2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：利用“阿氏圓”解決線段最值問題

利用“阿氏圓”解決線段最值問題

一階方法突破練

1.如圖，點(diǎn)P是半徑為2的。。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A,B為。。外的定點(diǎn).連接PA,PB,點(diǎn)B與圓心。的距離為4.要

使PA+的值最小，如何確定點(diǎn)P,并說明理由.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,A(4,0),B(0,3),點(diǎn)E是以原點(diǎn)0為圓心，2為半徑的圓上一點(diǎn)，求AE+的最小

值

3如圖，已知拋物線y=好+軌-5與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D的坐標(biāo)為

((-3,0),,將線段OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到(。》,旋轉(zhuǎn)角為(a(0。<a<90。),連接AD',C?,求+|C?的最小

值.

第3題圖

設(shè)問進(jìn)階練

例如圖，已知拋物線y=+2x+3與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.

⑴如圖①，若點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，以點(diǎn)B為圓心,3為半徑作。B,點(diǎn)E為。B上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE,DE,求DE

(2)如圖②，若點(diǎn)H是直線AC與拋物線對稱軸的交點(diǎn)，以點(diǎn)H為圓心，1為半徑作。H，點(diǎn)Q是。H上一動(dòng)

點(diǎn)，連接0Q,AQ,求。Q+倔4Q的最小值；

⑶如圖③，點(diǎn)D是拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，過點(diǎn)D作.DE1x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)P是以0為圓心，1為半徑的

OO上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD,DP,PE,求PD-的最大值

例題圖③

綜合強(qiáng)化練

1.如圖①，拋物線y=-/+6久+c與X軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,直線y=kx+l\經(jīng)過點(diǎn)A,與y軸

交于點(diǎn)D,與拋物線交于點(diǎn)E(2,3),點(diǎn)F是拋物線的頂點(diǎn)，連接DF,EF.

(1)求直線AE和拋物線的函數(shù)解析式；

⑵求tan/EDF的值；

(3)如圖②，以點(diǎn)D為圓心QD長為半徑作圓，點(diǎn)G是。D上一點(diǎn)，連接BG和FG,則10BG+VIUFG是否存在最

小值?若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

作圖區(qū)答題區(qū)

圖①

備用圖

2.如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)經(jīng)過點(diǎn)A(-l,0),B(3,0),C(0,4).

⑴求拋物線的解析式；

(2)如圖①，連接BC,點(diǎn)P為BC上方拋物線上的一點(diǎn)，PR||y軸交BC于點(diǎn)R,PQ1BC于點(diǎn)Q,求△PQR周長

的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖②者點(diǎn)N(0,3),D(2,0),矩形ODFN的頂點(diǎn)F在第一象限內(nèi).以點(diǎn)N為圓心.1為半徑作。N,點(diǎn)M是。N上

一動(dòng)點(diǎn)，連接DM,MF*DM-卸尸的最大值.

圖①

備用圖

一階方法突破練

1.解:如解圖，連接OB,OP,找?guī)в邢禂?shù)的線段PB.在0B上截取OC=1,連接AC交。。于點(diǎn)P',點(diǎn)P'即為所求.

連接PC.

理由:.OP=2,OB=4,

=-NPOC=NBOP,

OBOP2t

.,.△POJABOP.

即“B=PC(利用相似將iPB轉(zhuǎn)化為PC).

rDZZN

確定線段和最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置.

PA+^PB^PA+PC>AC,當(dāng)A,P,C三點(diǎn)共線時(shí),PA+PC的值最小，最小值為AC的長，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P'重合時(shí),P4+(PB的值最小.

2.解：找?guī)禂?shù)的線段BE.如解圖，在y軸上取一點(diǎn)M(0,，連接OE,EM,AM頂OE=2,OB=3,0M=1,

.OE_OM_2

"OB~OE—3，

X-.zEOM=zBOE,

.“EOMSABOE.

.EM__0M__2

"BE~0E~3r

即EM=：BE.

