2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)模型及其應(yīng)用（五大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第08講函數(shù)模型及其應(yīng)用

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1:幾種常見的函數(shù)模型..................................................................4

知識點2:解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟................................................................4

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型............................................................5

題型二：對勾函數(shù)模型..........................................................................7

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、幕函數(shù)模型....................................................8

題型四：已知函數(shù)模型的實際問題...............................................................10

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題...............................................................11

04真題練習(xí)?命題洞見...........................................................13

05課本典例?高考素材...........................................................15

06易錯分析?答題模板...........................................................16

易錯點：函數(shù)模型應(yīng)用錯誤.....................................................................16

答題模板：數(shù)學(xué)建模............................................................................16

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

高考對函數(shù)模型的考查相對穩(wěn)定，考

2023年I卷第10題，5分查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不

(1)利用函數(shù)模型解決問題2020年H卷第3題，5分大.2025年高考可能結(jié)合函數(shù)與生活應(yīng)用

2020年I卷第6題，5分進行考察，對學(xué)生建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能

力綜合考察.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異.

(2)理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.

(3)會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用.

「(一次函數(shù)模型)~(/(*)=3+伙4。為常數(shù)且“2

Y反比例函數(shù)模型)一(/(')=《+。的b為常數(shù)flfl*O)J

幾種常見的函數(shù)基)-《二次函數(shù)模型)(/(2=a\，+G+c(a,6,c為常數(shù)”0))

一(指數(shù)函數(shù)模型)(/(k)=6a'+c(a,瓦c為常數(shù),bw0,a>0,"l)2)

《對數(shù)函數(shù)模型］(/(x)=〃og}+c(a,/>,4^^,bw0,a>0,a*Q

：(函數(shù)模型)~(為常數(shù),。=

函數(shù)模型及其應(yīng)用■(/(x)=av-+5(a,50))

審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型;

建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利

解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟用已有知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.

考點突確.題理輝寶

「知識育親

知識點1:幾種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f{x}=ax+b{a,6為常數(shù)且aw0）

反比例函數(shù)模型k

于3=—+b（k,/?為常數(shù)且a。0）

X

二次函數(shù)模型/（x）=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)且a。。）

指數(shù)函數(shù)模型/（x）=bax+c（a,b,。為常數(shù)，bwO,a>0,awl）

對數(shù)函數(shù)模型

f（x）=blogax+c（a,b,。為常數(shù)，Z?wO,a>0,

aw1）

幕函數(shù)模型f（x）=axn+b（a,Z?為常數(shù)，awO）

【診斷自測】近年來，天然氣表觀消費量從2006年的不到600xl08m3激增到2021年的3726xl（）8m3.從

2000年開始統(tǒng)計，記％表示從2000年開始的第幾年，OVA,ZeN.經(jīng)計算機擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀消

費量隨時間的變化情況符合匕=%（1+4『，其中匕是從2000年后第4年天然氣消費量，匕是2000年的天

然氣消費量，4是過去20年的年復(fù)合增長率.已知2009年的天然氣消費量為900x1（/1113,2018年的天然氣

消費量為2880xl08m3,根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測2024年的天然氣消費量約為（）

222

（參考數(shù)據(jù):2.8?x2.02'3072.17,如?2.52

A.5817.6xl08m3B.6249.6xlO8m3

C.6928.2xl08m3D.7257.6xlO8m3

知識點2：解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟

（1）審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型;

（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應(yīng)的數(shù)

學(xué)模型；

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.

【診斷自測】長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效

益.每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)聯(lián)合調(diào)度，

水庫實際蓄水量

統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)=黑割黑詈xlOO）來衡量每座水庫的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)合

水庫息蓄水量

調(diào)度要求如下：

（i）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間［0,100］；

（ii）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；

（iii）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變.

記尤為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個y關(guān)于x的函數(shù)解析式：

1幾

@y=--x2+6x；②y=10?；③y=10貴；@y=100sin--%.

則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的個數(shù)為（）.

