2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列（測(cè)試）（學(xué)生版+解析）

第六章數(shù)列（測(cè)試）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.等比數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和S“=4i+t,貝曠=（）

A.—IB.—C.—D.—

423

2.已知等差數(shù)列｛%｝中，的是函數(shù)/（x）=sin（2x-*）的一個(gè)極大值點(diǎn)，則tan（%+%）的值為（）

A.gB.百C.±73D.-73

3.正整數(shù)L2,3,，”的倒數(shù)的和1+:+：++,已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求

23n

和公式，只是得到了它的近似公式，當(dāng)"很大時(shí)，i+D+工。山〃+九其中/稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，

23n

0.577215664901,至今為止都不確定/是有理數(shù)還是無理數(shù).設(shè)印表示不超過x的最大整數(shù)，用上式計(jì)

算］1+:+>+/］的值為（）

（參考數(shù)據(jù)：1112go.69,ln3?1.10,In10?2.30）

A.10B.9C.8D.7

4.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，若。2。4+2。3%+。4。6=16,則%+生=（）

A.1B.2C.3D.4

5.已知實(shí)數(shù)a,b,c構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，若abc=2,b<0,則d的取值范圍為（）

A.卜8,-6）。［白,+8）B.（-00,-2）32,+8）

C.卜D.（-00,-3）U［3,+ao）

6.已知％=〃?（令2,則數(shù)列｛q,｝的偶數(shù)項(xiàng)中最大項(xiàng)為（）

A.4oB.%C.4D.%

7.如圖所示的一系列正方形圖案稱為“謝爾賓斯基地毯”，在4個(gè)大正方形中，著色的小正方形的個(gè)數(shù)依次

*，、c111

構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛%,｝的前4項(xiàng).記S=—+—+-?-+----，則下列結(jié)論正確的為（）

a

\。2400

A.S>—B.S=—

77

QQ

c.D.S與J的大小關(guān)系不能確定

77

8.給定函數(shù)〃x）,若數(shù)列｛玉｝滿足無田則稱數(shù)列｛玉｝為函數(shù)“X）的牛頓數(shù)列.己知｛x｝為

77W,n

x—2

/（x）=d-無一2的牛頓數(shù)列，,且q=l,無“>2（7ZWN+）,數(shù)列幾｝的前，7項(xiàng)和為s”.則82023=

Xn+1

)

A.22023-1B.22024-l

D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)“eN*時(shí)，S”，S2m,S3nl是等差數(shù)列

B.數(shù)列｛e'"｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列［十｝是等差數(shù)列

sS-S

D.當(dāng)p,q均為正整數(shù)且。二4時(shí)，~工

p+qp-q

10.記數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為5“,5“=4〃+84、8為常數(shù).下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若1A+3=1,則4=1B.若A=2,貝!J%=2

C.存在常數(shù)A、B,使數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列D.對(duì)任意常數(shù)A、B,數(shù)列｛q｝都是等差數(shù)列

11.設(shè)等比數(shù)列｛%｝前"項(xiàng)積為】，公比為心若%>1,?2023?2024>1-<0,則下列結(jié)論正確的是

“2024—1

)

A.0<^<1B?〃2023〃2025一1〉0

C.當(dāng)〃=2023時(shí)，1取最大值D.使（＞1成立的最大自然數(shù)"是4046

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

1117

12.已知在遞增的等比數(shù)列｛q｝中，ata2a3=1,y+—+y=則數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式為為=.

13.設(shè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=/-"/eN*,該數(shù)列中個(gè)位數(shù)字為0的項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)

列也）,則小被7除所得的余數(shù)是,

"11"12"13人1

。12。13tl

“21“22623

%1①2。23

已知數(shù)表（"）=a（）41”32833

14.A",。31〃32。333n,Bn,n=

yanlan2an3ann）4bn2bn3bnn,

其中4,c..（z,jeN*,i,/W分別表示A（",n）,C（〃,“）中第i

行第/列的數(shù).若&=%%+%%?++ai?b?j,則稱C（”,"）是人（〃,"），/〃,〃）的生成數(shù)表.若數(shù)表

2_2_、

4（2,2）=[：[,3（2,2）=520,且C（2,2）是A（2,2）,3（2,2）的生成數(shù)表，則C（2,2）=.

