2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)與方程（十一大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第07講函數(shù)與方程

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識導(dǎo)圖思維引航.............................................................3

03考點突破?題型探究.............................................................4

知識點1:函數(shù)的零點與方程的解................................................................4

知識點2:二分法...............................................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................................5

題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間............................................................5

題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍......................................................6

題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題....................................................7

題型四：嵌套函數(shù)的零點問題....................................................................7

題型五：函數(shù)的對稱問題........................................................................9

題型六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型.......................................................10

題型七：唯一零點求值問《.....................................................................10

題型八：分段函數(shù)的零點問題...................................................................11

題型九：零點嵌套問題.........................................................................12

題型十：等高線問題............................................................................13

題型十一：二分法..............................................................................14

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................46

05課本典例高考素材............................................................15

06易錯分析答題模板............................................................15

易錯點：不理解函數(shù)圖象與方程根的聯(lián)系.........................................................15

答題模板：數(shù)形結(jié)合法解決零點問題.............................................................16

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2024年n卷第6題，5分

從近幾年高考命題來看，高考對函數(shù)與方程

2024年天津卷第15題，5分

也經(jīng)常以不同的方式進行考查，比如：函數(shù)零點

2024年甲卷第14題，5分

(1)零點存在性定理的個數(shù)問題、位置問題、近似解問題，以選擇

2023年天津卷第15題，5分

(2)二分法題、填空題、解答題等形式出現(xiàn)在試卷中的不同

2022年天津卷第15題，5分

位置，且考查得較為靈活、深刻，值得廣大師生

2021年天津卷第9題，5分

關(guān)注.

2021年北京卷第15題，5分

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系.

(2)理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應(yīng)用.

(3)了解用二分法求方程的近似解.

T'函數(shù)零點的概念)(對于函數(shù)片/(.v),我們把使/(.\)=0的實數(shù).V叫做函數(shù)尸/(.v)的庫點.)

函數(shù)的零點與方程的解):方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系)~~(方程/(.v)=o仃實數(shù)根O函數(shù)i-=/(.y)的圖像與a?軸有公共點o函數(shù)|=/代)有零點.

如果函數(shù)J=/(X)在區(qū)間［4/1上的圖像是連續(xù)不斷的條曲線,

T〔零點存在性定理并且在/"(辦/如。,那么函數(shù)j，=/(x)在區(qū)間(處。)內(nèi)布r零點，

即存在cG(a,b),使得/(c)=O,c也就是方程/(2=0的根.

函數(shù)與方程

對于區(qū)間上連續(xù)不斷且/(。>/(6)<0的函數(shù)/(x),

通過不斷地把函數(shù)/住)的零點所在的區(qū)間一分為二，

使僅間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點的近似值的方法叫做.分法.

確定區(qū)間口⑶，驗證/⑷給定精度￡.)

二分法

T［求區(qū)間(a,B)的中點

，"計算/住3若/1(M)=0,則M就是函數(shù)/(<)的零點;一

O［一.分法求函數(shù)/(X)零點近似值的步驟

—：若/(。)?/口1)<0,則令b=s(此時零戊匕€(%?)).

若/SA/(xJ<。，則令"W(此時零點W/))

判斷是否達(dá)到精確度“即若|叱例<￡廁函數(shù)庫點的近似值為a(或ZO二

一否則電復(fù)第(2)~(4)步.

老占突曲?題理探密

,知識苴》

知識點1:函數(shù)的零點與方程的解

1、函數(shù)零點的概念

對于函數(shù)y=,我們把使/（x）=。的實數(shù)x叫做函數(shù)y=的零點.

2、方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系

方程〃x）=0有實數(shù)根o函數(shù)y=的圖像與x軸有公共點o函數(shù)y=〃x）有零點.

3、零點存在性定理

如果函數(shù)y=在區(qū)間［。回上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有?/㈤＜0,那么函數(shù)

y=〃x）在區(qū)間（。,外內(nèi)有零點，即存在ce（a,6）,使得/（c）=0,c也就是方程〃x）=0的根.

【診斷自測】已知函數(shù)“X）是定義在R上的偶函數(shù)且滿足/（2-x）=/（x）,當(dāng)xe［0,2］時，

2

/（x）=-x+2x-l,則函數(shù)g（?=/W-log1（H-D的零點個數(shù)為.