A.1B.2C.3D.4

題型洞察

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

【典例1-1】我國的煙花名目繁多，其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望在它達到最

高點時爆裂.如果煙花距地面的高度/7（單位：m）與時間r（單位：s）之間的關(guān)系為網(wǎng)。=-5/+15t+20,

那么煙花沖出后在爆裂的最佳時刻距地面高度約為（）

C.31米D.33米

【典例1-2］（2024?云南?二模）下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價格:

一次購買件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

每件價格37元32元30元27元25元

張師傅準備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（）

A.116件B.110件C.107件D.106件

【方法技巧】

1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個問題，將各段的變化

規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.

2、構(gòu)造分段函數(shù)時，要準確、簡潔，不重不漏.

【變式1-1]（2024?安徽淮南?一模）我國在2020年9月22日在聯(lián)合國大會提出，二氧化碳排放力爭于

2030年前實現(xiàn)碳達峰，爭取在2060年前實現(xiàn)碳中和.為了響應(yīng)黨和國家的號召，某企業(yè)在國家科研部門

的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該技術(shù)處理總成本y（單

位：萬元）與處理量x（單位：噸）（xe[120,500]）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為

|x3-80x2+5040x,XG[120,144)

當(dāng)處理量x等于多少噸時，每噸的平均處理成本最少（

200x+80000,xe[144,500]

A.120B.200C.240D.400

【變式1-2]（2024?高三?黑龍江佳木斯?期中）在新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測是新冠肺炎確診的有

效快捷手段，在某醫(yī)院成為新冠肺炎核酸檢測定點醫(yī)院并開展檢測工作的第〃天，設(shè)每個檢測對象從接受

檢測到檢測報告生成的平均耗時為人〃）（單位：小時），已知與”之間的函數(shù)關(guān)系為

-T=,n<N

7rlo

?（?）=,3。,N。為常數(shù)），并且第16天的檢測過程平均耗時16小時，第64天和第67天的檢

測過程平均耗時均為8小時，那么可得第49天的檢測過程平均耗時大約為（）

A.7小時B.8小時C.9小時D.10小時

【變式1-3】近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大方便?某共享單車公司計劃在甲、乙

兩座城市共投資120萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每座城市至少要投資40萬元?由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益

P（單位：萬元）與投入。（單位：萬元）滿足尸=3而-6,乙城市收益。（單位：萬元）與投入A（單位：萬

元）滿足Q=：A+2,則投資這兩座城市收益的最大值為（）

4

A.26萬元B.44萬元C.48萬元D.72萬元

題型二：對勾函數(shù)模型

【典例2-1]（2024?廣東韶關(guān)?二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計

算公式是W=（長+4）義（寬+4）,在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米,

每平方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

【典例2-2]（2024?高三?北京朝陽?期末）根據(jù)經(jīng)濟學(xué)理論，企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)量受勞動投入、資本投入和

技術(shù)水平的影響，用。表示產(chǎn)量，乙表示勞動投入，K表示資本投入，A表示技術(shù)水平，則它們的關(guān)系可

以表示為。=4不"，其中4>0,長>0/>0,0<&<1,0<刀<1.當(dāng)人不變，K與L均變?yōu)樵瓉淼?倍時，下面結(jié)

論中正確的是（）

A.存在&<：和/<],使得0不變

B.存在a>:和尸>￡,使得。變?yōu)樵瓉淼?倍

C.若矽=：，則。最多可變?yōu)樵瓉淼?倍

D.若。2+斤=1,則。最多可變?yōu)樵瓉淼?倍

【方法技巧】

1、解決此類應(yīng)用題一定要注意函數(shù)定義域；

b

2、利用/Xx）=ax+—求解最值時，注意取等的條件.

【變式2-1】某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時，需要12天完成，只由一名

女社員分裝時，需要18天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內(nèi)分裝完畢.由于現(xiàn)有的男、女社

員人數(shù)都不足以單獨完成任務(wù)，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.已知分裝這種蔬菜時會不

可避免地造成一些損耗.根據(jù)以往經(jīng)驗，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務(wù)的所有男社員會損耗蔬菜共80千

克，參與任務(wù)的所有女社員會損耗蔬菜共30千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與

女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（）

A.10B.15C.30D.45

【變式2-2]（2024?云南楚雄?模擬預(yù)測）足球是一項深受人們喜愛的體育運動.如圖，現(xiàn)有一個11人制

的標(biāo)準足球場，其底線寬AB=68m,球門寬EF=7.32m,且球門位于底線A3的中間，在某次比賽過程

中，攻方球員帶球在邊界線AC上的M點處起腳射門，當(dāng)N￡MF最大時，點M離底線A6的距離約為

A.26.32mB.28.15mC.33.80mD.37.66m

【變式2-3］（2024?黑龍江?二模）"不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”

