2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：面積等量關(guān)系

面積等量關(guān)系

一階方法突破練

L如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△a8C三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(l，0),8(-3,0),C(-2,5)..點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)

點(diǎn)/右SABP=5S4BG求點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△48c的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2,0),B(2,4),C(3,0),若過(guò)點(diǎn)C的一條直線平分.

△ABC的面積，求出這條直線的解析式.

3.如圖，拋物線y=-Y+2無(wú)+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為E,拋物線的對(duì)

稱軸與BC交于點(diǎn)M,在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得SQMB=SEMB?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

第3題圖

二階設(shè)問進(jìn)階練

例如圖，拋物線y=-必+4x+5與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線

的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E.

⑴在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得SA0C=[Sc”?若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

例題圖①

(2)如圖②，在拋物線上是否存在點(diǎn)H，使得"的=?SBCE?若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由；

例題圖②

⑶如圖③，在線段BC上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)M(不與點(diǎn)D重合)，使得SBCD=SBCM?若存在，求出點(diǎn)

M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

例題圖③

⑷如圖④，是否存在過(guò)點(diǎn)A的直線1與線段BD相交且把四邊形ABDC的面積分為相等的兩部分?若存在，求

直線1的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

例題困④

⑸如圖⑤，若點(diǎn)P為線段BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)Q.若線

段PQ將△PBC分成面積比為1：3的兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

例題圖⑤

綜合強(qiáng)化練

1.如圖，已知拋物線y=-久2一2刀+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

⑴求拋物線的解析式及A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵若點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于x軸下方，將△力BD沿BD翻折得到.AABD,若點(diǎn)A'

恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)4和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)(面積平分問題)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且直線BP把四邊形ABCP分成面積相等的兩部

分，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

作圖區(qū)答題區(qū)

備用圖①

公田明②

2.如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c分別與x,y軸交于A,B兩點(diǎn)，直線y=x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,拋物線

的頂點(diǎn)為P.

(1)求拋物線的解析式；

(2)現(xiàn)將拋物線向右平移個(gè)單位，若平移后的拋物線與△4BP有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求m的值；

(3)(面積倍數(shù)問題)在直線AB下方的拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得SABQ=2S.P?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

作圖區(qū)答題區(qū)

備用圖②

3如圖，拋物線y=a/+版-號(hào)與x軸交于A(-5,O),B(1,O)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,以AB為斜邊在x軸的下方

構(gòu)造等腰RtAABD,,點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作直線PD交x軸于點(diǎn)E.

⑴求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P在直線AC的下方，當(dāng)PD=2PE時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)(面積比例問題)若點(diǎn)P在直線AC的上方，是否存在這樣的點(diǎn)P,使得對(duì)角線PD將四邊形PADC分為面積

比為1：3的兩部分?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖①

備用圖②

考向2面積等量關(guān)系

一階方法突破練

1.解:?.A(L0),B(-3,0),C(-2,5),，AB=4,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,m)(設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)),如解圖，

則SABP=|x4|m|=2|m](表示出動(dòng)三角形的面積).

由題意可得?BC=[x4x5=10.

2|m|=|X10,A\m\=|(根據(jù)兩個(gè)三角形面積的等量關(guān)系求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo))，第1期解國(guó)

m=-1或m=|.

.,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，-1)或(0,|

2.解：如解圖，取AB的中點(diǎn)D,作直線CD(三角形的任何一條中線都平分該三角形的面積),

???MCD與△BCD是等底等高的兩個(gè)三角形，則直線CD平分AABC的面積,

?.A(-2,0),B(2,4),

?.D(0,2),

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,將C(3,0),D(0,2)代入得I0，解得f二”.?過(guò)點(diǎn)C且

vZ)—2

平分AABC面積的直線CD的解析式為y=-|%+2.

3.解:存在,第2題解圖

拋物線y=-%2+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為E,，B(3,0),C(0,3),E(l,4),，直線BC的

表達(dá)式為y=-x+3,，M(l,2),EM=2,如解圖，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E與BC平行的直線與拋物線

的交點(diǎn)為Q(同底等高的兩個(gè)三角形面積相等),

此時(shí)SQMB=SEMB，

設(shè)直線EQ的表達(dá)式為y=-x+m,

將E(l,4)代入彳導(dǎo)4=-l+m,解得m=5,

二直線EQ的表達(dá)式為y=-x+5,

直線y=-x+5與拋物線y--x2+2x+3交于點(diǎn)Q,

??聯(lián)立｛/。端3,解得我;舍去)｛屋,

二點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,3),

-，EG=4,EM=2,

，GM=EM=2,

設(shè)過(guò)點(diǎn)G與BC平行的直線與拋物線的交點(diǎn)為Qt,Q2,此時(shí)SQMB=SEMB,

則設(shè)直線GQi(Qz)的表達(dá)式為y=-x+n,將G(l,0)代入得0=-l+n,

解得n=l,.?.直線GQi(Qz)的表達(dá)式為y=-x+l(求出與直線BC平行的直線解析式).

