2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：冪函數(shù)與二次函數(shù)（八大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第03講幕函數(shù)與二次函數(shù)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：幕函數(shù)...............................................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:二次函數(shù).............................................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................................6

題型一：幕函數(shù)的定義及其圖像..................................................................9

題型二：幕函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.................................................................10

題型三：由幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小.............................................................11

題型四：二次函數(shù)的解析式.....................................................................12

題型五：二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值.........................................................13

題型六：二次函數(shù)定軸動(dòng)區(qū)間和動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題...................................................13

題型七：二次方程實(shí)根的分布及條件.............................................................14

題型八：二次函數(shù)最大值的最小值問(wèn)題...........................................................15

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)...........................................................16

05課本典例高考素材............................................................16

06易錯(cuò)分析答題模板............................................................17

易錯(cuò)點(diǎn)：解二次型函數(shù)問(wèn)題時(shí)忽視對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論............................................17

答題模板：含參二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題.....................................................18

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

從近五年全國(guó)卷的考查情況來(lái)看，本節(jié)

內(nèi)容很少單獨(dú)命題，嘉函數(shù)要求相對(duì)較

(1)塞函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)2020年天津卷第3題，5分

低，常與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合，比

(2)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)2020年江蘇卷第7題，5分

較哥值的大小，多以選擇題、填空題出

現(xiàn).

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)通過(guò)具體實(shí)例，了解募函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律.

(2)掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、最值等).

匐2

〃二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

考點(diǎn)突確.題理輝寶

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:幕函數(shù)

1、哥函數(shù)的定義

一般地，y=V(aeR)(。為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，塞為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱

為累函數(shù).

2、累函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是暴函數(shù)

①尸的系數(shù)為1；②/的底數(shù)是自變量；③指數(shù)為常數(shù).

(3)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)

3、常見(jiàn)的幕函數(shù)圖像及性質(zhì)：

\_

函數(shù)y=xy=x2J=%3y二?y=x-1

1y

圖象干V

Vk-L

47V-bxOx

定義域RRR{x|x>0}{x|］。0}

值域R3”0}R{yly>0){ylyw。}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在(-00,0)上單調(diào)遞在(TO,0)和

在R上單在R上單調(diào)遞在［0,+8)上單調(diào)

單調(diào)性減，在(0,+00)上單(0,+00)上單調(diào)遞

調(diào)遞增增遞增

調(diào)遞增減

公共點(diǎn)(1)1)

【診斷自測(cè)】若幕函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),貝1/(16)=()

A.0B.2C.4D.1

知識(shí)點(diǎn)2：二次函數(shù)

1、二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)一般式：/(x)=ax2+Z?x+c{a0)；

(2)頂點(diǎn)式：/(%)=&>-機(jī)產(chǎn)+〃(〃。0)；其中，(人〃)為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，加為對(duì)稱軸方程.

(3)零點(diǎn)式：/(%)=〃(%-%)(%-9)(〃。。)，其中，%,X2是拋物線與工軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)?

2、二次函數(shù)的圖像

A

二次函數(shù)。)的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為.-牙頂點(diǎn)坐標(biāo)為

b4ac—b2

（-T-,：----）?

2a4。

(1)單調(diào)性與最值

①當(dāng)。>0時(shí)，如圖所示，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在(-00,-2］上遞減，在［-2,+8)上遞增，當(dāng)

2a2a

x=-

hh

②當(dāng)〃<0時(shí),如圖所示'拋物線開(kāi)口向下'函數(shù)在(-8,-五］上遞增'在［-五,+8)上遞減'當(dāng)

x=-

(2)與x軸相交的弦長(zhǎng)

當(dāng)A=尸-4ac>0時(shí)，二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(a豐0)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)叫(%,0)和%(々,0)，

=XX=+x2_

IMMll1~2l2)4XjX2=.

\a\

3、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.