指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板,

按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內(nèi)角

a滿足cosa=；，則這塊四邊形木板周長的最大值為（）

10(V10+>/5)10(A/10-A/5)

-----------------cm口.---------------cm

33

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、幕函數(shù)模型

【典例3-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）遺忘曲線（又稱作“艾賓浩斯記憶曲線”）由德國心理學(xué)家艾?賓浩斯

（H.Ebbinghaus）研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類大腦對新事物遺忘的規(guī)律.人體大腦對新事物遺忘的循序漸進的

直觀描述，人們可以從遺忘曲線中掌握遺忘規(guī)律并加以利用，從而提升自我記憶能力.該曲線對人類記憶

認知研究產(chǎn)生了重大影響.陳同學(xué)利用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率y與初次記憶經(jīng)

過的時間X（小時）的大致關(guān)系：y=l-0.6f°6若陳同學(xué)需要在明天15時考語文考試時擁有復(fù)習(xí)背誦記憶

的50%,則他復(fù)習(xí)背誦時間需大約在（）

A.14：30B.14：00C.13：30D.13：00

【典例3?2】（2024?陜西渭南?二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)研

究可知：在室溫25c下，某種綠茶用85c的水泡制，經(jīng)過^后茶水的溫度為yC,且

、=匕0.9227*+25（X20,kER）.當(dāng)茶水溫度降至60c時飲用口感最佳，此時茶水泡制時間大約為（）

（參考數(shù)據(jù)：ln2?0.69,ln3?1.10,ln7?1.95,ln0.9227?-0.08）

A.6minB.7minC.8minD.9min

【方法技巧】

1、在解題時，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的函數(shù)模型，與增

長率、銀行利率等有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型.

2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、基函數(shù)模型問題時，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,

然后再借助函數(shù)圖像求解最值問題.

【變式3-1】為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密

鑰密碼系統(tǒng)（PrivateKeyCryptosystem）,其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文一密文（加密），接收方由密

文一明文.現(xiàn)在加密密鑰為》=履3,如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“」“，則解密后

得到的明文是（）

A.—B.—C.2D.

48

【變式3-2]（2024?廣東梅州?模擬預(yù)測）某科創(chuàng)公司新開發(fā)了一種溶液產(chǎn)品，但這種產(chǎn)品含有2%的雜

質(zhì)，按市場要求雜質(zhì)含量不得超過01％,現(xiàn)要進行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少;，要使產(chǎn)品達到

市場要求，對該溶液過濾的最少次數(shù)為—.

（參考數(shù)據(jù)：lg2?0.301,1g3yo.477）

【變式3-3]（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒’等于ICT*秒，原子

核內(nèi)部作用過程的持續(xù)時間可用“阿托秒”表示.《莊子?天下》中提到，“一尺之梗，日取其半，萬世不竭”,

如果把“一尺之趣”的長度看成1米，按照此法，至少需要經(jīng)過天才能使剩下“植”的長度小于光在2“阿托

秒”內(nèi)走過的距離.（參考數(shù)據(jù)：光速為3x108米/秒，lg2”0.3,Ig3。0.48）

題型四：已知函數(shù)模型的實際問題

【典例4-1】（2024?北京昌平?二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)

驗表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60。。時飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫

下，茶水溫度從90℃開始，經(jīng)過finin后的溫度為可選擇函數(shù)'=60x0.9'+20?20）來近似地刻畫茶

水溫度隨時間變化的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近

的是（）

（參考數(shù)據(jù)：lg2x0.30,lg3x0.48）

A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min

【典例4?2】（2024?廣東茂名?一模）Go%eHz曲線用于預(yù)測生長曲線的回歸預(yù)測，常見的應(yīng)用有：代謝

預(yù)測，腫瘤生長預(yù)測，有限區(qū)域內(nèi)生物種群數(shù)量預(yù)測，工業(yè)產(chǎn)品的市場預(yù)測等，其公式為：于⑶=ka"'

（其中左>0/>0,。為參數(shù)）.某研究員打算利用該函數(shù)模型預(yù)測公司新產(chǎn)品未來的銷售量增長情況，發(fā)

現(xiàn)。=e.若％=1表示該新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計明年（x=2）的產(chǎn)量將是今年的e倍，那么6的值為（e為

自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)）（）

A.B.C.75-1D.75+1

22

【方法技巧】

求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵

（1）認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，求出模型中的待定系數(shù).