3

知識點2：二分法

1、二分法的概念

對于區(qū)間［?；厣线B續(xù)不斷且〃。）"0）＜。的函數(shù)〃無），通過不斷地把函數(shù)的零點

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求

方程〃x）=0的近似解就是求函數(shù)八力零點的近似值.

2、用二分法求函數(shù)”尤）零點近似值的步驟

（1）確定區(qū)間6］,驗證〃。）"伍）＜0,給定精度￡.

（2）求區(qū)間（a,6）的中點再.

（3）計算若〃芯）=0,則不就是函數(shù)的零點；若〃。〃占）＜0,則令。"（此時零點

須e（a,占））.若/伍）"（占）＜0,則令a=%（此時零點/）

（4）判斷是否達(dá)到精確度￡,即若|。-耳＜￡,則函數(shù)零點的近似值為4（或6）；否則重復(fù)第（2）~

（4）步.

用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.

【診斷自測】用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)過計算得〃0）＜0,/（0.5）＞0,則

其中一個零點所在區(qū)間和第二次應(yīng)計算的函數(shù)值分別為（）

A.（0,0.5）,/（0.125）B.（0,0.5）,/（0.375）

C.（0.5,1）,/（0.75）D.（0,0.5）,/（0.25）

解題方法總結(jié)

函數(shù)的零點相關(guān)技巧：

①若連續(xù)不斷的函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則/（X）至多有一個零點.

②連續(xù)不斷的函數(shù)/Xx）,其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.

③連續(xù)不斷的函數(shù)/Xx）通過零點時，函數(shù)值不一定變號.

④連續(xù)不斷的函數(shù)/（x）在閉區(qū)間團，切上有零點，不一定能推出F（a）f3）＜0.

題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間

/、fx（x+3）,x＜0,/、

【典例1-1】己知函數(shù)〃尤）=,、八則函數(shù)“X）的零點個數(shù)為（）

xix—J],X

A.1B.2C.3D.4

【典例1-2】函數(shù)〃x）=ln（2x）-工的一個零點所在的區(qū)間是（）

X

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【方法技巧】

求函數(shù)/（X）零點的方法：

（1）代數(shù)法，即求方程/（x）=0的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數(shù)

y=/（X）的圖像和性質(zhì)找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).

【變式1-1]定義在（0,+8）上的單調(diào)函數(shù)“X）滿足：Vxe（0,+w）,f[f（x）-log2x]=3,則方程

/（X）=2的解所在區(qū)間是（）

X

A.［JB.團C.（1,2）D.（2,3）

【變式1-2】已知函數(shù)/（x）=2*+x-2,g（x）=log2x+x-2,/z（x）=d+彳一2的零點分別為a,b,c,

貝UQ+Z?+C=.

【變式1-3］（2024?高三?山西太原?期中）已知%是函數(shù)/（x）=x2eX+lnx的零點，貝!|e*/nxo=_.

【變式1-4］（2024.四川成都.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=cos3x-3cos2x—3cosx+l,xe［0,2可，則函

數(shù)的零點是—.

【變式1-5］設(shè)%是函數(shù)〃力=題2》一2一工的一個零點，若。且/（%）/（%）/（&）<0,則

下列結(jié)論一定錯誤的是（）

A.xQe（O,x2）B.fe（玉,馬）

C.x0€（0,^）D.%0e（x3,+oo）

題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍

【典例2-1】（2024.高三.浙江紹興.期末）已知命題0：函數(shù)/（x）=2x3+x-a在（1,2］內(nèi)有零點，則命

題P成立的一個必要不充分條件是（）

A.3<avl8B.3<tz<18C.avl8D.6Z>3

【典例2-2］（2024?四川巴中?一模）若函數(shù)/（力=2加+3x-l在區(qū)間（-1,1）內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)

。的取值集合為（）

9

A.{a|-l<a<2}B.{a\a=——或一1va〈2}.

8

9

C.{a\-\<a<2}D.{a\a=——或一

8

【方法技巧】

本類問題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)的等量關(guān)系，列關(guān)于參

數(shù)的不等式，解不等式，從而解決.