對(duì)二次函數(shù)/'(犬)=辦2+fcr+c(。40),當(dāng)a>0時(shí)，/(X)在區(qū)間［0,q］上的最大值是M,最小值是加，

令Y

b

(1)若---<p,則機(jī)=/(p),M=/(夕)；

2a

bb

(2)p<--<x,貝|J"7=f(一丁),M=/(4)；

2a02a

bb

(3)x<-—<q,貝ib〃=/'(-丁),M=/(p)；

02a2a

b

(4)若--->q,則機(jī)=/(q),M=/(p).

la

【診斷自測(cè)】下列四個(gè)圖象中，有一個(gè)圖象是函數(shù)/(x)=gd一辦2+(4_4卜+8(分0)的導(dǎo)數(shù)的圖象，則

/(-2)的值為()

解題方法總結(jié)

1、暴函數(shù)y=x"(awR)在第一象限內(nèi)圖象的畫(huà)法如下:

①當(dāng)a<0時(shí)，其圖象可類(lèi)似y=畫(huà)出；

②當(dāng)0<”1時(shí)，其圖象可類(lèi)似、一己畫(huà)出；

y-x

③當(dāng)。>1時(shí)，其圖象可類(lèi)似丫二三畫(huà)出.

2、實(shí)系數(shù)一元二次方程ax1+bx+c=0(〃w0)的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系

A=Z?2-4ac>0

b八

(1)方程有兩個(gè)不等正根4泡o<玉+%2二--〉。

a

c

xx=—>0

{2a

A=Z?2-4ac>0

b八

(2)方程有兩個(gè)不等負(fù)根%,％<=>"%+%2=----<U

a

c

玉％=—>0

a

(3)方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為玉,工2O%1元2=￡<。

a

3、一元二次方程依2+6x+c=0(aw0)的根的分布問(wèn)題

一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮:

(1)開(kāi)口方向；(2)判別式；(3)對(duì)稱軸x=-2與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；(4)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).

2a

設(shè)玉,尤2為實(shí)系數(shù)方程Q2+bx+c=0(〃〉0)的兩根，則一元二次依2+bx+c=0(a>0)的根的分布與其

限定條件如表所示.

根的分布圖像限定條件

y

A>0

b

mv%<x〈--->m

22a

/(m)>0

X

D

玉<m<x(

2」f.m)<0

N7i

A>0

b

?-----<m

2a

x<x<m

[2J/(?!)>0

y

A<0

—1―i——A

1mnx

八y

A=0

/

xx=x2<m

或再=x2>m

I0m?X

A>0

b

在區(qū)間(m,n)內(nèi)\<-----<m

2a

沒(méi)有實(shí)根/(m)>0

y

A>0

b

\J?----->n

2a

/(n)>0

4mn\X

"(m)WO

L/W<0

J⑺<0

o^

在區(qū)間（m,n）內(nèi)

有且只有一個(gè)實(shí)根y

二y（?）＞o

I丁A>0

b

在區(qū)間（m,ri）內(nèi)m<-----<n

?2a

有兩個(gè)不等實(shí)根\JAf(m)〉0

fW>0

4、有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，關(guān)鍵是利用圖像.

（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類(lèi)問(wèn)題一動(dòng)軸定區(qū)

間和定軸動(dòng)區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對(duì)稱軸.即注意對(duì)

對(duì)稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類(lèi)討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③

軸穿過(guò)區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對(duì)參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.

（2）對(duì)于二次方程實(shí)根分布問(wèn)題，要抓住四點(diǎn)，即開(kāi)口方向、判別式、對(duì)稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)

值正負(fù).

題型洞察

題型一：幕函數(shù)的定義及其圖像

【典例1-1］（2024?山東日照?二模）已知幕函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（2,4）,則函數(shù)的解析式為（）

2

A.y=2，.B.y=xC.J=log2xD.y=sinx

【典例1-2】已知累函數(shù),二/（P，"Z且〃應(yīng)互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，貝°（）

A.p,q均為奇數(shù)，且，>0

B.q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且2<0

q

C.4為奇數(shù)，P為偶數(shù)，且4>0

q

D.q為奇數(shù)，p為偶數(shù),且/<。

【方法技巧】

確定事函數(shù)y=/的定義域，當(dāng)a為分?jǐn)?shù)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為根式考慮，是否為偶次根式，或?yàn)閯t被開(kāi)方式

非負(fù).當(dāng)a<0時(shí)，底數(shù)是非零的.

