2022年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：函數(shù)綜合

1/12022北京初三一模數(shù)學(xué)匯編函數(shù)綜合一、解答題1．（2022·北京東城·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與y軸交于點(diǎn)A．點(diǎn)是拋物線上的任意一點(diǎn)，且不與點(diǎn)A重合，直線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)．(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的式子表示）；(2)若點(diǎn)，在拋物線上，則a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；(3)若對(duì)于時(shí)，總有，求m的取值范圍．2．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐標(biāo)xOy中，點(diǎn)在拋物線上．(1)求拋物線的對(duì)稱軸；(2)拋物線上兩點(diǎn)，，且，．①當(dāng)時(shí)，比較，的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若對(duì)于，，都有，直接寫出t的取值范圍．3．（2022·北京大興·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知關(guān)于x的二次函數(shù)．(1)若此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為．①求此二次函數(shù)的解析式；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；(2)若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值都大于a，求a的取值范圍．4．（2022·北京豐臺(tái)·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（2，m），N（4，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上．(1)若m＝n，求該拋物線的對(duì)稱軸；(2)已知點(diǎn)P（﹣1，P）在該拋物線上，設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸為x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范圍．5．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)B．(1)用含a的式子表示b；(2)求拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)分別過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M和點(diǎn)N，記拋物線在M，N之間的部分為圖象G（包括M，N兩點(diǎn)）．記圖形G上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是m，最小值為n．①當(dāng)時(shí)，求的最小值；②若存在實(shí)數(shù)t，使得，直接寫出a的取值范圍．6．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2bx．(1)當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)（2，0）時(shí)，求拋物線的表達(dá)式；(2)求這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸（用含b的式子表示）；(3)若拋物線上存在兩點(diǎn)A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），當(dāng)y1?y2＜0時(shí)，求b的取值范圍．7．（2022·北京門頭溝·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（是常數(shù)）．(1)求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含代數(shù)式表示）；(2)如果該拋物線上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，直接寫出的取值范圍；(3)如果點(diǎn)，都在該拋物線上，當(dāng)它的頂點(diǎn)在第四象限運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，求的取值范圍．8．（2022·北京房山·一模）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）與點(diǎn)C（0，-3），其頂點(diǎn)為P．(1)求二次函數(shù)的解析式及P點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)m≤x≤m+1時(shí)，y的取值范圍是-4≤y≤2m，求m的值．9．（2022·北京朝陽(yáng)·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上．(1)若，求的值；(2)若，求值的取值范圍．10．（2022·北京西城·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)若，①求此拋物線的對(duì)稱軸；②當(dāng)時(shí)，直接寫出y的取值范圍；(2)已知點(diǎn)，在此拋物線上，其中．若，且，比較，的大小，并說(shuō)明理由．11．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的解析式以及圖象頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上．若，求m的取值范圍．12．（2022·北京通州·一模）已知拋物線過(guò)，，三點(diǎn)．(1)求n的值（用含有a的代數(shù)式表示）；(2)若，求a的取值范圍．

參考答案1．(1)(2)(3)【分析】（1）由，可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由（1）可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線，可知關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而可知的關(guān)系；（3）將代入，得，則，過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線解析式為，當(dāng)時(shí)，由題意知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，，即，可得，可得；當(dāng)時(shí)，由題意知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，計(jì)算求出此時(shí)的取值范圍；進(jìn)而可得的取值范圍．（1）解：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）解：由（1）可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，故答案為：．（3）解：將代入，得，∴，將代入，解得，∴，當(dāng)時(shí)，由題意知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，∵，∴，即，解得，∴，∴；當(dāng)時(shí)，由題意知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，∵對(duì)于時(shí)，總有，∴，解得，∴；綜上所述，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．