【變式2-1］（2024?山西陽泉?三模）函數(shù)/（x）=log2X+f+m在區(qū)間（1,2）存在零點.則實數(shù)機的取值

范圍是（）

A.5)B.(-5,-1)C.(1,5)D.(5,+co)

【變式2-2］設(shè)函數(shù)/。）=/+〃（》-1）+6在區(qū)間口,3］上存在零點，則/+〃的最小值為（）

e2

A.—B.eC.e—D./

22

【變式2-3］若方程天卜-4+左=0在區(qū)間［0,2］上有解，其中-4+4點Wa<4,則實數(shù)上的取值范圍

為—.(結(jié)果用。表示)

題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題

【典例3-1］(2024?全國.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(*)=(尤2一如+a)ln(x+l),aeR的圖像經(jīng)過四個象限,

則實數(shù)。的取值范圍是—.

【典例3-2］設(shè)函數(shù)”可是定義在R上的奇函數(shù)，對任意尤eR,都有4l+x)=/(l-x),且當(dāng)

xe［0,l］時,f(x)=T-l,若函數(shù)g(x)=f(x)-log〃x(其中a>l)恰有3個不同的零點，則實數(shù)a的取

值范圍為_.

【方法技巧】

方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點處函數(shù)值的正負(fù)來確定，但是要確定函數(shù)零點

的個數(shù)還需要進一步研究函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個零點；如果

不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.

【變式3-1］(2024?河南?二模)已知函數(shù)〃尤)是偶函數(shù)，對任意xeR,均有〃x)"(x+2),當(dāng)

xe［0,l］時,/(x)=l-x,則函數(shù)g(x)=/(x)-log5(x+l)的零點有個.

【變式3-2］已知函數(shù)〃x)=優(yōu)-6x+時(產(chǎn)3+e3-，-〃)的四個零點是以0為首項的等差數(shù)列，則

m+n=___.

【變式3-3］(2024?全國?模擬預(yù)測)若函數(shù)=f—以曠+2覺2>1有三個不同的零點，則實數(shù)。的取

值范圍是—.

【變式3-4］(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)己知關(guān)于x的方程％=/‘3>0且有兩個不等實根，貝。

實數(shù)。的取值范圍是()

A.l,e;B.0,e;C.(1,6)D.■，五

題型四：嵌套函數(shù)的零點問題

-2|,x<2

【典例4-1】設(shè)函數(shù)/(x)=7,若方程r(x)-叭x)-。+3=0有6個不同的實數(shù)解，則實

---,%〉2

—1

數(shù)。的取值范圍為()

A.[|，3B.J』C.g,3]D.(3,4)

1n丫+[

【典例4-2】(2024?高三?河南?期末)已知函數(shù)/(x)=——,若方程"(x)]2-(3m+2)/(x)+2"7+l=。

x

有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)加的取值范圍是()

A.-g'+0°JB,)。0,一)3D

c.底一:D,

【方法技巧】

1、涉及幾個根的取值范圍問題，需要構(gòu)造新的函數(shù)來確定取值范圍.

2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數(shù)的基本功一定要扎實、過關(guān).

X

【變式4”】(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模)已知函數(shù)/(%)=戶，若關(guān)于X的方程

"(%)]2+時(%)—1+加=0恰有3個不同的實數(shù)解，則實數(shù)加的取值范圍是()

A.C.(-00,2)0(2,+oo)D.(l,e2)

%?—4%—1,X..0,

【變式4?2]已知函數(shù)/(幻=若方程"(X)『-2/(x)+4=0有5個不同的實數(shù)解，則

2x-2,x<0,

實數(shù)。的取值范圍為()

【變式4-3](2024?高三?上海?期中)已知函數(shù)=,g(x)=cos<x<^~,下列四

個結(jié)論中，氐斛的結(jié)論有()

①方程/[g(x)]=0有2個不同的實數(shù)解；

②方程g(x)]=。有2個不同的實數(shù)解；

③方程f[/(x)]=0有且只有1個實數(shù)解；

④當(dāng)加e(0,1)時,方程g[g(x)]=帆有2個不同的實數(shù)解.

A.0個B.1個C.2個D.3個

題型五：函數(shù)的對稱問題

【典例5-1】已知函數(shù)〃X）=若y=/（x）的圖象上存在兩個點A,8關(guān)于原點對稱，則

實數(shù)。的取值范圍是（）

A.［1,+8）B.（L+oo）C.［-1,+co）D.（―1,+co）

【典例5-2］（2024?云南昭通?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=lnx+sinx,g（x）=￡a2+sinr,若函數(shù)圖

象上存在點M且g（x）圖象上存在點N,使得點M和點N關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則。的取值范圍是（）

A.1三'十引B.卜叫一豆

。?卜〉HD.