【變式1-1】已知函數(shù)〃x）=（"—l）x'網(wǎng)為累函數(shù)，則/（/-24+/（24-/）=（）

A.0B.-1C.a2D.a6-a4

【變式1-2］（多選題）（2024?新疆喀什?一模）若函數(shù)y=（病一機(jī)一1）/是累函數(shù)，則實(shí)數(shù)相的值可能是

（）

A.m=—2B.m=2C.m=—lD.m=l

【變式1-3］給出幕函數(shù)：①〃x）=x；②/（》）=/；③"x）=x\④f（x）=&；⑤〃x）=：.其中滿

足條件與逗］的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

題型二：幕函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【典例2-1】已知幕函數(shù)〃力=（2m-1卜”的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,8）,下面給出的四個(gè)結(jié)論：①〃尤）=尸；②

/（尤）為奇函數(shù)；③/'（尤）在R上單調(diào)遞增；④/其中所有正確命題的序號(hào)為（）

A.①④B.②③C.②④D.①②③

【典例2-2］己知基函數(shù)/（力=（4_3卜9+2在（0,+8）上單調(diào)遞減，函數(shù)MX）=3'+〃7,對(duì)任意為e［L3］,

總存在％目1,2］使得〃為）=力伍），則加的取值范圍為.

【方法技巧】

緊扣累函數(shù)y=x"的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意a為奇數(shù)

時(shí)，/為奇函數(shù)，a為偶數(shù)時(shí)，丁為偶函數(shù).

【變式2-1】已知ae卜2,-1,-；，3』,2,31.若幕函數(shù)/（；0=尤&為奇函數(shù)，且在（。,+⑹上遞減，則。=—.

【變式2-2］已知函數(shù)/（x）=（x-2）3+3i-32T+2xln3-41n3+l,則滿足/（力+/（8—3力>2的尤的取值

范圍是___.

【變式2-3】已知募函數(shù)〃x）=/--3（其中，川€2）為偶函數(shù)，且〃尤）在（0,+功上單調(diào)遞減，則加

的值為—.

【變式2-4】已知函數(shù)〃力=），則關(guān)于才的表達(dá)式-2。+/（2/-1）<0的解集為.

【變式2-5】滿足（m+1，<（3_2租）一的實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）.

題型三：由黑函數(shù)的單調(diào)性比較大小

2-.,2

【典例3-1】（2024?天津紅橋?二模）若。=（_尸，&=logj-二3一（，則〃，b,c的大小關(guān)系為（）

35〉

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c

232

【典例3-2】設(shè)a=6dc=（|『，則凡尻。大小關(guān)系是.

【方法技巧】

在比較幕值的大小時(shí)，必須結(jié)合基值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.

【變式3-1］（2024?河北衡水?三模）已知log；<l,<1,/<i，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

【變式3-2］已知a=e*,b=￡,c=（灰產(chǎn)，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為.（用“〈”連接）

【變式3?3】已知累函數(shù)/（%）的圖象過(guò)點(diǎn)，尸（不必）,。（々，%）（。＜玉＜9）是函數(shù)圖象上的任意不同

I乙7

兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.xlf（xl）＞x2f（x2）B.x1/（x2）＜%2/（%1）

/&）〃9）〃再）J（z）

C.--------＞---------D.--------＜---------

x2玉%x2

【變式3-4］（2024?高三?河北邢臺(tái)?期中）已知函數(shù)/（x）=（川-根-1）/+%3是哥函數(shù)，且在（0,+8）上

單調(diào)遞減，若a,beR,且。＜0＜可。|＜同，則〃。）+/修）的值（）

A.恒大于。B.恒小于。

C.等于。D.無(wú)法判斷

題型四：二次函數(shù)的解析式

【典例4-1］（2024?高三?海南?？?開(kāi)學(xué)考試）已知二次函數(shù)/（尤）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,3）,在x軸上截得

的線段長(zhǎng)為2,并且對(duì)任意尤eR,都有〃2-x）=/（2+x）,則〃x）=.

【典例4-2］寫(xiě)出同時(shí)滿足下列條件①②③的一個(gè)函數(shù)/。）=—.

①/（x）是二次函數(shù)；②燈'（x+1）是奇函數(shù)；③工也在（0,+8）上是減函數(shù).

x

【方法技巧】

求二次函數(shù)解析式的三個(gè)技巧

（1）已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，選擇一般式.

（2）已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最大（?。┲档?，選擇頂點(diǎn)式.

（3）已知圖象與無(wú)軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，選擇零點(diǎn)式.