（3）利用該函數(shù)模型，求解實際問題，并進行檢驗.

【變式4-1]（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）若一段河流的蓄水量為v立方米，每天水流量為左五方米，每

天往這段河流排水廠立方米的污水，貝打天后河水的污染指數(shù)相⑺=/+-:|e?。╩0為初始值，

%>o）.現(xiàn)有一條被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以當(dāng)前的污染指數(shù)為初始值，若從現(xiàn)

在開始停止排污水，要使河水的污染指數(shù)下降到初始值的，，需要的天數(shù)大約是（參考數(shù)據(jù)：ln7,1.95）

（）

A.98B.105C.117D.130

【變式4?2】（2024?四川涼山?三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進行排放，廢氣中污染物

含量y（單位：mg/L）與過濾時間/小時的關(guān)系為y=%e"（%,。均為正的常數(shù)）.已知前5小時過濾掉

了10%污染物，那么當(dāng)污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過（）（最終結(jié)果精確到lh,參考數(shù)據(jù)：lg2。0.301,

lg3~0.477）

A.43hB.38hC.33hD.28h

【變式4-3]（2024?河北邯鄲?模擬預(yù)測）中國地震臺網(wǎng)測定：2024年4月3日，中國臺灣花蓮縣海域發(fā)

生里氏7.3級地震.已知地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為

lgE=4.8+1.5M,2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級地震，則它所釋放出來的能量約是中

國臺灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級地震的多少倍？（）

A.98B.105C.355D.463

【變式4-4]（2024?江蘇?一模）德國天文學(xué)家約翰尼斯?開普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷?布拉赫等人的觀

測資料和星表，通過本人的觀測和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律一

繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長。與公轉(zhuǎn)周期T有如下關(guān)系：

T=-^d,其中M為太陽質(zhì)量，G為引力常量.已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則火星的橢圓

y/GM

軌道的長半軸長約為水星的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【變式4-5]（2024?山西長治?一模）研究人員用Gompertz數(shù)學(xué)模型表示治療時長無（月）與腫瘤細胞含

量Ax）的關(guān)系，其函數(shù)解析式為/（彳）=3-尸，其中左>0/>0,。為參數(shù).經(jīng)過測算，發(fā)現(xiàn)a=e（e為自然

對數(shù)的底數(shù)）.記x=l表示第一個月，若第二個月的腫瘤細胞含量是第一個月的工，那么6的值為（）

e

A.6+1B.V5-1C.避包D.苴匚

22

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題

【典例5-1】有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示:

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（）

x+l2

A.y=2-1B.y=dC.y=21og2xD.y=x-1

【典例5-2]（2024?高三?江西贛州?期末）“打水漂”是一種游戲：按一定方式投擲石片，使石片在水面

上實現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好.小樂同學(xué)在玩“打水漂”游戲時，將一石片按一定方式投擲出去，石

片第一次接觸水面時的速度為30m/s,然后石片在水面上繼續(xù)進行多次彈跳.不考慮其他因素，假設(shè)石片

每一次接觸水面時的速度均為上一次的75%,若石片接觸水面時的速度低于6m/s,石片就不再彈跳，沉

入水底，則小樂同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：hi2kQ7,1113~1.1,1115al.6）

A.5B.6C.7D.8

【方法技巧】

構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟

（1）建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型；

（2）推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進行推理或數(shù)學(xué)運算；

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.