【方法技巧】

轉(zhuǎn)化為零點問題

2

【變式5-1］（2024.四川內(nèi)江.一模）已知函數(shù)/（￡）="，\^<x<e］,g^=e^+1,若/⑺與

8（無）的圖象上分別存在點M、N,使得M、N關(guān)于直線>=無+1對稱，則實數(shù)上的取值范圍是（）

■11423c

A.——,eB.一一w，2eC.——，2eD.-—,3e

eJeee

【變式5-2］（2024.四川三模）定義在R上的函數(shù)y=/（x）與y=g（x）的圖象關(guān)于直線x=l對稱，且

函數(shù)y=g（2x-l）+l為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/（x）圖象的對稱中心是（）

A.（-1,-1）B.（-1,1）C.（3,1）D.（3,-1）

【變式5-3］（2024.河北邯鄲?二模）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A,8兩點滿足條件：

①點A3都在〃尤）的圖像上；

②點A3關(guān)于原點對稱，則對稱點對（A8）是函數(shù)的一個“兄弟點對”（點對（A3）與（8,A）可看作一

個“兄弟點對”）.

cos%（xW0）

!lgx（：>0）'則/（x）的“兄弟點對'的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

題型六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型

【典例6-1]（2024?黑龍江?高三大慶市東風(fēng)中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)/（x）=f-2夕-上+。（其中e為

X

自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)/（X）至少存在一個零點，則實數(shù)。的取值范圍是

1,1

A.（0,e29——]B.（0,e2+-]

ee

11

C.[e?——,+8）D.（-co,e9+-]

ee

【典例6?2】（2024.福建廈門.廈門外國語學(xué)校?？家荒＃┤糁辽俅嬖谝粋€x,使得方程

\nx-mx=x（x2-2ex）.則實數(shù)機的取值范圍為（）

1111

A.m>e2+—B.m<e2+—C.m>e+—D.m<e+—

eeee

【方法技巧】

分類討論數(shù)學(xué)思想方法

【變式6-1】設(shè)函數(shù)小）=/一2尤-十+。（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)〃尤）至少存在一個零

點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（0,1+-]B.（0,e+~]C.[e+-,+oo）D.（-oo,1+-]

eeee

1nJC

【變式6-2]已知函數(shù)/（九）=-―/+2e九-a（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）至少存在一個零點，則

龍

實數(shù)。的取值范圍是（）

題型七：唯一零點求值問題

【典例7-1]（2024?安徽蕪湖?二模）在數(shù)列｛%｝中，S.為其前"項和，首項4=1,且函數(shù)

/?（x）=x3-%+]Sinx+（2a“+l）x+l的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點，則S$=（）

A.26B.63C.57D.25

【典例7-2】（2024.貴州畢節(jié).模擬預(yù)測）若函數(shù)〃月=》2一4x+Me2-+e*）有唯一零點，則實數(shù)

。二（）

A.2B.1C.4D.1

【方法技巧】

利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：

(1)利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.

(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.

(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

【變式7-1]在數(shù)列{%}中,4=1,且函數(shù)〃無)==+4+用型-(4+3)x+3的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點,

則。9的值為().

A.1021B.1022C.1023D.1024

【變式7-2](2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測)己知函數(shù)g(x)/(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且

g(x)+/z(x)=e，+x,若函數(shù)”*)=2—+.(尤-1)-63有唯一零點，則正實數(shù)彳的值為()

A.yB.1C.2D.3

【變式7-3](2024.江西.二模)已知函數(shù)g(x),可力分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且

g(x)+〃(x)=2023,+log2023(x+7i7^),若函數(shù)/?=2023卡口23|-Xg(x-2023)_2分有唯一零點，則實數(shù)

2的值為()

A.-1或JB.-1或—C.—1D.-z

，22

題型八：分段函數(shù)的零點問題

【典例8-1】已知函數(shù)〃尤)=「「'5°,若實數(shù)機40,1],則函數(shù)g(x)=〃x)的零點個數(shù)為

[-X-2x,x<0

()

A.0或1B.1或2C.1或3D.2或3

[x-c,x>0,

【典例8-2】(2024?北京西城?一模)設(shè)ceR,函數(shù)f(x)=」。八若恰有一個零點，則c的

[2-2c,x<0.