2

???AE+^BE=AEEM>AM,

當(dāng)A,E,M三點(diǎn)共線時(shí)，AE+EM的值最小，最小值為AM的長.

在Rt△AOM中,AM=70M2+。42=42=史史

31

二當(dāng)E為線段AM與。。的交點(diǎn)時(shí)，AE+1BE的值最小，最小值為苧.

3.解：1?拋物線的解析式為y=久2+4%-5,

.-.A(-5,0),C(0,-5),

??點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,0),.QD=OD，=3,

，點(diǎn)〉的運(yùn)動(dòng)軌跡為以原點(diǎn)O為圓心，3為半徑的圓在第三象限內(nèi)的一段圓弧,

如解圖，在y軸上取一點(diǎn).M(o,-，連接D'M,AM,

貝!I。。'=3,0C=5,0M=I，

.OD_OM_3

X'.zD'OM=zCOD',

.-.AD'OM-ACOD',

DM3unc'.,3??z

—；=-,gPDM^-CD,

CD55

/.AD+|CD=AD+DM>AM,

當(dāng)A,D',M三點(diǎn)共線時(shí),ZD+1CD'的值最小，最小值為AM的長.

在RtAAOM中,AM=7A02+0M2=J52+=等，

二當(dāng)。為AM與圓弧的交點(diǎn)時(shí)，AD'+^CD的值最小，最小值為等.

二階設(shè)問進(jìn)階練

例解：(1)..拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A,B,/.A(3,0),B(-l,0)..-.AB=4.

1?點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，

，D(L4),拋物線對稱軸為直線x=l,

如解圖①，連接BE,在x軸上截取BF=捌g=|,

設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)M,連接EF,DF,

R/72

--=-ZEBF=NABE,

BA4f

/.△FBE^AEBA,

.BE_EF_3

"BA~AE~

??.EF=^AE,

??.DE+-AE=DEEF>

4

DF,當(dāng)D,E,F三點(diǎn)共線時(shí),DE+2取得最小值,最小值為DF的長,

?.?BF=孑，MF=.?在RtADMF中,DF=y/DM2+MF2=^42+(；)=

??.DE+)E的最小值為亨；

44

(2)由(1)得拋物線對稱軸為直線x=L

-.A(3,0),C(0,3),

，直線AC的解析式為y=-x+3.

???點(diǎn)H為直線AC與拋物線對稱軸的交點(diǎn),

，點(diǎn)H的坐標(biāo)為Q,2).

如解圖②，連接OH交。H于點(diǎn)D,在OH上截取HN=過點(diǎn)N作NE±x軸于點(diǎn)E,設(shè)拋物線對稱軸與x軸

交于點(diǎn)M,連接AN,NQ,HQ.

-.-H(1,2),.-.OM=1,HM=2.

OH=70M2+HM2=

又「HQ=1,

.HN_HQ_遍

**HQ~HO~5'

又.NNHQ二NQHO,

.?.△QHNiOHQ.

.QN_HN_V5

"OQ~HQ~5'

即QN=，0Q.

OQ+向IQ=V5(yOQ+2Q)=顯(QN+2Q)＞逐AN.當(dāng)A,Q,N三點(diǎn)共線時(shí),(OQ+倔4Q值最小，最小

值為亞AN.

；NEJ_X軸，

.--ONE-OHM,.：-ONNEOE

HMOM

?；ON=OH-NH=WON_NE_OE_4

OH-HM一OM-5J

8411

NE=-,0EAEOA-OE=—,

55'5

A乘AN=V5-yjAE2+NE2=V37,

OQ+近4(2的最小值為V37;

⑶???點(diǎn)D是拋物線上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為2,.-.D(2,3).

?.?C(0,3),/.CD±yffl.

DE_Lx軸,

四邊形OCDE為矢巨形.「QE=CD=2.

如解圖③，在0A上截取0H=/連接DH并延長交。0于點(diǎn)P,連接EP.