【變式5-1]（2024?高三?北京?開學(xué)考試）某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水

中雜質(zhì)減少50%,若要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需要過濾（）

（參考數(shù)據(jù)：1g2?0.3010）

A.2次B.3次C.4次D.5次

【變式5-2]（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水的標(biāo)準，

其工作原理中有多次的尸尸棉濾芯過濾，其中第一級過濾一般由孔徑為5微米的尸尸棉濾芯（聚丙烯熔噴濾

芯）構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)，假設(shè)每一層尸產(chǎn)棉濾

芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L,現(xiàn)要滿足過濾后水中大顆

粒雜質(zhì)含量不超過2mg/L,則尸產(chǎn)棉濾芯的層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：1g2。0.30,1g3。0.48）（）

A.9B.8C.7D.6

【變式5-3]（2024?湖南衡陽?一模）衡東土菜辣美鮮香，享譽三湘.某衡東土菜館為實現(xiàn)100萬元年經(jīng)

營利潤目標(biāo)，擬制定員工的獎勵方案：在經(jīng)營利潤超過6萬元的前提下獎勵，且獎金V（單位：萬元）隨

經(jīng)營利潤尤（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不能超過利潤的20%.下

列函數(shù)模型中，符合該點要求的是（）

（參考數(shù)據(jù)：LOIS10024.432,31*1.041）

A.y=0.04尤B.y=1.015x-l

Y

C.y=tan（--1）D.y=logH（3x-10）

【變式5-4]（2024?福建福州?二模）經(jīng)多次實驗得到某種型號的汽車每小時耗油量。（單位：L）與速

度v（單位：km/h）（40<v<120）的數(shù)據(jù)如下表：

V406090100120

Q5.268.3251015.6

為描述。與v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：Q3）=0.04v+3.6,Q（v）=0.5"+a,

2（v）=0.000025v3-0.004v2+0.25v.選出最符合實際的函數(shù)模型，解決下列問題：某高速公路共有三個車

道，分別是外側(cè)車道、中間車道、內(nèi)側(cè)車道,車速范圍分別是[60,90）,[90,110）,[110,120]（單位：

km/h）.為使百公里耗油量W（單位：L）最小，該型號汽車行駛的車道與速度為（）

A.在外側(cè)車道以80km/h行駛B.在中間車道以90km/h行駛

C.在中間車道以95km/h行駛D.在內(nèi)側(cè)車道以115km/h行駛

【變式5-5]（2024?浙江?二模）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為

120。的等腰梯形（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使

過水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬元，當(dāng)過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約

為（）（參考數(shù)據(jù)：73^1,732）

A.0.58米B.0.87米C.1.17米D.1.73米

3

1.（多選題）（2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的

強弱，定義聲壓級4=20x1g上，其中常數(shù)為（為>0）是聽覺下限閾值，P是實際聲壓.下表為不同聲源

Po

的聲壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車60-90

混合動力汽車5060

電動汽車

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為“,2,幺，則（）.

A.pi>p2B.夕2>10。3

C.P3=lO°PoD.Pi<100p2

2.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)H））2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷

史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技

術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月

拉格朗日乙點的軌道運行.4點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為月球質(zhì)量為Ah

地月距離為R,乙點到月球的距離為廣，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，，滿足方程：

設(shè)。=二，由于a的值很小，因此在近似計算中;23a3,則廠的近似值為

3.（2020年新高考全國卷I數(shù)學(xué)試題（山東卷））基本再生數(shù)&與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本

參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎

疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/⑺=e”描述累計感染病例數(shù)/⑺隨時間氏單位:天）的變化規(guī)律，指數(shù)增

長率廠與T近似滿足Ro=l+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出&=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階

段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為（ln2M）.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

1.若某公司生產(chǎn)某種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收入R

1,

400%—X2,0<X<500

（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：臺）滿足函數(shù)：R（x）=<

75000,x>500

（2）平時常人交談時的聲強約為10-6卬/加2,求其聲強級.

5.假設(shè)有一套住房的房價從2002年的20萬元上漲到2012年的40萬元，下表給出了兩種價格增長方式,

其中［是按直線上升的房價，￡是按指數(shù)增長的房價，/是2002年以來經(jīng)過的年數(shù).

t05101520

片/萬元2030405060

鳥/萬元202004040080

（1）求函數(shù)片=/⑺的解析式；

（2）求函數(shù)￡=g⑺的解析式；

（3）完成上表空格中的數(shù)據(jù)，并在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，然后比較兩種價格增長方式

的差異.