【變式4-1】已知函數(shù)〃x）=G：2+bx+c（。/0）的圖象關(guān)于丁軸對(duì)稱，且與直線＞相切，寫(xiě)出滿足上

述條件的一個(gè)函數(shù)/（》）=—,

【變式4-2］己知二次函數(shù)無(wú)）滿足/（2）=-1,五-1）=-1,且的最大值是8,二次函數(shù)的解析式

是—.

【變式4-3】已知函數(shù)/（幻=萩+（2-機(jī)）x+w（w＞0）,當(dāng)時(shí)，都有|/（刈41恒成立，貝！.

【變式4-4】已知/（力是二次函數(shù),/（-2）=0,且與土則"10）=.

題型五：二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值

【典例5-1】已知f（x）=l-（x-T）（x—?,并且相、”是方程/（無(wú)）=。的兩根，則實(shí)數(shù)。、6、相、W的大小關(guān)

系可能是（）

A.m<a<b<nB.a<m<n<b

C.a<m<b<nD.m<a<n<b

【典例5-2】（2024?高三?江蘇蘇州?期中）滿足==/尤4〃｝的實(shí)數(shù)對(duì)加，”構(gòu)成

的點(diǎn)共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【方法技巧】

解決二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值常用的方法是數(shù)形結(jié)合.

【變式5-1］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/（尤）=卜2_（*2）*+1|在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)加的取值

范圍為（）

「】「「

A.I-,1lU3,19B.14,12U3,9J-

l_2」|_2」12」|_2」

-11「9~l「11「9-

C.--JU3,—D.--,2U3,5

【變式5?2】（2024?高三?山東濟(jì)寧?期中）函數(shù)/（%）=&萬(wàn)—%—3的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.1一8,；B.（-oo,-l）C.g-001D.；，+00］

【變式5?3】（2024?廣東珠海?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=%2+如一2x+1在區(qū)間［2,+8）上是增函數(shù)，則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是—.

【變式5-4］若函數(shù)〃x）=:，+4：,尤>（）在區(qū)間J—2a）上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.

2x,x<0

題型六：二次函數(shù)定軸動(dòng)區(qū)間和動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題

【典例6-1】已知函數(shù)/食）=尤2-2依（。>0）.

⑴當(dāng).=3時(shí)，解關(guān)于尤的不等式-5</（x）<7；

⑵函數(shù)V=/（x）在上J+2］上的最大值為0,最小值是T,求實(shí)數(shù)a和/的值.

【典例6-2］已知函數(shù)y=/+2ax+l在-lVxV2上的最大值為4,求。的值.

【方法技巧】

“動(dòng)軸定區(qū)間”、”定軸動(dòng)區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：

(1)根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時(shí)需要結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的

函數(shù)值進(jìn)行分析；

(3)將分類(lèi)討論的結(jié)果得到最終答案.

【變式6-1】已知函數(shù)〃%)=爐+依，其中a是實(shí)數(shù).

(1)〃尤)在區(qū)間上的最大值記為M(a),求M(a)的表達(dá)式；

(2)〃尤)在區(qū)間［-1,2］上的最小值記為相⑷,求相(0)的表達(dá)式；

⑶若Af(a)-m(a)=3,求實(shí)數(shù)。的值.

題型七：二次方程實(shí)根的分布及條件

【典例7-1］若關(guān)于x的一元二次方程/+(34-1卜+。+8=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根占%,且不則

實(shí)數(shù)a的取值范圍為一.

【典例7-2】方程:加-(租-1)尤+1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則根的取值范圍為

【方法技巧】

結(jié)合二次函數(shù)/(%)=。必+"(；+。的圖像分析實(shí)根分布，得到其限定條件，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，

從而解不等式求參數(shù)的范圍.

【變式7-1］(2024?四川雅安?模擬預(yù)測(cè))已知關(guān)于x的方程V+bx+c=O0,ceH)在上有實(shí)數(shù)根,

且滿足0W36+CV3,則b的取值范圍是.

【變式7-2］關(guān)于x的方程/+(祖-3)工+"7=0滿足下列條件，求加的取值范圍.

(1)有兩個(gè)正根；

(2)一個(gè)根大于1,一個(gè)根小于1；

(3)一個(gè)根在(-2,0)內(nèi)，另一個(gè)根在(0,4)內(nèi);

(4)一個(gè)根小于2,一個(gè)根大于4;

(5)兩個(gè)根都在(0,2)內(nèi).