2第題解圖

,.直線y=-x+l與拋物線y=-x+2x+3交于點(diǎn)QI,Q2,3

二聯(lián)立fFL

(y=—x+2%+3

C3+V17

解得yI=—上汽，

-1+V17

...Qi呼三斗2呼，嚀)

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,3)或(第，三巨)或(亨，芍叵).

二階設(shè)問進(jìn)階練

例解:(1)存在，

拋物線y=-無(wú)？+4x+5與x軸交于A,B兩點(diǎn)，

.■.A(-1,O),B(5,O),

AAOC和，CAF等同)，且S40c=

.?.<AF的底是AAOC底的2倍，

?.MOC的底為AO=1,/.ACAF的底AF=2,

二當(dāng)點(diǎn)F在A點(diǎn)左側(cè)時(shí),F(-3,0),當(dāng)點(diǎn)F在A點(diǎn)右側(cè)時(shí),F(l,0).

綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-3,0)或(1,0);

⑵存在，

由題意可知,AE=BE,

■:拋物線y=-運(yùn)+4%+5與y軸交于點(diǎn)C,

..C(0,5),

???SHAE=2CE，且ABCE的底邊BE上的高為5,.”HAE的底邊AE上的高為3,

①當(dāng)y=3時(shí)，一久2+4%+5=3,

解得X1=2+V6,X2=2-赤，此時(shí)H(2+V6<3)或H(2-V6-3);

②當(dāng)y=-3|時(shí)，-*+4%+5=-3,

解得.久1=2—2V3,久2=2+2日，此時(shí)H(2-2g，—3)或H(2+2舊，—3),

綜上所述，點(diǎn)H的坐標(biāo)為((2+否3)或(2-傷，3)或(2-2圾-3)或(2+2相「3)；

(3)存在，

如解圖①，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交拋物線于點(diǎn)M,連接BM,CMMSBCD=SBCM,

?.D(2,9),B(5,0),C(0,5),f?

'-ID

，直線BC的解析式為y=-x+5,淤、

，設(shè)直線DM的解析式為y=-x+b,'々N'、

將D(2⑼代入解析式得9=-2+b,解得b=ll,/N、'

Al0\E\Bx

「?直線DM的解析式為y=-x+ll/枷期解困①

???M是直線DM與拋物線的交點(diǎn)，

.,.令—x+11=—x2+4x+5,解得x7=2(舍去),X2—3,

.-.M(3,8)；

⑷存在，

-.B(5,0),D(2,9),

直線BD的解析式為y=-3x+15,

設(shè)直線I的解析式為y=ax+c,且直線I與直線BD的交點(diǎn)為F(m,n),直線AF即為所求,如解圖

②，由點(diǎn)中不易"(導(dǎo)S㈣邊物=SA“0c+S橫jgocuE+SAB￡°=lx5x-+(5+9)x2x-+3x9x-=30,

使即尸=六四邊形ABDC,

例題解圖②

即^AB-n=15,.-.n=5,

；F(m,5)在y=-3x+15上，

，5=-3m+15,解得小=￡,

得'5)，

將A(-1,O),F(35)代入Y=ax+c,解得a=g,c=g,

.?直線I的解析式為y=*+H；'1

⑸.?線段PQ將APBC分成面積比為1:3的兩部分，

...迎￡=域加￡=3.

SpQB3SpQB

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(xp,yp),

若SPQC_i.:PQ%P_i

SpQB3'|PQ-(XB-XP)3'

即上==J,解得Xp=1

Xp—Xp35—Xp34

此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(I，愛)；

②若警=3,1廣3,

SPQB^PQ\XB-Xp)

即六=3,含=3,解得和=*

此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為四嚕).

