2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：古典概型、概率的基本性質(zhì)【八大題型】原卷版

古典概型、概率的基本性質(zhì)【八大題型】

?熱點題型歸納

【題型1古典概型】...........................................................................3

【題型2有放回與無放回問題的概率】..........................................................3

【題型3概率基本性質(zhì)的應(yīng)用】................................................................4

【題型4幾何概型】...........................................................................4

【題型5古典概型與函數(shù)的交匯問題】..........................................................6

【題型6古典概型與向量的交匯問題】..........................................................6

【題型7古典概型與數(shù)列的交匯問題】..........................................................7

【題型8古典概型與統(tǒng)計綜合】.................................................................8

?考情分析

1、古典概型、概率的基本性質(zhì)

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

2022年新高考全國I卷：第5

題，5分

古典概型、概率的基本性質(zhì)是概率

2023年全國乙卷（文數(shù)）：

的基礎(chǔ)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，

⑴掌握古典概型及其計第9題，5分

本節(jié)是高考的熱點內(nèi)容，主要考查古典

算公式，能計算古典概型2023年全國甲卷（文數(shù)）：

概型及其計算、概率的基本性質(zhì)等，主

中簡單隨機事件的概率第4題，5分

要以選擇題或填空題的形式考查，難度

（2）了解概率的基本性質(zhì)，2024年新高考I卷：第14題，

不大；在解答題中出現(xiàn)時，往往古典概

能計算簡單隨機事件的概5分

型會與統(tǒng)計等知識結(jié)合考查，難度中等，

率2024年全國甲卷（文數(shù)）：

復(fù)習(xí)時需要加強這方面的練習(xí)，學(xué)會靈

第4題，5分

活求解.

2024年全國甲卷（理數(shù)）：

第16題，5分

?知識梳理

【知識點1古典概型及其解題策略】

1.古典概型

(1)事件的概率

對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件/的概率用P(4)表示.

(2)古典概型的定義

我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

(3)古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)

一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點：有限性和等可能性.并不是所

有的試驗都是古典概型.

下列三類試驗都不是古典概型：

①樣本點(基本事件)個數(shù)有限，但非等可能；

②樣本點(基本事件)個數(shù)無限，但等可能；

③樣本點(基本事件)個數(shù)無限，也不等可能.

2.古典概型的概率計算公式

一般地，設(shè)試驗K是古典概型，樣本空間/包含〃個樣本點，事件/包含其中的左個樣本點，則定義

事件/的概率P(⑷=幺=二螺，其中，〃(⑷和〃(。)分別表示事件/和樣本空間。包含的樣本點個數(shù).

nn(LJ)

3.求樣本空間中樣本點個數(shù)的方法

(1)枚舉法：適合于給定的樣本點個數(shù)較少且易一一列舉出的問題.

(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題，注意在確定樣本點時(x,y)可看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同，

有時也可看成是無序的，如(1,2)與(2,1)相同.

(3)排列組合法：再求一些較復(fù)雜的樣本點個數(shù)時，可利用排列或組合的知識進行求解.

4.古典概型與統(tǒng)計結(jié)合

有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型.概率與統(tǒng)計的結(jié)合題，無論是直接描

述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵.復(fù)雜事件的概

率可將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕蕟栴}.

【知識點2概率的基本性質(zhì)】

1.概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1對任意的事件都有P(4)>0.

性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即尸(。)=1,

P(0)=O.

性質(zhì)3如果事件/與事件3互斥，那么尸(4UB)=P(/)+P

(B).推廣：如果事件小，A2,Am.兩兩互斥，那么事件

4U4U…U4n發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率

之和，即尸(4U4U…U4)=p(4)+尸(42)+…+尸(4)

性質(zhì)4如果事件/與事件5互為對立事件，那么尸(5)=1-P(A),

P(A)=1

性質(zhì)5如果那么尸(A)<P(B).

性質(zhì)6設(shè)4,B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(4U5)=尸

(A)+P(B)-P(406).

2.復(fù)雜事件概率的求解策略

(1)對于一個較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個簡單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時，原事件的概率

就是這些簡單事件的概率的和.

(2)當(dāng)求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語時，常?？紤]其對立事件，通過求其對立

事件的概率，然后轉(zhuǎn)化為所求問題.

【方法技巧與總結(jié)】

1.概率的一般加法公式尸(/118)=2(/)+尸(2)-尸(/ng)中，易忽視只有當(dāng)/riB=0,即48互斥時，

P(/U8)=尸(N)+P(3),此時08)=0.