題型八：二次函數(shù)最大值的最小值問(wèn)題

【典例8-1】已知函數(shù)/(無(wú))=,+6+)在區(qū)間?4]上的最大值為跖當(dāng)實(shí)數(shù)a,b變化時(shí)，M最小值

為.

【典例8-2】已知函數(shù)=-次-若對(duì)任意的飛e[0,4],使得求實(shí)數(shù)M的

取值范圍是.

【方法技巧】

解決二次函數(shù)最大值的最小值問(wèn)題常用方法是分類(lèi)討論、三點(diǎn)控制、四點(diǎn)控制.

【變式8-1】二次函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，/(1)=1,且〃月?3/+21恒成立.

⑴求了⑺的解析式;

(2)aeR,記函數(shù)/z(x)=/(x)—2依+1]在[0』上的最大值為T(mén)(a),求T(a)的最小值.

【變式8-2】已知函數(shù)/■(x)=(x-2)|x+o|(aeR),

-7-

(1)當(dāng)。=-1時(shí)，①求函數(shù)Ax)單調(diào)遞增區(qū)間；②求函數(shù)/(x)在區(qū)間-4,1的值域;

⑵當(dāng)xe[-3,刃時(shí)，記函數(shù)Ax)的最大值為g(a),求g(a)的最小值.

【變式8-3]（2024?高三?江蘇南通?開(kāi)學(xué)考試）記函數(shù)〃工）=--同在區(qū)間[0』上的最大值為g（a）,

則g（。）的最小值為（）

A.3-2立B.72-1C.；D.1

1.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)/（x）=2個(gè)旬在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，貝匹的取值范圍是

（）

A.（^?,—2]B.[—2,0）

C.（0,2]D.[2,+a>）

2.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)0=1.0產(chǎn)5,6=10儼6,°=0.6°5,則。，瓦c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

㈤5

課本典例?高考素材

1.畫(huà)出函數(shù)y=M的圖象，并判斷函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)性.

2.在固定壓力差（壓力差為常數(shù)）下，當(dāng)氣體通過(guò)圓形管道時(shí)，其流量速率V,（單位：C7"3/S）與管道

半徑r(單位：cm)的四次方成正比.

(1)寫(xiě)出氣體流量速率口關(guān)于管道半徑廠的函數(shù)解析式；

(2)若氣體在半徑為3c%的管道中，流量速率為400c”/s,求該氣體通過(guò)半徑為廠的管道時(shí)，其流量速

率v的表達(dá)式；

(3)已知(2)中的氣體通過(guò)的管道半徑為5c%,計(jì)算該氣體的流量速率(精確到1c加/s).

2.試用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)“外=尤-2的圖象，求函數(shù)的定義域、值域；討論函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，并證明.

4.證明：

⑴若小)口+。，則D必當(dāng)小J

⑵若g(x)7+辦+或則g[丫卜gE)；g&).

㈤6

〃易錯(cuò)分析」答題模板\\

易錯(cuò)點(diǎn)：解二次型函數(shù)問(wèn)題時(shí)忽視對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論

易錯(cuò)分析：在二次函數(shù)丁=。必+加；+。中，當(dāng)時(shí)為二次函數(shù)，其圖象為拋物線；當(dāng)

時(shí)為一次函數(shù)，其圖象為直線.在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意V項(xiàng)的系數(shù)是否為0,若不能確定，應(yīng)該分類(lèi)

討論.

【易錯(cuò)題1】對(duì)于任意實(shí)數(shù)無(wú)，不等式(a-2)k-2(a-2)x-4<0恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍()

A.(^o,2)B.(—8,2]C.(—2,2)D.(—2,2]

【易錯(cuò)題2】已知/+%+5領(lǐng)欣2+2ar+c2Y+5%+9對(duì)任意工￡尺恒成立，則Q+c=.

答題模板：含參二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題

1、模板解決思路

解決含參二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題常用的方法是數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論.

2、模板解決步驟

第一步：通過(guò)觀察二次函數(shù)的特征，分析二次函數(shù)參數(shù)的位置；

第二步：通過(guò)討論含參二次函數(shù)的單調(diào)性和已知區(qū)間之間的關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論；

第三步：根據(jù)含參二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求

出其最值；

第四步：得出結(jié)論.