取值范圍是()

A.(0,1)B.{0}U[l,+co)

C.(0i)D.{0}U±+8)

22

【方法技巧】

已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的

圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

【變式8-1】己知函數(shù)〃尤）=F若函數(shù)g（x）=〃x）_a有3個零點，則。的取值范圍是

Inx,x>0

（）

A.（0,1）B.（0,2］C.（2,+s）D.（l,+<?）

、.。、［2"+a,x<2

【變式8-2］（2024?高三?北京通州?期末）已知函數(shù)/（%）={

a-x.x>2.

（1）若〃=-0，則的零點是—.

（2）若無零點，則實數(shù)。的取值范圍是—.

【變式8-3］（2024.山西?模擬預(yù)測）已知函數(shù)十）=尸+4尤+見尤<1，若函數(shù)y=/Q）_2有三個零點,

|lnx+l,x>l,

則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.（-8,2）B.（-3,4）C.（-3,6）D.（-3,+8）

y2V-_QY<0

二；,-,令/7（X）=/（X）-3則下列說法正確的（）

{-2+Inx,x>0

A.函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+e）

B.當(dāng)一（Y,-3）時,人⑺有3個零點

C.當(dāng)左=-2時，人⑴的所有零點之和為T

D.當(dāng)此（YO,T）時，有1個零點

題型九：零點嵌套問題

【典例9-1］設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足/（x）=9x2+（a-3）x/+3（3-a）/x有三個不同的零點

玉，工2，工3,且玉<°<兀2<兀3,則)

A.81B.-81C.9D.-9

【典例92］若關(guān)于x的方程（工+1）+加（：-1）一=6恰有三個不同的實數(shù)解4,巧，W，且

xx2+l

再<0<%2<工3，其中m￡R，貝|J玉+一（馬+七）的值為（）

A.-6B.-4C.-3D.-2

【方法技巧】

解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

[變式9-1]已知函數(shù)f{x)=2(a+2)e2%-(a+l)xex+?有三個不同的零點占,牛龍3，且/<°<%<%,

則ITU2Tbm的值為()

A.3B.6C.9D.36

【變式9?2】已知函數(shù)“r)=(a+3)e2x-(a+l)%e”+%2有三個不同的零點玉,%2，%3,S.xl<x2<x3,則

的值為()

A.3B.4C.9D.16

【變式9-3](2024?四川成都?一模)已知函數(shù)〃x)=(lnx)2-+有三個零點/、巧、聲且

21nxilnxIn

<x<x,則-----+----9+"的取值范圍是()

23再％X3

A

-1士可B.T，。CD口.[-訓(xùn)

題型十：等高線問題

|log2x|,x>0

【典例10-1】已知函數(shù)/(x)=<r-.5若方程〃x)=。恰有四個不同的實

73sin兀x-cosTIX,——<x<0

3

數(shù)解，分別記為毛，巧，與，4，則再+%+W+%4的取值范圍是()

119、r219、5178兀178兀

A.?nJB-FPliJc.25TD.~~39~4~~3

爐+4x+2,尤41,

【典例10-2】己知函數(shù)〃x)=<若關(guān)于x的方程/(x)=I有四個不同的實數(shù)解A，

|log2(x-l)|,x>l,

巧，，X4>且玉<工2<苫3<兒，貝！I+—尤2)+2退+5Z的最小值為()

79]

A.—B.8C.—D.—■

222

【方法技巧】

數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法

|log2(x-l)|,l<x<3

【變式10-1]已知函數(shù)"%）=若/（x）=a有四個不同的解占,9，%，%且

x2-8x+16,x>3

x,<x2<x3<x4,則玉+々+尤3+尤4的取值范圍是___.

,x2+2x+l,x<0/、

【變式10-2】（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）已知函數(shù)"r）=|,，若方程〃x）=〃有四個根

inx\，冗〉u

玉,工2，工3，14，且石<兀3<%4，則下列說法惜用的是（）

A.玉+%2=-2B.x3+x4>2

C.%工2>4D.0<a<l

【變式10-3]（2024?陜西商洛.一模）已知函數(shù)/（x）=gg2N|,xe（-l,0）（0,4],若關(guān)于x的方程

/、1611

有3個實數(shù)解玉,馬，毛，且再<W<%3則-------------的最小值是（）

A.8B.11C.13D.16

口sin7LXI0WxW2

【變式10-4]（2024?陜西渭南?一模）已知/（九）=1:一一，若存在實數(shù)蒼?（7=123,4,5）,當(dāng)