?舉一反三

【題型1古典概型】

【例1】(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取2張，則抽到的2

張卡片上的數(shù)都是奇數(shù)的概率為()

【變式1-1](2024?內(nèi)蒙古包頭?三模)將2個。和3個6隨機排成一行，則2個。不相鄰的概率為()

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7

【變式1-2](2024?西藏拉薩?二模)從3,4,5,6,7這5個數(shù)字中任取3個，則取出的3個數(shù)字的和為大于10

的偶數(shù)的概率是()

【變式1-3](2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模)袋中共有5個除顏色外完全相同的球，其中2個紅球、1個白

球、2個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為()

【題型2有放回與無放回問題的概率】

【例2】（2024?全國?模擬預(yù)測）盒中裝有1,2,3,4四個標(biāo)號的小球.小明在盒中隨機抽取兩次（不放

回），則抽中的兩次小球號碼均為偶數(shù)的概率為（）

1111

A-4B.5C,-D.-

【變式2-1］（23-24高三上?貴州?階段練習(xí)）從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2

張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

【變式2-2］（23-24高二下?四川眉山?階段練習(xí)）從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,

放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（）

N二1--

10B5cJ10DU-5

【變式2-3］（23-24高三上?江蘇南京?階段練習(xí)）從分別寫有1,2,3,4,5,6的六張卡片中無放回隨機抽取兩張,

則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

【題型3概率基本性質(zhì)的應(yīng)用】

【例3】（2024?全國?模擬預(yù)測）從裝有若干個紅球和白球（除顏色外其余均相同）的黑色布袋中，隨機不

放回地摸球兩次,每次摸出一個球.若事件“兩個球都是紅球”的概率為白，“兩個球都是白球”的概率為，則“兩

個球顏色不同”的概率為（）

A—R—Q—D—

、1515J15”15

【變式3-1］（24-25高二上?吉林?階段練習(xí)）設(shè)4B是一個隨機試驗中的兩個事件，且。（4）=JP（B）=|,P

（4+豆）=p貝UPO18）=（）

A1B工C-D—

A.335J510

【變式3-2］（23-24高二下?浙江舟山?期末）設(shè)/,8是一個隨機試驗中的兩個事件，且PQ4）=今P（R）=

P（AB+AB）=p貝UPQ4+B）=（）

【變式3-3］（23-24高二上?重慶?階段練習(xí)）已知4B,C,。四個開關(guān)控制著1,2,3,4號四盞燈，只要

打開開關(guān)2則:1,4號燈就會亮，只要打開開關(guān)B則2,3號燈就會亮，只要打開開關(guān)C則3,4號燈就會亮，

只要打開開關(guān)。則2,4號燈就會亮.開始時，A,B,C,。四個開關(guān)均未打開，四盞燈也都沒亮.現(xiàn)隨意打開

A,B,C,D這四個開關(guān)中的兩個不同的開關(guān)，則其中2號燈燈亮的概率為（）

【題型4幾何概型】

【例4】（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）七巧板被譽為“東方魔板”，是我國古代勞動人民的偉大發(fā)明之一，由

五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成.如圖是一個用七巧板拼成的正方形，

若向此正方形內(nèi)丟一粒小種子，則種子落入黑色平行四邊形區(qū)域的概率為（）

【變式4-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，正六邊形。PQRST的頂點是正六邊形4BCDEF的對角線的交點.

在正六邊形4BCDEF內(nèi)部任取一點，則該點取自正六邊形。PQRS7內(nèi)的概率為（）

【變式4-2］（2024?四川?模擬預(yù)測）剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他

民俗活動的民間藝術(shù).其傳承的視覺形象和造型格式，蘊涵了豐富的文化歷史信息，表達了廣大民眾的社會

認知、道德觀念等.剪紙藝術(shù)遺產(chǎn)先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名

錄.2024龍年新春來臨之際，許多地區(qū)設(shè)計了一幅幅精美的剪紙作品，它們都以龍為主題，展現(xiàn)了中華民族

對龍的崇拜和敬仰.這些作品不僅展示了剪紙藝術(shù)的獨特魅力，還傳遞了中華民族對美好生活的向往和對和

平的渴望.下圖是由某剪紙藝術(shù)家設(shè)計的一幅由外圍是正六邊形，內(nèi)是一個內(nèi)切圓組合而成的剪紙圖案，如

果隨機向剪紙投一點，則這點落在內(nèi)切圓內(nèi)的概率是（）

2V3K

A.里B.C.D,也

671671

【變式4-3］（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）如圖,圓。是正三角形4BC的內(nèi)切圓，則在aABC內(nèi)任取一點,

該點取自陰影部分的概率為（）

1V3K_2.

