2023屆高考數(shù)學特訓營-第3節(jié)-函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性

第3節(jié)函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性A級(基礎應用練)1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0，1)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()A．y=|log3x| B．y=x3C．y=e|x| D．y=cos|x|答案：C解析：對于A選項，函數(shù)定義域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函數(shù)，顯然B項中，y=x3是奇函數(shù)．對于C選項，函數(shù)的定義域是R，是偶函數(shù)，且當x∈(0，＋∞)時，函數(shù)是增函數(shù)，故在(0，1)上單調(diào)遞增，對于D選項，y=cos|x|在(0，1)上單調(diào)遞減．2．(2022?安徽省安慶市模擬)設函數(shù)f(x)=2x－2－x＋x3，則使得不等式f(2x－1)＋f(3)<0成立的實數(shù)x的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－∞，2)C．(－1，＋∞) D．(2，＋∞)答案：A解析：函數(shù)的定義域為R，f(－x)=2－x－2x－x3=－f(x)，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并由解析式可知函數(shù)是增函數(shù)，原不等式可化為f(2x－1)<f(－3)，∴2x－1<－3，解得x<－1，∴x的取值范圍是(－∞，－1)．(2022?咸陽模擬)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，若f(lnx)<f(2)，則x的取值范圍是()A．(0，e2) B．(e－2，＋∞)C．(e2，＋∞) D．(e－2，e2)答案：D解析：根據(jù)題意知，f(x)為偶函數(shù)且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(lnx)<f(2)?|lnx|<2，即－2<lnx<2，解得e－2<x<e2，即x的取值范圍是(e－2，e2)．4．(2022?河南省安陽市模擬)設函數(shù)f(x)滿足f(－x)=f(x)，且?x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，則()A．f(－2)<f(－3)<f(1)B．f(－3)<f(－2)<f(1)C．f(－1)<f(－2)<f(3)D．f(－1)<f(3)<f(－2)答案：C解析：由題意知?x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可得函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又由函數(shù)f(x)滿足f(－x)=f(x)，可得f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(－2)=f(2)，所以f(1)<f(2)<f(3)，即f(－1)<f(－2)<f(3)，故選C.5．(2021?全國甲卷)設函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x＋1)為奇函數(shù)，f(x＋2)為偶函數(shù)，當x∈[1，2]時，f(x)=ax2＋b.若f(0)＋f(3)=6，則f(eq\f(9,2))=()A．－eq\f(9,4) B．－eq\f(3,2)C.eq\f(7,4) D.eq\f(5,2)答案：D解析：因為f(x＋1)是奇函數(shù)，所以f(－x＋1)=－f(x＋1)①；因為f(x＋2)是偶函數(shù)，所以f(x＋2)=f(－x＋2)②.令x=1，由①得f(0)=－f(2)=－(4a＋b)，由②得f(3)=f(1)=a＋b.因為f(0)＋f(3)=6，所以－(4a＋b)＋a＋b=6?a=－2，令x=0，由①得f(1)=－f(1)?f(1)=0?b=2，所以f(x)=－2x2＋2.思路一：從定義入手．f(eq\f(9,2))=f(eq\f(5,2)＋2)=f(－eq\f(5,2)＋2)=f(－eq\f(1,2))，f(－eq\f(1,2))=f(－eq\f(3,2)＋1)=－f(eq\f(3,2)＋1)=－f(eq\f(5,2))，－f(eq\f(5,2))=－f(eq\f(1,2)＋2)=－f(－eq\f(1,2)＋2)=－f(eq\f(3,2))，所以f(eq\f(9,2))=－f(eq\f(3,2))=eq\f(5,2).思路二：從周期性入手，由兩個對稱性可知，函數(shù)f(x)的周期T=4.所以f(eq\f(9,2))=f(eq\f(1,2))=－f(eq\f(3,2))=eq\f(5,2).故選D.6．(2022?遼寧省模擬)寫出一個單調(diào)遞減的奇函數(shù)：________．答案：y=－x(答案不唯一)解析：y=－x在定義域R上是減函數(shù)，又f(－x)=x=－(－x)=－f(x)，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故答案為y=－x(答案不唯一)．7．(2022?江西省鷹潭模擬)f(x)為R上的奇函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(1)=0，則不等式xf(－x)<0的解集為________．答案：(－1，0)∪(0，1)解析：不等式xf(－x)<0可化為xf(x)>0，畫出f(x)的圖象如圖所示，∴xf(x)>0的解集為(－1，0)∪(0，1)．8．(2022?江蘇省淮安市模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x＋2)=－f(x)，且當－1≤x<0時，f(x)=－x2＋2，則函數(shù)f(x)的周期為________，f(2023)=________．答案：41解析：由f(x＋2)=－f(x)?f(x＋2＋2)=－f(x＋2)=－[－f(x)]，即f(x)=f(x＋4)，所以函數(shù)f(x)的周期為4.f(2023)=f(505×4＋3)=f(3)=f[3＋(－4)]=f(－1)=－(－1)2＋2=1.B級(綜合創(chuàng)新練)9．(多選題)(2022?遼寧葫蘆島興城模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意x都有f(2＋x)=f(2－x)，且f(－x)=f(x)，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)的圖象關于x=2對稱B．f(x)的圖象關于(2，0)對稱C．f(x)的最小正周期為4D．y=f(x＋4)為偶函數(shù)答案：ACD解析：∵f(2＋x)=f(2－x)，則f(x)的圖象關于x=2對稱，故A正確，B錯誤；∵函數(shù)f(x)的圖象關于x=2對稱，則f(－x)=f(x＋4)，又f(－x)=f(x)，∴f(x＋4)=f(x)，∴T=4，故C正確；∵T=4且f(x)為偶函數(shù)，故y=f(x＋4)為偶函數(shù)，故D正確．