圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題

關(guān)于圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問(wèn)題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。這類問(wèn)題一般有以下三種類型：（1）求中點(diǎn)弦所在直線方程問(wèn)題；（2）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題；（3）求弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題。其解法有代點(diǎn)相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對(duì)稱變換法等。一、求中點(diǎn)弦所在直線方程問(wèn)題例1過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦所在的直線方程。解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），則是方程的兩個(gè)根，于是，又M為AB的中點(diǎn)，所以，解得，故所求直線方程為。解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），M（2，1）為AB的中點(diǎn)，所以，，又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則，，兩式相減得，所以，即，故所求直線方程為。解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A()，由于中點(diǎn)為M（2，1），則另一個(gè)交點(diǎn)為B(4-)，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在橢圓上，所以有，兩式相減得，由于過(guò)A、B的直線只有一條，故所求直線方程為。二、求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題例2過(guò)橢圓上一點(diǎn)P（-8，0）作直線交橢圓于Q點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程。解法一：設(shè)弦PQ中點(diǎn)M（），弦端點(diǎn)P（），Q（），則有，兩式相減得，又因?yàn)椋?，所以，所以，而，故?；?jiǎn)可得（）。解法二：設(shè)弦中點(diǎn)M（），Q（），由，可得，，又因?yàn)镼在橢圓上，所以，即，所以PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為（）。三、弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題例3求直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。解：解法一：設(shè)直線與拋物線交于，，其中點(diǎn)，由題意得，消去y得，即，所以，，即中點(diǎn)坐標(biāo)為。解法二：設(shè)直線與拋物線交于，，其中點(diǎn)，由題意得，兩式相減得，所以，所以，即，，即中點(diǎn)坐標(biāo)為。上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問(wèn)題的一些基本解法。下面我們看一個(gè)結(jié)論引理設(shè)A、B是二次曲線C：上的兩點(diǎn)，P為弦AB的中點(diǎn)，則。設(shè)A、B則……（1）……（2）得∴∴∵∴∴即。（說(shuō)明：當(dāng)時(shí)，上面的結(jié)論就是過(guò)二次曲線C上的點(diǎn)P的切線斜率公式，即）推論1設(shè)圓的弦AB的中點(diǎn)為P（，則。（假設(shè)點(diǎn)P在圓上時(shí)，則過(guò)點(diǎn)P的切線斜率為）推論2設(shè)橢圓的弦AB的中點(diǎn)為P（，則。（注：對(duì)a≤b也成立。假設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，則過(guò)點(diǎn)P的切線斜率為）推論3設(shè)雙曲線的弦AB的中點(diǎn)為P（則。（假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，則過(guò)P點(diǎn)的切線斜率為）推論4設(shè)拋物線的弦AB的中點(diǎn)為P（則。（假設(shè)點(diǎn)P在拋物線上，則過(guò)點(diǎn)P的切線斜率為我們可以直接應(yīng)用上面這些結(jié)論解決有關(guān)問(wèn)題，下面舉例說(shuō)明。例1、求橢圓斜率為3的弦的中點(diǎn)軌跡方程。解：設(shè)P（x，y）是所求軌跡上的任一點(diǎn)，則有，故所示的軌跡方程為16x+75y=0例2、已知橢圓A、B是橢圓上兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線l與x軸相交于P，求證：。證明：設(shè)AB的中點(diǎn)為T，由題設(shè)可知AB與x軸不垂直，∴，∴∵l⊥AB∴∴l(xiāng)的方程為：令y=0得∴∵∴∴例3、已知拋物線C：，直線要使拋物線C上存在關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，的取值范圍是什么？解：設(shè)C上兩點(diǎn)A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，AB的中點(diǎn)為P（∴∴∵P∈∴∴∴∴∵P在拋物線內(nèi)，∴∴∴∴ 與拋物線有關(guān)的弦的中點(diǎn)的問(wèn)題（1）中點(diǎn)弦問(wèn)題：（上題麻煩了。是圓不用中點(diǎn)法）例1由點(diǎn)向拋物線引弦，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程。分析：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是找到弦的端點(diǎn)A、B在直線上的性質(zhì)和在拋物線上的性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。解法1：利用點(diǎn)差法。