2．(1)(2)①，理由見詳解；②或【分析】（1）對(duì)于拋物線，令，可得，可知點(diǎn)（0，2）在拋物線上，根據(jù)點(diǎn)也在拋物線上，由拋物線的對(duì)稱性，可知該拋物線的對(duì)稱軸為；（2）根據(jù)題意，大致畫出拋物線圖象．①當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意可計(jì)算、的取值范圍，再結(jié)合拋物線圖象判斷，的大小即可；②分情況討論，當(dāng)、、三種情況下，區(qū)域和區(qū)域的位置及移動(dòng)方向，確定滿足條件的t的取值范圍．（1）解：對(duì)于拋物線，令，可得，即該拋物線與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)（0，2），又∵點(diǎn)也在拋物線上，∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可知該拋物線的對(duì)稱軸為；（2）根據(jù)題意，大致畫出拋物線圖象，如下圖，①當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意可知，，，，即有，，由圖象可知，；②若對(duì)于，，都有，可分情況討論，如下圖：當(dāng)時(shí)，，，由圖象對(duì)稱性可知，成立；當(dāng)時(shí)，區(qū)域向左移動(dòng)，區(qū)域向右移動(dòng)且都移動(dòng)t個(gè)單位，由圖象對(duì)稱性可知，成立；當(dāng)時(shí)，區(qū)域、區(qū)域相向移動(dòng)，兩區(qū)域相遇時(shí)，有，解得，在時(shí)，成立；相遇后，再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，兩區(qū)域分離時(shí)，有，解得；分離后，即時(shí)，隨著t的增大，由圖象對(duì)稱性可知，成立；綜上所述，滿足條件的t的取值范圍為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，用數(shù)形結(jié)合和分情況討論的數(shù)學(xué)思想分析問(wèn)題．3．(1)①；②>；(2)．【分析】（1）①根據(jù)對(duì)稱軸求出a的值，即可得到二次函數(shù)的解析式；②把二次函數(shù)的解析式配方即可得到解答；（2）由題意可得原函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=a，開口向上，且x≥-2時(shí)函數(shù)值隨x的增大而增大，求出x=-2時(shí)y的值，再由y>a即可得到題目解答．(1)解：①由題意可得：,解之可得：a=1，∴二次函數(shù)的解析式為：；②∵=，∴y≥5，當(dāng)x=1時(shí)，y=5；當(dāng)x≠1時(shí)，y>5，故答案為>；(2)解：∵=，∴原函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=a，開口向上，∵，∴當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大，∵當(dāng)x=-2時(shí)，y=4+4a+6=10+4a，∴10+4a>a，解之可得：a>，∴a的取值范圍為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱軸、配方法及最值、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．(1)x=3(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)值相同的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱求解即可；（2）根據(jù)題意列出相應(yīng)不等式，然后將不等式化簡(jiǎn)為對(duì)稱軸的形式得出相應(yīng)不等式解集，根據(jù)不等式解集的確定方法求解即可．（1）解：當(dāng)m=n時(shí)，對(duì)稱軸為；（2）解：根據(jù)題意可得：m=4a+2b，n=16a+4b，p=a-b，∵m<p<n，mn<0，∴m<0，n>0，∴4a+2b<0，16a+4b>0，化簡(jiǎn)得：①，②，∵m<p<n，∴化簡(jiǎn)③得，化簡(jiǎn)④得，∵t=∴綜合①②③④可得：1<t．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及利用不等式確定解集，理解題意，掌握不等式的性質(zhì)及二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．(1)(2)，(3)①1；②或【分析】（1）把點(diǎn)代入即可得；（2）由對(duì)稱軸公式可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，由拋物線對(duì)稱性得點(diǎn)坐標(biāo)；（3）①當(dāng)時(shí)，，即得拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)圖象為對(duì)稱圖形時(shí)有最小值，可得，，即得的最小值為；②由（1）知拋物線為，得，，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，可分四種情況討論的取值：（Ⅰ）當(dāng)，且時(shí)，，解得，可得；（Ⅱ）當(dāng)，且時(shí)，，可得，（Ⅲ）當(dāng)，且時(shí)，，可得；（Ⅳ）當(dāng)，且時(shí)，，可得，即知當(dāng)時(shí)，，同理可得：當(dāng)時(shí)，也符合條件．（1）解：把點(diǎn)代入得：，；（2）解：由（1）知拋物線為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，而關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，由拋物線對(duì)稱性得：點(diǎn)坐標(biāo)；（3）解：①如圖：當(dāng)時(shí)，，拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由圖象知：當(dāng)圖象為對(duì)稱圖形時(shí)有最小值，又，，，，，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)和點(diǎn)，，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，的最小值為；②點(diǎn)和點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)和點(diǎn)，由（1）知拋物線為，，，，又拋物線對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)、點(diǎn)的相對(duì)位置和拋物線的開口方向可分以下四種情況討論的取值：（Ⅰ）當(dāng)，且時(shí)，即圖象在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，點(diǎn)的縱坐標(biāo)最小，，解得，又，，且，；（Ⅱ）當(dāng)，且時(shí)，即圖象在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，點(diǎn)的縱坐標(biāo)最小，，解得，又，，且，，（Ⅲ）當(dāng)，且時(shí)，即最低點(diǎn)是拋物線頂點(diǎn)且點(diǎn)縱坐標(biāo)大時(shí)，此時(shí)，，，解得，又，，，，；（Ⅳ）當(dāng)，且時(shí)，即最低點(diǎn)是拋物線頂點(diǎn)時(shí)且點(diǎn)縱坐標(biāo)大，此時(shí)，，，解得，又，，，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，，同理可得：當(dāng)時(shí)，也符合條件，的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大，解題的關(guān)鍵是分類討論圖象上縱坐標(biāo)的大小值．