10．(多選題)關于函數(shù)f(x)=sinx＋eq\f(1,sinx)有如下四個命題，其中為真命題的是()A．f(x)的圖象關于y軸對稱B．f(x)的圖象關于原點對稱C．f(x)的圖象關于直線x=eq\f(π,2)對稱D．f(x)的最小值為2答案：BC解析：∵f(x)=sinx＋eq\f(1,sinx)的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x)=sin(－x)＋eq\f(1,sin（－x）)=－sinx－eq\f(1,sinx)=－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，關于原點對稱，故A錯誤，B正確．∵f(eq\f(π,2)－x)=cosx＋eq\f(1,cosx)，f(eq\f(π,2)＋x)=cosx＋eq\f(1,cosx)，∴f(eq\f(π,2)－x)=f(eq\f(π,2)＋x)，∴f(x)的圖象關于直線x=eq\f(π,2)對稱，故C正確．當x∈(－eq\f(π,2)，0)時，f(x)<0，故D錯誤．11．(2022?聊城模擬)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，且f(x)∈[－2，4]，那么當x∈[－3，－1]時，f(－3)=________，f(x)max=________．答案：－24解析：∵偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，∴f(－3)=f(3)=－2，偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，∴f(x)在區(qū)間[－3，－1]上單調(diào)遞增，∴f(x)max=f(－1)=f(1)=4.12．設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f(x＋1)=f(x－1)，已知當x∈[0，1]時，f(x)=2x，則有①2是函數(shù)f(x)的周期；②函數(shù)f(x)在(1，2)上是減函數(shù)，在(2，3)上是增函數(shù)；③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正確命題的序號是________．答案：①②解析：在f(x＋1)=f(x－1)中，令x－1=t，則有f(t＋2)=f(t)，因此2是函數(shù)f(x)的周期，故①正確；當x∈[0，1]時，f(x)=2x是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期性知，函數(shù)f(x)在(1，2)上是減函數(shù)，在(2，3)上是增函數(shù)，故②正確；由②知，f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max=f(1)=2，f(x)的最小值f(x)min=f(0)=f(2)=20=1，且f(x)是周期為2的周期函數(shù)，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③錯誤．13．(2022?濟南模擬)設f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)=－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)=x.(1)求f(π)的值；(2)當－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積．解：(1)由f(x＋2)=－f(x)，得f(x＋4)=f[(x＋2)＋2]=－f(x＋2)=f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(π)=f(－1×4＋π)=f(π－4)=－f(4－π)=－(4－π)=π－4.(2)由f(x)是奇函數(shù)，且f(x＋2)=－f(x)，得f[(x－1)＋2]=－f(x－1)=f[－(x－1)]，即f(1＋x)=f(1－x)．知函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱．又當0≤x≤1時，f(x)=x，且f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如下圖所示．當－4≤x≤4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S=4S△OAB=4×(eq\f(1,2)×2×1)=4.14．對于定義域為D的函數(shù)y=f(x)，如果存在區(qū)間[m，n]?D，同時滿足：①f(x)在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當定義域是[m，n]時，f(x)的值域也是[m，n]，則稱[m，n]是該函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”．(1)求證：區(qū)間[0，2]是函數(shù)f(x)=eq\f(1,2)x2的一個“優(yōu)美區(qū)間”．(2)求證：函數(shù)g(x)=4＋eq\f(6,x)不存在“優(yōu)美區(qū)間”．(3)已知函數(shù)y=h(x)=eq\f(（a2＋a）x－1,a2x)(a∈R，a≠0)有“優(yōu)美區(qū)間”[m，n]，當a變化時，求出n－m的最大值．解：(1)f(x)=eq\f(1,2)x2在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，又f(0)=0，f(2)=2，∴f(x)=eq\f(1,2)x2的值域為[0，2]，∴區(qū)間[0，2]是f(x)=eq\f(1,2)x2的一個“優(yōu)美區(qū)間”．(2)設[m，n]是已知函數(shù)g(x)的定義域的子集．由x≠0，可得[m，n]?(－∞，0)或[m，n]?(0，＋∞)，∴函數(shù)g(x)=4＋eq\f(6,x)在[m，n]上單調(diào)遞減．假設[m，n]是已知函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＋\f(6,m)＝n，,4＋\f(6,n)＝m，))兩式相減得eq\f(6,m)－eq\f(6,n)=n－m，則eq\f(6（n－m）,mn)=n－m.∵n>m，∴mn=6，∴n=eq\f(6,m)，則4＋eq\f(6,m)=eq\f(6,m)，顯然等式不成立，∴函數(shù)g(x)=4＋eq\f(6,x)不存在“優(yōu)美區(qū)間”．(3)設[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．由x≠0，知[m，n]?(－∞，0)或[m，n]?(0，＋∞)，而函數(shù)y=h(x)=eq\f(（a2＋a）x－1,a2x)=eq\f(a＋1,a)－eq\f(1,a2x)在[m，n]上單調(diào)遞增．若[m，n]是已知函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h（m）＝m，,h（n）＝n，))∴m，n是方程eq\f(a＋1,a)－eq