易得直線DH的解析式為：y=2x-l..'.P(0,-l).

OH_1OP_1

"OP-2'OE-2

且NPOH二NEOP,

APOH-△EOP.

???—PH=—OP=一1,PcrHr=-1PCEL.

EPOE22

PD-^PE=PD-PH<DH,當(dāng)點(diǎn)P在DH的延長線上時(shí)，PD—的值最大，最大值為DH的長

3

???DE=3，EH=W

??.DH3E2+EH2T

.?.PD—之PE的最大值為當(dāng).

三階綜合強(qiáng)化練

1.解:(1)?.點(diǎn)E在直線y=kx+l上，

.?把E(2,3M-tAy=kx+M>2k+l=3,解得k=l,

，直線AE的解析式為y=x+l,

把y=0代入y=x+L得x=-l,/.A(-l,0),

把A(-l,0)與E(2,3)代入拋物線y=-/+bx+c,

彳日f—l—6+c=0解彳曰(b=2

行I一4+26+c=3廨-1c=3'

拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

⑵?.點(diǎn)F是拋物線的頂點(diǎn),，F(xiàn)(L4),

把x=0代入y=x+L得y=l,..D(0,l)

把x=0代入y——x2+2x+3彳導(dǎo)y=3,.'.C(0,3)(-CD=2,

如解圖①，連接CE,

?；E(2,3)廁CE_Ly軸,CE=CD=2,

.-.zCED=450,DE=2V2,

過點(diǎn)F作FM_LCE于點(diǎn)M,則FM=EM=1,

NFEC=45。,FE=V2,NFED=90°,

在RtAFDE中，tanNEDF=器=g；

(3)【思路點(diǎn)撥】將10BG+VIUFG提公因式轉(zhuǎn)化為10(BG+察FG),再構(gòu)造相似三角形將粵FG轉(zhuǎn)化到對應(yīng)

邊，根據(jù)"一階方法突破練"中的【方法解讀】求解即可.

存在.

如解圖②，在DF上取DH=祟連接DG,HG,BH,則翳=嚕，

1UL)\jJ.U

?.?D(O,1),F(L4)〃1DF=V10,

..DG_1_V10.DH_DG

?DF-V10-10'QG-OF'

-/ZHDG=ZGDF/.AHDG-AGDF,

HG同口「房

???一=——，???HG=——FG,

GF1010

10BG+V10FG=10{BG+察FG)=10(BG+

HG)>10BH,..10BG+V10FG的最小值為10BH,

過點(diǎn)H作HP±y軸于點(diǎn)P,過點(diǎn)F作FQ±y軸于點(diǎn)Q,則HPllFQ,

ADHP-ADFQ,

.DP_HP_DH_1

,?DQ一FQ一DF_1(/

DP_HP_1

??3——10,

31

DP=—,HP=—,第1題解圖②

ioio

?.?D(0,l),.?.嗚*,

根據(jù)勾股定理，得HB=J(3—看丫+謂丫=智.

???10BH=V1010,

10BG+VWG的最小值是Vioio.

2.解:(1),.拋物線y=ax2+bx+c(aw0)過C(0,4),

.二拋物線的解析式為y=ax2+bx+4,

.?將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得La-%解得?

19。+3b+4=0

拋物線的解析式為y=+4；

⑵【思路點(diǎn)撥】由PRUy軸狷到zOCB=NPRQ,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出PR的長，結(jié)合三角函數(shù)表示

PQ,QR的長，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

?.B(3,0),C(0,4),

.,?直線BC的解析式為y=—(%+4,BC=VOC2+OB2=5,

.PRlly軸〃.NOCB二NPRQ,

???sin/PRQ=sin/OCB

“PRBC5

ncccnnRQOC4

cos^/?Q=cos^CB=-=-=-)

34

???PQ屋PR,QR=jPR-

."PQR的周長為PR+PQ+QR=PR+|PR+*PR=^PR,

2