C.D.1-亨

4~92

【題型5古典概型與函數(shù)的交匯問題】

【例5】（2024?江西景德鎮(zhèn)?模擬預(yù)測）若拋擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)分別為a,b,貝廠在函數(shù)/（x）=%2+ax+b

aX_lj-X

的圖象與X軸有交點的條件下，滿足函數(shù)g（x）=而而為偶函數(shù)”的概率為（）

A4c2c

A.—B.m-備D-方

【變式5-1］（23-24高二上?山東荷澤?開學(xué)考試）己知集合2={0,1,2,3},aeA,beA,則函數(shù)/（久）=a%2

+bx+l有零點的概率為（）

3135

--C--

A.428D.

B.16

【變式5-2］（23-24高一下?陜西寶雞?期中）將一枚骰子拋擲兩次，所得向上點數(shù)分別為小和九，則函數(shù)

y=zn%2—4九%+1在［1,+8）上是增函數(shù)的概率是（）

1134

A.%B-4C-4D.g

【變式5-3］（23-24高一下?廣西崇左?階段練習(xí)）已知集合4=｛1,2,3,4,5,6｝,ae4力€4,則“使函數(shù)=

ln（%2+a久+6）的定義域為R”的概率為（）

AgB

八，36D--36JC-36uD.-36

【題型6古典概型與向量的交匯問題】

【例6】（2024?安徽黃山?一模）從集合｛1,2,4｝中隨機抽取一個數(shù)a,從集合｛2,4,5｝中隨機抽取一個數(shù)6,則

向量沆=（a,6）與向量丘=（2,-1）垂直的概率為（）

A.!B.IC.|D.|

【變式6-1］（23-24高一下?河北保定?階段練習(xí)）已知科幾6｛—2,—1,1,2｝,若向量方==（1,1）,

則向量2與向量至夾角為銳角的概率為（）

A巨Bc—￡）-

A-16-416U-8

【變式6-2］（23-24高一下?天津濱海新?階段練習(xí)）從集合｛0,1,2,3｝中隨機地取一個數(shù)a,從集合｛3,4,6｝中

隨機地取一個數(shù)b,則向量訪=（ha）與向量五=（1,一2）垂直的概率為（）

）

AA.—I?'g-3Lp.-4Dr.-6

【變式6-3］（23-24高二上?湖北黃石?期中）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為

1,2,3,4,5,6）,先后拋擲兩次，將得到的點數(shù)分別記為機，n,記向量花=（2m—3/—1）,加=（1,—1）的夾

角為仇則。為鈍角的概率是（）

【題型7古典概型與數(shù)列的交匯問題】

2

［例7］（23-24高三下?河南?階段練習(xí)）記數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,已知Sn=an—4cm+b,在數(shù)集｛—1,0,1｝

中隨機抽取一個數(shù)作為a,在數(shù)集｛—3,0,3｝中隨機抽取一個數(shù)作為6,則滿足Sn2s2（neN*）的概率為（）

【變式7-1］（23-24高三上?河南許昌?階段練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的《算盤全書》中提出了一個

關(guān)于兔子繁殖的問題：如果一對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第

三個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，從第1個月1對初生的小兔子開始，以后每

個月的兔子總對數(shù)是：1,1,2,3,5,8,13,21,這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是冊=

an_i+an_2（n>3meN*）,其中a1=1,a2=1.若從該數(shù)列的前2021項中隨機地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是

偶數(shù)的概率為（）

673

2021

c-iD.嬴

【變式7-2］（2024?北京?模擬預(yù)測）斐波那契數(shù)列仍九｝因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契（LeoTwrdodaFiboTiaci）

以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.因n趨向于無窮大時，占無限趨近于黃金分割數(shù)，也被稱

pn+l

為黃金分割數(shù)列.在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列｛Fn｝滿足％=&=1，Pn+2=Fn+1