IJI/U

55,

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

已知數(shù)列｛q｝為公差不為零的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為3，￡=49,且0，%，如成等比數(shù)歹！J.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛。,+2｝是公比為3的等比數(shù)列，且2=22,求也｝的前“項(xiàng)和】.

16.（15分）

已知數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)%=3,且滿足。同=24-1（neN,）.

⑴求證：數(shù)列｛4-1｝為等比數(shù)列；

⑵記〃=log,（a“-l）,求數(shù)列的前〃項(xiàng)和S,i,并證明:

bb

[?n+iJ2

17.(15分)

已知正項(xiàng)數(shù)列｝的前"項(xiàng)和為S"，且滿足q=1,Sn="?試求：

(1)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)記]=%,，數(shù)列,'1的前"項(xiàng)和為T,,當(dāng)時(shí)，求滿足條件的最小整數(shù)”.

匕￡“+1J9

18.(17分)

已知｛4“｝是等差數(shù)列，公差d*0,4+%=8,且％是為與%的等比中項(xiàng).

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式

⑵數(shù)列也｝滿足"含=2%，且4=]

(i)求也｝的前w項(xiàng)和S..

(ii)是否存在正整數(shù)相，”(m^n),使得邑，品“，邑”成等差數(shù)列，若存在，求出“，”的值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.(17分)

如果〃項(xiàng)有窮數(shù)列｛%｝滿足4=%,a2=an_r,a”=a、,即q=4T+][=1,2,JI),則稱有窮數(shù)列｛%｝

為“對(duì)稱數(shù)列”.

⑴設(shè)數(shù)列也｝是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱數(shù)列”，其中乙也也也成等差數(shù)列，且么=3,々=5,依次寫出數(shù)列也｝

的每一項(xiàng)；

⑵設(shè)數(shù)列｛g｝是項(xiàng)數(shù)為2"1(丘N*且處2)的“對(duì)稱數(shù)列”，且滿足高+「。”|=2,記5"為數(shù)列｛&｝的前

”項(xiàng)和.

①若Q,c2,q構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且&=2023.當(dāng)％為何值時(shí)，S21取得最大值？

②若q=2024,且邑i=2024,求上的最小值.

第六章數(shù)列（測(cè)試）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.等比數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和S"=4"T+f,貝心=（）

A.—1B.—C.—D.一

423

【答案】B

【解析】若等比數(shù)列｛4｝的公比為1，

因?yàn)镾]=t,S2=4+t,S3=16+/,

貝|]4+，=21,16+，=3，，矛盾，故qwl

設(shè)等比數(shù)列｛%｝公比為q｛qN1）,則Sn="_組二

1-q1-q1-q

即等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“要滿足Sn=AB"-A（AB^Q）,

又因?yàn)轸?47+r=Jx4"+f,所以/

44

故選：B

2.已知等差數(shù)列&｝中，%是函數(shù)/（X）=sin（2x-令）的一個(gè)極大值點(diǎn)，則tan@+的）的值為（）

A.gB.百C.±73D.-73

【答案】D

【解析】由正弦函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)2X-￡=]+2E,即x=1+E,左eZ時(shí)，函數(shù)/（x）=sin（2x-令）取得極大值，

JT2冗

則〃7=§+阮,左￡2,由等差數(shù)列性質(zhì)，得%+偈=2a）=工~+2E,k￡Z,

27r2TL7LTCI-

所以tani%+的）=tan（---b2kn）=tan——=tan（7i——）=-tan—=73.