6.某地由于人們健康水平的不斷提高，某種疾病的患病率正以每年15%的比例降低，要將當(dāng)前的患病率

降低一半，需要多少年？

7.從甲地到乙地的距離約為24（Rm,經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量。（單位：L）與速度v（單

位：km/h）（0<v<120）的下列數(shù)據(jù)：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

為了描述汽車每小時耗油量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇:

32

Q=tzv+bv+cv,Q=0.5"+a,Q=klogav+b.

（1）選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，并寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）從甲地到乙地，這輛車應(yīng)以什么速度行駛才能使總耗油量最少？

㈤6

〃曷錯分析?答題模板\\

易錯點：函數(shù)模型應(yīng)用錯誤

易錯分析：1、忽視函數(shù)定義域；2、計算錯誤或忽視計算過程中的細節(jié).

答題模板：數(shù)學(xué)建模

1、模板解決思路

數(shù)學(xué)建模的思路將問題轉(zhuǎn)化為常見的函數(shù)模型，然后根據(jù)已知條件解決問題.

2、模板解決步驟

第一步：審題

第二步：建模

第三步：解模

第四步：還原

【易錯題1】把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是為℃,空氣的溫度是仇。C,那么train后

物體的溫度。（單位：°C）可由公式。=%+屹-4）e**為正常數(shù)）求得.若左=；ln2,將55F的物體

放在15。。的空氣中冷卻，則物體冷卻到35。（2所需要的時間為_____min.

【易錯題2】一種藥在病人血液中的量保持15007咫以上才有療效；而低于500，咫病人就有危險.現(xiàn)給某病

人靜脈注射了這種藥2500〃zg,如果藥在血液中以每小時20%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值,

那么從現(xiàn)在起經(jīng)過一小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效.（附：坨2。0.3010,lg3a0.47力，

精確到。跖）

第08講函數(shù)模型及其應(yīng)用

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1:幾種常見的函數(shù)模型..................................................................4

知識點2：解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟................................................................5

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型............................................................6

題型二：對勾函數(shù)模型..........................................................................9

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、幕函數(shù)模型...................................................12

題型四：已知函數(shù)模型的實際問題...............................................................15

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題...............................................................18

04真題練習(xí)?命題洞見...........................................................22

05課本典例?高考素材...........................................................25

06易錯分析?答題模板............................................錯誤!未定義書簽。

易錯點：函數(shù)模型應(yīng)用錯誤......................................................錯誤!未定義書簽。

答題模板：數(shù)學(xué)建模............................................................錯誤!未定義書簽。

春情目標(biāo)導(dǎo)航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

高考對函數(shù)模型的考查相對穩(wěn)定，考

2023年I卷第10題，5分查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不

(1)利用函數(shù)模型解決問題2020年H卷第3題，5分大.2025年高考可能結(jié)合函數(shù)與生活應(yīng)用

2020年I卷第6題，5分進行考察，對學(xué)生建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能

力綜合考察.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異.

(2)理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.

(3)會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用.

「(一次函數(shù)模型)~(/(*)=3+伙4。為常數(shù)且“2

Y反比例函數(shù)模型)一(/(')=《+。的b為常數(shù)flfl*O)J

幾種常見的函數(shù)基)-《二次函數(shù)模型)(/(2=a\，+G+c(a,6,c為常數(shù)”0))

一(指數(shù)函數(shù)模型)(/(k)=6a'+c(a,瓦c為常數(shù),bw0,a>0,"l)2)

《對數(shù)函數(shù)模型］(/(x)=〃og}+c(a,/>,4^^,bw0,a>0,a*Q

：(函數(shù)模型)~(為常數(shù),。=

函數(shù)模型及其應(yīng)用■(/(x)=av-+5(a,50))

審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型;

建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利

解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟用已有知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.

考點突破■題型探究

知識固本

知識點1:幾種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f（x）=ax+b（a,萬為常數(shù)且0）

k

反比例函數(shù)模型f（x）,+b（k,b為常數(shù)且awO）

X

二次函數(shù)模型/（x）=ax2+bx+c（a,b,。為常數(shù)且4wO）

指數(shù)函數(shù)模型/（x）=bax+c（a,b,c為常數(shù)，〃w。，a>0,awl）

對數(shù)函數(shù)模型