duì)于中任意的向量，向量組線性相關(guān)，則稱向量組為向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組.向量組的秩：向量組的任意一個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)向量組的秩，記為.定理1等價(jià)的向量組有相同的秩.二、矩陣秩的概念及求法：階子式：在矩陣中，任取行與列（），位于這些行列交叉處的個(gè)元素，不改變它們?cè)谥兴幍奈恢么涡蚨玫碾A行列式，稱為矩陣的階子式.矩陣的秩：設(shè)在矩陣中有一個(gè)不等于0的階子式，且所有階子式（如果存在的話）全等于0，那么稱為矩陣的最高階非零子式，數(shù)稱為矩陣的秩，記作.并規(guī)定，零矩陣的秩等于0.定理2矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩，即若，則.定理3矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，即若，則.三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系：定理4矩陣的行向量組的秩與它的列向量組的秩相等，都等于矩陣的秩.求向量組的秩的方法：以所給的向量組為列構(gòu)作矩陣，對(duì)矩陣實(shí)施初等行變換化為階梯形矩陣，則根據(jù)矩陣的階梯數(shù)給出矩陣的秩，從而給出向量組的秩.若進(jìn)一步將矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣，則向量組與向量組有相同的線性相關(guān)性，從而可以根據(jù)向量組的極大無(wú)關(guān)組給出向量組的極大無(wú)關(guān)組，并給出不屬于極大無(wú)關(guān)組的向量由極大無(wú)關(guān)組線性表示的表示式.四、主要例題：例1維單位坐標(biāo)向量組線性無(wú)關(guān)，所以該向量組的極大無(wú)關(guān)組就是它本身.例2設(shè)向量組，向量與的分量不對(duì)應(yīng)成比例，所以線性無(wú)關(guān).另外，由于，所以向量組線性相關(guān).因此，向量組是向量組的極大無(wú)關(guān)組.例3證明：一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的個(gè)數(shù).例4證明：任一維向量組的秩.例5證明：矩陣的秩與它的轉(zhuǎn)置矩陣的秩相等.例6用矩陣秩的定義求矩陣的秩.例7用矩陣秩的定義求矩陣的秩.例8求矩陣的秩.例9求向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把不屬于極大無(wú)關(guān)組的向量用極大無(wú)關(guān)組線性表示.隨堂練習(xí)：設(shè)，討論、為何值時(shí)，線性無(wú)關(guān)？授課序號(hào)04教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第四節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)、線性方程組有解的判定定理教學(xué)難點(diǎn)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)參考教材同濟(jì)版《線性代數(shù)》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求熟悉齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的求法；理解基礎(chǔ)解系與系數(shù)矩陣的秩之間的關(guān)系；理解齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。教學(xué)基本內(nèi)容一、線性方程組有解的判定定理：定理1設(shè)有元非齊次線性方程組，系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別記為和，則(1)該線性方程組無(wú)解的充分必要條件是；(2)該線性方程組有解的充分必要條件是，且當(dāng)時(shí)有唯一解，當(dāng)時(shí)有無(wú)窮多解.定理2設(shè)有元齊次線性方程組，系數(shù)矩陣記為，則(1)該線性方程組只有零解的充分必要條件是；(2)該線性方程組有非零解的充分必要條件是.定理3矩陣方程有解的充分必要條件是.二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次線性方程組解向量的性質(zhì)：性質(zhì)1設(shè)為的任意的兩個(gè)解，則仍為的解.性質(zhì)2設(shè)為的任意解，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，仍為的解.定理4設(shè)矩陣的秩，則元齊次線性方程組一定有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系中所含向量的個(gè)數(shù)為，從而解集的秩.三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)：非齊次線性方程組解向量的性質(zhì)：性質(zhì)3設(shè)是的任意兩個(gè)解，則是導(dǎo)出組的解.性質(zhì)4設(shè)是的任意解，是導(dǎo)出組的任意解，則是的解.定理5如果是非齊次線性方程組任意給定的一個(gè)解（通常稱為特解），是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則非齊次線性方程組的通解可以表示為：，其中是任意實(shí)數(shù).推論在非齊次線性方程組有解的情形下，解唯一的充分必要條件是它的導(dǎo)出組只有零解.四、主要例題：例1已知向量組和，證明：向量組和向量組等價(jià).例2求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.例3求非齊次線性方程組的通解.隨堂練習(xí)：設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列各組向量中仍為的基礎(chǔ)解系的是（）.(A)(B)(C)(D)授課序號(hào)05教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第五節(jié)向量空間課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)向量空間、子空間de定義、向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)、基變換與坐標(biāo)變換教學(xué)難點(diǎn)向量空間的定義、基、坐標(biāo)、基變換與坐標(biāo)變換參考教材同濟(jì)版《線性代數(shù)》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解向量空間、基、維數(shù)、向量在基下的坐標(biāo)等概念；熟悉向量生成的向量空間、齊次線性方程組的解空間等向量空間的例子；熟悉向量空間的基、維數(shù)、向量在基下的坐標(biāo)的求法。教學(xué)基本內(nèi)容一、向量空間及其子空間：定義1設(shè)是維向量的集合，如果對(duì)于任意，，都有，則稱對(duì)向量的加法封閉；如果對(duì)任意及任意，都有，則稱對(duì)向量的數(shù)乘封閉.定義2設(shè)是維向量的集合，且非空，如果對(duì)向量的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算都封閉，則稱集合為向量空間.定義3設(shè)有向量空間與，如果（即是的子集），則稱向量空間是的子空間.二、向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)：定義4向量空間中的個(gè)向量如果滿足下列條件：（1）線性無(wú)關(guān)；（2）向量空間中任一向量都可以由線性表示，則稱為向量空間的一個(gè)基.數(shù)稱為向量空間的維數(shù)，記為，并稱為維向量空間.向量空間如果只含有一個(gè)零向量，則這個(gè)向量空間沒(méi)有基，它的維數(shù)為.命題1如果是向量空間的一個(gè)基，則中任一向量均可以由唯一線性表示.定義5設(shè)是向量空間的一個(gè)基，如果中任一向量可唯一線性表示為，則稱常數(shù)為向量在基下的坐標(biāo).三、基變換與坐標(biāo)變換：定義6設(shè)與是維向量空間的兩個(gè)基，存在系數(shù)矩陣，使得.矩陣稱為從基到基的過(guò)渡矩陣.坐標(biāo)變換公式：設(shè)與是的兩個(gè)基，任一向量在基與基下的坐標(biāo)分別為和，令矩陣，，矩陣是從基到基的過(guò)渡矩陣，則稱為從坐標(biāo)到坐標(biāo)的坐標(biāo)變換公式；稱為從坐標(biāo)到坐標(biāo)的坐標(biāo)變換公式.四、主要例題：例1驗(yàn)證集合，對(duì)向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉.例2驗(yàn)證集合對(duì)向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算均不封閉.例3維向量的全體組成的集合對(duì)向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成向量空間