設(shè)端點(diǎn)為A，B，則，，兩式相減得，①①式兩邊同時(shí)除以，得，②設(shè)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，③又點(diǎn)和點(diǎn)在直線AB上，所以有。④將③、④代入②得，整理得。故得中點(diǎn)的軌跡方程是在拋物線內(nèi)部的部分。解法2：設(shè)弦AB所在直線的方程為，由方程組消去并整理得，（3）設(shè)A、B、中點(diǎn)，對(duì)于方程（3），由根與系數(shù)的關(guān)系，有，∴代入（1）得故得所求弦中點(diǎn)的軌跡方程是在拋物線內(nèi)部的部分。評(píng)注：（1）求點(diǎn)的軌跡方程即是求曲線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，本題所給出的兩種方法，都是找動(dòng)點(diǎn)與已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，列關(guān)于，的關(guān)系式，進(jìn)而求出軌跡的方程。（2）弦中點(diǎn)軌跡問(wèn)題設(shè)拋物線（）的弦AB，A，B，弦AB的中點(diǎn)C，則有，（1）－（2）得，∴，將，，代入上式，并整理得，這就是弦的斜率與中點(diǎn)的關(guān)系，要學(xué)會(huì)推導(dǎo)，并能運(yùn)用。例2已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，試求弦AB的中點(diǎn)軌跡方程。解：如圖，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，并設(shè)A、B、M點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，根據(jù)題意設(shè)有，①，②，③，④，⑤④代入①－②得，，∵，∴，⑥⑥代入⑤得，，即。評(píng)注：本題還有其他解答方法，如設(shè)AB的方程為，將方程代入，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出弦中點(diǎn)的軌跡方程。例6求直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。解：解法一：設(shè)直線與拋物線交于，，其中點(diǎn)，由題意得，消去y得，即，所以，，即中點(diǎn)坐標(biāo)為。解法二：設(shè)直線與拋物線交于，，其中點(diǎn)，由題意得，兩式相減得，所以，所以，即，，即中點(diǎn)坐標(biāo)為。用點(diǎn)差法解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，我們稱之為圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題。解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為、，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。本文用這種方法作一些解題的探索。以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程例1、過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為、 為的中點(diǎn)又、兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得于是即，故所求直線的方程為，即。例2、已知雙曲線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說(shuō)明理由。策略：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線，然后驗(yàn)證它是否滿足題設(shè)的條件。本題屬于中點(diǎn)弦問(wèn)題，應(yīng)考慮點(diǎn)差法或韋達(dá)定理。解：設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦，且、則，，兩式相減，得故直線由消去，得 這說(shuō)明直線與雙曲線不相交，故被點(diǎn)平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。評(píng)述：本題如果忽視對(duì)判別式的考察，將得出錯(cuò)誤的結(jié)果，請(qǐng)務(wù)必小心。由此題可看到中點(diǎn)弦問(wèn)題中判斷點(diǎn)的位置非常重要。（1）若中點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)，則被點(diǎn)平分的弦一般存在；（2）若中點(diǎn)在圓錐曲線外，則被點(diǎn)平分的弦可能不存在。過(guò)定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)軌跡例3、已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則，又，兩式相減得即，即點(diǎn)的坐標(biāo)為。例4、已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則，又，兩式相減得即，即，即由，得點(diǎn)在橢圓內(nèi)它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程為求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程例5、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程。解：設(shè)橢圓的方程為，則┅┅①設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則，，又，兩式相減得即┅┅②聯(lián)立①②解得，所求橢圓的方程是四、圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問(wèn)題例6、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱。解：設(shè)，為橢圓上關(guān)于直線的對(duì)稱兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則，兩式相減得，即