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為弓芍)或r

三階綜合強(qiáng)化練

1.解:⑴A(-3,O),B(1,O)；

⑵由⑴得,A(-3,O),B(1,O),

，AB=4,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-l,

如解圖①，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H,則點(diǎn)H的坐標(biāo)為(-1,0),

..AH=BH=2,

由翻折的性質(zhì)得A，B=AB=4,

..在RfA'BH中，

AH=]A'B2-BH2=2V3,

1,點(diǎn)D在x軸下方，

第1題解圖①

.??4(-1，-2何

???tanZABA=—BH=V3,

.?.zABA'=60°z

由翻折的性質(zhì)得NABD=ZABD=^ZABA=30。，

.：DH=BH.^ABD=2^=^,

???點(diǎn)D的坐標(biāo)為(_"第；

(3)【思路點(diǎn)撥】觀察發(fā)現(xiàn)分割后的兩個(gè)三角形共底，想到利用高相等，進(jìn)而作垂線構(gòu)造全等

三角形.

如解圖②，連接AC,BP交于點(diǎn)Q過(guò)點(diǎn)A作AELBP于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CDBP于點(diǎn)F.連接AP,P

C,BC.

BP平分四邊形ABCP的面積，

SABP=SBCP，

ii

：.-BP-AE=-BP-CF

22t

.?.AE=CFZ

且NEQA=NFQC,

zAEQ=zCFQ=90°,

.“AEQ學(xué)CFQ(AAS),「.AQ=CQ,

二點(diǎn)Q為線段AC的中點(diǎn),..??Q(-1，|).

又「BQ,。),.?.直線BQ的解析式為y=-|x+|.

1?點(diǎn)P為直線BQ與拋物線的交點(diǎn)，

，令|x+|=-x2-2x+3,解得=苫，久2=1(舍去).

:.點(diǎn)P的坐標(biāo)為Y,H).

2.解：(1)拋物線的解析式為y=2久+3；

⑵由⑴得y=-%2-2x+3=-(x+1)2+4,將拋物線向右平移m個(gè)單位，

.-■平移后的拋物線解析式為y=-(x+l-m)^+4,

???平移后的拋物線與AABP只有一個(gè)公共點(diǎn)，

二平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,

把B(0,3)代入彳導(dǎo)3=-(l-my+4,

解得=2,m2=0(舍去)，

?.m的值為2；

(3)【思路點(diǎn)撥】設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，可以先計(jì)算出AABP的面積，由SABQ=2S.P，結(jié)合所設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)利用三

角形面積公式列方程求解.

存在.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a--a2-2a+3),

分兩種情況：①如解圖①，當(dāng)Q在對(duì)稱軸的左側(cè)，過(guò)點(diǎn)P作PD±x軸于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)Q作QElly軸交直線AB

于點(diǎn)E,

E(a)a+3),QE=a+3—(—a/—2a+3^=a2+3a,

=XAX-

???SABP=SAP。+S^B~SAOB2

PDO

(-3)]+—x(3+4)x1——x3x3=3,

^ABQ=2SABP=6,

SABQ=SBEQ—SAEQ--QE0(%-4)—￡QE.

222

(xA—xE)=|(a+3a)X(—a)—|(a+3a)X(—3-a)=|(a+3a)x3=6,

解得觀=-4,a2=1(舍去),.0(-4,-5);

圖①圖②

第2題解圖

②如解圖②，當(dāng)Q在對(duì)稱軸右側(cè)，連接BQ,過(guò)點(diǎn)P作PD，x軸于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)Q作QElly軸交直線AB于點(diǎn)

E,同理可得Q(l,0).

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-4,-5)或(1,0).

3.解：(1)拋物線的解析式為y=：/+?久一g；

⑵「AABD為等腰直角三角形，如解圖①，過(guò)點(diǎn)D作DG±x軸于點(diǎn)G,則DG=AG=GB,

二點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,-3),

過(guò)點(diǎn)P作PM_Lx軸交于點(diǎn)M,

.“EPMSAEDG,

PM_EP

"DG~ED'

?.PD=2PE,

.■.PM=1,

，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-L

代入二次函數(shù)解析式可得次+￡%—§=T，解得x=芍農(nóng)，

又???點(diǎn)P在直線AC的下方，

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(專包一1);

⑶存在，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(放孤2+蓑根一番，

?.A(-5,0),D(-2,-3),C(0,-2g

可得直線AD的解析式為y=-x-5,

直線CD的解析式為y=—蕓，

ioy

如解圖②，③，過(guò)點(diǎn)P作PH±x軸,交直線AD于點(diǎn)H,交直線CD于點(diǎn)N,連接PA,PC,

二點(diǎn)H的坐標(biāo)為(m,-m-5),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(.看