[e,x<0

5

尤，<%+i（i=l,2,3,4）時，滿足/（玉）=/卜2）=/（七）=/（%）=/（毛），則2%了（占）的取值范圍為（）

Z=1

b

A--應(yīng)用-m

C.（-8,4]D,-^,4

題型十一：二分法

【典例11-11（2024?遼寧大連?一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法.對于非線性可導(dǎo)函

數(shù)“力在與附近一點的函數(shù)值可用/（x）“/（%）+r（Xo）（x-%）代替，該函數(shù)零點更逼近方程的解，以此

法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解.利用這個方法，解方程丁一3天+1=0,選取初始值

%=；,在下面四個選項中最佳近似解為（）

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【典例11-2】（2024?廣東梅州?二模）用二分法求方程log,尤-1=0近似解時，所取的第一個區(qū)間可以

2x

是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【方法技巧】

5.(2023年天津高考數(shù)學(xué)真題)設(shè)aeR,函數(shù)/("="2-2》-卜2-分+1],若〃尤)恰有兩個零點，則

a的取值范圍為.

//口

1.已知函數(shù)y=/(尤)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應(yīng)值表:

123456

1311

6.1365.5523.920.8852.488232.064

函數(shù)y=/(尤)在哪幾個區(qū)間內(nèi)一定有零點？為什么？

2.已知函數(shù)/(X)=XL2X+1,求證：方程/(?=無在(T2)內(nèi)至少有兩個實數(shù)解.

3.利用信息技術(shù)，用二分法求函數(shù)/(x)=lnx-±的零點(精確度為0.1).

x

4.設(shè)函數(shù)/'(x)=tzx2+bx+c(a>0,6,ceR),且/⑴=-￡,求證：函數(shù)八》在(。，2)內(nèi)至少有一個零點.

5.有一道題“若函數(shù)/(x)=24"2+4彳-1在區(qū)間(T1)內(nèi)恰有一個零點，求實數(shù)。的取值范圍"，某同

學(xué)給出了如下解答：由⑴=匹-5)(24…<。，解得-所以，實數(shù)”的取值范圍是

I”.上述解答正確嗎？若不正確，請說明理由，并給出正確的解答.

㈤6

易錯點：不理解函數(shù)圖象與方程根的聯(lián)系

易錯分析：解題中有的同學(xué)不能將函數(shù)圖象與方程的根聯(lián)系起來，誤認(rèn)為證明/(X)的圖象與X軸相

交于兩個不同的點，從而著眼于證/(石)?/(%)<0,使得無法解決.

【易錯題1】函數(shù)y=f-2ax+a-l在(0,1)上存在零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.O<?<1B.或a>lC.a>lD.av—1或。>0

【易錯題2】已知〃>0,若關(guān)于x的方程4優(yōu)—4/+20%—25=0在口2)上有解，則〃的取值范圍為()

答題模板：數(shù)形結(jié)合法解決零點問題

1、模板解決思路

求函數(shù)的零點個數(shù)就是求函數(shù)圖象與X軸的交點個數(shù)，因此只要作出函數(shù)圖象即可.如果函數(shù)圖象不

易作出，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=m(x)(x)的結(jié)構(gòu)，然后轉(zhuǎn)化為加(%)與九(龍)的圖象交點個數(shù)的問題.

2、模板解決步驟

已知零點個數(shù)求參數(shù)

第一步：將函數(shù)化為y=m(x)-7?(x)的形式，加(X)與"(X)一個含參，一一個不含參.

第二步：畫出兩個函數(shù)的圖象.

第三步：確定滿足題意時含參函數(shù)的圖象的移動范圍，從而求出參數(shù)的取值范圍.

【典例1】函數(shù)/(x)=|2x-HTlnx|有且只有一個零點，則比的取值范圍是—.

【典例2】若函數(shù)/。)=2'-3|-1-加有2個零點，則機的取值范圍是—.

第07講函數(shù)與方程

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識導(dǎo)圖思維引航.............................................................3

03考點突破題型探究.............................................................4

知識點1：函數(shù)的零點與方程的解................................................................4

知識點2:二分法...............................................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................................5

題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間............................................................5

題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍......................................................6

題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題....................................................7

題型四：嵌套函數(shù)的零點問題............................................................