故選：D

3.正整數(shù)1,2,3,，”的倒數(shù)的和i+:+：++!已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求

23n

和公式，只是得到了它的近似公式，當(dāng)“很大時(shí)，1+!+:++!。皿/+九其中/稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，

23n

0.577215664901,至今為止都不確定/是有理數(shù)還是無理數(shù).設(shè)印表示不超過x的最大整數(shù)，用上式計(jì)

算心>的值為（）

（參考數(shù)據(jù)：In2?0.69,ln3-1.10,lnl0?2.30）

A.10B.9C.8D.7

【答案】C

111*

【解析】設(shè)…+萬+”+產(chǎn)N,則―+九

因?yàn)?+1-%1+-+-+L

23

可知數(shù)列｛q｝為遞增數(shù)列,

且4800~In1800+/=ln2+21n3+21nl0+/?8.07,

〃2048xIn2048+/=llln2+/?8.17,

可知8.07<%024<817,所以l+j+[+L+=[〃20241=8.

故選：c.

4.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，若。2%+2%%+%R=16,則%+。5=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】由。2a4+2%%+。4a6=16得2%%+。；=16,即(4+%)2=16,

因?yàn)榈缺葦?shù)列｛%｝各項(xiàng)均為正數(shù)，所以%+%=4,

故選：D.

5.已知實(shí)數(shù)a,b,c構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，若abc=2,b<0,則］的取值范圍為()

A.卜8,-右)。［百,+8)B.(-00,-2)U［2,+00)

C.卜8,-石卜［石,+8)D.(-00,-3)U［3,+00)

【答案】A

【解析】由實(shí)數(shù)。，6,c構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，所以設(shè)a=〃-d,c=b+d,

貝abc=b｛b2-d2)=2,所以屋=片僅<0),

構(gòu)造函數(shù)/僅)=廿一?僅<o),川6)=變士D，

bJ\/及

當(dāng)be(y,-l)時(shí)，f\b)<0,所以此時(shí)46)單調(diào)遞減,

當(dāng)be[T,O)時(shí)，/(/7)>0,所以此時(shí)八6)單調(diào)遞增,

所以/(6)的最小值為"-1)=3,

當(dāng)6趨近于-8時(shí)，/。)趨近于+如當(dāng)6從負(fù)方向趨近于。時(shí)，/(4也趨近于田,

所以屋e[3,+oo）,所以de（-w,-石）-[g,+oo）.

故選：A.

6.已知%=〃?，產(chǎn)2,則數(shù)列｛q｝的偶數(shù)項(xiàng)中最大項(xiàng)為()

A.%oB.%C.a6D.%

【答案】D

【解析】數(shù)列｛4｝中，a"："，)'會(huì),4n+l

~~5X~n~'

4〃+1

令--->1,解得“<4,則當(dāng)”<4時(shí)，a>a,即%>%>。2>%，

5nn+1n

同理當(dāng)〃>4時(shí)，an+i<an,即%>4>%>%>-，而當(dāng)〃=4時(shí)，%=%，

所以數(shù)列｛q｝的偶數(shù)項(xiàng)中最大項(xiàng)為明.

故選：D

7.如圖所示的一系列正方形圖案稱為“謝爾賓斯基地毯”，在4個(gè)大正方形中，著色的小正方形的個(gè)數(shù)依次

構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛為｝的前4項(xiàng).記S='+'+…+」一，則下列結(jié)論正確的為()

QQ

C.SqD.S與了的大小關(guān)系不能確定

【答案】C

【解析】由圖分析可知％=1，%=8%+1=8+1,

t/j=8a,+1=8（8+1）+1=8i+8+1,

9897

依次類推，?100=8"+8+8++8+1,

LL…+-+J1

所以5=++8"+89S+897+~+8+1

“l(fā)oo8+18+8+1

100

b1-

100

<"+3++1_818

1-<—?