【典例1]已知二次函數(shù)同時(shí)滿足以下條件：①〃2+力=己(2-力,②/(0)=1,③〃2)=-3.

⑴求函數(shù)〃尤)的解析式；

⑵若〃(%)=/(尤)+(〃2+4)X,xe[-l,2],求％(x)的最小值.

【典例2]已知二次函數(shù)/。)=取2+區(qū)+。，滿足條件了(0)=。和/(x—2)—y(x)=Tx.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若A=|m,"+l](〃zeR),求函數(shù)/(尤)在A上的最小值.

【典例3]已知函數(shù)f(x)=f—2x+a+l.當(dāng)xe[r,r+2]時(shí)，求函數(shù)/⑶最大值的表達(dá)式”⑺；

第03講幕函數(shù)與二次函數(shù)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：幕函數(shù)...............................................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:二次函數(shù).............................................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................................6

題型一：幕函數(shù)的定義及其圖像..................................................................9

題型二：幕函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.................................................................10

題型三：由幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小.............................................................11

題型四：二次函數(shù)的解析式.....................................................................12

題型五：二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值.........................................................13

題型六：二次函數(shù)定軸動(dòng)區(qū)間和動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題...................................................13

題型七：二次方程實(shí)根的分布及條件.............................................................14

題型八：二次函數(shù)最大值的最小值問(wèn)題...........................................................15

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)...........................................................16

05課本典例高考素材............................................................16

06易錯(cuò)分析答題模板............................................................17

易錯(cuò)點(diǎn)：解二次型函數(shù)問(wèn)題時(shí)忽視對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論............................................17

答題模板：含參二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題.....................................................18

春情目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

從近五年全國(guó)卷的考查情況來(lái)看，本節(jié)

內(nèi)容很少單獨(dú)命題，嘉函數(shù)要求相對(duì)較

(1)塞函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)2020年天津卷第3題，5分

低，常與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合，比

(2)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)2020年江蘇卷第7題，5分

較哥值的大小，多以選擇題、填空題出

現(xiàn).

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)通過(guò)具體實(shí)例，了解募函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律.

(2)掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、最值等).

匐2

〃二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

考點(diǎn)突破■題型探究

--------------[HHHJT,

知識(shí)JJ

知識(shí)點(diǎn)1:幕函數(shù)

1、幕函數(shù)的定義

一般地，y=V(aeR)(。為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，幕為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱

為累函數(shù).

2、暴函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是暴函數(shù)

①/的系數(shù)為1;②/的底數(shù)是自變量；③指數(shù)為常數(shù).

(3)募函數(shù)的圖象和性質(zhì)

3、常見(jiàn)的幕函數(shù)圖像及性質(zhì)：

y=f3-1

函數(shù)y=xy=xy二/y=x

y

VVk

圖象LV

十7T10x

定義域RRR{x|x>0}{x[%w0}

值域RR{ylyNO}{y|yWO}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在(-00,0)上單調(diào)遞在(YO,0)和

在R上單在R上單調(diào)遞在［0,+oo)上單調(diào)

單調(diào)性減，在(0,+co)上單(0,+8)上單調(diào)遞

調(diào)遞增增遞增

調(diào)遞增減

公共點(diǎn)(1-1)

【診斷自測(cè)】若幕函數(shù)，=〃尤)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,&),貝廳。6)=()

A.72B.2C.4D.；

【答案】A

【解析】設(shè)鬲函數(shù)y=/(x)=V，因?yàn)椤癤)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),所以2。=應(yīng)，解得a=g，

所以/(%)=%*所以〃16)=16萬(wàn)=4-

故選：C

知識(shí)點(diǎn)2：二次函數(shù)

1、二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)一般式：/(x)=ax2+bx+c(a0)；

(2)頂點(diǎn)式：/(x)=a(x-m)2+n(a0)；其中，(人〃)為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，冗=加為對(duì)稱軸方程.

(3)零點(diǎn)式：/(%)=。(%-%)(%-％2)(。工。)，其中，犬，1尤2是拋物線與次軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)?

2、二次函數(shù)的圖像

A

二次函數(shù)/(?=辦2+云+°(〃W0)的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為1=—2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為

2a

b4ac~b2

,--;---)?

2a4〃

(1)單調(diào)性與最值

.AA

①當(dāng)a>0時(shí)，如圖所示，拋物線開(kāi)口向上，函