+Fn,若從該數(shù)列前12項中隨機抽取1項，則抽取項是奇數(shù)的概率為（）

1723

A.5B.-C.-D.-

-1

【變式7-3］（2024?江蘇?一模）若數(shù)列｛即｝的通項公式為即=（一I）"，記在數(shù)列｛an｝的前n+2（neN*）

項中任取兩項都是正數(shù)的概率為Pn，則（）

A.Pi=|

B.Pin<P2n+2

C.P2n-l<P2n

D.P2n-1+P2n<02n+l+P2n+2-

【題型8古典概型與統(tǒng)計綜合】

［例8］（2024?全國?模擬預(yù)測）第24屆哈爾濱冰雪大世界開園后，為了了解進園游客對本屆冰雪大世界的

滿意度，從進園游客中隨機抽取50人進行調(diào)查并統(tǒng)計其滿意度評分，制成頻率分布直方圖如圖所示，其中

滿意度評分在［76,84）的游客人數(shù)為18.

頻率

（1）求頻率分布直方圖中a力的值；

⑵從抽取的50名游客中滿意度評分在［60,68）及［92,100］的游客中用分層抽樣的方法抽取5人，再從抽取的

5人中隨機抽取2人，求2人中恰有1人的滿意度評分在［60,68）的概率.

【變式8-1］（2024?四川成都?模擬預(yù)測）課外閱讀對于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀興趣、拓寬知識視野、提高閱讀能

力具有重要作用.某市為了解中學(xué)生的課外閱讀情況，從該市全體中學(xué)生中隨機抽取了500名學(xué)生，調(diào)查

他們在寒假期間每天課外閱讀平均時長t（單位：分鐘），得到如下所示的頻數(shù)分布表，已知所調(diào)查的學(xué)生

中寒假期間每天課外閱讀平均時長均不超過100分鐘.

時長t[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

學(xué)生人數(shù)5010020012525

（1）估計這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時長的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代

表）；

（2）若按照分層抽樣的方法從本次調(diào)查中寒假期間每天課外閱讀平均時長在［0,20）和［20,40）的兩組中共抽取

6人進行問卷調(diào)查，并從6人中隨機選取2人進行座談，求這2人中至少有一人寒假期間每天課外閱讀平均

時長在［0,20）的概率.

【變式8-2］（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時間（單位：小時），高一年級某班班主

任對本班40名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時間進行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根

據(jù)直方圖所提供的信息:

（1）①求該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù);

②用分層抽樣的方法在［20,25）和［25,30］中共抽取6人成立學(xué)習(xí)小組，再從該小組派3人接受檢測，求檢

測的3人來自同一區(qū)間的概率.

（2）①估計這40名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時間的25%分位數(shù)；

②將該班學(xué)生周末學(xué)習(xí)時間從低到高排列，那么估計第10名同學(xué)的學(xué)習(xí)時長;

【變式8-3】(2024?寧夏石嘴山?三模)為了慶祝黨的二十大勝利召開，培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興的時代新人，某

高中在全校三個年級開展了一次“不負時代，不負韶華，做好社會主義接班人”演講比賽.共1500名學(xué)生參

與比賽，現(xiàn)從各年級參賽學(xué)生中隨機抽取200名學(xué)生，并按成績分為五組：[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100],得到如下頻率分布直方圖，且第五組中高三學(xué)生占最

(1)求抽取的200名學(xué)生的平均成績3(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)；

(2)若在第五組中，按照各年級人數(shù)比例采用分層隨機抽樣的方法抽取7人，再從中選取2人組成宣講組，

在校內(nèi)進行義務(wù)宣講，求這2人都是高三學(xué)生的概率；

(3)若比賽成績x>79+s(s為樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差),則認為成績優(yōu)秀，試估計參賽的1500名學(xué)生成績優(yōu)秀

的人數(shù).

參考公式：s=〉(/一動人，(人是第i組的頻率)，

參考數(shù)據(jù)：囪=5.5

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?貴州?模擬預(yù)測）將除顏色外完全相同的2個紅球和1個白球隨機放入2個不同的盒子中，每個

盒子中至少放入1個球，則2個紅球分別放入不同盒子中的概率為（）

A.-B.-C.gD.-

2.（2024?陜西西安?一模）將5個1和2個0隨機排成一行，則2個0相鄰的概率為（）

3.（2024?上海長寧?一模）擲兩顆骰子，觀察擲得的點數(shù)；設(shè)事件/為：至少一個點數(shù)是奇數(shù)；事件5為:

點數(shù)之和是偶數(shù)；事件/的概率為PQ4）,事件2的概率為P（B）；貝駐―PQ4CB）是下列哪個事件的概率

A.兩個點數(shù)都是偶數(shù)B.至多有一個點數(shù)是偶數(shù)

C.兩個點數(shù)都是奇數(shù)D.至多有一個點數(shù)是奇數(shù)

4.（2024?四川樂山?三模）在區(qū)間［一5,10］上任取一個整數(shù)小，則使函數(shù)/'（x）=/——2nl存在兩個不

同零點的概率為（）

1-3c13r15

A?癡B.癡C,-D.-

5.（2024?四川內(nèi)江?三模）口袋中裝有質(zhì)地和大小相同的6個小球，小球上面分別標(biāo)有數(shù)字1,1,2,2,

3,3,從中任取兩個小球，則兩個小球上的數(shù)字之和大于4的概率為（）

A.1B.|C.|D.1

6.（23-24高一下?福建福州?期末）已知數(shù)據(jù)1,2,3,5,m。"為整數(shù)）的平均數(shù)是極差的赧，從這5

4

個數(shù)中任取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)之和不小于7的概率為（）

.2「3廠3

A.gB,-C.gD.-

7.（23-24高三上?山東濟南?階段練習(xí)）把一個正方體各面上均涂上顏色，并將各棱三等分，然后沿等分線

把正方體切開.若從所得的小正方體中任取一個，恰好抽到2個面有顏色的小正方體的概率為（）

8.（2024?北京東城?二模）袋中有5個大小相同的小球，其中3個白球，2個黑球.從袋中隨機摸出1個小

球，觀察顏色后放回，同時放入一個與其顏色大小相同的小球，然后再從袋中隨機摸出1個小球，則兩次

摸到的小球顏色不同的概率為（）

A.-B."C.-D.-

二、多選題

9.（2024?甘肅武威?模擬預(yù)測）某公司2023年的銷售額為1000萬元，2023年四個季度的銷售額情況統(tǒng)計

□第三季度□第四季度

其中第二季度銷售額是第一季度銷售額的2倍.則下列說法正確的是（）

A.該公司四個季度的銷售額先增長再下降

B.從這四個季度中任選兩個，則這兩個季度的銷售額都大于250萬的概率為1

C.從這四個季度中任選兩個，則這兩個季度的銷售額的和大于500萬的概率為3

D.從這四個季度中任選兩個，則這兩個季度的銷售額差的絕對值小于250萬的概率為:

O

10.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機取

出2個球.事件/="兩次取到的球顏色相同"；事件2="第二次取到紅球“；事件C="第一次取到紅球”.下

列說法正確的是（）

A.4UBB.事件8與事件C是互斥事件

C.P(4B)=TD.P(B+C)=3

11.（2024?廣東梅州?一模）如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格,

并且總是向右或右上或右下移動，而一■條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如從1移動到9,1—2—375—7->8r9

就是一條移動路線.從1移動到數(shù)字鞏幾=2,3，…,9）的不同路線條數(shù)記為rn,從1移動到9的事件中，跳過

數(shù)字n（n=2,3,…,8）的概率記為無，則下列結(jié)論正確的是（）

A.「6=8B.rn+1>rn

9

C.P5=五D.p7>p8

三、填空題

12.（2024?重慶?模擬預(yù)測）袋中裝有9個除顏色外完全相同的球，其中紅色球有3個，藍色球有6個，現(xiàn)

甲、乙，丙三人從中不放回地依次各抽一球，則至少有一人抽到紅色球的概率為.

13.（2024?江蘇?模擬預(yù)測）某校有4名同學(xué)到三個社區(qū)參加新時代文明實踐宣傳活動，要求每名同學(xué)只去

1個社區(qū)，每個社區(qū)至少安排1名同學(xué)，則甲、乙2人被分配到同一個社區(qū)的概率為.

14.（2024?四川自貢?二模）《定理匯編》記載了諸多重要的幾何定理，其中有一些定理是關(guān)于鞋匠刀形的,

即由在同一直線上同側(cè)的三個半圓所圍成的圖形，其被阿基米德稱為鞋匠刀形.如圖所示，三個半圓的圓心

分別為。，。1，02,半徑分別為R,ri,r2（其中R>「i>r2），在半圓。內(nèi)隨機取一點，此點取自圖中鞋

匠刀形（陰影部分）的概率為:，則斌=