2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)+微專題7-全等三角形之六大模型++++課件

微專題7全等三角形之六大模型模型1

平移模型特點有一組邊共線或部分重合,另兩組邊分別平行示例思路常在移動方向上加(減)公共線段,構(gòu)造線段相等,或利用平行線性質(zhì)找到對應(yīng)角相等【針對訓(xùn)練】1.(2024·泰安泰山區(qū)一模)已知:如圖,點A,D,C,F在同一直線上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.求證:AD=CF.

模型2

對稱模型特點所給圖形可沿某一直線折疊,直線兩旁的部分能完全重合示例思路解題時先要確定全等三角形的對應(yīng)頂點(折疊后重合的頂點);還要注意隱含條件,即公共邊或公共角等【針對訓(xùn)練】2.(2024·樂山中考)如圖,AB是∠CAD的平分線,AC=AD,求證:∠C=∠D.

3.(2023·蘭州中考)綜合與實踐:問題探究:(1)如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個已知角,”即作一個已知角的平分線.如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法:在OA和OB上分別取點C和D,使得OC=OD,連接CD,以CD為邊作等邊三角形CDE,則OE就是∠AOB的平分線.請寫出OE平分∠AOB的依據(jù):_________;

類比遷移:(2)小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn):△CDE不一定必須是等邊三角形,只需CE=DE即可,他查閱資料:我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角,做法如下:如圖3,在∠AOB的邊OA,OB上分別取OM=ON,移動角尺,使角尺兩邊相同刻度分別與點M,N重合,則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線,請說明此做法的理由;拓展實踐:(3)小明將研究應(yīng)用于實踐.如圖4,校園的兩條小路AB和AC,匯聚形成了一個岔路口A,現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E,使得路燈照亮兩條小路(兩條小路一樣亮),并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等,試問路燈應(yīng)該安裝在哪個位置?請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置.(保留作圖痕跡,不寫作法)【解析】(1)∵△CDE是等邊三角形,∴CE=DE,又∵OC=OD,OE=OE,∴△OCE≌△ODE(SSS),∴∠COE=∠DOE,∴OE是∠AOB的平分線;答案:SSS(2)∵OM=ON,CM=CN,OC=OC,∴△OCM≌△OCN(SSS),∴∠AOC=∠BOC,∴射線OC是∠AOB的平分線;(3)如圖,點E即為所求的點.模型3

旋轉(zhuǎn)模型特點將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度構(gòu)成示例思路在旋轉(zhuǎn)過程中,兩個三角形無重疊或有重疊,找等角或運(yùn)用角的和差得到等角提醒:遇到共頂點,等線段,考慮用旋轉(zhuǎn)【針對訓(xùn)練】4.(2024·淄博沂源縣二模)如圖,點E在△ABC的外部,點D在BC上,DE交AC于點F,∠1=∠2=∠3,AB=AD.求證:△ABC≌△ADE.

5.(2024·菏澤一模)如圖1,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,點D是BC的中點.作正方形DEFG,使點A,C分別在DG和DE上,連接AE,BG.(1)猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是_________.

(2)將正方形DEFG繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤360°),①判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請利用圖2證明你的結(jié)論;②若BC=DE=4,當(dāng)AE取最大值時,求AF的值.

(2)①成立.理由:如圖,連接AD,∵在Rt△BAC中,D為斜邊BC的中點,∴AD=BD,AD⊥BC,∴∠ADG+∠GDB=90°.∵四邊形EFGD為正方形,∴DE=DG,且∠GDE=90°,∴∠ADG+∠ADE=90°,∴∠BDG=∠ADE.

模型4

對角互補(bǔ)模型特點一個四邊形有一對互補(bǔ)的對角示例思路通常從一個角頂點向另一個角的兩條邊作垂線,構(gòu)造出兩個直角三角形,并且利用互余關(guān)系可得到這兩個直角三角形的兩組銳角分別對應(yīng)相等【針對訓(xùn)練】6.(2023·煙臺模擬)如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°,求證:BC=CD.

(2)如圖,過點M作MP⊥AM,交AB的延長線于點P,∴∠AMP=90°,∵∠PAM=45°,∴∠P=∠PAM=45°,∴AM=PM,∵∠BMN=∠AMP=90°,∴∠BMP=∠AMN,∵∠DAC=∠P=45°,

模型5

一線三等角模型特點三個等角的頂點在同一直線上,稱一線三等角模型示例思路解題關(guān)鍵是利用三等角關(guān)系找全等三角形所需的角相等條件(如∠1=∠2)【針對訓(xùn)練】8.(2023·聊城中考)如圖,在四邊形ABCD中,點E是邊BC上一點,且BE=CD,∠B=∠AED=∠C.(1)求證:∠EAD=∠EDA;(2)若∠C=60°,DE=4,求△AED的面積.

9.(2024·濟(jì)寧任城區(qū)模擬)(1)如圖1,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點A,BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點D,E.證明:DE=BD+CE.(2)如圖2,將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D,A,E三點都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.(3)拓展與應(yīng)用:如圖3,D,E是D,A,E三點所在直線m上的兩動點(D,A,E三點互不重合),點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD,CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF的形狀.【解析】(1)∵BD⊥直線m,CE⊥直線m,∴∠BDA=∠CEA=90°,∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD,

(3)△DEF是等邊三角形.由(2)知,△ADB≌△CEA,BD=AE,∠DBA=∠CAE,∵△ABF和△ACF均為等邊三角形,∴∠ABF=∠CAF=60°,∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,∴∠DBF=∠FAE,

模型6

半角模型特點一個角包含著這個角的半角示例思路常將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并形成新的三角形,從而進(jìn)行等量代換,證明三角形全等【針對訓(xùn)練】10.(2024·東營河口區(qū)模擬)如圖,在△ABC中,∠CAB=90°,AC=AB,D,E是邊BC上的兩點,且∠DAE=45°,△ADB與△ADF關(guān)于直線AD對稱,連接EF.(1)求證:△AEF≌△AEC;(2)求∠DFE的度數(shù);(3)連接BF,FC,則∠DBF+∠ECF的度數(shù)為_________.

(2)∵∠CAB=90°,∴∠B+∠C=90°,∵△ADB與△ADF關(guān)于直線