882薩=一1-1787

8

故選：C.

8.給定函數(shù)若數(shù)列｛玉｝滿足斗+|=尤“-堯J,則稱數(shù)列｛玉｝為函數(shù)的牛頓數(shù)歹I」.已知｛■為

%—2

〃x）=x2-x-2的牛頓數(shù)列，??=ln^—且q=l,x.>2（〃eN+）,數(shù)列｛見｝的前〃項(xiàng)和為S”.則￡023

當(dāng)+1

）

A.22023-1B.22024-1

20222023

C.II-1D.I-1

【答案】A

七一2_片+2

【解析】由/（尤）=x?—無一2可得/'（無）=2*—1,xn+l=xn

2尤“一12x?-l

看+2

'尤「2

彳用一22?1一2I,則兩邊取對(duì)數(shù)可得In

X+1

n+1片+2?]、%+1尤.+1+1Z+1.

2%,-1

即4角=2瑪，所以數(shù)列｛凡｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

所以％23=22023—1.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)等差數(shù)列｛見｝的前"項(xiàng)和為S“，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)mEN*時(shí)，Sm，s2m,S3”是等差數(shù)列

B.

C.數(shù)列是等差數(shù)列

D.當(dāng)p,q均為正整數(shù)且p—g時(shí)，上Ji~工

p+qp-q

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,令根=1,貝!]邑-$1=出，S3~S2=a3>

當(dāng)dW0時(shí)，a2w/，即星—5戶S3—S2,

所以跖，邑，邑不是等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；

,、pan+\

對(duì)于B,設(shè)｛g｝的公差為d,則==■，「％=/（定值），

e”

所以付”｝是公比為e”的等比數(shù)列，故B正確;

n(n-1),

是公差墻的等差數(shù)列’故°正確;

對(duì)于C,故

nn22n

(p+q)(p+4-l)

(0+q)q+d_d.、d,

對(duì)于D,%2

—=5(P+9)+4一耳

p+qP+Q

p(p—l)」q(q-1),

—d-qax+---——d

Spf

p+qp-q

故選：BCD.

10.記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“,S,=An+B,A,8為常數(shù).下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若A+_B=1,則。1=1B.若A=2,則電二2

C.存在常數(shù)A、B,使數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列D.對(duì)任意常數(shù)A、B,數(shù)列｛4｝都是等差數(shù)列

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,若A+B=l,則4=R=A+5=l,A正確；

對(duì)于B,若A=2,則%=S2—S]=（2A+5）—（A+5）=A=2,B正確；

對(duì)于C,由+5得〃1=S]=A+5,

當(dāng)孔22時(shí)，％==（即+B）-[.1）+5]=A,

所以，當(dāng)5=0,Aw0時(shí)，數(shù)列｛“J是公比為1的等比數(shù)列，C正確；

對(duì)于D,由上知，當(dāng)幾>2時(shí)%=A,若5w0,則%-4=A-（A+_B）=-Bw%-%=0,

此時(shí)，數(shù)列｛g｝不是等差數(shù)列，D錯(cuò)誤.

故選：ABC

11.設(shè)等比數(shù)列｛q｝前W項(xiàng)積為】，公比為心若為>1,出。23%024>1，線匚1<°,則下列結(jié)論正確的是

°2024—1

（）

A.0<4<1B.。2023a2025-1>0

C.當(dāng)〃=2023時(shí)，1取最大值D.使（>1成立的最大自然數(shù)〃是4046

【答案】ACD

a—1

【解析】A選項(xiàng)，4>1,a7T<0,故“2023>I“2024<1或〃2023VL〃2024>，

。2024T

當(dāng)〃2023<I〃2024>1日寸，由〃2023a2024>矢口〃2024>L。<。2023<1，

所以4=詠?1,+功，但產(chǎn)2=詠?0,1),互相矛盾，舍去,

〃2023%

當(dāng)“2023>I“2024<1時(shí),又出023%024>1，所以“2023>L。<4024<1，

故好詠40,1)滿足要求，A正確；

“2023

B項(xiàng)，^2023^2025—1="2024—1<°,B錯(cuò)；

C選項(xiàng)，因?yàn)椤?023>1，。<%024<］，°V,V1,

故當(dāng)〃=2023時(shí)，（取最大值，C正確;