6．(1)；(2)；(3)或【分析】（1）把代入解析式，解答即可；（2）根據(jù)對(duì)稱軸為直線計(jì)算即可；（3）把坐標(biāo)代入解析式后，整理，最終轉(zhuǎn)化為解不等式問(wèn)題．(1)解：把代入解析式，，解得，拋物線的解析式為：．(2)解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線：，(3)解：將A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2）代入得，，整理得：，，當(dāng)y1?y2＜0時(shí)，則，，，令，解得：，根據(jù)高次不等式的求解法則，的解集為，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式，對(duì)稱軸的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，對(duì)稱軸的公式，靈活運(yùn)用拋物線的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)．7．(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（m，m-2）；(2)2＜m＜4；(3)a≥1．【分析】（1）將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解．（2）由拋物線上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，及拋物線開口向下可得頂點(diǎn)在直線y=0和直線y=2之間，進(jìn)而求解．（3）由頂點(diǎn)在第四象限可得m的取值范圍，由y1＜y2可得點(diǎn)B到對(duì)稱軸距離大于點(diǎn)A到對(duì)稱軸距離，進(jìn)而求解．（1）∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（m，m-2）；（2）∵拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m-2），∴0＜m-2＜2，解得2＜m＜4；（3）∵拋物線頂點(diǎn)在第四象限，∴，解得0＜m＜2，∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x=m且y1＞y2，∴在對(duì)稱軸右側(cè)，∴a+2-m＞|a-m|，即a+2-m＞a-m或a+2-m＞m-a，解得a＞m-1，∵0＜m＜2，∴a≥1．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．8．(1)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)得出答案；（2）分①時(shí)，②當(dāng)時(shí)，兩種情況分別求解即可．(1)解：解：點(diǎn)、在二次函數(shù)的圖象上，，解得，二次函數(shù)的解析式為：，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)解：時(shí)，的最小值為，，即，①時(shí)，，由，解得：（舍去），，②當(dāng)時(shí)，，由，解得：（舍去），（舍去），綜上：的值為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確分類討論得出的取值范圍．9．(1)0(2)【分析】（1）將和分別代入函數(shù)解析式，根據(jù)，可解出b的值，再將代入函數(shù)解析式，可解出c的值；（2）若，由于函數(shù)圖像開口向上，函數(shù)值越小離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越大離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，結(jié)合二次函數(shù)對(duì)稱性可判斷出對(duì)稱軸的取值范圍，把點(diǎn)帶入中求出，進(jìn)而可求出值的取值范圍．(1)解：將和分別代入解析式，得，，，，解得，把點(diǎn)帶入中，得，解得，函數(shù)解析式為當(dāng)，；(2)解：，中，，函數(shù)圖像開口向上，又，，，解得，把點(diǎn)帶入中，得，，將代入解析式，得，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，牢固掌握以上知識(shí)點(diǎn)并學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合是做出本題的關(guān)鍵．10．(1)①，②(2)【分析】（1）①拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求出a，再代入對(duì)稱軸公式求解即可；②因?yàn)?，所以頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，分別求出x=1和x=5時(shí)y的值，即可求解；（2）根據(jù)得>，說(shuō)明的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)，即離對(duì)稱軸較近，離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，由即可求解．（1）解：①∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．∴解得a=1，∴∴對(duì)稱軸；②當(dāng)時(shí)，y當(dāng)x=1時(shí)，y=-1，當(dāng)x=5時(shí)，y=3∴當(dāng)時(shí)，．（2）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．∴m=4a-2(a+4)+3=2a-5>0∴a對(duì)稱軸∵a∴∴∵∴

∴>，又∵∴的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，即離對(duì)稱軸較近，離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，又∵a>0，拋物線的開口向上，則自變量x離對(duì)稱軸距離越近函數(shù)值越小∴【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式、對(duì)稱軸公式、頂點(diǎn)坐標(biāo)、二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．(1)，（1，-1）；(2)【分析】（1）把點(diǎn)代入，即可求解；（2）先求出一次函數(shù)的解析式為，再根據(jù)題意列出不等式，即可求解．(1)解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．∴，解得：a=1，∴該二次函數(shù)的解析式為，∵，∴圖象頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-1）；(2)解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∴，解得：b=5，∴一次函數(shù)的解析式為，∵點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上．∴，，∵，∴，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)