D選項(xiàng)，由于4>%>>4023>1，故當(dāng)1<九工4045時(shí)，

1(1(5〈)與045=,。4044。4045=(“2023))1，

n046=”4045”4046=(〃1。4046)=(〃2023。2024)>】'

4047=4%^4046^4047=(^^4047)%024=(%024)<1'

使，>1成立的最大自然數(shù)場(chǎng)是4046,D正確.

故選：ACD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知在遞增的等比數(shù)列｛4｝中，axa2a3=1,-+—+—=則數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為?！?

【答案】2日”N*）

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為9，因?yàn)椋?%=1,所以4=1,解得％=1，

=1

1117

又/+丁+丁=5，所以有<115,

-----1------

2

由｛%｝是遞增的等比數(shù)列,解得q==2,

所以4=&=2,即有a"」x2"T=27.

%2

故答案為：2-2（?eN*

13.設(shè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為風(fēng)="-〃,〃￡N*,該數(shù)列中個(gè)位數(shù)字為0的項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)

列也｝，則b20K被7除所得的余數(shù)是

【答案】0

【解析】因?yàn)?=〃3Tz="（"—1）5+1）,所以當(dāng)”的個(gè)位數(shù)字為1,4,5,6,9,0時(shí),

凡的個(gè)位數(shù)為0,則在數(shù)列｛%｝中，每連續(xù)10項(xiàng)中就有6項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字為0,

而2017=336x6+1,由此推斷數(shù)列也｝中的第2017項(xiàng)相當(dāng)于數(shù)列｛q｝中的第3361項(xiàng),

即3>i7=a336i=336F-3361,而3361=480x7+1,所以3361除以7余數(shù)為1,

而（7左+葉=（7左）3+3（7左）2+3（7左）+1,keNf,所以336F除以7余數(shù)也為1,

而它們的差336F-3361一定能被7整除,所以優(yōu)。”被7除所得余數(shù)為0.

故答案為：0.

an“12

022

14.已知數(shù)表A（〃,〃）=，B(〃,〃)=832

b

舊1氏2氏3“砧)*?n)

C(/Z,77)=，其中陽(yáng)也,與wN*工分別表示A（〃㈤，B（n,n）,中第i

Cn3Cnn>

行第，列的數(shù).若0=生氏+生2b2j++*,則稱是A（〃〃），的生成數(shù)表.若數(shù)表

31

8520

A(2,2)=,8(2,2)=，且C（2,2）是4（2,2）,8（2,2）的生成數(shù)表，則C（2,2）=

I26

J5，

20

【答案】

12

［解析］由題意，得C"=4島+%2。21=gx^+lXy=2,

12

。21~］+%2,21=4x—+3x—=2,

+lx|=O,

c12=anbl2+%2b22=8x

c

22=a2ib]2+a22b22=4xfj+3x-|=3,

-2,2）=］：

故答案為：131

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

已知數(shù)列/｝為公差不為零的等差數(shù)列，其前w項(xiàng)和為S“，S7=49,且％,%,附成等比數(shù)列?

⑴求｛屐｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)歹豈q+2｝是公比為3的等比數(shù)列，且4=22,求也｝的前"項(xiàng)和

【解析】（1）因?yàn)椋秊榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為d,

由跖=49,得（％+；）義7=7%=49,=2=7即％+3d=7,

由%，生，知成等比數(shù)列得d=為“4，n（7+d）2=（7-2d）（7+10d）,（3分

化簡(jiǎn)（7+d）2=（7-2d）（7+10d）得42_2d=0,因?yàn)?W。，所以d=2.

所以=%+（〃—4”=2〃-1（〃￡?4*）.

綜上?！?2〃—l（nwN*）.（6分）

（2）由〃〃=2fl-1知。［=1,%=5,

又｛凡+2｝為公比是3的等比數(shù)列，4=22,

所以的+4=（4+4）x9=5+22=27,即〃1+,=1+4=3,

所以+么=3x3M=3〃，％=3〃—（2〃一1）,（〃eN*）（10分）

所以7；二4+打+仇+…+勾=31+32+33+3+3〃一口+3+5+―+（2〃-1）］

3x（l-3"）（l+2〃-3"+i-32

=--------------------------------=------------n-

1-322

綜上至士一（13分）

“2

16.（15分）

已知數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)巧=3,且滿足%+1=2為一1（〃eN*）.

⑴求證：數(shù)列｛q-1｝為等比數(shù)列；

⑵記〃=log,（4-1）,求數(shù)列;的前"項(xiàng)和S,,并證明

〔她+J2

【解析】（1）由%=2an-l（neN*）得為口-1=2（a—1）,（〃eN*）,

又q-l=2,所以｛%-1｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.（6分）

（2）由（1）知，4-1=2X2"T=2",所以々=log2（a〃-1）=〃

1111

所以〃〃_=，加=----77，（10分）

bnbn+in（n+1）nn+1

s“=4+H+4++bn

223nn+ln+1n+1

當(dāng)“eN”時(shí)，S?=l--匚單調(diào)遞增，

（15分）

n+12

17.（15分）

已知正項(xiàng)數(shù)列｛a,,｝的前"項(xiàng)和為S.,且滿足％=1,S“=.試求：

⑴數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

1,I2

（2）記c,,=a,“，數(shù)歹"——的前”項(xiàng)和為當(dāng)時(shí)，求滿足條件的最小整數(shù)".

cc

[??+l\9

【解析】（1）因?yàn)閟.=安,

當(dāng)〃=1時(shí)，4=n%=2,

當(dāng)幾之2時(shí)，（3分）

因?yàn)镾,=4件,

兩式相減得，。〃吟口+1-。〃-1）,

因?yàn)?>0,所以2=%+i-4_i,（6分）

所以｛⑸一/，｛%｝均為等差數(shù)列，%.1=2〃-1，a2n=2n.

所以（7分）

112〃.2：+1）T-,

（2）由題意得,

"〃+1a2na2（n+\）

所以4+（10分）

2

因?yàn)?/p>

bi、in2

所以4(〃+1)>9'

解得〃>8.所以滿足條件的最小整數(shù)”為9.(15分)

18.(17分)

已知｛。,｝是等差數(shù)列，公差1*0,%+%=8,且％是%與%的等比中項(xiàng).

(1)求｛屐｝的通項(xiàng)公式

⑵數(shù)列也｝滿足與含=2%,且偽=1

°n°n+\/

(i)求也｝的前W項(xiàng)和S“.

(ii)是否存在正整數(shù)加，n(祇。〃)，使得S2m,S2,,成等差數(shù)列，若存在，求出相，”的值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】(1)因?yàn)椋盀榈炔顢?shù)列，且q+%=8,所以％=4.

又能是%與%的等比中項(xiàng)，所以即16=(4—2d)(4+4d).

化簡(jiǎn)得cP—4=0,解得d=l或d=0(舍),

所以4=<23+e-3)xl=〃+l.(5分)

(2)(i)由，；7""=2a”,得，-一1=2a“，所以〈■—?—=2?！癬[(M>2),又瓦=，,

她+i%b,bn%2

..1f11)(11)(1111

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n14n-i)(%bn_2)[b2bjb｛

=2%+2an_2++2ax+-^-=4(n-l)+――—―x2